中考专题复习圆的有关性质

圆的有关性质【课标要求】1、理解圆、等圆、等弧等概念及圆的对称性，掌握点和圆的位置关系以及其有关概念。

2、掌握弧、弦、圆心角、弦心距四者之间的关系，会根据具体条件确定这四者之间的关系；3、探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征。

灵活运用圆周角的知识进行有关的推理论证及计算。

4、熟练掌握垂径定理的应用及逆定理的应用，尤其是会添加与之相关的辅助线；5、会用圆与三角形和圆内接四边形的知识，尤其是有关外角的知识沟通图形间的关系。

【知识网络】【知识要点】1、 圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫圆。

2、 圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

（2）圆是中心对称图形，对称中心为圆心。

3、 垂径定理及其推论：定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

（2）弦的垂直垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等。

4、 圆心角、弧、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。

5、 有关圆周角的定理：（1） 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

（2） 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。

（3） 直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。

6、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

【典型例题选讲】例1．（2006绵阳）如图，AB 是的⊙O 的直径，BC 、CD 、DA 是⊙O 的弦，且BC=CD=DA ，则∠BCD=（ ）A ．1000 B.1100 C.1200 D.1350 析解：∵AB 是的⊙O 的直径ACB ∴度数是1800∵BC=CD=DA ∴BC =CD =DA ∵∠BCD=001(18060)2+=1200 故：填C例2．（2006贵港市）如图，在O 中，弦AD 平行于弦BC ，若80AOC ∠=，则D A B ∠=____度．析解：∵∠B=12∠AOC ，80AOC ∠=∴∠B=400∵AD ∥BC∴DAB ∠=∠B =400 故填：400例3：已知：AB 和CD 为⊙O 的两条平行弦，⊙O 的半径为5cm,AB=8cm,CD=6cm,求AB 、CD 间的距离是7㎝或1㎝。

析解:由于圆内的的两条弦均小于圆的直径,因此可确定出圆中的两条平行弦的位置关系有两种:一是位于圆心的同侧;二是位于圆心的异侧,如图:过O 作EF ⊥AB ，分别交AB 、CD 于E 、F ，则AE=4㎝，CF=3㎝，由勾股定理可求出OE=3㎝，OF=4㎝。

故当AB 、CD 在圆心异侧时，距离为7㎝，在圆心同侧时，距离为1㎝。

例4：用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． ．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB ＝16cm ，水面最深地方的高度为4cm ，求这个圆形截面的半径．析解：这是一道作图与解答相结合的中考题，着重考查学生动手操作图形的能力和利用基本知识解决简单问题的能力。

解（1）正确作出图形，并做答．……………………………………………………3′ （2）解：过O 作OC ⊥AB 于D ，交弧AB 于C ，∵OC ⊥AB ， ∴BD ＝21AB ＝21×16＝8cm ． 由题意可知，CD ＝4cm ．………………………………4′设半径为x cm ，则OD ＝（x －4）cm ． 在Rt △BOD 中，由勾股定理得：OD 2＋BD 2＝OB 2， ∴( x －4)2＋82＝x 2．………………………………5′ ∴x ＝10．即这个圆形截面的半径为10cm ．…………………………………………6′例5（2005常州）（本小题满分6分）如图，有一木制圆形脸谱工艺品，H 、T 两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点D 处打一小孔．现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），请你用两种不同的方法确定点D 的位置（画出图形表示），并且分别说明理由．B(B)理由是：解：画图正确 4分③②①方法一：如图①，画TH 的垂线L 交TH 于D ，则点D 就是TH 的中点。

依据是垂径定理。

5分方法二：如图②，分别过点T 、H 画HC ⊥TO ，TE ⊥HO ，HC 与TE 相交于点F ，过点O 、F 画直线L 交HT 于点D ，则点D 就是HT 的中点。

由画图知，Rt △HOC ≌Rt △TOE ，易得HF=TF ，又OH=OT所以点O 、F 在HT 的中垂线上，所以HD=TD 6分 方法三：如图③，（原理同方法二） 6分 注：其它解法，按以上标准相应给分例6. (2005宜昌).如图，AB 是⊙O 的直径,BD 是⊙O 的弦，延长BD 到点C ,使DC =BD ,连接AC 交⊙O 与点F .（1）AB 与AC 的大小有什么关系?为什么?（2）按角的大小分类, 请你判断△ABC 属于哪一类三角形， 并说明理由。

解：（1）（方法1）连接DO.………1分 ∵OD 是△ABC 的中位线， ∴DO ∥CA .∵∠ODB ＝∠C ， ∴OD ＝BO……2分∴∠OBD ＝∠ODB ， ∴∠OBD ＝∠ACB ，…3分 ∴AB ＝AC…4分（方法2）连接AD ，…1分 ∵AB 是⊙O 的直径，∴AO ⊥BC ，…3分 ∵BD ＝CD ，∴AB ＝AC.………4分（方法3）连接DO.………1分∵OD 是△ABC 的中位线，∴OD=21AC 2分 OB=OD=21AB 3分∴AB=AC 4分 （2） 连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°∴∠B ＜∠ACB ＝90°.∠C ＜∠ACB ＝90°.∴∠B 、∠C 为锐角. .…6分 ∵AC 和⊙O 交于点F ，连接BF ，∴∠A ＜∠BFC ＝90°.∴△ABC 为锐角三角形…7分例7．（2005湖北恩施）在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，小亮首先考虑了一种特殊情况（圆心在圆周角的一边上）如图(1)所示： ∵∠AOC 是⊿ABO 的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO又∵OA=OB∴∠OAB=∠OBA ∴∠AOC=2∠ABO即∠ABC=21∠AOC如果∠ABC 的两边都不经过圆心， 如图(2)、（3）,那么结论会怎样?(3)(2)(1)OFDCBA解： 如果∠ABC 的两边都不经过圆心,结论∠ABC=21∠AOC 仍然成立 ( 2分)(1)对图2的情况连接BO 并延长交圆O 于点D ( 3分)由图1知: ∠ABD=21∠AOD∠CBD=21∠COD ( 5分)∴∠ABD+∠CBD=21∠AOD+21∠COD即∠ABC=21∠AOC ( 8分)(2) 对图3的情况仿图2的情况可证 ( 10分)例8. （2005资阳）如图6，已知AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H .(1) 求证：AH.AB =AC 2；(2) 若过A 的直线与弦CD (不含端点)相交于点E ，与⊙O 相交于点F ，求证：AE.AF =AC 2；(3) 若过A 的直线与直线CD 相交于点P ，与⊙O 相交于点Q ，判断AP .AQ =AC 2是否成立(不必证明).解．(1) 连结CB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°. ···························· 1分而∠CAH =∠BAC ，∴△CAH ∽△BAC . ··········································· 2分 ∴ACAHAB AC， 即AH .AB =AC 2 . ··················································· 3分 (2) 连结FB ，易证△AHE ∽△AFB ， ··············································· 4分 ∴ AE .AF =AH .AB ， ····································································· 5分 ∴ AE .AF =AC 2 . ·········································································· 6分 (也可连结CF ，证△AEC ∽△ACF )(3) 结论AP .AQ =AC 2成立 . ··························································· 7分图 6【历届试题精选】 一、选择题1. （2005安徽）如图, ⊙O 的半径OA=6, 以A 为圆心,OA 为半径的弧交⊙O 于B 、C 点, 则BC= ( ) A. 36 B. 26 C. 33 D. 232． （2005佛山）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，若AC ︰BC ＝4︰3，AB ＝10cm ，OD ⊥BC 于点D ，则BD 的长为( ).A.32cm B.3cm C.5cm D.6cm3、（2005河南）用一把带有刻度的直尺，①可以画出两条平行的直线a 与b ，如图⑴；②可以画出∠AOB 的平分线OP ，如图⑵所示；③可以检验工件的凹面是否为半圆，如图⑶所示；④可以量出一个圆的半径，如图⑷所示。