积化和差与和差化积公式的应用习题精选精讲.doc
积化和差与和差化积公式的应用习题精选精讲
三角函数式的化简要求是:项数最少\三角函数种类最少\函数次数最低\尽可能不带根号\ 能求值得要求出值. 一: 定义法例1. 化简 xx xx x x x x sin tan sin tan sin tan sin tan ∙+--∙ 解: 设点则且终边上一点为角,,),(22y x r OP x y x P +==.tan ,sin xyx r y x ==二: 弦切互化法例2. xx x x x x x 2222tan 1tan 1)cos 2tan tan (sin 2tan +-∙+∙+化简解: 原式x x x x x xx x x x x x x x x 2cos )cos 2sin 21(2cos 2sin cos sin 1cos sin 1)2cos 2sin cos sin 1(2cos 2sin 22222∙+∙=+-∙∙+∙= 三: 变用公式例3. o o o o o o 15tan 50tan 50tan 25tan 25tan 15tan ∙+∙+∙化简解: 原式 15tan 50tan )50tan 15(tan 25tan ∙++=说明: 公式βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=±在解题中运用非常灵活.常常变形为)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±来使用. 四: 连锁反应法例5. o o 78sin 66sin 42sin 6sin 化简解: 原式12cos 24cos 48cos 6sin ∙∙∙=6cos 48cos 24cos 12cos 6sin 6cos ∙∙∙∙==1616cos 96sin 1616cos 48cos 24cos 12cos 12sin 21=====∙∙∙说明: 此题分子分母同乘以 6cos ,从而连续逆用倍角公式,达到多次化角的目地. 五: 升降次法例6. y x y x y x 2cos 2cos )(cos )(cos 22∙--++化简解: 原式y x y x y x 2cos 2cos 2)22cos(12)22cos(1∙---+++=例7. x x 4cos 812cos 2183:+-化简解: 原式 )12cos 2(81)1cos 2(218322-+--=x x )1cos 4cos 4(41cos 43)1cos 2(41cos 43242222+-+-=-+-=x x x x x x x x x 42242sin )cos 1(cos cos 21=-=+- 六: 基本技巧例8 (1) θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1:++-+化简解: 原式)cos (sin cos 2)cos (sin sin 2cos sin 2cos cos sin 2sin 22sin )2cos 1(2sin )2cos 1(22θθθθθθθθθθθθθθθθ++=++=+++-=θtan = (2) .2cos 2sin ,2tan 的值求已知x x x +=解: x x x cos 2sin ,2tan =∴= 角的变换角的变换，一般包括角的分解和角的组合，角的分解即把一个角分成几个角的和或差，而角的组合即把几个角通过和或差组合成一个角。
北师版高中数学必修第二册课后习题第4章 §2 2.4 积化和差与和差化积公式
2.4 积化和差与和差化积公式课后训练巩固提升1.在△ABC中,若sin AsinB=cos2C2,则△ABC是( ).A.等边三角形B.等腰三角形C.钝角三角形D.直角三角形2.sin α+sin β=√33(cos β-cosα),且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于( ).A.-2π3B.-π3C.π3D.2π33.已知sin(α+β)sin(β-α)=m,则cos2α-cos2β等于( ).A.-mB.mC.-4mD.4m4.在△ABC中,若B=30°,则cosAsinC的取值范围是( ).A.[-1,1]B.[-12,1 2 ]C.[-14,34] D.[-34,14]5.函数y=cos(π3+2x)cos(π3-2x)的最大值是.6.sin35°+sin25°cos35°+cos25°= .7.已知函数f(x)=cosx·cos(x-π3).(1)求f (2π3)的值;(2)求使f(x)<14成立的x 的取值集合.8.已知向量a=(sin B,1-cos B)与向量b=(2,0)的夹角为π3,其中A,B,C 是△ABC 的内角. (1)求B 的大小;(2)求sin A+sinC 的取值范围. 答案：1.B ∵sin AsinB=cos 2C2,∴12[cos(A-B)-cos(A+B)]=12(cos C+cos0)=12(1+cosC).又A+B=π-C,∴cos(A-B)-cos(π-C)=1+cos C, 即cos(A-B)+cosC=1+cos C, ∴cos(A-B)=1.又-π<A -B<π,∴A-B=0,即A=B, 故△ABC 为等腰三角形. 2.D 由已知得2sin α+β2cosα-β2=√33(2sin α+β2·sin α-β2), ∵0<α+β2<π,-π2<α-β2<π2,∴sin α+β2>0.∴tanα-β2=√3.∴α-β2=π3.∴α-β=2π3.3.B cos 2α-cos 2β=12(cos 2α+cos 0)-12(cos 2β+cos 0)=12(1+cos 2α)-12(1+cos 2β)=cos2α-cos2β2=-sin(α+β)sin(α-β)=sin(α+β)sin(β-α)=m.4.C cosAsinC=12[sin(A+C)-sin(A-C)]=12[sin(180°-B)-sin(A-C)]=14−12sin(A-C).∵-1≤sin(A -C)≤1,∴cosAsinC ∈[-14,34]. 5.14 y=cos (π3+2x)cos (π3-2x)=12{cos[(π3+2x)+(π3-2x)]+cos[(π3+2x)-(π3-2x)]} =12(cos 2π3+cos4x)=12cos 4x-14,∴函数y 的最大值为14.6.√33原式=2sin35°+25°2cos 35°-25°22cos 35°+25°2cos35°-25°2=tan 30°=√33.7.解f(x)=cosx·cos (x -π3)=12[cos(2x-π3)+cos π3]=12cos (2x -π3)+14.(1)f (2π3)=12cos (2×2π3-π3)+14=-12+14=-14.(2)∵f(x)<14,即12cos (2x -π3)+14<14,∴cos (2x -π3)<0,于是2kπ+π2<2x-π3<2kπ+3π2,k ∈Z,解得kπ+5π12<x<kπ+11π12,k ∈Z,故使f(x)<14成立的x 的取值集合为(kπ+5π12,kπ+11π12)(k ∈Z).8.解(1)由题意,得|a|=√sin 2B +(1-cosB )2=√2-2cosB ,|b|=2,a·b=2sin B. 由夹角公式,得cos π3=2√2-2cosB,整理得1-cos B-2sin 2B=0, 即2cos 2B-cos B-1=0. 解得cosB=1(舍去)或cosB=-12.又∵0<B<π,∴B=2π3.(2)∵A+B+C=π,∴A+C=π3.∴-π3<A-C<π3.∴-π6<A -C 2<π6.∴sin A+sinC=2sin A+C 2cos A -C 2=2sin π6cosA -C 2=cosA -C 2.∴sin A+sinC 的取值范围是(√32,1].。
数学人教B版必修4课后训练：3.3三角函数的积化和差与
三角函数的积化和差与和差化积练习1．若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝( ) A ．23- B ．13- C ．13 D ．23 2．直角三角形的两个锐角分别为A 和B ，则sin A sin B ( )A ．有最大值12和最小值0 B ．有最大值12，但无最小值 C ．既无最大值，也无最小值D ．有最大值1，但无最小值3．化简2π4π6πcoscos cos 777++的结果为( ) A ．πsin 7B ．1πsin 27C ．12- D ．1πcos 27- 4．已知α－β＝π3，且cos α－cos β＝13，则cos(α＋β)等于( ) A ．13 B ．23 C ．79D ．89 5．如果sin(+)sin()m nαβαβ=-，那么tan tan βα等于( ) A ．m n m n -+ B ．m n m n+- C ．n m m n -+ D ．m n n m +- 6．cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°的值为________．7．若cos 2α－cos 2β＝m ，则sin(α＋β)sin(α－β)＝________.8．若x 为锐角三角形的内角，则函数y ＝πsin 3x ⎛⎫+⎪⎝⎭＋sin x 的值域为________． 9．求2cos10sin20cos20︒-︒︒的值．10．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足A ＋C ＝2B ，11cos cos cos A C B +=-，求cos 2A C -的值．参考答案1．解析：cos(α＋β)cos(α－β)＝12 (cos 2α＋cos 2β) ＝12[(2cos 2α－1)＋(1－2sin 2β)]＝cos 2α－sin 2β， ∵cos(α＋β)cos(α－β)＝13， ∴cos 2α－sin 2β＝13. 答案：C2．解析：因为A ＋B ＝π2，sin A sin B ＝12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12cos(A －B )， 又π2-＜A －B ＜π2，则0＜cos(A －B )≤1， 故0＜12cos(A －B )≤12，即sin A sin B 有最大值12，无最小值． 答案：B3．解析：2π4π6ππcos cos cos sin 7777πsin 7⎛⎫++ ⎪⎝⎭=原式 ＝13ππ5π3π5πsin sin sin sin sin πsin 277777πsin 7⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭ ＝1πsin 127π2sin 7-=-. 答案：C4．解析：由cos α－cos β＝13得 12sin sin 223αβαβ+--=，又α－β＝π3， ∴+1sin 23αβ=-， ∴cos(α＋β)＝1－2 2+sin2αβ＝1－2×213⎛⎫- ⎪⎝⎭＝79. 答案：C5．解析：tan sin cos sin cos =tan cos sin cos sin ββαβααβαβα⋅=＝1[sin(+)sin()]21[sin(+)sin()]2m nm n αββααββα+-+=---.答案：B6．解析：cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°＝cos 20°＋12＋2cos 120°cos 20°＝cos 20°＋12－cos 20°＝12.答案：1 27．解析：sin(α＋β)sin(α－β)＝12-(cos 2α－cos 2β)＝12-[(2cos2α－1)－(2cos2β－1)]＝cos2β－cos2α＝－m.答案：－m8．解析：y＝πsin3x⎛⎫+⎪⎝⎭＋sin x＝2ππsin cos66x⎛⎫+⎪⎝⎭π6x⎛⎫+⎪⎝⎭，由已知得ππ2π663x<+<，所以12＜πsin6x⎛⎫+⎪⎝⎭≤1.所以y∈⎝.答案：⎝9．解：2cos10sin202cos10(1sin10)cos20cos20︒-︒︒-︒=︒︒＝2cos10(sin90sin10)4cos10cos50sin40cos20cos20︒︒-︒︒︒︒=︒︒＝8cos10cos50sin20cos20cos20︒︒︒︒︒＝8cos 10°sin 20°sin 40°＝4(sin 30°＋sin 10°)sin 40°＝2sin 40°＋4sin 40°sin 10°10．解：由题设条件知B＝60°，A＋C＝120°，∴==-，∴11cos cosA C+=-将上式化简为cos A＋cos C＝-cos A cos C，则2cos cos22A C A C+-＝A＋C)＋cos(A－C)]．将cos2A C +＝cos 60°＝12，cos(A ＋C )＝cos 120°＝12-代入上式，得cos 2A C -＝2A －C )． 将cos(A －C )＝22cos 2A C -⎛⎫ ⎪⎝⎭－1代入上式并整理，得22cos 022A C A C --⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即2cos 3022A C A C --⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∵2A C -＋3≠0，∴2cos 02A C -=.∴cos 22A C -=.。
高中数学人教版必修四讲义：第三章 3.3 三角函数的积化和差与和差化积 Word版含答案
三角函数的积化和差与和差化积预习课本P149～151，思考并完成以下问题(1)如何利用两角差(和)的正、余弦公式导出积化和差与和差化积公式？(2)两组公式有何特点？[新知初探]1．三角函数的积化和差cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]，sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．[点睛] 积化和差公式的结构特点(1)同名函数积化为余弦函数的和差；异名函数积化为正弦函数的和差． (2)角的顺序，“α＋β”在前，“α－β”在后． 2．三角函数的和差化积 sin x ＋sin y ＝2sin x ＋y 2cos x －y2，sin x －sin y ＝2cosx ＋y 2sin x －y 2， cos x ＋cos y ＝2cos x ＋y 2cos x －y2，cos x －cos y ＝－2sin x ＋y 2sin x －y2.[点睛] 和差化积公式的特点 (1)同名函数的和或差才可化积． (2)余弦函数的和或差化为同名函数之积． (3)正弦函数的和或差化为异名函数之积．(4)等式左边为单角α和β，等式右边为α－β2与α＋β2的形式．(5)只有余弦函数的差化成积式后的符号为负，其余均为正．[小试身手]1．下列等式错误的是( )A ．sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cos B B ．sin(A ＋B )－sin(A －B )＝2cos A sin BC ．cos(A ＋B )＋cos(A －B )＝2cos A cos BD ．cos(A ＋B )－cos(A －B )＝2cos A cos B 答案：D2．sin 37.5°cos 7.5°等于( ) A.2＋12 B.3＋22 C.2＋14D.3＋24答案：C3．cos 75°cos 15°＝________. 答案：14[典例] 化简：4sin(60°－θ)·sin θ·sin(60°＋θ)． [解] 原式＝2sin θ[2sin(60°－θ)·sin(60°＋θ)] ＝－2sin θ[cos 120°－cos(－2θ)]＝－2sin θ·⎝⎛⎭⎫－12－cos 2θ ＝sin θ＋2sin θ·cos 2θ＝sin θ＋(sin 3θ－sin θ)＝sin 3θ.用和差化积公式化简三角函数式时，若三角函数式中存在三个或三个以上的三角函数可供化积时，应选择两角和或差的一半是特殊角或与其他三角函数有公因式的两个三角函数进行和差化积．[活学活用]求sin 270°＋cos 240°－sin 70°cos 40°的值．解：原式＝1－cos 140°2＋1＋cos 80°2－sin 70°cos 40°＝1＋12(cos 40°＋cos 80°)－sin70°cos 40°＝1＋cos 60°cos 20°－12(sin 110°＋sin 30°)＝1＋12cos 20°－12cos 20°－14＝34.[典例] 在△ABC 中，求证：sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝4sin A sin B sin C . [证明] 左边＝sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝2sin 2A ＋2B 2 cos 2A －2B2＋sin 2C＝2sin(A ＋B )cos(A －B )－2sin(A ＋B )cos(A ＋B ) ＝2sin C [cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝2sin C ·(－2)sin (A －B )＋(A ＋B )2sin (A －B )－(A ＋B )2＝4sin A sin B sin C ＝右边． 所以原等式成立．三角恒等式的证明(1)证明三角恒等式从某种意义上来说，可以看成已知结果的三角函数式的化简与求值． (2)证明三角恒等式总体要求是：通过三角公式进行恒等变形，论证等式左右两边相等，论证过程要清晰、完整、推理严密．(3)证明三角恒等式的基本思想是：化繁为简、左右归一、变更论证等． [活学活用]求证：cos 2x ＋cos 2(x ＋α)－2cos αcos x cos(x ＋α)＝sin 2α. 证明：左边＝1＋cos 2x 2＋1＋cos (2x ＋2α)2－2cos αcos x ·cos(x ＋α)＝1＋12[cos 2x ＋cos(2x ＋2α)]－2cos αcos x cos(x ＋α)＝1＋cos 2x ＋2x ＋2α2cos 2x －2x －2α2－cos α[cos(2x ＋α)＋cos α]＝1＋cos(2x ＋α)cos α－cos αcos(2x ＋α)－cos 2α ＝1－cos 2α＝sin 2α＝右边， ∴原等式成立．层级一 学业水平达标1．cos 15° sin 105°＝( ) A.34＋12 B.34－12 C.32＋1 D.32－1 解析：选A cos 15°sin 105°＝12[sin(15°＋105°)－sin(15°－105°)]＝12[sin 120°－sin(－90°)]＝12×32＋12×1＝34＋12.2．化简cos α－cos 3αsin 3α－sin α的结果为( )A ．tan αB ．tan 2α C.1tan αD.1tan 2α解析：选B 原式＝－2sin 2α·sin (－α)2cos 2α·sin α＝tan 2α.3．函数f (x )＝2sin x2sin ⎝⎛⎭⎫α－x 2的最大值等于( ) A ．2sin 2α2B ．－2sin 2α2C ．2cos 2α2D ．－2cos 2α2解析：选A f (x )＝2sin x2sin ⎝⎛⎭⎫α－x 2＝－[cos α－cos(x －α)] ＝cos(x －α)－cos α. 当cos(x －α)＝1时，f (x )取得最大值1－cos α＝2sin 2α2.4．将cos 2x －sin 2y 化为积的形式，结果是( ) A ．－sin(x ＋y )sin(x －y ) B ．cos(x ＋y )cos(x －y ) C ．sin(x ＋y )cos(x －y ) D ．－cos(x ＋y )sin(x －y )解析：选B cos 2x －sin 2y ＝1＋cos 2x 2－1－cos 2y2＝12(cos 2x ＋cos 2y ) ＝cos(x ＋y )cos(x －y )．5．已知cos 2α－cos 2β＝m ，那么sin(α＋β)·sin(α－β)等于( ) A ．－m B ．m C ．－m 2D.m2解析：选A ∵cos 2α－cos 2β＝m ， ∴sin(α＋β)·sin(α－β)＝－12(cos 2α－cos 2β)＝－12(2cos 2α－1－2cos 2β＋1)＝cos 2β－cos 2α＝－m .6．cos 2α－cos 3α化为积的形式为________．解析：cos 2α－cos 3α＝－2sin 2α＋3α2sin 2α－3α2＝－2sin 5α2sin ⎝⎛⎭⎫－α2＝2sin 5α2sin α2. 答案：2sin 5α2sin α27．sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π4＋β化为和差的结果是________． 解析：原式＝12⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋β＋sin ()α－β ＝12cos(α＋β)＋12sin(α－β)． 答案：12cos(α＋β)＋12sin(α－β)8.sin 35°＋sin 25°cos 35°＋cos 25°＝________.解析：原式＝2sin 35°＋25°2cos35°－25°22cos 35°＋25°2cos35°－25°2＝cos 5°3cos 5°＝33.答案：339．求下列各式的值： (1)sin 54°－sin 18°；(2)cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°. 解：(1)sin 54°－sin 18°＝2cos 36°sin 18° ＝2·2sin 18°cos 18°cos 36°2cos 18°＝2sin 36°cos 36°2cos 18°＝sin 72°2cos 18°＝cos 18°2cos 18°＝12.(2)cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73° ＝2cos 120°cos 26°＋2×12(cos 120°＋cos 26°)＝2×⎝⎛⎭⎫－12×cos 26°＋⎝⎛⎭⎫－12＋cos 26° ＝－cos 26°＋⎝⎛⎭⎫－12＋cos 26°＝－12. 10．求证：1＋cos α＋cos 2α＋cos 3α2cos 2α＋cos α－1＝2cos α.证明：因为左边＝(1＋cos 2α)＋(cos α＋cos 3α)(2cos 2α－1)＋cos α ＝2cos 2α＋2cos 2αcos αcos 2α＋cos α＝2cos α(cos α＋cos 2α)cos α＋cos 2α＝2cos α＝右边，所以原等式成立．层级二 应试能力达标1．sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°的值是( )A.14 B.32 C.12D.34解析：选A 原式＝12[sin 90°＋sin(－50°)]－12[cos 60°－cos(－40°)]＝12－12sin 50°－14＋12cos 40°＝14.2．函数y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π12＋sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12－1是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数解析：选C ∵y ＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π62＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π62－1＝12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝－sin 2x sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝12sin 2x ， ∴此函数是最小正周期为π的奇函数．3．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β的值为( )A ．－23B ．－13C.23D.13解析：选D cos(α＋β)cos(α－β)＝12(cos 2α＋cos 2β)＝12[(2cos 2α－1)＋(1－2sin 2β)]＝cos 2α－sin 2β＝13.4．若A ＋B ＝2π3，则cos 2A ＋cos 2B 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，12B.⎣⎡⎦⎤12，1C.⎣⎡⎦⎤12，32D ．[0,1]解析：选C ∵A ＋B ＝2π3，∴B ＝2π3－A ，∴cos 2A ＋cos 2B ＝1＋cos 2A 2＋1＋cos 2B2＝1＋12(cos 2A ＋cos 2B )＝1＋cos 2π3cos(A －B )＝－12cos ⎝⎛⎭⎫2A －2π3＋1， ∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2A －2π3≤1， ∴12≤－12cos ⎝⎛⎭⎫2A －2π3＋1≤32. 5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2的最小正周期T ＝________. 解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3cos x ＝12⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin π3 ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋34， ∴T ＝2π2＝π.答案：π6．cos 40°＋cos 60°＋cos 80°＋cos 160°＝________.解析：cos 60°＋cos 80°＋cos 40°＋cos 160°＝12＋cos 80°＋2cos 100°cos 60°＝12＋cos 80°－cos 80°＝12.答案：127．已知f (x )＝cos 2(x ＋θ)－2cos θcos x cos(x ＋θ)＋cos 2θ，求f (x )的最大值、最小值和最小正周期．解：∵f (x )＝cos 2(x ＋θ)－2×12[cos(x ＋θ)＋cos(x －θ)]cos(x ＋θ)＋cos 2θ＝cos 2(x ＋θ)－cos 2(x ＋θ)－cos(x －θ)·cos(x ＋θ)＋cos 2θ ＝cos 2θ－12(cos 2θ＋cos 2x )＝1＋cos 2θ2－12cos 2θ－12cos 2x＝－12cos 2x ＋12，∴f (x )的最大值为1，最小值为0，最小正周期为π.8．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足：(1)A ＋C ＝2B ；(2)1cos A ＋1cos C ＝－2cos B .求cos A －C2的值．解：∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°，A ＋C ＝120°. ∵－2cos 60°＝－22，∴1cos A ＋1cos C＝－22， ∴cos A ＋cos C ＝－22cos A cos C . 由和差化积与积化和差公式，得2cos A ＋C 2cos A －C 2＝－2[cos(A ＋C )＋cos(A －C )]，∴cos A －C 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2cos 2A －C 2－1. 化简，得42cos 2A －C 2＋2cos A －C 2－32＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos A －C 2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos A －C 2＋3＝0.∵22cos A －C2＋3≠0，∴2cos A －C 2－2＝0，∴cos A －C 2＝22.(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝2cos 2x2＋1的最小正周期是( )A ．4πB ．2πC ．πD.π2解析：选B ∵y ＝2cos 2x2＋1＝⎝⎛⎭⎫2cos 2x 2－1＋2 ＝cos x ＋2，∴函数的最小正周期T ＝2π. 2．若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6解析：选Dsin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6.3．已知α是第二象限角，且cos α＝－35，则cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值是( ) A.210B ．－210 C.7210D ．－7210解析：选A 由题意，sin α＝45，所以cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝210. 4．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为( ) A ．[－2,2] B.[]－3，3 C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－32，32 解析：选B f (x )＝sin x －⎝⎛⎭⎫cos x cos π6－sin x sin π6 ＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， ∵x ∈R ，∴x －π6∈R ，∴f (x )∈[]－3，3.5．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A.118 B ．－118 C.1718D ．－1718解析：选D cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α，代入原式，得6sin ⎝⎛⎭⎫π4－α·cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α.∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16，∴sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝－1718. 6．若α∈(0，π)，且cos α＋sin α＝－13，则cos 2α＝( )A.179B ．－1710C ．－179D ．1710解析：选A 因为cos α＋sin α＝－13，α∈(0，π)，所以sin 2α＝－89，cos α<0，且α∈⎝⎛⎭⎫3π4，π， 所以2α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，所以cos 2α＝1－sin 22α＝179. 7．化简：cos 20°1－cos 40°cos 50°的值为( )A.12B.22C. 2D ．2解析：选B 依题意得cos 20°1－cos 40°cos 50°＝cos 20°2sin 220°cos 50°＝2sin 20°cos 20°cos 50°＝22sin 40°cos 50°＝22sin 40°sin 40°＝22.8．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝45，且β是第三象限角，则cos β2的值等于( )A ．±55B ．±255C ．－55D ．－255解析：选A 由已知，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝45，故sin β＝－45.∵β在第三象限，∴cos β＝－35.∴cos β2＝±1＋cos β2＝±15＝±55. 9．化简：tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：选D tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1. 10．在△ABC 中，已知tan A ＋B2＝sin C ，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C 在△ABC 中，tan A ＋B 2＝sin C ＝sin(A ＋B )＝2sin A ＋B 2cos A ＋B 2，∴2cos 2A ＋B2＝1，∴cos(A ＋B )＝0，从而A ＋B ＝π2，即△ABC 为直角三角形．11．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，若a 与b 的夹角为π3，则cos(α－β)的值为( )A.22 B ．12C.32D ．－12解析：选B 因为a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，所以|a |＝|b |＝1.又a 与b 的夹角为π3，所以a ·b ＝1×1×cos π3＝12.又a ·b ＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)＝cos αcos β＋sin αsinβ＝cos(α－β)，所以cos(α－β)＝12.12．已知0<β<α<π2，点P (1,43)为角α的终边上一点，且sin αsin ⎝⎛⎭⎫π2－β＋cos αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＝3314，则角β＝( ) A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选D ∵P (1,43)，∴|OP |＝7， ∴sin α＝437，cos α＝17.又sin αcos β－cos αsin β＝3314，∴sin(α－β)＝3314.∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，∴cos(α－β)＝1314，∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32. ∵0<β<π2，∴β＝π3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．设向量a ＝⎝⎛⎭⎫32，sin θ，b ＝⎝⎛⎭⎫cos θ，13，其中θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若a ∥b ，则θ＝________. 解析：若a ∥b ，则sin θcos θ＝12，即2sin θcos θ＝1，∴sin 2θ＝1，又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴θ＝π4. 答案：π414．若tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝3＋22，则1－cos 2αsin 2α＝________. 解析：由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝3＋22，得tan α＝22，∴1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α＝tan α＝22. 答案：2215.3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________.解析：原式＝3· sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12°＝23⎝⎛⎭⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin (－48°)2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3.答案：－4 316．若sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝－14，则cos 4x ＝________. 解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋x －3π4＝ －cos ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝14，∴1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π22＝14， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－12，即sin 2x ＝－12， ∴cos 4x ＝1－2sin 22x ＝12.答案：12三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知π6＜α＜π2，且cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1517，求cos α，sin α的值． 解：因为π6＜α＜π2，所以0＜α－π6＜π3.因为cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1517， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝817. 所以sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6 ＝83＋1534，cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6－sin ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6＝153－834. 18．(本小题满分12分)已知0<α<π2，sin α＝45.(1)求sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α的值；(2)求tan ⎝⎛⎭⎫α－5π4的值． 解：(1)由0<α<π2，sin α＝45，得cos α＝35，∴sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α＝sin 2α＋2sin αcos α3cos 2α－1 ＝⎝⎛⎭⎫452＋2×45×353×⎝⎛⎭⎫352－1＝20.(2)∵tan α＝sin αcos α＝43，∴tan ⎝⎛⎭⎫α－5π4＝tan α－11＋tan α＝43－11＋43＝17.19．(本小题满分12分)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． 解：(1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1. 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，从而sin x ＝12， 所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， 当x ＝π3∈⎣⎡⎦⎤0，π2时， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6取f (x )的最大值为1， 所以f (x )的最大值为32.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋4π3＋1. (1)求f ⎝⎛⎭⎫π12的值．(2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)因为f (x )＝2cos 2x ＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋4π3＋1 ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3cos 2π3＋1＝－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＋1 ＝－2cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1， 所以f ⎝⎛⎭⎫π12＝2sin π3＋1＝3＋1. (2)由(1)，知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1， 令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6 (k ∈Z)．令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z)，解得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3 (k ∈Z)．21．(本小题满分12分)已知cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－277，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝12且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2.求：(1)cos α＋β2； (2)tan(α＋β)．解：(1)∵π2<α<π，0<β<π2， ∴π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝217， cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝32. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－277×32＋217×12＝－2114. (2)∵π4<α＋β2<3π4， ∴sin α＋β2＝ 1－cos 2α＋β2＝5714. ∴tan α＋β2＝sin α＋β2cos α＋β2＝－533. ∴tan(α＋β)＝2tan α＋β21－tan 2α＋β2＝5311. 22．(本小题满分12分)已知向量OA uuu r ＝(cos α，sin α)，α∈[－π，0]，向量m ＝(2,1)，n＝(0，－5)，且m ⊥(OA uuu r －n )．(1)求向量OA uuu r ；(2)若cos(β－π)＝210，0<β<π，求cos(2α－β)的值． 解：(1)∵OA uuu r ＝(cos α，sin α)，∴OA uuu r －n ＝(cos α，sin α＋5)．∵m ⊥(OA uuu r －n )，∴m ·(OA uuu r －n )＝0，∴2cos α＋sin α＋5＝0.①又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得sin α＝－55，cos α＝－255， ∴OA uuu r ＝⎝⎛⎭⎫－255，－55. (2)∵cos(β－π)＝210， ∴cos β＝－210. 又0<β<π，∴sin β＝1－cos 2β＝7210. 又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－55×⎝⎛⎭⎫－255＝45，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×45－1＝35， ∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β ＝35×⎝⎛⎭⎫－210＋45×7210＝25250＝22.。
和差化积,积化和差公式
和差化积,积化和差公式一、引言在数学中，和差化积和积化和差是一类常用的公式，它们在代数运算中发挥着重要的作用。
本文将详细介绍和差化积和积化和差公式的定义、应用以及相关的例题，帮助读者更好地理解和掌握这一内容。
二、和差化积公式和差化积是将两个数的和或差转化为它们的乘积的方法。
其公式如下：1.两个数的和化为积：当两个数a和b相加得到c时，我们可以通过以下公式将其转化为积的形式：$c=a+b$则有：$a+b=(a+b)^2-b^2=a^2+2ab+b^2-b^2=a^2+2ab$2.两个数的差化为积：当两个数a和b相减得到c时，我们可以通过以下公式将其转化为积的形式：$c=a-b$则有：$a-b=(a-b)^2-a^2=a^2-2ab+b^2-a^2=-2a b+b^2$三、积化和差公式积化和差是将两个数的乘积转化为它们的和或差的方法。
其公式如下：1.两个数的积化为和：当两个数a和b相乘得到c时，我们可以通过以下公式将其转化为和的形式：$c=a b$则有：$a b=\f ra c{1}{4}[(a+b)^2-(a-b)^2]$2.两个数的积化为差：当两个数a和b相乘得到c时，我们可以通过以下公式将其转化为差的形式：$c=a b$则有：$a b=\f ra c{1}{4}[(a+b)^2-(b-a)^2]$四、应用举例下面通过几个实例来说明和差化积和积化和差公式的具体应用。
例题1将下面的式子用和差化积公式化简：$(a+b)^2-(a-b)^2$解答：根据和差化积公式，我们有：$(a+b)^2-(a-b)^2=(a^2+2a b+b^2)-(a^2-2a b+b^2)=4ab$因此，原式化简后为$4ab$。
例题2将下面的式子用积化和差公式化简：$12a b$解答：根据积化和差公式，我们有：$12a b=\f ra c{1}{4}[(12a+12b)^2-(12a-12b)^2]=\f ra c{1}{4}(144a^2+288ab+144b^2-144a^2+288ab-144b^2)=72ab$因此，原式化简后为$72a b$。
和差化积、积化和差与万能公式的应用+课件-2025届高三数学一轮复习
因为 ∈ , ， ∈ (， )， > ，
而 = = − < ，舍去.取 = .
=
=− .
−
二
积化和差公式的应用
[例2] （1）计算sin 20∘ cos 70∘ + sin 10∘ sin 50∘ 的值是(
.
1
，sin2x
2
+ sin2y =
2
，则sin
3
，
因为 + = ，所以
[ + + − ] + [ + − − ] =
所以 + − =
所以 +
×
所以 + =
+
−
可得
= ②.
+
①
可得 +
②
= ，
−
从而
−
+
=
−
−
+
−
+
=
− +
=
− .
−
=____.
和差化积、积化和差
与万能公式的应用
一、三角函数中的积化和差与和差化积公式为：
二、万能公式：
α
sin α =
2tan 2
， cos α =
积化和差与和差化积] · [基础] · [习题训练]
![积化和差与和差化积] · [基础] · [习题训练]](https://img.taocdn.com/s3/m/a9969b89fd0a79563c1e7282.png)
积化和差与和差化积一、选择题（共12小题；共60分）1. 计算的结果为A. B. C. D.2.A. B.C. D.3. 等于A. B. C. D.4. 函数的最大值是A. B. C. D.5. 化为和差的结果是A. B.C. D.6. 已知，则A. B. C. D.7. 若函数，，则的最大值为A. B. C. D.8. 函数的最小正周期是A. B. C. D.9. 下列函数中周期为的函数是A. B.C. D.10. 的值是A. B. C. D.11. 等于A. B. C. D.12. 已知，且，则A. B. C. D.二、填空题（共5小题；共25分）13. ，．14. 函数的最小正周期是．15. 已知，是函数在内的两个零点，则．16. 已知，则，．17. ．三、解答题（共5小题；共65分）18. 设函数，其中向量，．若且，求．19. 已知，求的值．20. 已知．（1）求的值；（2）求的值．21. 计算的值．22. 已知函数（其中，）的最大值为，直线，是图象的任意两条对称轴，且的最小值为．（1）求，的值；（2）若，求的值．答案第一部分1. D2. D3. D 【解析】．4. B5. B6. D 【解析】因为．7. B8. C9. C10. A【解析】，.两式相加得：.原式11. A 【解析】12. C 【解析】由得，因为，所以，所以，所以．第二部分13. ，14.【解析】化简原式得，故周期．15.【解析】，是函数在内的两个零点，可得，即为，即有，由，可得，可得，由，可得，由，即有．16. ，【解析】因为，，所以，．17.原式【解析】第三部分18. ．由题意得，所以．因为，所以，所以，解得．19.20. （1）（2）原式21.22. （1）因为．所以．因为．所以．所以．又因为．所以．所以．（2）因为，所以．又因为，所以．。
积化和差与和差化积] · [提高] · [知识点+典型例题]
![积化和差与和差化积] · [提高] · [知识点+典型例题]](https://img.taocdn.com/s3/m/e2ae435367ec102de3bd895d.png)
积化和差与和差化积知识讲解一、三角恒等变换的公式1.两角和与差的三角函数公式：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=± cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=2.倍角公式sin 22sin cos ααα=；2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=-3sin 33sin 4sin ααα=-；3cos34cos 3cos ααα=-；323tan tan tan 313tan αααα-=- 3. 半角公式sin2α=cos 2α=1cos sin tan2sin 1cos ααααα-===+ 4.万能公式22tan2sin 1tan 2ααα=+；221tan 2cos 1tan 2ααα-=+；22tan2tan 1tan 2ααα=-5.积化和差公式1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--；1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-；1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--6.和差化积公式sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=；sin sin 2cossin22αβαβαβ+--=；cos cos 2cos cos 22αβαβαβ+-+=；cos cos 2sinsin 22αβαβαβ+--=- 二、公式的推导推导过程：sin()sin[()]sin cos()cos sin()αβαβαβαβ-=+-=-+-sin cos cos sin αβαβ=-cos()sin[()]sin[()()]22ππαβαβαβ+=-+=-+-sin()cos()cos()sin()cos cos sin sin()22ππαβαβαβαβ=--+--=+- cos cos sin sin αβαβ=-cos()sin[()]sin[()]22ππαβαβαβ-=--=-+ sin()cos cos()sin cos cos sin sin 22ππαβαβαβαβ=-+-=+ sin()sin cos cos sin tan()cos()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-两边同时除以cos cos αβ可得tan()αβ+=tan tan 1tan tan αβαβ+-tan tan()tan tan tan()tan[()]1tan tan()1tan tan a αβαβαββαβαβ+---=+-==--+然后把上面各式中的β代换为α，则可得到二倍角公式 sin 2sin()sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+= 22cos 2cos()cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=⋅-⋅=-再利用22sin cos 1αα+=，可得：2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==-⋅-sin 2tan2cos2ααα===sin 2sinsin1cos 222tan2sin cos 2sin cos 222ααααααααα-=== sin 2cossinsin 222tan21cos cos2cos cos222ααααααααα===+ 【说明】这里没有考虑cossin022αα==，实际处理题目的时候需要把等于０的情况分出来单独讨论一下．三、主要方法1.倍角、半角、和差化积、积化和差等公式的运用1）并项功能：2）升次功能3）降次功能4）一个重要的构造令（）2221sin 2sin cos 2sin cos (sin cos )ααααααα±=+±=±2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==22sin cos cos )ba b a b αααα+=++sin β=cos β=cos cos sin )αβαβ+sin β=可知：sin cos a b αα+2.三角变换中常用的数学思想方法技巧有：1）角的变换：和、差、倍、半、互余、互补的相对性，有效沟通条件与结论中角的差异， 比如：3015453060452︒︒=︒-︒=︒-︒=, ()()22αααββαββ=-+=+-=⋅()()()()ππ2()()44ααβαβαββααα=++-=+--=+--()()222βαβαβαααβα⎛⎫-=-+=-=-- ⎪⎝⎭ππππππ244362αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π3ππ2ππ5ππ443366αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2）函数名称的变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数，在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名；有时可以使用万能公式将所有函数名化为正切； 3）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如：2222ππππ1sin cos sec tan sintan 2sin 2464αααα=+=-===； 4）幂的变换：降幂是三角变换时常用的方法 常用的降幂公式有：21cos2cos 2αα+=，21cos2sin 2αα-=但降幂并非绝对，有时也需要对某些式子进行升幂处理比如：221cos22cos ,1cos22sin αααα+=-=；21sin 2(sin cos )ααα±=±；5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用， 例如：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±⋅⋅； 6）辅助角公式的运用：在求值问题中，要注意辅助角公式() sin cos y a b αααϕ=+=+的应用，其中tan b aϕ=，ϕ所在的象限由,a b 的符号确定．典型例题一．选择题（共10小题）1．（2013•市中区校级一模）若、，，且tanα＜cotβ，那么必有（）A．＞B．＜C．α＞βD．α＜β【解答】解：∵α、β∈（，π），∴﹣π＜﹣β＜﹣，＜﹣β＜π，又cotβ=tan（﹣β）=tan（﹣β），tanα＜cotβ，∴tanα＜tan（﹣β），α、﹣β∈（，π），又y=tanx在（，π）上单调递增，∴α＜﹣β，即α+β＜．故选：B．2．（2016秋•重庆期末）已知α∈[，]，β∈[﹣，0]，且（α﹣）3﹣sinα﹣2=0，8β3+2cos2β+1=0，则sin（+β）的值为（）A．0 B．C．D．1【解答】解：∵（α﹣）3﹣sinα﹣2=0，可得：（α﹣）3﹣cos（）﹣2=0，即（﹣α）3+cos（）+2=0由8β3+2cos2β+1=0，得（2β）3+cos2β+2=0，∴可得f（x）=x3+cosx+2=0，其，x2=2β．∵α∈[，]，β∈[﹣，0]，∴∈[﹣π，0]，2β∈[﹣π，0]可知函数f（x）在x∈[﹣π，0]是单调增函数，方程x3+cosx+2=0只有一个解，可得，即，∴，那么sin（+β）=sin=．故选：B．3．（2016•池州二模）已知sin（π+α）=，则sin（+2α）=（）A．B．﹣C．﹣D．【解答】解：∵sin（π+α）=﹣sinα=，∴sinα=﹣，则原式=cos2α=1﹣2sin2α=﹣，故选：B．4．（2015春•上饶期末）已知函数f（x）=sin（+x）cos（﹣x），给出下列四个说法：①若x1=﹣x2，则f（x1）=﹣f（x2）；②f（x）的最小正周期是2π；③f（x）在区间[﹣，]上是增函数；④f（x）的图象关于直线x=对称．其中正确说法的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：f（x）=sin（+x）cos（﹣x）=cosxsinx=sin2x，因为它是奇函数，f（x1）=f（﹣x2）=﹣f（x2），所以①正确；∵f（x）的最小正周期是T=，②不正确；③利于2k≤2x≤2k，k∈Z可解得函数在区间[﹣，]上是增函数；正确；④当x=时f（x）取得了最小值，故x=是对称轴，所以正确．故选：B．5．（2018•珠海一模）函数f（x）=asinωx+bcosωx=Asin（ωx+φ），，＞，＞，＜的一个对称中心为，，且f'（x）的一条对称轴为，当ω取得最小值时，=（）A．1 B．C．D．【解答】解：由f（x）=asinωx+bcosωx==Asin（ωx+φ），可得A=，tanφ=，∵f（x）的一个对称中心为，，∴φ=k1π，k1∈Z，①f′（x）=ωAcos（ωx+φ），∴f′（x）的一条对称轴为，∴φ=k2π，k2∈Z，②∵|φ|＜，ω＞0，由①得，φ=，由②得，φ=，则，可得ω=2（k2﹣k1），则ω的最小值为2．∴φ=．此时=φcosφ=．故选：C．6．（2018春•龙岩期中）已知＜＜，，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵已知＜＜，，∴sin（θ+）==，设α=θ+，则θ=α﹣，且cosα=，sinα=，则tanα==，则tan2α====，则=tan[2（α﹣）+]=tan（2α﹣）====，故选：C．7．（2016春•朔州校级期末）已知α为锐角，且cos（α+）=，则sin2α的值为（）A． B． C． D．【解答】解：【方法一】α为锐角，且cos（α+）=，∴sin（α+）=，∴cos（α+）=cos（α++）=×﹣×=，∴sin2α=﹣cos2（α+）=1﹣2×=．【方法二】α为锐角，且cos（α+）=，∴sin（α+）=，∴sin（2α+）=2sin（α+）cos（α+）=2××=，∴cos（2α+）=2cos2（α+）﹣1=2×﹣1=﹣；∴sin2α=sin[（2α+）﹣]=sin（2α+）cos﹣cos（2α+）sin=×﹣（﹣）×=．故选：D．8．（2015春•洛阳期末）若sinθ+cosθ=，则cos（2θ+）=（）A．B．﹣C．﹣D．【解答】解：∵sinθ+cosθ=，平方可得1+2sinθcosθ=，∴sin2θ=2sinθcosθ=﹣，则cos（2θ+）=﹣sin2θ=，故选：A．9．（2016•湖北模拟）若α∈（0，π），且sinα+2cosα=2，则tan等于（）A．3 B．2 C．D．【解答】解：∵α∈（0，π），∴∈（0，），设tan=x，x＞0，∵sinα==，cosα==，∴sinα+2cosα=+2•==2，即x+1﹣x2=1+x2，即x（2x﹣1）=0，解得x=故选：C．10．（2013秋•吉安期末）已知θ为第二象限角，25sin2θ+sinθ﹣24=0，则sin的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，则2kπ＜θ＜2kπ+π，k∈Z，则kπ＜＜kπ+，k∈Z，当k是偶数，设k=2n，则2nπ＜＜2nπ+，n∈Z，此时为第一象限，当k是奇数，设k=2n+1，则2nπ+π＜＜2nπ+，n∈Z，此时为第三象限，则为第一或第三象限，∵25sin2θ+sinθ﹣24=0，∴sinθ=﹣1（舍去）或，∴cos，∴sin==±=，故选：D．二．填空题（共10小题）11．（2014秋•雁峰区校级期末）已知，则=．【解答】解：∵，故答案为．12．（2013秋•桥东区校级月考）化简：sin（﹣α﹣5π）•cos（）=sin2α．【解答】解：原式=sin（﹣α﹣π）•cos（）=sin α•sin α=sin2α．故答案为：sin2α．13．（2017秋•潮南区期末）已知tan（3π+α）=2，则=2．【解答】解：由tan（3π+α）=2，可得tanα=2，则== ===2，故答案为：2．14．（2018•榆林二模）若，是第二象限的角，则= 10．【解答】解：，是第二象限的角，tan，cosα==则====10．故答案为：10．15．（2018•双流区模拟）已知sin（α﹣）=，α∈（0，π），则tanα=﹣．【解答】解：∵sin（）=，α∈（0，π），∴∈（﹣，），∴cos（）==，∴sinα=sin[（）+]=sin（）cos+cos（）sin==，cosα=cos[（）+]=cos（）cos﹣sin（）sin==，tanα===﹣．故答案为：﹣．16．（2017秋•诸暨市校级月考）计算：=．【解答】解：===tan（45°﹣15°）=tan30°=，答案：．17．（2018•城关区校级模拟）若α∈（0，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为1，或﹣．【解答】解：∵α∈（0，π），且3cos2α=sin（﹣α），∴3cos2α﹣3sin2α=cosα﹣sinα，∴cosα﹣sinα=0，或3（cosα+sinα）=．若cosα﹣sinα=0，则α=，sin2α=1；若3（cosα+sinα）=，平方求得sin2α=﹣，故答案为：1，或﹣．18．（2017秋•黄陵县校级期末）2sin222.5°﹣1=﹣．【解答】解：根据题意，原式=2sin222.5°﹣1=﹣（1﹣2sin222.5°）=﹣cos45°=﹣，故答案为：﹣．19．（2012•天宁区校级模拟）已知奇函数＞，＜＜的最小正周期为π，那么f（x）在（0，π）上的增区间是，．【解答】解：函数可化为=2cos（ωx+φ）∵函数的最小正周期为π∴ω=2∵函数为奇函数∴f（0）=0∴2cosφ=0∵0＜φ＜π∴φ=∴f（x）=﹣2sin2x由+2kπ≤2x≤+2kπ，可得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z∴f（x）在（0，π）上的增区间是，故答案为：，20．（2016春•云南校级月考）已知sinα=，且α为锐角，则cos=．【解答】解：∵sinα=，且α为锐角，∴＜＜，∴1＞＞，∴=，=1，解得cos=．故答案为：．三．解答题（共20小题）21．（2016秋•南岗区校级期末）化简；（1）（2）cos20°+cos160°+sin1866°﹣sin（﹣606°）【解答】解：（1）原式==﹣1；（2）原式=cos20°﹣cos20°+sin（5×360°+66°）﹣sin（﹣2×360°+114°）=sin66°﹣sin114°=sin66°﹣sin（180°﹣66°）=sin66°﹣sin66°=0．22．（2016春•平顶山校级月考）判函数f（x）=lg（sinx+）的奇偶性．【解答】解：∵＞|sinx|，∴sinx+＞0，即函数的定义域为（﹣∞，+∞），则f（﹣x）=lg（﹣sinx+）=lg=﹣lg（sinx+）=﹣f（x），即函数f（x）是奇函数．23．（2016春•浦东新区期末）已知0＜α＜，sinα=（1）求的值；（2）求tan（α﹣）的值．【解答】解：（1）∵0＜a＜，sinα=，∴=．∴===20；（2）由（1）可知：．∴tan（α﹣）===．24．（2014秋•吉林期末）已知α是第三象限角，且f（α）=．（2）若tan（π﹣α）=﹣2，求f（α）的值；（3）若α=﹣420°，求f（α）的值．【解答】解：（1）f（α）===﹣cosα．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）∵tan（π﹣α）=﹣2，∴tanα=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∵α是第三象限角，∴，∴f（α）=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（3）∵，∴f（α）=﹣cosα=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）25．（2013秋•缙云县校级期末）已知sin（π+α）=2cos（π﹣α），计算：（1）（2）sin2α+sinαcosα﹣2cos2α【解答】解：∵sin（π+α）=2cos（π﹣α），∴﹣sinα=﹣2cosα，∴tanα=2．（1）原式===．（2）原式===．26．（2017秋•峨山县校级期末）已知α为第三象限角，（2）若，求f（α）的值．【解答】解：（1）∵α为第三象限角，==﹣cosα．（2）∵，∴﹣sinα=，解得：sinα=﹣，可得：cosα=﹣=﹣．∴f（α）=﹣cosα=．27．（2018春•福建期中）已知f（α）=（1）化简f（α）；（2）若f（α）=，且＜＜，求sinα+cosα的值；（3）若，求f（α）的值．【解答】解：（1）f（α）====sinαcosα﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（（4分））（2）f（α）=，可得sinαcosα=，（sinα+cosα）2=1+=，且＜＜，sinα＜0，cosα＜0，所以sinα+cosα＜0，∴sinα+cosα=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（3），sin（﹣）cos（﹣）=﹣sin cos=﹣sin cos=﹣sin=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）28．（2018春•兴庆区校级期中）已知α∈（，），且sin（π﹣α）+cos（2π+α）=．求值：（1）sinα﹣cosα．（2）tanα．【解答】解：∵已知α∈（，），且sin（π﹣α）+cos（2π+α）=，即sinα+cosα=，平方可得1+2sinαcosα=，即2sinαcosα=﹣．∴sinα﹣cosα===．（2）∵sinα+cosα=，sinα﹣cosα=，∴sinα=，cosα=，∴tanα===﹣．29．（2017秋•华安县期末）已知f（α）=．（1）化简f（α）；（2）若α是第三象限角，且cos（α﹣）=，求f（α）的值．【解答】解：（1）原式==﹣cosα；（2）∵cos（α﹣）=﹣sinα，∴sinα=﹣，又α是第三象限角，∴cosα=﹣=﹣=﹣，∴f（α）=﹣cosα=．30．（2018•商丘二模）在△ABC中，内角A，B，C所对一对的边分别为a，b，c，若sin（A+C）=2sinAcos（A+B），且C=．（Ⅰ）求证：a，b，2a成等比数列；（Ⅱ）若△ABC的面积是2，求c边的长．【解答】（1）证明：∵A+B+C=π，sin（A+C）=2sinAcos（A+C），∴sinB=﹣2sinAcosC，在△ABC中，由正弦定理得，b=﹣2acosC，∵，∴b=a，则b2=2a2=a•2a，∴a，b，2a成等比数列；（2）解：S=absinC=ab=2，则ab=，由（1）知，b=，联立两式解得a=2，b=2，由余弦定理得，×．∴c=．31．（2018春•绿园区校级月考）已知函数f（x）=2sin sin（x+）cos（x+）﹣sin cos（2x+）．（1）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）若函数f（x）（x＞0）的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，所得的图象与直线y=交点的横坐标由小到大依次是x1，x2，…，x n，求数列{x n}的前200项的和．【解答】解：f（x）=sin（2x+）﹣cos（2x+）=sin（2x+﹣）=sin2x，（1）T==π，当2kπ+≤2x≤2kπ+时，kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数的单调减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）．（2）函数f（x）（x＞0）的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得函数图象的解析式为y=sinx，由正弦函数的对称性可知，=，=2π+，…=198π+，∴x1+x2+x3+…+x200=π+5π+9π+…+（4×100﹣3）π==19900π．32．（2018春•沂水县期中）已知角α终边上一点P（﹣1，m）（α是第三象限角），且sin．求下列各式的值（1）；（2）．【解答】解：（1）∵角α终边上一点P（﹣1，m），∴|OP|==，又∵sin=，∴m=±2，又∵α是第三象限角，∴m=﹣2，∴tanα=2．∵===．（2）=+=+=+．33．（2018春•曲阜市校级期中）已知A，B，C的坐标分别为A（0，0），B（﹣1，1），C（cosα，sinα），α∈（0，π）．（Ⅰ）若A，B，C三点共线，求角α的值；（Ⅱ）若D（s，t），且四边形ABCD为平行四边形，求s•t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵A，B，C的坐标分别为A（0，0），B（﹣1，1），C（cosα，sinα），α∈（0，π），A，B，C三点共线，∴∥，=（﹣1，1），=（cosα，sinα），∴cosα+sinα=0，tanα=﹣1，∴α=．（Ⅱ）∵D（s，t），且四边形ABCD为平行四边形，∴=，而=（cosα﹣s，sinα﹣t），∴cosα﹣s=﹣1，sinα﹣t=1，∴s=cosα+1，t=sinα﹣1，∴st=（cosα+1）•（sinα﹣1）=sinα•cosα+sinα﹣cosα﹣1，令x=sinα﹣cosα=sin（α﹣），∵α∈（0，π），∴α﹣∈（﹣，），∴sin（α﹣）∈（﹣，1]，∴x∈（﹣1，]．∴x2=1﹣2sinα•cosα，即sinα•cosα=，∴st=﹣x2+x﹣=﹣•（x﹣1）2，它是一条开口向下，对称轴为x=1的抛物线，﹣（﹣1﹣1）2＜st≤﹣（1﹣1）2，即﹣2＜s•t≤0，即st的范围为（﹣2，0]．34．（2017春•金城江区校级月考）已知，，．（I）求sin2α的值；（II）求的值．【解答】解：（I），则，又∵，，∴，，∴．所以．（II）由（I）知，又，，所以，所以．35．（2017春•泉山区校级期中）设直线3x﹣4y+5=0的倾斜角为α．（1）求tan2α的值；（2）求的值．【解答】解：（1）直线3x﹣4y+5=0的倾斜角为α，可得tanα=，α是锐角．可得：tan2α==．（2）∵tanα==，α是锐角，又∵sin2α+cos2α=1，∴解得sinα=．cos，∴=+=．36．（2017春•肃南裕县校级期末）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+2sin2﹣1（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为．（1）当x∈（﹣，）时，求f（x）的单调递减区间；（2）将函数y=f（x）的图象沿x轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象．当x∈[﹣，]时，求函数g（x）的值域．【解答】解：（1）f（x）=sin（ωx+φ）+2sin2﹣1=sin（ωx+φ）﹣cos （ωx+φ）=2sin（ωx+φ﹣）∵函数是奇函数，0＜φ＜π∴φ=，∴f（x）=2sinωx，∵相邻两对称轴间的距离为，∴=π，∴ω=2，∴f（x）=2sin2x，∵x∈（﹣，），∴2x∈（﹣π，），∴f（x）的单调递减区间为（﹣，﹣）；（2）将函数y=f（x）的图象沿x轴方向向右平移个单位长度，可得函数y=2sin2（x﹣）=2sin（2x﹣）的图象；再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数g（x）=2sin（4x﹣）的图象．当x∈[﹣，]时，4x﹣∈[﹣π，]，﹣1≤sin（4x﹣）≤∴函数g（x）的值域为[﹣2，]．37．（2017春•务川县校级期中）已知函数f（x）=cos2x+sinxcosx+1，x∈R．（1）求证f（x）的小正周期和最值；（2）求这个函数的单调递增区间．【解答】解；（1）=cos2x+sin2x+=sin（2x+）+函数的周期T==π∵﹣1≤sin（2x+）≤1∴≤sin（2x+）+≤即≤f（x）≤（2）当﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ⇒x∈[﹣+kπ，+kπ]为函数的单调增区间．38．（2015•安徽模拟）已知向量=（sinx，sinx），=（cosx，﹣sinx），且f（x）=2•+2．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并求出此时的x的取值；（Ⅱ）函数f（x）图象与y轴的交点、y轴右侧第一个最低点、与x轴的第二个交点分别记为P，Q，R，求•的值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2•+2=2sinxcosx，﹣2sinx•sinx+2=sin2x+2•=2sin（2x+）+1，故当2x+=2kπ+，k∈z时，即x=kπ+（k∈z）时，f（x）取得最大值为3．（Ⅱ）由f（0）=2，知P（0，2）．由2x+=2kπ+，得x=kπ+（k∈z），此时f（x）=﹣1，则Q（，﹣1）．而由2x+=2kπ﹣，得x=kπ﹣（k∈z），故R（，0），从而=（﹣，3），=（，1），因此=﹣+3×1=3﹣．39．（2014•湖北校级二模）已知函数f（x）=2sinx•cos2+cosx•sinθ﹣sinx（0＜θ＜π）在x=π处取最小值．（1）求θ的值；（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．【解答】解：（1）∵当x=π时，f（x）取得最小值∴sin（π+θ）=﹣1即sinθ=1又∵0＜θ＜π，∴（2）由（1）知f（x）=cosx∵，且A为△ABC的内角∴由正弦定理得知或当时，，当时，综上所述，或40．（2016春•船营区校级月考）阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣①sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣②由①+②得sin（α+β）+sin（α﹣β）=2sinαcosβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣③令α+β=A，α﹣β=β 有α=，β=代入③得sinA+sinB=2sin cos．（Ⅰ）类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA﹣cosB=﹣2sin sin；（Ⅱ）求值：sin220°+cos250°+sin20°cos50°（提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（Ⅰ）中的结论）【解答】解（Ⅰ）证明：因为cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣①cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣②…（1分）①﹣②得cos（α+β）﹣cos（α﹣β）=﹣2sinαsinβ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣③…（2分）令α+β=A，α﹣β=B，有α=，β=，代入③得cosA﹣cosB=﹣2sin sin．…（5分）（Ⅱ）sin220°+cos250°+sin20°cos50°=1+（cos100°﹣cos40°）+（sin70°﹣sin30°）…（8分）=1﹣sin70°sin30°+sin70°﹣sin30°=．…（12分）。
积化和差与和差化积] · [提高] · [习题训练]
![积化和差与和差化积] · [提高] · [习题训练]](https://img.taocdn.com/s3/m/7bd10f452f60ddccda38a0e2.png)
积化和差与和差化积
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 若关于的方程有实根，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
2. 在中，已知，则的值为
A. B. C. D. 无法确定
3. 设，，，则有
A. B. C. D.
4. 若函数，，则的最大值为
A. B. C. D.
5. 函数的最小值是
A. B. C. D.
6. 若，则等于
A. B. C. D.
7. 函数的图象的一个对称中心是
A. B. C. D.
8. 若关于的方程有一个根为，则中一定有
A. B. C. D.
9. 已知，，则等于
A. B. C. D.
10.
A. B. C. D.
11. 已知函数，又若的最小值
为，则正数的值为
A. B. C. D.
12. 若，则等于
A. B. C. 或 D. 或
二、填空题（共5小题；共25分）
13. 已知，，则
第1页（共2 页）
14. 若，，则．
15. 若，且，则的值为．
16. 如图，在水平地面上有两座直立的相距的铁塔和．已知从塔的底部看塔
顶部的仰角是从塔的底部看塔顶部的仰角的倍，从两塔底部连线中点分别看两塔顶部的仰角互为余角．则从塔的底部看塔顶部的仰角的正切值为；塔的高为．
17. 已知，，则的最小值为．
三、解答题（共5小题；共65分）
18. 已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
19. 若函数的最大值为，试确定此时的值．
20. 求的值．
21. 求函数的值域．
22. 求的值．
第2页（共2 页）。
2024-2025年北师大版数学必修第二册4.2.4积化和差与和差化积公式(带答案)
2．4 积化和差与和差化积公式必备知识基础练知识点一 三角函数的积化和差1．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β 化为和差的结果是( ) A ．12 sin (α＋β)＋12 cos (α－β) B ．12 cos (α＋β)＋12 sin (α－β) C ．12 sin (α＋β)＋12 sin (α－β) D ．12 cos (α＋β)＋12cos (α－β) 2．求证：(1)cos αsin β＝12 [sin (α＋β)－sin (α－β)]；(2)cos αcos β＝12 [cos (α＋β)＋cos (α－β)]；(3)sin αsin β＝－12 [cos (α＋β)－cos (α－β)].3．求下列各式的值： (1)sin 105°cos 75°；(2)2cos 37.5°cos 22.5°－cos 15°； (3)2cos 9π13 cos π13 ＋cos 5π13 ＋cos 3π13 .知识点二 三角函数的和差化积 4．化简下列各式：(1)sin (30°＋α)－sin (30°－α)；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ； (3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－φ .5．求下列各式的值： (1)sin 20°－sin 40°cos 20°－cos 40° ； (2)sin 20°＋sin 40°－sin 80°.6．已知A ＋B ＋C ＝180°，求证：sin A ＋sin B ＋sin C ＝4cos A 2 cos B 2 cos C2 .关键能力综合练一、选择题1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6 cos x 的最大值为( )A ．12B ．14 C ．1 D ．222．sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝( ) A ．14 B ．32 C ．12 D ．343．计算：sin 35°－sin 25°cos 35°－cos 25° ＝( )A ．33 B ．－33C ．3D ．－34．在△ABC 中，sin C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B ，则此三角形的形状为( )A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形5．(易错题)若A ＋B ＝2π3 ，则1＋12 cos 2A ＋12cos 2B 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 D ．[0，1] 二、填空题6．已知α－β＝2π3 ，且cos α＋cos β＝13 ，则cos α＋β2 ＝________．7．函数f (x )＝sin x sin (60°＋x )sin (60°－x )的最小正周期为________． 8．(探究题)已知sin x ＋sin y ＝2 ，cos x ＋cos y ＝233 ，则tan x tan y ＝________．三、解答题9．求下列各式的值：(1)cos π8 ＋cos 3π8 －2sin π4 cos π8 ；(2)sin 138°－cos 12°＋sin 54°.学科素养升级练1.(多选题)下列四个关系式中错误的是( ) A ．sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 4θcos θ B ．cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ C ．sin 3θ－sin 5θ＝－12 cos 4θcos θD ．sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcos θ2．(学科素养——数学运算)已知cos α－cos β＝12 ①，sin α－sin β＝－13 ②，求sin (α＋β)的值．2．4 积化和差与和差化积公式必备知识基础练1．答案：B解析：原式＝12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋β＋sin （α－β） ＝12 cos (α＋β)＋12 sin (α－β).故选B.2．证明：(1)sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，两式相减，得sin (α＋β)－sin (α－β)＝2cos αsin β，∴cos αsin β＝12[sin (α＋β)－sin (α－β)].(2)∵cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，两式相加，得cos (α＋β)＋cos (α－β)＝2cos αcos β，∴cos αcos β＝12[cos (α＋β)＋cos (α－β)].(3)由(2)得cos (α＋β)－cos (α－β)＝－2sin αsin β， ∴sin αsin β＝－12[cos (α＋β)－cos (α－β)].3．解析：(1)sin 105°cos 75°＝12 [sin (105°＋75°)＋sin (105°－75°)]＝12 (sin180°＋sin 30°)＝14.(2)2cos 37.5°cos 22.5°－cos 15°＝cos (37.5°＋22.5°)＋cos (37.5°－22.5°)－cos 15° ＝cos 60°＋cos 15°－cos 15°＝12 .(3)2cos 9π13 cos π13 ＋cos 5π13 ＋cos 3π13＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫9π13＋π13 ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π13－π13 ＋cos 5π13 ＋cos 3π13＝cos 1013 π＋cos 8π13 ＋cos 5π13 ＋cos 3π13＝cos 1013 π＋cos 8π13 ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－8π13 ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1013π＝cos 1013 π＋cos 8π13 －cos 8π13 －cos 10π13＝0.4．解析：(1)sin (30°＋α)－sin (30°－α)＝2cos 30°·sin α＝3 sin α.(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝2sin π3 cos α＝3 cos α. (3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－φ ＝－2sin π4 sin φ＝－2 sin φ. 5．解析：(1)sin 20°－sin 40°cos 20°－cos 40° ＝2cos 30°sin （－10°）－2sin 30°sin （－10°） ＝－3212 ＝－3 .(2)sin 20°＋sin 40°－sin 80°＝2sin 30°·cos (－10°)－cos 10°＝cos 10°－cos 10°＝0.6．证明：∵A ＋B ＋C ＝180°，∴C ＝180°－(A ＋B )，C 2 ＝90°－A ＋B2∴sin A ＋sin B ＋sin C ＝2sin A ＋B 2cos A －B2＋sin (A ＋B )＝2sin A ＋B 2 cos A －B 2＋2sin A ＋B 2cos A ＋B2＝2sinA ＋B 2⎝⎛⎭⎪⎫cos A －B 2＋cos A ＋B 2＝2sinA ＋B 2×2cos A 2cos B2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2 ×2cos A 2 cos B 2 ＝4cos A 2 cos B 2 cos C2.关键能力综合练1．答案：B解析：∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6 cos x＝12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－x＝12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12 ＝12 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 －14 ， ∴y max ＝12 －14 ＝14 .故选B.2．答案：A解析：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝12 [sin 90°＋sin (－50°)]－12 (cos60°－cos 40°)＝12 －12 sin 50°－14 ＋12 cos 40°＝14 －12 cos 40°＋12 cos 40°＝14 .故选A.3．答案：D解析：原式＝2sin 5°cos 30°－2sin 30°sin 5° ＝－cos 30°sin 30° ＝－1tan 30° ＝－3 .故选D.4．答案：C解析：∵C ＝π－(A ＋B )，∴sin C ＝sin (A ＋B )＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B，∴2sin A ＋B 2cos A ＋B2＝2sinA ＋B2cosA －B22cos A ＋B 2cosA －B 2，∴2cos2A ＋B2＝1，即cos(A ＋B )＝0，∴A ＋B ＝π2 ，∴C ＝π2.故此三角形为直角三角形．故选C.5．答案：C解析：∵A ＋B ＝2π3 ，∴1＋12 cos 2A ＋12 cos 2B＝1＋12 (cos 2A ＋cos 2B )＝1＋cos 2A ＋2B 2 ·cos 2A －2B2＝1＋cos (A ＋B )·cos (A －B )＝1＋cos 2π3 ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －2π3 ＝1－12 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －2π3 .∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －2π3 ∈[－1，1]， ∴1＋12 cos 2A ＋12 cos 2B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 .故选C.6．答案：13解析：cos α＋cos β＝2cosα＋β2cos α－β2＝2cos π3 ·cos α＋β2 ＝cos α＋β2 ＝13 .7．答案：2π3解析：f (x )＝sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 (cos 120°－cos 2x ) ＝14 sin x ＋12 sin x cos 2x ＝14 sin x ＋14 [sin 3x ＋sin (－x )] ＝14 sin x ＋14 sin 3x －14 sin x ＝14sin 3x . 故f (x )的最小正周期为2π3 .8．答案：137解析：(sin x ＋sin y )2＋(cos x ＋cos y )2＝103 ，解得cos (x －y )＝23 ，(cos x ＋cos y )2－(sin x ＋sin y )2＝－23，∴cos 2x ＋cos 2y ＋2cos (x ＋y )＝－23 ，和差化积，2cos (x ＋y )cos (x －y )＋2cos (x ＋y )＝－23 ，∴cos (x ＋y )＝－15，tan x tan y ＝sin x sin y cos x cos y ＝cos （x －y ）－cos （x ＋y ）cos （x －y ）＋cos （x ＋y ） ＝137.9．解析：(1)cos π8 ＋cos 3π8 －2sin π4 cos π8 ＝2cos π8＋3π82 ·cos π8－3π82 －2 cos π8 ＝2cos π4 cos π8 －2 cos π8 ＝2 cos π8 －2 cos π8＝0.(2)sin 138°－cos 12°＋sin 54°＝sin 42°－cos 12°＋sin 54°＝sin 42°－sin78°＋sin 54°＝－2cos 60°sin 18°＋sin 54°＝sin 54°－sin 18°＝2cos 36°sin 18°＝2cos 36°sin 18°cos 18°cos 18° ＝cos 36°sin 36°cos 18°＝2cos 36°sin 36°2cos 18° ＝sin 72°2cos 18° ＝12.学科素养升级练1．答案：BCD解析：由sin 5θ＝sin (4θ＋θ)＝sin 4θcos θ＋cos 4θsin θ， sin 3θ＝sin (4θ－θ)＝sin 4θcos θ－cos 4θsin θ， cos 5θ＝cos (4θ＋θ)＝cos 4θcos θ－sin 4θsin θ，cos 3θ＝cos (4θ－θ)＝cos 4θcos θ＋sin 4θsin θ，代入各选项得，sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 4θcos θ，故A 正确，B 错误；右边应是2sin 4θsin θ，故C 错误；右边应是－2cos 4θsin θ，故D 错误；由sin 5θ与cos 3θ两式相加不能得出右边结论，如果从和差化积角度考虑，左边为异名三角函数，要化积应先用诱导公式化为同名三角函数后再化积，即sin 5θ＋cos 3θ＝sin 5θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－3θ ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4 cos⎝⎛⎭⎪⎫4θ－π4 .故选BCD.2．解析：将①②两式左边分别和差化积得 －2sin α＋β2sin α－β2＝12 ③，2cosα＋β2sin α－β2＝－13④.由③④得sinα－β2≠0，cos α＋β2≠0，于是③÷④得tanα＋β2＝32，∴sin (α＋β)＝sin (α＋β2＋α＋β2 )＝2sinα＋β2cosα＋β2sin 2α＋β2＋cos 2α＋β2 ＝2tanα＋β21＋tan2α＋β2＝1213 .。
《三角函数积化和差和差化积》例题
(2)由 sin2A－sin2B＝12sin2C，有 2sin2A－2sin2B＝ sin2C， 即 1－cos2A－1＋cos2B＝34，cos2B－cos2A＝34， 所以－2sin(A＋B)sin(B－A)＝34，
又 A＋B＝23π，所以 sin(B－A)＝－ 43，
因为 B＝23π－A，所以 sin23π－2A＝－ 43， 所以 sin2A＋π3＝sinπ－2A＋π3 ＝sin23π－2A＝－ 43.
α＋β α＋β 即 tanα＋2 β＝32，∴sin(α＋β)＝si2ns2iαn＋2 2β＋·ccooss2α2＋2 β ＝1＋2tatannα2＋α2＋2β β＝21× ＋3294＝1123.
例2 证明：1－14sin22α－sin2β－cos4α＝sin(α ＋β)·sin(α－β)．
【思路点拨】 先利用1－sin2β＝cos2β化简，再 将2α的三角函数转化为α的三角函数，最后用降 幂公式与和差化积公式即可完成．
【证明】
左
边
＝
(1
－
sin2β)
－
1 4
(2sinαcosα)2
－
cos4α
＝cos2β－cos2α(sin2α＋cos2α)
＝
cos2β－
cos2α＝
1＋c2os2β－
1＋c2os2α＝
1 2
(cos2β
－
cos2α)
＝
1 2
[
－
2sin(β
＋
α)sin(β
－
α)]
＝
sin(β
＋
α)sin(α－β)＝右边．
例1
已知 cosα－cosβ＝12，sinα－sinβ＝－13，
求 sin(α＋β)的值．
数学人教版必修4训练：3.3 三角函数的积化和差与和差化积 Word版含解析
3.3 三角函数的积化和差与和差化积课时过关·能力提升1.式子sin 15°sin 105°的值等于( )A .14B .-14C .34D .-34 解析:sin 15°sin 105°=-12[cos 120°-cos(-90°)]=-12(-12-0)=14.答案:A2.式子sin 20°+cos 10°可化简为( )A .sin 50°B .cos 50°C .√3sin 50°D .√3cos 50°解析:sin 20°+cos 10°=sin 20°+sin 80°=2sin 50°cos 30°=√3sin 50°. 答案:C3.若cos(α+β)cos(α-β)=13,则cos 2α-sin 2β等于( )A.-23B.-13 C.13 D.23 解析:由cos(α+β)cos(α-β)=(cos αcos β-sin αsin β)·(cos αcos β+sin αsin β)=cos 2αcos 2β-sin 2αsin 2β=cos 2α(1-sin 2β)-sin 2αsin 2β=cos 2α-cos 2αsin 2β-sin 2αsin 2β=cos 2α-sin 2β(cos 2α+sin 2α)=cos 2α-sin 2β,知cos 2α-sin 2β=1.答案:C★4.已知直角三角形中两锐角为A 和B ,则sin A sin B ( )A.有最大值12和最小值0B.有最大值12,但无最小值C.既无最大值,也无最小值D.有最大值1,但无最小值A sin B=-1[cos(A+B )-cos(A-B )]=-1[cos π-cos (A -B )]=1cos(A-B ).又0<A<π,0<B<π,所以-π2<A-B<π2,于是0<cos(A-B )≤1,故0<sin A sin B ≤12.5.cos 72°-cos 36°等于( )A .3-2√3B .12C .-12D .-14-cos 36°=-2sin 54°sin 18°=-2sin 18°cos 36° =-2sin18°cos18°cos36°cos18° =-sin36°cos36°cos18°=-2sin36°cos36°2cos18° =-sin72°2cos18°=-sin72°2sin72°=-12.6.已知α-β=π3,且cos α-cos β=13,则cos(α+β)等于( )A.1B.2C.7D.8cos α-cos β=-2sinα+βsin α-β=-2sin α+βsin π=-sin α+β=1,因此sin α+β=-1,于是cos(α+β)=1-2sin 2α+β2=1-2×(-13)2=79.7.cos 20°+cos 60°+cos 100°+cos 140°的值为 .+cos 60°+cos 100°+cos 140° =cos 20°+cos 100°+cos 140°+12=2cos 60°cos(-40°)+cos 140°+12=cos 40°+cos 140°+12=cos 40°-cos 40°+12=12.8.若cos 2α-cos 2β=m ,则sin(α+β)sin(α-β)= .α+β)sin(α-β)=-12(cos 2α-cos 2β)=-12[(2cos 2α-1)-(2cos 2β-1)]=cos 2β-cos 2α=-m.9.若x 为锐角三角形的内角,则函数y=sin (x +π3)+sin x 的值域为 .2sin (x +π6)cos π6=√3sin (x +π6).由条件,知π6<x+π6<2π3,所以12<sin (x +π6)≤1. 所以y ∈(√32,√3].(√32,√3]10.化简:cosα+cos3α+cos5α+cos7αsinα+sin3α+sin5α+sin7α.=(cosα+cos7α)+(cos3α+cos5α)(sinα+sin7α)+(sin3α+sin5α) =2cos4αcos3α+2cos4αcosα2sin4αcos3α+2sin4αcosα=2cos4α(cos3α+cosα)2sin4α(cos3α+cosα)=cot 4α.★11.已知△ABC 的三个内角A ,B ,C 满足A+C=2B ,1cosA +1cosC =-√2cosB ,求cos A -C 2的值.B=60°,A+C=120°, ∴-√2cosB =-√2cos60°=-2√2, ∴1cosA +1cosC =-2√2. 将上式化简为cos A+cos C=-2√2cos A cos C ,则2cos A+C 2cos A -C 2=-√2[cos(A+C )+cos(A-C )]. 将cos A+C2=cos 60°=12,cos(A+C )=cos 120°=-12代入上式,得cos A -C 2=√22−√2cos(A-C ).将cos(A-C )=2cos 2(A -C 2)-1代入上式并整理,得4√2cos 2(A -C )+2cos A -C -3√2=0,即(2cos A -C 2-√2)(2√2cos A -C 2+3)=0.∵2√2cos A-C+3≠0,∴2cos A-C2−√2=0.∴cos A-C2=√22.。
三角函数的积化和差与和差化积通用版知识精讲
三角函数的积化和差与和差化积1. 公式的推导： sin()sin cos cos sin ()αβαβαβαβ+=++S sin()sin cos cos sin ()αβαβαβαβ-=--S cos()cos cos sin sin ()αβαβαβαβ+=-+C cos()cos cos sin sin ()αβαβαβαβ-=+-C()()sin()sin()sin cos S S αβαβαβαβαβ+-+++-=得：2 ()()sin()sin()cos sin S S αβαβαβαβαβ+--+--=得：2 ()()cos()cos()cos cos C C αβαβαβαβαβ+-+++-=得：2 ()()cos()cos()sin sin C C αβαβαβαβαβ+--+--=-得：2等式两边同时除以2，即得到积化和差公式 （1）积化和差公式sin cos [sin()sin()]αβαβαβ=++-12 cos sin [sin()sin()]αβαβαβ=+--12cos cos [cos()cos()]αβαβαβ⋅=++-12 sin sin [cos()cos()]αβαβαβ=-+--12公式特点：同名函数之积化为两角和与差余弦的和（差）的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦的和（差）的一半，等式左边为单角αβ，，等式右边为它们的和差角。
在积化和差的公式中，如果“从右往左”看，实质上就是和差化积。
为使用方便，在积化和差公式中，令αβθαβϕαθϕβθϕ+=-==+=-，，则，22，将其代入积化和差的公式（1）中，就有sincos(sin sin )sin sin sincosθϕθϕθϕθϕθϕθϕ+⋅-=+∴+=+⋅-2212222同样可得到：sin sin cossinθϕθϕθϕ-=+⋅-222 cos cos coscos θϕθϕθϕ+=+⋅-222 cos cos sinsinθϕθϕθϕ-=-+⋅-222这样我们就得到了“和差化积”公式 （2）和差化积公式：sin sin sin cos θϕθϕθϕ+=+⋅-222sin sin cossinθϕθϕθϕ-=+-222cos cos coscos θϕθϕθϕ+=+-222 cos cos sin sin θϕθϕθϕ-=-+-222公式特点：同名函数的和或差才可化积；余弦的和或差化为同名函数之积；正弦的和或差化为异名函数之积；等式左边为单角θϕ，，等式右边为θϕθϕ+-22与的形式。
2020_2021学年高中数学第四章三角恒等变换2.4积化和差与和差化积公式课后习题含解析北师大版必
2.4 积化和差与和差化积公式课后篇巩固提升基础达标练1.已知cos α-cos β=12,sin α-sin β=-13,则tan α+β2= .cos α-cos β=12,所以-2sinα+β2sinα-β2=12,因为sin α-sin β=-13, 所以2cos α+β2sinα-β2=-13, 因为sinα-β2≠0,cos α+β2≠0,所以-tan α+β2=-32,即tan α+β2=32.2.把tan x-tan y 化为积的形式为( )A.cos (x -y )cosxcosy B.sin (x+y )sinxcosy C.sin (x -y )cosxcosyD.cos (x+y )cosxsinyx-tan y=sinxcosx −siny cosy=sinxcosy -sinycosxcosxcosy=12[sin (x+y )+sin (x -y )]-12[sin (y+x )+sin (y -x )]cosxcosy=sin (x -y )cosxcosy.3.cos 20°-cos 50°=( )A.cos 35°cos 15°B.sin 35°sin 15°C.2sin 15°sin 35°D.2sin 15°cos 35°°-cos50°=-2sin20°+50°2sin20°-50°22sin35°sin(-15°)=2sin15°sin35°.4.sin 220°+cos 250°+sin 20°cos 50°=( ) A.-1 B.2C.43D.34=-12[cos(20°+20°)-cos(20°-20°)]+12[cos(50°+50°)+cos(50°-50°)]+12(sin70°-sin30°)=12(1-cos40°)+12(1+cos100°)+12(sin70°-sin30°) =1-12cos40°+12cos100°+12sin70°-12sin30°=34+12sin70°+12(cos100°-cos40°) =34+12sin70°-sin100°+40°2sin100°-40°2=34+12sin70°-sin30°sin70°=34.x+2 020)-cos(x-2 020)= .=-2sinx+2020+x -20202sinx+2020-(x -2020)22sin x sin2020.2sin x sin 2 0206.cos 37.5°cos 22.5°= ..5°cos22.5°=12(cos60°+cos15°)=14+12cos15°=2+√6+√28.7.cos 15°cos 60°cos 75°= .=12cos15°cos75°=14[cos90°+cos(-60°)]=18.:sin 42°-cos 12°+sin 54°.=sin42°-sin78°+sin54°=-2cos60°sin18°+sin54°=sin54°-sin18°=2cos36°sin18°=2×2cos36°sin18°cos18°2cos18°=2cos36°(sin18°cos18°+sin18°cos18°)2cos18°=2sin36°cos36°2cos18°=sin36°cos36°+sin36°cos36°2cos18°=sin72°2cos18°=12. 9.求证:2cos20°+2sin20°-12cos20°-2sin20°-1·tan 25°=cos15°sin15°.=2cos20°sin25°+2sin20°sin25°-sin25°2cos20°cos25°-2sin20°cos25°-cos25°=sin45°-sin (-5°)-cos45°+cos (-5°)-sin25°cos45°+cos (-5°)-sin45°-sin (-5°)-cos25° =sin5°+cos5°-sin25°sin5°+cos5°-cos25°=sin5°+sin85°-sin25°cos85°+cos5°-cos25°=sin5°+2cos55°sin30°-2sin55°sin30°+cos5°=sin5°+cos55°cos5°-sin55°=sin5°+sin35°cos5°-cos35°=sin20°cos (-15°)-sin20°sin (-15°) =cos15°sin15°=右边.所以原等式成立.能力提升练1.已知sin(α+β)sin(β-α)=m ,则cos2α-cos2β2等于( )A.-mB.mC.-4mD.4mα+β)=sin(β-α)=cos2α-cos2β2=m.2.在△ABC 中,若sin A sin B=12(1+cos C ),则△ABC 是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形D.直角三角形sin A sin B=-12[cos(A+B )-cos(A-B )]=12(1+cos C ). 又A+B=π-C ,所以cos(A-B )-cos(π-C )=1+cos C. 所以cos(A-B )=1.又-π<A-B<π,所以A-B=0.所以A=B ,故△ABC 为等腰三角形.3.cos(x+3)-cos(x-3)+sin(x+3)-sin(x-3)=( ) A.2cos 3cos x-π4B.2√2sin 3cos x-π4C.-2√2sin 3sin x+π4 D.-2√2sin 3sin x-π4解析原式=-2sinx+3+x -32sinx+3-(x -3)2+2cosx+3+x -32sinx+3-(x -3)2=-2sin x sin3+2cos x sin3=-2sin3(sin x-cos x )=-2√2sin3sin x-π4.4.若sin α+sin β=√33(cos β-cos α),且α∈(0,π),β∈(0,π),则tan α-β2= ;α-β= . 解析由已知得2sin α+β2cosα-β2=√33·-2sinα+β2sinβ-α2,因为0<α+β2<π,-π2<α-β2<π2,所以sinα+β2>0.所以tanα-β2=√3.所以α-β2=π3.所以α-β=2π3. √3 2π35.cos80°+2cos40°sin80°= .=cos80°+cos40°+cos40°sin80°=2cos60°cos20°+cos40°sin80°=cos20°+cos40°sin80°=2cos30°cos10°sin80°=√3sin80°sin80°=√3.√3:sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°.°cos70°+sin10°sin50°==12[sin(20°+70°)+sin(20°-70°)]-12[cos(10°+50°)-cos(10°-50°)]=12(sin90°-sin50°)-12(cos60°-cos40°) =12−12sin50°-14+12cos40° =12−12sin50°-14+12sin50°=14.7.已知向量a =(sin B ,1-cos B )与向量b =(2,0)的夹角为π3,其中A ,B ,C 是△ABC 的内角. (1)求B 的大小;sin A+sin C 的取值范围.由题意,得|a |=√sin 2B +(1-cosB )2=√2-2cosB , |b |=2,a ·b =2sin B. 由夹角公式,得cos π3=2√2-2cosB,整理得2sin 2B+cos B-1=0, 即2cos 2B-cos B-1=0.所以cos B=1(舍去)或cos B=-12. 又因为0<B<π,所以B=2π3.(2)因为A+B+C=π,B=2π3,所以A+C=π3.所以-π3<A-C<π3.所以-π6<A -C 2<π6.所以sin A+sin C=2sin A+C 2cosA -C 2=2sin π6cosA -C 2=cosA -C 2.所以sin A+sin C 的取值范围是√32,1.素养培优练1.2cos 2x+π3sin 2x-π3=( ) A.12+cos 4x B.12-sin 4x C.√32+cos 4x D.√32+sin 4x 解析2cos 2x+π3sin 2x-π3 =sin 2x+π3+2x-π3-sin2x+π3-2x-π3=sin4x+sin2π3=√32+sin4x.2.已知△ABC 的三个内角A ,B ,C 满足A+C=2B ,1cosA +1cosC =-√2cosB ,求cos A -C 2的值.B=60°,A+C=120°,所以1cosA +1cosC =-√2cos60°=-2√2,即cos A+cos C=-2√2cos A cos C,则2cos A+C2cos A-C2=-√2[cos(A+C)+cos(A-C)],将cos A+C2=cos60°=12,cos(A+C)=cos120°=-12代入上式,得cos A-C2=√22−√2cos(A-C),因为cos(A-C)=cos A-C2+A-C2=cos A-C2cos A-C2-sin A-C2sin A-C2=cos2A-C2-sin2A-C2=cos2A-C2-1-cos2A-C2=2cos2A-C2-1,代入上式并整理得4√2cos2A-C2+2cos A-C2-3√2=0,即2cos A-C2−√22√2cos A-C2+3=0.因为2√2cos A-C2+3≠0,所以2cos A-C2−√2=0.所以cos A-C2=√22.。
积化和差与和差化积公式的应用习题精选精讲精编版
1三角函数式的化简要求是:项数最少\三角函数种类最少\函数次数最低\尽可能不带根号\ 能求值得要求出值. 一: 定义法例1. 化简 xx xx x x x x sin tan sin tan sin tan sin tan ∙+--∙ 解: 设点则且终边上一点为角,,),(22y x r OP x y x P +==.tan ,sin xyx r y x ==0)(222=-+-=+--=∙+--∙=∴x r y x r y y x r x r y ry x y r y x y r y x y r y x y 原式二: 弦切互化法例2. xx x x x x x 2222tan 1tan 1)cos 2tan tan (sin 2tan +-∙+∙+化简 解: 原式x x x x x xx x x x x x x x x 2cos )cos 2sin 21(2cos 2sin cos sin 1cos sin 1)2cos 2sin cos sin 1(2cos 2sin 22222∙+∙=+-∙∙+∙= x x xx x 2sin 22cos cos 12cos 2sin =∙∙=三: 变用公式例3. o o o o o o 15tan 50tan 50tan 25tan 25tan 15tan ∙+∙+∙化简解: 原式 15tan 50tan )50tan 15(tan 25tan ∙++= 15tan 50tan )50tan 15tan 1)(5015tan(25tan ∙+-+∙=115tan 50tan )50tan 15tan 1(=∙+∙-=说明: 公式βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=±在解题中运用非常灵活.常常变形为)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±来使用. 四: 连锁反应法例5. o o 78sin 66sin 42sin 6sin 化简解: 原式12cos 24cos 48cos 6sin ∙∙∙=6cos 48cos 24cos 12cos 6sin 6cos ∙∙∙∙= =1616cos 96sin 1616cos 48cos 24cos 12cos 12sin 21=====∙∙∙说明: 此题分子分母同乘以 6cos ,从而连续逆用倍角公式,达到多次化角的目地. 五: 升降次法例6. y x y x y x 2cos 2cos )(cos )(cos 22∙--++化简解: 原式y x y x y x 2cos 2cos 2)22cos(12)22cos(1∙---+++=y x y x y x 2cos 2cos )]22cos()22[cos(211∙---++=212cos 2cos 2cos 2cos 1=∙-∙+y x y x例7. x x 4cos 812cos 2183:+-化简解: 原式 )12cos 2(81)1cos 2(218322-+--=x x )1cos 4cos 4(41cos 43)1cos 2(41cos 43242222+-+-=-+-=x x x x x x x x x 42242sin )cos 1(cos cos 21=-=+- 六: 基本技巧例8 (1) θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1:++-+化简解: 原式)cos (sin cos 2)cos (sin sin 2cos sin 2cos cos sin 2sin 22sin )2cos 1(2sin )2cos 1(22θθθθθθθθθθθθθθθθ++=++=+++-= θtan = (2) .2cos 2sin ,2tan 的值求已知x x x += 解: x x x cos 2sin ,2tan =∴=1cos 2cos 41cos 2cos sin 22cos 2sin 222-+=-+=+∴x x x x x x x1tan 161sec 61cos 6222-+=-=-=xx x511416=-+= 角的变换角的变换，一般包括角的分解和角的组合，角的分解即把一个角分成几个角的和或差，而角的组合即把几个角通过和或差组合成一个角。
数学人教B版必修4例题与探究：3.3三角函数的积化和差与和差化积 含解析 精品
典题精讲例1 已知cosα-cosβ=21，sinα-sinβ=-31，求sin(α+β)的值.思路分析:考查三角函数的和差化积公式的应用，以及万能公式.两个等式分别用和差化积公式后再相除，得tan 2βα+的值，再用万能公式求sin(α+β)的值.解:∵cosα-cosβ=21，∴-2sin 2βα+sin 2βα-=21.①∵sinα-sinβ=-31，∴2cos 2βα+sin 2βα-=-31.②①÷②得-tan2βα+=-23. ∴tan2βα+=23. ∴sin(α+β)=2tan 12tan22βαβα+++=491232+⨯=1312. 绿色通道:如果出现系数绝对值相同的同名三角函数的和差时，常用到和差化积公式.如果出现弦函数的积时，常用到积化和差公式.黑色陷阱:受思维定势的影响，如果由已知sin 2α+cos 2α=1，sin 2β+cos 2β=1联立方程组，分别解得sinα,cosα,sinβ,cosβ的值，那么运算量就明显加大，甚至会陷入困境. 变式训练1 已知tanα、tanβ是方程x 2+3x-4=0的两个根，求βαβα2sin 2sin 2cos 2cos ++的值.思路分析:利用根与系数的关系，得到tanα+tanβ和tanαtanβ，进而得到tan(α+β).看到cos2α+cos2β，sin2α+sin2β是系数相等的同名三角函数的和，用和差化积公式变形. 解:由韦达定理得tanα+tanβ=-3，tanαtanβ=-4. ∴βαβα2sin 2sin 2cos 2cos ++=)cos()sin(2)cos()cos(2βαβαβαβα-+-+=βαβαβαtan tan tan tan 1)tan(1+-=+=341-+=-35. 变式训练2 把cosx+cos2x+cos3x+cos4x 化成积的形式.思路分析:所给的式子是四项的和，要化为积的形式，需考虑适当分组，注意到四个角的特征，显然应将cosx 和cos4x 组到一起，将cos2x 和cos3x 组到一起，这样可以在分别化积之后产生公因式，提取公因式后再继续化积.解:cosx+cos2x+cos3x+cos4x=(cosx+cos4x)+(cos2x+cos3x)=2cos 25x cos 23x +2cos 25x cos 2x =2c os25x (cos 23x +cos 2x )=4cos 25x cosxcos 2x.例2(2005重庆高考卷，文17)若函数f(x)=)2sin(22cos 1x x -+π+sinx+a 2sin(x+4π)的最大值为2+3，试确定常数a 的值.思路分析:考查三角函数公式，以及利用三角函数的有界性来求最值的问题.化简函数f(x)的解析式为Asin(ωx+φ)的形式，再确定常数a 的值. 解:f(x)=)2sin(2cos 22x x -π+sinx+a 2sin(x+4π) =xxcos 2cos 22+sinx+a 2sin(x+4π)=sinx+cosx+a 2sin(x+4π)=2sin(x+4π)+a 2sin(x+4π)=(2+a 2)sin(x+4π). ∵f(x)的最大值为2+3,sin(x+4π)的最大值为1，∴2+a 2=2+3.∴a=±2.绿色通道:讨论三角函数的最值问题时，经过三角恒等变换，化归为 y=Asin(ωx+φ)的形式求解，有时化归为二次函数求解. 变式训练 求函数y=cos3x·cosx 的最值.思路分析:由于是弦函数积的形式，则利用化积公式，将两个角的余弦化为一个角的三角函数值，从而转化为求二次函数的最值. 解:y=cos3x·cosx=21(cos4x+cos2x) =21(2cos 22x-1+cos2x) =cos 22x+21cos2x-21=(cos2x+41)2-169.∵cos2x ∈［-1，1］， ∴当cos2x=-41时，y 取得最小值-169； 当cos2x=1时，y 取得最大值1，即函数y=cos3x·cosx 的最大值是1，最小值是-169. 问题探究问题 1)试分别计算cosA+cosB+cosC-4sin2A sin 2B sin 2C的值. ①在等边三角形ABC 中；②A=60°,B=90°,C=30°；③A=120°,B=30°,C=30°.(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明. (3)利用(2)的结论计算-2cos10°-2cos99.8°-2cos70.2°+8sin5°sin49.9°sin35.1°的值. 导思:从A+B+C 上归纳并猜想出结论. 探究:(1)①由题意得A=B=C=60°，cosA+cosB+cosC-4sin 2A sin 2B sin 2C=cos60°+cos60°+cos60°-4sin30°sin30°sin30° =21+21+21-4×21×21×21=1; ②cosA+cosB+cosC-4sin 2A sin 2B sin 2C=cos60°+cos90°+cos30°-4sin30°sin45°sin15°=21+0+23-4×21×22×2cos30-1︒=1； ③cosA+cosB+cosC-4sin2A sin 2B sin 2C=cos120°+cos30°+cos30°-4sin60°sin15°sin15° =-21+23+23-4×23sin 215° =-21+3-3×(1-cos30°)=1. (2)在(1)①中A+B+C=180°，有cosA+cosB+cosC-4sin 2A sin 2B sin 2C=1； 在(1)②中A+B+C=180°，有cosA+cosB+cosC-4sin 2A sin 2B sin 2C=1；在(1)③中A+B+C=180°，有cosA+cosB+cosC-4sin 2A sin 2B sin 2C=1.猜想：当A+B+C=180°时，有cosA+cosB+cosC=1+4sin 2A sin 2B sin 2C.证明：当A+B+C=180°时，有A+B=180°-C,即2B A +=90°-2C，∴cosA+cosB+cosC=2cos 2B A +cos 2B A -+1-2sin 22C=2cos(90°-2C )cos 2B A -+1-2sin 22C=2sin 2C cos 2B A --2sin 22C +1=2sin 2C (cos 2B A --sin 2C )+1=2sin 2C (cos 2B A --cos 2B A +)+1=2sin 2C (-2)sin 2A sin(-2B )+1=4sin 2A sin 2B sin 2C +1.∴cosA+cosB+cosC=1+4sin 2A sin 2B sin 2C.(3)∵10°+99.8°+70.2°=180°，∴cos10°+cos99.8°+cos70.2°-4sin5°sin49.9°sin35.1°=1.∴-2cos10°-2cos99.8°-2cos70.2°+8sin5°sin49.9°sin35.1°=-2.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角函数式的化简要求是:项数最少\三角函数种类最少\函数次数最低\尽可能不带根号\ 能求值得要求出值. 一: 定义法 例1.化简xx xx x x x x sin tan sin tan sin tan sin tan ∙+--∙ 解: 设点则且终边上一点为角,,),(22y x r OP x y x P +==.tan ,sin xyx r y x ==0)(222=-+-=+--=∙+--∙=∴x r y x r y y x r x r y ry x y r yx y r y xy r y x y原式 二: 弦切互化法例2.xx x x x x x 2222tan 1tan 1)cos 2tan tan (sin 2tan +-∙+∙+化简解: 原式x x x x x xx x x x x x x x x 2cos )cos 2sin21(2cos 2sin cos sin 1cos sin 1)2cos 2sin cos sin 1(2cos 2sin 22222∙+∙=+-∙∙+∙=x x xx x 2sin 22cos cos 12cos 2sin =∙∙=三: 变用公式 例3.o o o o o o 15tan 50tan 50tan 25tan 25tan 15tan ∙+∙+∙化简解: 原式 15tan 50tan )50tan 15(tan 25tan ∙++=15tan 50tan )50tan 15tan 1)(5015tan(25tan ∙+-+∙= 115tan 50tan )50tan 15tan 1(=∙+∙-=说明: 公式βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=±在解题中运用非常灵活.常常变形为)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±来使用.四: 连锁反应法 例5.o o 78sin 66sin 42sin 6sin 化简解: 原式12cos 24cos 48cos 6sin ∙∙∙=6cos 48cos 24cos 12cos 6sin 6cos ∙∙∙∙==1616cos 96sin 1616cos 48cos 24cos 12cos 12sin 21=====∙∙∙说明: 此题分子分母同乘以6cos ,从而连续逆用倍角公式,达到多次化角的目地. 五: 升降次法 例6.y x y x y x 2cos 2cos )(cos )(cos 22∙--++化简解: 原式y x y x y x 2cos 2cos 2)22cos(12)22cos(1∙---+++=y x y x y x 2cos 2cos )]22cos()22[cos(211∙---++=12cos 2cos 2cos 2cos 1=∙-∙+y x y x例7.x x 4cos 812cos 2183:+-化简 解: 原式)12cos 2(81)1cos 2(218322-+--=x x)1cos 4cos 4(41cos 43)1cos 2(41cos 43242222+-+-=-+-=x x x x xx x x x 42242sin )cos 1(cos cos 21=-=+-六: 基本技巧 例8 (1)θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1:++-+化简解: 原式)cos (sin cos 2)cos (sin sin 2cos sin 2cos cos sin 2sin 22sin )2cos 1(2sin )2cos 1(22θθθθθθθθθθθθθθθθ++=++=+++-=θtan = (2) .2cos 2sin ,2tan 的值求已知x x x +=解: x x x cos 2sin ,2tan =∴=1cos 2cos 41cos 2cos sin 22cos 2sin 222-+=-+=+∴x x x x x x x1tan 161sec 61cos 6222-+=-=-=xx x 511416=-+=角的变换角的变换，一般包括角的分解和角的组合，角的分解即把一个角分成几个角的和或差，而角的组合即把几个角通过和或差组合成一个角。
例1、已知sin α=4sin(α+β),求证：tan(α+β)=4cos sin -ββ。
证明：将角α分解成α=(α+β)-β由sin[(α+β)-β]=4sin(α+β)得：sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=4sin(α+β)即sin(α+β)(cos β-4)=cos(α+β)sin β从而tan(α+β)=4cos sin -ββ。
例2、若3tan α=2tan(α+β)，则sin(2α+β)=5sin β。
证明：由条件有3sin αcos(α+β)=2sin(α+β)cos α， 6sin αcos(α+β)=4sin(α+β)cos α，从而sin αcos(α+β)+cos αsin(α+β)=5[sin(α+β)cos α-sin αcos(α+β)]，即sin(2α+β)=5sin β。
例3、已知cos(4π+x)=53，47127ππ<<x ，求xxx tan 1sin 22sin 2-+的值。
解：)4cos()4sin(2sin cos sin cos )sin (cos sin 2tan 1sin 22sin 2ππ++∙=-+=-+x x x x x x x x x xx x而cos(4π+x)=53>0，47127ππ<<x ，于是πππ2465<+<x ，从而有sin(4π+x)= -54。
注意到 cos2(4π+x)=2cos 2(4π+x)-1=2(53)2-1= -257∴sin2x=257于是原式=752853)54(257-=-∙。
以上解题过程，紧紧抓住角的变捣，是灵活解题之关键，因此要注意分析思考角的关系，找出差异实现转化。
例4、已知：α+β∈(2π，π)，α-β∈(0，2π)，且sin(α-β)=734，cos(α+β)= -1411，求β。
解：先求2β，而2β=(α+β)-(α-β)，由题可得：cos(α-β)=71，sin(α+β)=1435，∴cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) = -1411∙71+1435∙734=21又2π<α+β<π，0<α-β<2π∴0<(α+β)-(α-β)=2β<π∴2β=3π即β=6π。
例5、求(1+tan10)(1+tan20)(1+tan30))45tan 1(0+ 的值。
解：由10+440=20+430== 220+230及(1+tan10)(1+tan440)=1+(tan10+tan440)+tan10tan440=1+tan(10+440)(1-tan10tan440)+tan10tan440=1+1-tan10440+ tan10440=2，同理有：(1+tan20)(1+tan430)== (1+tan220)(1+tan230)=2因而原式=223。
一般地，若A B ±=n ∙4π(n 为奇数)，均可考虑用tan α)tan tan 1()tan(tan βαβαβ ∙±=±化简。
例6、求120sin 220cos 2120sin 220cos 20000---+∙tan250的值。
解：上式即为00000000025cos 25cos 20sin 225cos 20cos 225sin 25sin 20sin 225sin 20cos 2---+分子=sin450+sin50-cos450+cos50-sin250=sin50+(sin850-sin250)=sin50+2cos550sin300=cos850+cos550=2cos700cos150，同理：分母=2cos700sin150，∴原式=cot150=2+3。
和（差）角范围问题在三角解题中经常遇到确定和（差）角范围的问题，学生常因确定和（差）角范围的偏差导致解题失误。
本文举例说明这类问题的处理方法。
一. 合理选用公式来确定例1 已知α，β均为锐角， sin α=551010，sin β=，求α+β的值。
解析：由已知条件有cos α=25531010，cos β=，且0＜α+β＜π。
又cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-=+=255310105510102204××＞，所以αβπ 二. 借用其他三角函数来确定合理选用公式，仅对两角和（差）的范围在相邻两个象限时起作用，而对于其它情形，可通过两角和（差）的两个三角公式，来确定两角和（差）的范围。
例2 已知sin ,cos αβ==-35513，且α，β都是第二象限角，试确定2α+β，2α-β所在象限。
解析：由条件α，β都是第二象限角，则有。
257)53(21sin 212cos 252454532cos sin 22sin 。
1312sin ,54cos 22=-=α-=α-=-=αα=α=β-=α×，）（××所以因为2α+β，2α－β都可能落在三个象限，单独使用正（余）弦和差角公式，从值的符号都不能决定2α+β，2α－β的象限，但同时使用正弦、余弦的和差角公式，即可解决。
由cos(2α+β)=cos2αcos β－sin2αsin β，03252531312)2524()135(257＞××=---=知2α+β在一、四象限。
又sin(2α+β)=sin2αcos β+cos2αsin β=--+=（）×（）×＞24255137251213204325知2α+β在一、二象限。
综上知2α+β在第一象限。
同理可确定2α-β在第三象限。
三. 挖掘隐含条件来确定例3 已知cos(α－β)= βα=α、，，2312sin 21都是锐角，求cos(α+β)的值。
解析：由已知条件有。
322)31(12sin 12cos ,312sin 22022=-=α-=α=απα则，又＜＜因为0＜sin2α=1312＜，所以0＜2α＜π6，所以0＜α＜π12。
①又因为0＜β＜π2，所以-π2＜-β＜0 。
②由①、②得-π2＜α-β＜π12。
又因为cos （α-β）=12，所以--παβ20＜＜。
)(cos 1)sin(2β-α--=β-α所以=23-。
从而cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]=cos2αcos(α-β)+sin2αsin(α-β)。