专题09 指数函数对数函数以及幂函数(解析版)

专题09 指数函数对数函数以及幂函数一、指数函数的图象与性质

(1)R

二、对数函数的图象与性质

(1)定义域：(0，＋∞)

三、常用的指对数变换公式：

（1）

n

m

m n

a a

⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

；

（2）log log log a a a M N MN += ； log log log a a a M M N N

-=； （3）()log log 0,1,0n

a a N n N a a N =>≠>；

（4）换底公式：log log log c a c b

b a

=

； 进而有两个推论：1

log log a b b a

=（令c b =）； log log m n a a

n N N m =；

四、方法与技巧 1、指对比较大小

（1）知识反思：需要熟悉指数与对数函数的单调性。

（2）解题反思：问题为比较两个数值得的大小，常规方法为作差法；而问确从函数思想出发，构造了两个指数函数，利用单调性从而比出数值的大小，而在（3）问中，问题层层推进，进而变式，引入中间量的方法，解决不同底数幂的大小比较问题，体现了数学思维的灵活性。

（3）推而广之：比较两个数值的大小，在后续的对数函数、幂函数及三角函数学习中也有类似的问题出现，其解决问题的基本思想为函数思想，即运用对应函数的函数性质进行大小比较；

2、解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质 (1)要分清函数的底数是a ∈(0,1)，还是a ∈(1，＋∞)；

(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行； (3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.

例1、(2019常州期末） 函数y ＝1－ln x 的定义域为________． 【答案】(0，e ]

【解析】由题得1－ln x≥0，ln x≤1，得00. 变式1、(2019镇江期末） 函数f(x)＝lg （3－x ）的定义域为________． 【答案】 (－∞，2]

【解析】由⎩

⎪⎨⎪⎧3－x>0，lg （3－x ）≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x<3，3－x≥1，即x≤2，故函数的定义域为(－∞，2]．

变式2、(2018南京、盐城、连云港二模）函数f(x)＝lg (2－x)的定义域为________．

【答案】 (－∞，2)

【解析】由题意得2－x>0，即x<2，所以函数f(x)＝lg (2－x)的定义域为(－∞，2)． 例2、(2018苏州期末） 已知4a ＝2，log a x ＝2a ，则正实数x 的值为________．

【答案】 1

2

【解析】：由4a

＝2，得22a

＝21

，所以2a ＝1，即a ＝12.由log 12x ＝1，得x ＝⎝⎛⎭⎫121＝1

2.

变式、(2017徐州、连云港、宿迁三检）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行于x 轴，顶点A ，

B 和

C 分别在函数13log a y x =，22log a y x =和3log a y x =(1a >)的图象上，则实数a 的值为 ．

【答案】

2

【解析】 设

)

log 3,(t t A a （0>t ），因为正方形ABCD 的边长为2，所以

)

log 2,(t t B a ，

)

log 2,(2t t C a ，

则⎩⎨⎧=-=-2log 2log 322t t t t a a ，即⎩⎨⎧==--2log 022t t t a ，解之得⎩⎨⎧==2

2a t ，即所求的实数a 的值为2． 例3、 2.已知ln x π=， 5log 2y =， 12

z e -=，则

【答案】y z x <<

【解析】∵ln ln 1x e π=>=，510log 2log 2<<=

,即10,2y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

； 1

2

11

2e e

-

=>=

>=,即1,12z ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

，∴y

变式1、已知定义在R 上的函数()1f x -的图像关于1x =对称，且当0x >时，()f x 单调递减，若

()0.5log 3,a f = ()1.30.5,b f -= ()

60.7,c f =则,,a b c 的大小关系是 【答案】c a b >>

【解析】∵定义在R 上的函数()1f x -的图像关于1x =对称，∴函数()f x 为偶函数， ∵0.50.5log 3log 10<=，∴()()0.52log 3log 3f f =，∴2221log 2log 3log 42=<<=． ∵当0x >时，()f x 单调递减，∴c a b >>，

例4、(2018苏锡常镇调研） 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪

⎧a －e x ，x<1，x ＋4

x ，x≥1(e 是自然对数的底)．若函数y ＝f(x)的最小值是4，则实数a 的取值范围为________．

【答案】 [e ＋4，＋∞)

【解析】解法1 在x≥1时，f(x)min ＝f(2)＝4.所以当x<1时，a －e x ≥4恒成立．转化为a≥e x ＋4对x<1恒成立．因为e x ＋4在(－∞，1)上的值域为(4，e ＋4)，所以a≥e ＋4.

解法2 当x<1时，f(x)＝a －e x >a －e ，当x≥1时，f(x)＝x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝4

x ，即x ＝2时，取“＝”，

故函数f(x)的值域是[e ＋4，＋∞) .

解后反思 解法1中，因为e x ＋4在x<1上没有最大值，所以要特别注意边界值e ＋4能否取到． 变式1、(2017镇江期末） 已知函数y ＝2x ＋

12x ＋1与函数y ＝x ＋1

x 的图像共有k (k ∈N *)个公共点：A 1(x 1，y 1)，

A 2(x 2，y 2)，…，A k (x k ，y k )，则∑(x i ＋y i )＝________.

【答案】 2

【解析】思路分析 函数y ＝2x ＋12x ＋1可变形为y ＝2－2

2x ＋1，则函数y ＝2x ＋12x ＋1在R 上单调递增，也可变形为y ＝2x －12x ＋1＋1，则函数y ＝2x ＋12x ＋1图像关于点(0,1)对称；函数y ＝x ＋1

x 图像也关于点(0,1)对称，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数．

如图，函数y ＝2x ＋

12x ＋1与函数y ＝x ＋1

x 的图像都关于点(0,1)成中心对称，所以它们的交点也关于点(0,1)成

中心对称，且只有两个交点，所以∑i ＝0，∑i ＝2，则∑(x i ＋y i )＝2.