(完整版)高一数学必修1知识点归纳

1、集合的概念：某些研究对象的全体叫集合，用大写字母表示；集合中的每个对象叫做这个集合的元素，用小写字母表示；
2、集合的表示方法有：（1）列举法（把集合的所有元素一一列举并写在大括号内）；（2）描述法（把集合中元素的公共属性描述出来写在大括号内）；
3、集合中元素的特征有无序性、互异性、确定性；
4、元素与集合的关系有：属于（）和不属于（）；∈∉
5、集合分类：
（1）把不含任何元素的集合叫做空集（）； （2）含有有限个元素的集合叫做有限集；∅（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集；6、常用数集及其记法：（1）自然数集
：记作；
（2）正整数集
：记作；
{}0,1,2,3, N {}1,2,3, N N *+或（3）整数集
：记作；（4）有理数（包括整数和分数）集：记作；
{}3,2,1,0,1,2,3,--- Z Q （5）实数（包括有理数和无理数）集：记作；
R 7、集合与集合的关系有：子集（包含于，）、真子集（真包含于，
）
、相等（=）；⊆Ø8、子集的概念：如果集合A 中的每一个元素都是集合B 中的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作
；
A B ⊆9、真子集的概念：若集合A 是集合B 的子集，且B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作
；（真子集是除本身以外的子集）
A B ⊂10、子集、真子集的性质：
（1）传递性：若
，，则；
B A ⊆
C B ⊆A C ⊆（2）空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集；
（3）任何一个集合是它本身的子集；（在写子集时首先注意两个特殊的子集----空集和它本身）
11、集合相等：
（1）若集合A 中的元素与集合B 中的元素完全相同，则称集合A 等于集合B,记作；
A B =（2）
（即互为子集）。

B A A B B A =⇔⊆⊆
,12、n 个元素的集合其子集个数共有个；真子集有个（比子集少了它本身）
；)(N n ∈2n
21n
-非空子集有个；非空的真子集有个；
2
1n
-22n -13、集合的运算：
（1）交集（公共元素） ：A ∩B ＝{x|x ∈A 且x ∈B}；（2）并集（所有元素） ：A ∪B ＝{x|x ∈A 或x ∈B}；（3）补集（剩余元素） ：＝{x| 且x ∈U}，U 为全集。

A C U x A ∉14、集合运算中常用的结论:① ； ②
；
A B A B A
⊆⇔= A B A B B ⊆⇔= ③
；；
④。

A A A = A A A = ;A A A ∅=∅∅= 注意：集合问题的处理要养成画数轴的好习惯，在用区间表示结果时要注意小括号和中括号的合理使用.
15、函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A 中的任意f
一个数，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：A →B 为从集合A 到集合
x ()f x f
B 的一个函数。

记作：。

其中：叫做自变量，的取值范围A 叫做函数的定义
(),y f x x A =∈x x 域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

x y 注意；我们现在用符号
来表示函数，其中表示与对应的函数值，而不是乘。

()y f x =()f x x f
x 16、求函数定义域的方法：（1）分式
中分母；（2中被开方式
1
()
f x ()0f x ≠；（3）对数式中底数，真数；（4）有几
()0f x ≥()log ()f x g x ()0()1f x f x >≠且()0g x >
17、求函数解析式的常用方法：（1）待定系数法（针对格式化定义的函数）----设、代、解、代；（2）换元法（针对复合型函数）；（3）配方法（针对二次型函数）。

18、区间的概念： （设是两个实数且） （1）闭区间：；（2）
,a b a b <{}[],x a x b a b ≤≤=开区间：
；（3）半开半闭区间：；
{}(),x a x b a b <<={}[),x a x b a b ≤<=；（4）实数集可以用区间表示。

{}(],x a x b a b <≤=R (,)-∞+∞19、同一函数：如果两个函数的定义域值域和对应关系完全相同，即称这两个函数相等（或者说是同
一函数）。

20、函数的三种表示法是：解析法；图象法；列表法。

21、分段函数：按自变量取值的不同情况将函数的对应关系（或者是解析式）用不同的式子分段表
x 示的函数，处理的方法是分段处理；复合函数的处理方法是从里向外层层剥离。

22、函数的单调性：（1）增函数定义：若，有；增函数图象上升（同
12x x D <∈12()()f x f x <增）。

（2）减函数定义：若，有；减函数图象下降（异减）。

1
2x x D <∈12()()f x f x >（3）用定义法证明（或判断）函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：
取值： 任取两个x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；
作差：f(x 1)－f(x 2)；
○1○2 变形：（通常是因式分解、配方和通分等）； 判号：（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；
○3○4 下结论：（即指出函数f(x)在区间D 上的单调性）．○523、函数最大（小）值：（1）定义：设函数
满足，则是函数
的最大值，记作
()y f x =()f x M
≤M ()y f x =；
max y M
=设函数
满足，则是函数
的最小值，记作；
()y f x =()f x M ≥M ()y f x =min y M
=（2）求法：①利用函数的单调性求解；②通过换元、配方、反解等求函数的值域；③利用不等式性质求；④二次函数利用性质求等。

24、函数的奇偶性：（1）奇函数：对于函数
的定义域内任意一个，都有。

图象关于原点对称。

()f x x )()(x f x f -=-（2）偶函数：对于函数
的定义域内任意一个，都有。

图象关于Y 轴对称。

()f x x )()(x f x f =-（3）奇（偶）函数的定义域的要求是定义域要关于原点对称，否则就是非奇非偶函数；（4）奇函数在原点两侧的单调性一致且在处有定义时必有；
0x =(0)0f =（5）偶函数在原点两侧的单调性相反且有成立。

()()f x f x =25、初中学过的二次函数的知识归纳：二次函数：①解析式
；②在时是偶函数，在时是非奇非偶函
2(0)y ax bx c a =++≠0b =0b ≠数；③单调性与和对称轴有关：在时是左减右增，时是左增右减。

a 0a
>0a <④其它性质：（1）二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是
c bx ax y ++=2
a
b x 2-=。

⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422，（2）用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式：一般式：
，
零点式：
，顶点式：
2()f x ax bx c =++12()()()f x a x x x x =-⋅-，顶点坐标是。

2()()f x a x h k =++(,)h k -（3）二次函数图象：
c bx ax y ++=2①当时，图象与X 轴有2个交点；若有两根，则
240b ac ∆
=->20ax bx c ++=12,x x 。

②当时，图象与X 轴只有1个交点。

③当
1212;b c
x x x x a a
+=-=240b ac ∆=-=时，图象与X 轴没有交点。

240b ac ∆=-<26、指数运算与指数函数：①指数的性质与运算法则：；
；；； m
n m n
a
a a
+⋅=m m n
n
a a a
-=()n m mn a a =()n n n ab a b =
d
l
；；；
n
n n
a a
b b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
1(0)a
a =≠1
n
n a
a
-=m n
a
=n a =,(,(a n a n ⎧=⎨⎩是奇数时）；
是偶数时）
② 指数函数的定义：函数
叫做指数函数。

(0,1)x y a a a =>≠③指数函数的图象和性质：
27、对数运算与对数函数：
①指数与对数的相互转化：（其中且），读做以为底的
x
a
N =⇔log a x N =0a >1a ≠a N 对数，其中叫底数，叫真数，且；
a N 0N >②对数基本性质： ； ；零和负数没有对数。

log 10a =log 1a a =③运算性质：(0,1,0,0)
a
a M N >≠>>； ；log ()log log a a a M N M N =+A log (
log log a a a M
M N N
=-。

（这些性质均保持底数不变）
log log n a a M n M =
④对数恒等式：（且，）
0>a 1≠a 1,0,0,0≠>>>b b N M
； ；。

log b a N a b N =⇔=log a N a N
=log n a
a n =⑤对数的换底公式：；（取头取尾去中间）
log log log c a c b
b a
=
≠(c>0,c 1)log log log a b a b c c ∙=；
⑥特殊的对数：常用对数（以10为底的对数），简记为；
10log N lg N
自然对数（以无理数为底的对数）
，简记为；2.71828e ≈⋅⋅⋅log e N ln N ⑦对数函数：（1）定义式：函数
叫做对数函数。

log (0,1)a y x a a =>≠（2）对数函数的图象和性质：
28、幂函数
①幂函数的定义：形如
的函数叫做幂函数（为常数，是自变量）。

y x α=αx ②性质：当时，幂函数图象都过点点、且在第一象限都是增函数；当时，
0α
>(0,0),(1,1)0α<幂函数图象总是经过点点、且在第一象限都是减函数。

(1,1)
29、函数与方程的关系：（1）函数的零点的概念：对于函数，我们把使方程的
()y f x =()0f x =实数叫做函数
的零点。

即函数有零点方程有解函数
x ()y f x =()y f x =⇔()0f x =⇔的图象与轴有交点。

（结合函数的图象用数形结合法求解）()y f x =x （2）零点存在的条件：如果函数
在区间上的图象是连续的曲线，则函数
()y f x =[],a b 在区间上存在零点的条件是；
()y f x =[],a b ()()0f a f b <A （3）求函数
零点的方法：①直接解方程；②利用图象求其与轴的交点（交点
()y f x =()0f x =x 的横坐标即是零点）；③将方程
变为两个函数，通过图象看它们的交点情况（同时可以知道
()0f x =零点的个数）；④可通过二分法求函数的零点的近似值。

结束语：希望同学们认真复习，争取在期中考试中取得好成绩，开心过好高一每一天！
请记住：不拼不博，等于白活；付出才有回报！！
祝大家学习进步。