华南农业大学概率论5-习题1解答
09-10华南农业大学《概率论》期末考试试卷(A卷)及答案
2009－2010 学年第1学期 概率论（A 卷）考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一、填空题（每空3分，共24分） 1.设两事件,A B 满足条件()()P A B P A B =，且()(01P A p p =<<，则()P B =________________.2.设1(),F x 2(),F x 3()F x 分别是随机变量1,X 2,X 3X 的分布函数，为使123()()()()F x a Fx b F xc F x=++是某一随机变量的分布函数，则a+b+c= . 3.设随机变量X服从泊松分布()P λ，且{1}{2P X P X ===，则λ=___________;{3}P X == .4. 设(0,1),21,X N Y X =+ 则{|1|2}P Y -<=______________.5. 若随机变量ξ在[1，6]上服从均匀分布，则方程210X X ξ++=有实根的概率为_______. 6. 设随机变量,X Y 相互独立，其中X 在[2,4]-上服从均匀分布，Y 服从参数为13的指数分布，则(2)E X Y -=_______________; (2)D X Y -=_______________.二、选择题（每小题3分，本题共15分）1. 对两事件A 和B ，下列命题成立的是( ). A 、如果A 、B 相容，则A B 、也相容； B 、如果P(AB)=0，则A 、B 不相容；C 、如果A 、B 相互独立，则()()P B A P B =成立；D 、如果A 、B 对立，则事件A 、B 相互独立.2. 设连续型随机变量X 的密度函数为()f x ，且()(),,f x f x x R -=∈又设X 的分布函数为()F x ，则对任意正实数,()a F a -等于( ).(A) 01();af x dx -⎰(B) 01();2a f x dx -⎰ (C) ();F a (D) 2() 1.F a -3. 当随机变量X 的可能值充满区间 时，则函数()cos()F x x =才可以成为随机变量X 的分布函数.( ) (A)0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦; (B),2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦; (C)[]0,π; (D)3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 4. 设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为10.30.7X P10.30.7YP则有( ).（A ）()0;P X Y == （B ）()0.5;P X Y == （C ）()0.58;P X Y == （D ）() 1.P X Y == 5. 随机变量X 的概率密度函数为21(),(1)X f x x R x π=∈+，则Y=3X 的密度函数为( )A 、21,(1)y R y π∈+； B 、23,(9)y R y π∈+； C 、21,(1)9y R yπ∈+； D 、21,.(19)y R y π∈+ 三、解答题（15分）设随机变量X 与Y 相互独立，它们的密度函数分别为：1,02()20,X x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他; 44,0()0,0y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩.试求：(1) (X,Y)的联合密度函数；（4分） (2) (2)P Y X <；（5分） (3) ()2D X Y -.（6分）四、简答题（10分）某人考公务员接连参加同一课程的笔试和口试，笔试及格的概率为p ，若笔试及格则口试及格的概率也为p ，若笔试不及格则口试及格的概率为2p . (1)如果笔试和口试中至少有一个及格，则他能取得某种资格，求他能取得该资格的概率.(5分)(2)如果已知他口试已经及格，求他笔试及格的概率.(5分)五、解答题（15分）设平面区域为{}2(,)01,D x y x x y x =≤≤≤≤，二维随机变量(X,Y)在该区域上服从均匀分布；(1) 求(X,Y)的联合密度函数；（4分）(2) 求关于X 和关于Y 的边缘密度函数(),()X Y f x f y ，并问X 、Y 是否独立？（7分） (3) 求1().3P X ≤（4分）六、简答题（10分）某仪器装有三支独立工作的同型号电子元件，其寿命X （单位为小时）都服从同一指数分布，概率密度为6001,0()6000,0xe xf x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩， 求：（1）{200}P X <；(4分)（2）在仪器使用的最初200小时内，至少有一支电子元件损坏的概率.（6分）七、简答题（11分）一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3。
概率论(华南农业大学)智慧树知到答案2024年华南农业大学
概率论（华南农业大学）华南农业大学智慧树知到答案2024年第一章测试1.设样本空间Ω={1，2，10}，事件A={2，3，4}，B={3，4，5}，C={5，6，7}，则事件=( )。
A:{1,2,5,6,7,9,10} B:{1,2,3,5,6,7,8,9,10} C:{1,2,5,6,7,8,9,10}D:{1,2,4,5,6,7,8,9,10}答案:C2.同时掷3枚均匀的硬币，恰好有两枚正面向上的概率为( )。
A:0.375 B:0.25 C:0.325 D:0.125答案:A3.假设任意的随机事件A与B，则下列一定有（）。
A: B: C: D:答案:B4.设A，B为任意两个事件，则下式成立的为( ) 。
A: B: C: D:答案:A5.设则＝（）。
A:0.24 B:0.48 C:0.30 D:0.32答案:C6.设A与B互不相容，则结论肯定正确的是 ( )。
A: B:与互不相容 C: D:答案:C7.已知随机事件A, B满足条件，且，则（）。
A:0.3 B:0.4 C:0.7 D:0.6答案:C8.若事件相互独立，且，则( )。
A:0.775 B:0.875 C:0.95 D:0.665答案:A9.A:B: C: D:答案:D10.不可能事件的概率一定为0。
（）A:错 B:对答案:B11.A:错 B:对答案:A12.贝叶斯公式计算的是非条件概率。
（）A:错 B:对答案:A第二章测试1.下列各函数中可以作为某个随机变量X的分布函数的是( )。
A: B: C:D:答案:C2.设随机变量，随机变量, 则 ( )。
A: B: C: D:答案:C3.设随机变量X服从参数为的泊松分布，则的值为（）。
A: B: C: D:答案:C4.设随机变量X的概率密度函数为，则常数（）。
A: B: C:5 D:2答案:C5.如果随机变量X的密度函数为，则（）。
A:0.875 B: C: D:答案:D6.A:对任意实数，有 B:只对部分实数，有。
概率论与数理统计第五章重点习题和答案
1．设有30个电子器件1230,,,D D D ，
它们的使用情况如下：1D 损坏，2D 立即使用；2D 损坏，3D 立即使用等等，设器件i D 的寿命服从参数为0.1λ=(小时1)-的指数分布的随机变量，令T 为30个器件使用的总时间，求T 超过350小时的概率。
解 设i D 为器件i D 的寿命，则301i i T D
==∑，所求概率为
30301300(350)(350)i i i D P T P D P =⎧⎫-⎪⎪≥=≥=≥⎪⎪⎩⎭
∑∑
11(0.91)10.81860.1814≈-Φ=-Φ=-=.
2．某计算机系统有100个终端，每个终端有20%的时间在使用，若各个终端使用与否相互独立，试求有10个或更多个终端在使用的概率。
解 设1,,1,2,0,.
i i X i i ⎧==⎨
⎩第个终端在使用第个终端不在用 则同时使用的终端数
1001~(100,0.2)i i X X B ==
∑
所求概率为
(10)11( 2.5)(2.5)0.9938P X ≥≈-Φ=-Φ-=Φ=.
3．某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤.
解
20(14
30)))P X ≤≤≈Φ-Φ (2.5)( 1.5)=Φ-Φ- 0.9938(1.5)10.99380.93321=+Φ-=+-
0.927=.。
概率论与数理统计第五章习题参考答案
F = S甲2 ~ F (4,4) S乙2
由
P⎪⎨⎧ ⎪⎩
S甲2 S乙2
<
F 1−
0.05
(4,4)
U
2
S甲2 S乙2
>
F0.05
2
(4,4)⎪⎬⎫ ⎪⎭
=
0.05
查表得： F0.05 (4,4) = 9.6,
2
F 1−
0.05
2
(4,4)
=
1 F0.025 (4,4)
=
0.1042
，
故拒绝域为 (0, 0.142) U (9.6, + ∞) .
54 67 68 78 70 66 67 70 65 69 问患者与正常人的脉搏有无显著差异（患者的脉搏可视为服从正态分布。α = 0.05 ） 解：设患者的脉搏为 X , 计算其样本均值与样本方差分别为 x = 67.4, s = 5.93
在检验水平α = 0.05 下，检验假设 H 0 : µ = µ0 = 72 H1 : µ ≠ µ0 = 72
问两台机器的加工精度是否有显著差异（α = 0.05 ）？
解：在检验水平α = 0.05 下，检验假设 H 0 : µ1 = µ 2
H1 : µ1 ≠ µ2
因为
µ1，µ
2，σ
12，σ
2 2
均未知，且不知
σ
12与σ
2 2
是否相等，
故先检验假设 H 0′
:
σ
2 1
=
σ
2 2
,
H
1′
:
σ
2 1
≠
σ
2 2
。
H1 : µ1 ≠ µ2
当假设 H 0 为真时，取检验统计量
华农概率论习题解答关于
习 题 三 解 答1：设二维随变量（X ，Y ）只能取下列数组中的值：（0，0），（-1，1），（-1，1/3），（2，0），且取这几组值的概率依次为1/6，1/3，1/12，5/12。
求此二维随机变量（X ，Y ）的分布列。
解：此二维随机变量（X ，Y ）的分布列是： Y X 0 1/3 1 -1 0 1/12 1/30 1/6 0 0 25/12―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――2．一袋中有四个球，它们依次标有数字1，2，2，3。
从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取球，设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同。
以X ，Y 分别记第一、二次取得的球上标有的数字，求（X ，Y ）的概率分布。
解：由题意得：（X ，Y ）的可能取值为：（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2）。
则由概率的乘法公式得：P{X=1,Y=2}=(1/4)×(2/3)=1/6 P{X=1,Y=3}=(1/4)×(1/3)=1/12 P{X=2,Y=1}=(2/4)×(1/3)=1/6 P{X=2,Y=2}=(2/4)×(1/3)=1/6 P{X=2,Y=3}=(2/4)×(1/3)=1/6P{X=3,Y=1}=(1/4×(1/3)=1/12 P{X=3,Y=2}=(1/4)×(2/3)=1/6而事件(1,1),(3,3)为不可能事件，所以P{X=1,Y=1}=0，P{X=3,Y=3}=0。
则（X ，Y ）的联合分布列为：―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――3在一个箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只，考虑两种试验，（1）有放回抽样，（2）无放回抽样，我们定义随机变量X ，Y 如下Y X 1 2 3 1 0 1/6 1/12 2 1/6 1/6 1/6 3 1/12 1/6 0⎩⎨⎧=品表示第一次取出的是次品表示第一次取出的是正10X⎩⎨⎧=品表示第二次取出的是次品表示第二次取出的是正1Y解：（1）所求联合概率分布为：X 0 10 25/365/36 15/361/36（2）所求联合概率分布为： X 010 45/6610/66 110/661/66―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――4.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为),(y x f =⎩⎨⎧>>+-其他,00,0,)43(y x ke y x（1）确定常数k ；（2）求（X ，Y ）的分布函数；（3）求P{0＜X ≤1，0＜Y ≤2}。
华南农业大学2016-2017学年第1学期期末概率论与数理统计考试试卷(A卷)+答案
华南农业大学期末考试试卷（A卷）2016-2017学年第1学期考试科目：概率论与数理统计考试类型：（闭卷）考试考试时间：120分钟学号姓名年级专业题号一二三总分得分评阅人得分一选择题（每小题3分，共计15分）1、设A，B是两个互斥的随机事件，则必有_________ （）（A）P(A∪B)=P(A)+P(B) (B)P(A-B)=P(A)-P(B)(C)P(AB)=P(A)P(B) (D)P(A)=1-P(B)2、在1到100的自然数里任取一个数，则它能被2和5整除的概率为（）（A）错误!未找到引用源。
(B)错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
(C)错误!未找到引用源。
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(D)错误!未找到引用源。
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错误!未找到引用源。
3、设F（x）与G(x)分别为随机变量Χ与Y的分布函数，为使H（x）=aF(x)+bG(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数据中应取（）（A） a=0.3，b=0.2 （B）a=0.3，b=0.7 （C）a=0.4，b=0.5 （D）a=0.5，b=0.64、设X1,X2,...,Xn为取自总体N(0 ,σ^2)的一个样本，则可以作为σ^2的无偏估计量的是（）（A）(B) (C)(D)5.设x1，x2，···，x n为正态总体N（μ，4）的一个样本，错误!未找到引用源。
表示样本均值，则μ的置信度为1-α的置信区间为（）(A)（错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
）. (B)（错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
）.(C)（错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
）. (D)（错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
）参考答案：答案：1、A 2、B 3、B 4、5. D解答：因为正态分布总体方差已知，得错误!未找到引用源。
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N（μ，错误!未找到引用源。
），错误!未找到引用源。
概率论第五章习题解答(全)
10 ) 1 0.90 n 12
即
(
10 ) 0.95 ，查表得 (1.64) 0.95 n 12
n 443 。
令
10 1.64 ，解得 n 12
即最多可有 443 个数相加，可使得误差总和的绝对值小于 10 的概率不小于 0.90。 4、 设各零件的重量都是随机变量， 它们相互独立， 且服从相同的分布， 其数学期望为 0.5kg， 圴方为 0.1kg，问 5000 只零件的总重量超过 2510kg 的概率是多少？ 解 设每只零件的重量为 X i ， i 1, 2, ,5000 ，由独立同分布的中心极限定理知
100
i
， 则 X b(100, 0.9) 。 由德莫弗――拉普拉斯定理知，
X 100 0.9 近 100 0.9 0.1
2 10000 i 1
X
i
索赔总金额不超过 2700000 美元的概率
P{ X 2700000} 1` P{ X 270000}
10000
1 P{
X
i 1
i
280 10000
800 100
2700000 2800000 } 80000
10000
1 P{
2 2
X
i 1
16
i
，
于是随机变量
Z
Xi n
i 1
16
2 n
X
i 1
16
i
1600
10000 16
X 1600 近似的服从 N (0,1) 400
P{ X 1920} P{
X 1600 1920 1600 X 1600 } P{ 0.8} 400 400 400 X 1600 1 P{ 0.8} 1 (0.8) ＝ 1 0.7881 0.2119 . 400
(完整word版)-华农《概率论》期末考试试卷参考答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2012-2013学年第 1 学期 考试科目： 概率论考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业题号 一二三总分得分 评阅人一、选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 1、设A 与B 互斥(互不相容)，则下列结论肯定正确的是( D )。
(A) A 与B 不相容 (B) A 与B 必相容 (C) ()()()P AB P A P B = (D) ()()P A B P A -=2、设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布如下，则有( C )成立。
010.20.8XP 010.20.8Y P(A) ()0P X Y == (B) ()0.4P X Y == (C) ()0.68P X Y == (D) ()1P X Y == 3、设随机变量的概率密度为()x ϕ，=12，则的概率密度为( A )。
(A)1122y ϕ-⎛⎫ ⎪⎝⎭； (B) 112y ϕ-⎛⎫- ⎪⎝⎭； (C) 12y ϕ-⎛⎫- ⎪⎝⎭； (D)2(12)y ϕ- 得分4、设随机变量ξ服从2λ=的泊松分布,则随机变量2ηξ=的方差为( A )。
(A) 8； (B) 4； (C) 2； (D) 16.5、设2~(0,1),~(,)N N a ξησ,则η与ξ之间的关系是( B )。
(A)a ξησ-=; (B) a ησξ=+; (C)2aξησ-= ; (D)2a ησξ=+.二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1、设样本空间Ω={1，2，10}，事件A={2，3，4}，B={3，4，5}，C={5，6，7}，则事件()A BC =__{1,2,5,6,7,8,9,10} ________。
2、抛一枚硬币三次，和分别表示出现正面的次数和出现反面的次数，则{}P ξη>=__12_______。
3、3、设随机变量X 的分布函数0,0.2,()0.9,1,F x ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩ 111122x x x x <--≤<≤<≥，则{03}P X ≤≤=_0.8_。
大学概率论——第五章 习题解 ppt课件
大学概率论——第五章 习题解
8、有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度
不小于3m，现在从这批木柱中随机地取出100根， 问其中至少有30根短于3m的概率是多少？ 解：利用拉普拉斯中心极限定理
从一批木柱中随机地取出100根，不放回抽样 近似的看作放回抽样。对100根母猪长度测量
看成进行100次贝努里试验，设随机变量
X={6000粒种子中的良种数}
大学概率论——第五章 习题解
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
10.9214 0.0786
大学概率论——第五章 习题解
7、计算机在进行加法时，将每个加数舍入最靠近
它的整数，设所有舍入误差是独立的，且在(-0.5,0.5) 上服从均匀分布，1）若将1500个数相加，问误差总
和的绝对值超过15的概率是多少？2）最多可有多少 个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于
大学概率论——第五章 习题解
P159 3、某计算机系统有120个终端，每个终端 有5％的时间在使用，若各个终端使用与否是相互 独立的，试求有10个或更多终端在使用的概率。
解：设 X i 1 2 0 个 终 端 中 第 i 个 终 端 在 使 用
则 Xi ~B120,0.05 EX1200.05 0 .6 D X 1 2 00 .0 50 .9 5 5 .7
n 12
Pn 10 P( n 10 )
n/12 n/12
P( 10 n 10 )
华南农业大学概率论考题及答案2009A(最终)
华南农业大学期末测验试卷〔 A 卷〕2021-2021学年第 2 学期测验类型：〔闭卷/开卷〕测验测验科目：概率论测验时间：120 分钟学号姓名二年级专业题号得分一三四五六总分评阅人一、〔15 分〕填空题〔每空分，共15 分〕31. 设A、B 为两个事件，P( A) ，P(B) ，P(A B) ，那么P(A B)2. 某人持续射击 3 次，记A 为“第次射击命中目标〞，＝1，2，3，又设此人命i ii中率为0.7, 各次射击互不影响，那么他恰好只在第三次命中的概率为。
3. 设随机变量X 从命[ 2 , 4上] 的均匀分布，随机变量Y 3 2X ，那么方差4D(Y) 。
3X ~ N (2, 2 ), P(2 X 4) ，那么P(X 0) 。
4. 随机变量5. 设随机变量X 与Y 彼此独立，且X ~ N (0,1) ，Y ~ N (3,6) ，令Z 2X 3Y，那么E(Z 2 )139二、〔12 分，每题6 分，〕发报台别离以概率和发出信号“0〞和“1〞，由于通讯系统受到干扰，当发出“0〞时，收报台别离以概率和收到“0〞和“1〞；当发出“1〞时，收报台分别以概率和收到“1〞和“0〞。
试求：〔1〕收报台收到“1〞的概率；〔2〕当收到“1〞时，发报台确实发出“ 1〞的概率.解 ：设发出信号“ 0〞为事件 A, 发出信号“ 1〞为事件 A ，接收到信号“ 0〞为事件 B ， 接收到信号“ 1〞为事件 B 。
由题意有P( A) 0.6,P(A) 0 .4,P(B | A) 0.8,P(B | A)P(B | A) 0. 9,P(B | A)〔1〕 求概率 P(B ) 。
由全概率公式P (B ) P(B | A)P( A) P(B | A)P(A )〔2〕求概率 P(B | B ) 。
由贝叶斯公式，所求概率为P (B | A)P(A)3 P( A | B )P(B )4三、〔15 分， 每题 5 分〕 设( , ) 的密度函数为1 xxe, x 0, y 0,2f (x, y)(1 y)0,其他，求〔1〕 的边缘密度 f (x) ；〔2〕 的边缘密度 f ( y)；〔3〕判断 与 的独立性。
05(1)概率统计试卷+答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2005学年第一学期 考试科目：概率论与数理统计（50学时）考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分 评阅人已知：0.050.0250.0250.0250.050.05(1)0.85,(0.5)0.70, 1.65, 1.96,(24) 2.063(25) 2.060,(4,10) 3.48,(4,9) 3.63U U t t F F Φ=Φ=======一.填空题（'63⨯=18分）1. 设()0.2,()0.3,()0.5P A B P A P B ===，则()____,()_____P AB P B A ==。
2. 若随机变量(10,0.6),X B 则()______,()________E X D X ==。
3. 设每次试验成功的概率为(01)p p <<，则在三次重复试验中至少失败1次的概率为 ______________________。
4. 设(1,3),21X N Y X =+ ，则{36}____________P Y -<=。
5. 设总体14(1,9),,,X N X X 为简单随机样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则214()3X u -=服从__________分布。
6. 已知二维随机变量(X,Y)在区域229x y +≤上服从均匀分布,则它们的联合密度函数为_________________。
二.选择题（'63⨯=18分）1. 试用事件的关系和运算表示A,B 两个事件对立为 （ ） (A) AB φ= (B) ,AB A B =∅=Ω (C) A B =Ω (D) A 与B 互不相容2. 设（X,Y ）为二维随机变量, F(x,y)为它们的联合分布函数,()X F x 及()Y F y 为边缘分布函数,则当( )时称X 与Y 相互独立. （ ）(A) (,)()()X Y F x y F x F y =+ (B) (,)()()X Y F x y F x F y =- (C)(,)()()X Y F x y F x F y = (D) (,)()/()X Y F x y F x F y = 3. 若随机变量X 的密度函数2()()1kp x x x=-∞<<+∞+，则k 的值为 ( ) (A)1π(B)2π(C)1π(D)2π4. 设有二个随机事件A,B ，则事件A 发生,B 不发生的对立事件为 （ ）（A ）AB （B ）AB （C ）A B （D ）A B5. 矩估计是 （ ）（A ）点估计 （B ） 区间估计 （C ）极大似然估计 （D ）无偏估计 6. 总体未知参数θ的估计量θ∧是 （ ）(A) 均值 (B) 总体 (C) θ (D) 随机变量 三（10分）、在炮战中,在距目标分别为300米,200米,100米处射击的概率分别为0.2,0.7,0.1,而在各处射击时命中目标的概率分别为0.1,0.2,0.3,试求 1)目标被击中的概率2)若已知目标被击中,炮弹是由200米处射击的概率？四、（20分）二维随机变量(X,Y)服从区域D:02,03X Y ≤≤≤≤上的均匀分布，试求 1）X 与Y 的联合密度函数(,)f x y2）X 与Y 的边缘密度函数(),()X Y f x f y 3）EXY 和P(0<X<1)五、（16分）已知某随机变量X的概率密度为2301 ()x xf x⎧<<=⎨⎩其它求（1）分布函数()F x，期望与方差(),()E X D X；（2）函数25Y X=-的概率密度函数。
概率论课后习题答案1～7章
习题一1． 略.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件： （1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC（4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC(5) ABC=A B C(6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3. 略.见教材习题参考答案4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）. 【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)]=1-[0.7-0.3]=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0， P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=14+14+13-112=347. 从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】p=5332131313131352C C C C/C8. 对一个五人学习小组考虑生日问题：（1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率；（3）求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】（1）设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故P（A1）=517=（17）5 （亦可用独立性求解，下同）（2）设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P（A2）=5567=(67)5(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}P（A3）=1-P(A1)=1-(17)59. 略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n<N）.试求其中恰有m件（m≤M）正品（记为A）的概率.如果：（1）n件是同时取出的；（2）n件是无放回逐件取出的；（3）n件是有放回逐件取出的.【解】（1）P（A）=C C/Cm n m nM N M N--(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有P n N种，n次抽取中有m次为正品的组合数为C m n种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正品中取m件的排列数有P m M种，从N-M件次品中取n-m件的排列数为P n mN M--种，故P（A）=C P PPm m n mn M N MnN--由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成P（A）=C CCm n mM N MnN--可以看出，用第二种方法简便得多.（3）由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为N n种，n次抽取中有m次为正品的组合数为C m n种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m次取得正品，都有M种取法，共有M m种取法，n-m次取得次品，每次都有N-M种取法，共有（N-M）n-m种取法，故()C ()/m m n mnnP A M N M N-=-此题也可用贝努里概型，共做了n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为M N，则取得m 件正品的概率为()C 1mn mm n M M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11. 略.见教材习题参考答案.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A ==13. 一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设A i ={恰有i 个白球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥.213434233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ====故232322()()()35P A A P A P A =+=14. 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：（1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率.【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽}，（i =1,2）(1)1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==⨯= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-⨯=(3)2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =⨯+⨯=15. 掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.（1） 问正好在第6次停止的概率；（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率. 【解】（1）223151115()()22232p C ==(2)1342111C ()()22245/325p ==16. 甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率.【解】 设A i ={甲进i 球}，i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则3331212333()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯=0.3207617． 从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率. 【解】4111152222410C C C C C 131C 21p =-=18. 某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A ={下雨}，B ={下雪}.（1）()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A ===（2）()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=19. 已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】 设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故()6/86()()7/87P AB P B A P A ===或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.6()7P B A =20. 已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）. 【解】 设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯21. 两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图 题22图【解】设两人到达时刻为x,y ,则0≤x ,y ≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x -y |>30.如图阴影部分所示.22301604P ==22. 从（0，1）中随机地取两个数，求：（1） 两个数之和小于65的概率； （2） 两个数之积小于14的概率.【解】 设两数为x ,y ，则0<x ,y <1. （1） x +y <65. 11441725510.68125p =-==(2) xy =<14.1111244111d d ln 242x p x y ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭⎰⎰23. 设P （A ）=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5，求P （B ｜A ∪B ）【解】()()()()()()()()P AB P A P AB P B A B P A B P A P B P AB -==+-0.70.510.70.60.54-==+-24. 在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球} 由全概率公式，有3()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =∙+∙+∙+∙0.089=25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解】设A ={被调查学生是努力学习的}，则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P （A ）=0.8，P （A ）=0.2，又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P （B |A ）=0.9，P （B |A ）=0.9，故由贝叶斯公式知 （1）()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2)()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯ 即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B的概率为0.02，而B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ，试问原发信息是A 的概率是多少？【解】 设A ={原发信息是A }，则={原发信息是B }C ={收到信息是A }，则={收到信息是B } 由贝叶斯公式，得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯27. 在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种）【解】设A i ={箱中原有i 个白球}（i =0,1,2），由题设条件知P （A i ）=13,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知111120()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑ 2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯28. 某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率. 【解】 设A ={产品确为合格品}，B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯29. 某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】 设A ={该客户是“谨慎的”}，B ={该客户是“一般的”}，C ={该客户是“冒失的”}，D ={该客户在一年内出了事故}则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C ==++0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯30. 加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.【解】设A i ={第i 道工序出次品}（i =1,2,3,4）.412341()1()i i P A P A A A A ==-12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.970.124=-⨯⨯⨯=31. 设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9? 【解】设必须进行n 次独立射击.1(0.8)0.9n -≥即为(0.8)0.1n ≤故 n ≥11 至少必须进行11次独立射击.32. 证明：若P （A ｜B ）=P (A ｜B )，则A ，B 相互独立.【证】(|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B = 亦即()()()()P AB P B P AB P B =()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=-因此 ()()()P AB P A P B =故A 与B 相互独立.33. 三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为15，13，14，求将此密码破译出的概率.【解】 设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯=34. 甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3由全概率公式，得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7=0.45835. 已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：（1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.（2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.【解】（1）3101100C (0.35)(0.65)0.5138kk k k p -===∑(2)10102104C (0.25)(0.75)0.2241k k k k p -===∑36. 一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：（1） A =“某指定的一层有两位乘客离开”；（2） B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3） C =“恰有两位乘客在同一层离开”； （4） D =“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.（1）2466C 9()10P A =，也可由6重贝努里模型：224619()C ()()1010P A =（2） 6个人在十层中任意六层离开，故6106P ()10P B =（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有110C 种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有26C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有131948C C C 种可能结果；②4人同时离开，有19C 种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有49P 种可能结果，故1213114610694899()C C (C C C C P )/10P C =++（4） D=B .故6106P ()1()110P D P B =-=-37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3） 如果n 个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.【解】 （1）111p n =-(2)23!(3)!,3(1)!n p n n -=>-(3)12(1)!13!(2)!;,3!!n n p p n n n n --''===≥38. 将线段[0，a ]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率 【解】 设这三段长分别为x ,y ,a -x -y .则基本事件集为由0<x <a ,0<y <a ,0<a -x -y <a 所构成的图形，有利事件集为由()()x y a x y x a x y y y a x y x+>--⎡⎢+-->⎢⎢+-->⎣ 构成的图形，即02022a x a y ax y a ⎡<<⎢⎢⎢<<⎢⎢⎢<+<⎢⎣如图阴影部分所示，故所求概率为14p =. 39. 某人有n 把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.证明试开k 次（k =1,2,…,n ）才能把门打开的概率与k 无关.【证】11P 1,1,2,,P k n k n p k n n--===40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有i 面涂有颜色的概率P （A i ）（i =0,1,2,3）.【解】 设A i ={小立方体有i 面涂有颜色}，i =0,1,2,3.在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000-（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为01512384()0.512,()0.38410001000P A P A ====,24968()0.096,()0.00810001000P A P A ====.41.对任意的随机事件A ，B ，C ，试证P （AB ）+P （AC ）-P （BC ）≤P (A ).【证】 ()[()]()P A P A B C P AB AC ≥=()()()P AB P AC P ABC =+-()()()P AB P AC P BC ≥+-42. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 【解】 设i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故3413C 3!3()48P A ==而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()416P A ==因此213319()1()()181616P A P A P A =--=--=或12143323C C C 9()416P A ==43. 将一枚均匀硬币掷2n 次，求出现正面次数多于反面次数的概率. 【解】掷2n 次硬币，可能出现：A ={正面次数多于反面次数}，B ={正面次数少于反面次数}，C ={正面次数等于反面次数}，A ，B ，C 两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P （A ）=P （B ）.所以1()()2P C P A -=由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为211()()()22n n nn P C C =故 2211()[1C ]22nn n P A =-44. 掷n 次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A ={出现正面次数多于反面次数}，B ={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知P （A ）=P （B ）（1） 当n 为奇数时，正、反面次数不会相等.由P （A ）+P （B ）=1得P （A ）=P （B ）=0.5(2) 当n 为偶数时，由上题知211()[1C ()]22nn n P A =-45. 设甲掷均匀硬币n +1次，乙掷n 次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有>正正（甲乙）=（甲正≤乙正）=（n +1-甲反≤n -乙反）=（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）由对称性知P （甲正>乙正）=P （甲反>乙反） 因此P (甲正>乙正)=1246. 证明“确定的原则”（Sure -thing ）：若P （A |C ）≥P (B |C ),P (A |C )≥P (B |C )，则P （A ）≥P (B ).【证】由P （A |C ）≥P (B |C ),得 ()(),()()P AC P BC P C P C ≥即有()()P AC P BC ≥同理由(|)(|),P A C P B C ≥ 得 ()(),P AC P BC ≥故()()()()()()P A P AC P AC P BC P BC P B =+≥+=47.一列火车共有n 节车厢，有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率. 【解】 设A i ={第i 节车厢是空的}，（i =1,…,n ）,则121(1)1()(1)2()(1)1()(1)n k ki kki j ki i i n P A n nP A A nn P A A A n--==-=--=-其中i 1,i 2,…,i n -1是1，2，…，n 中的任n -1个. 显然n 节车厢全空的概率是零，于是2112111122111111123111()(1)C (1)2()C (1)1()C (1)0()(1)n n nk ki ni ki j n i j n n kn i i i n i i i nn nn i ni S P A n n n S P A A n n S P A A A nS P A S S S S --=≤<≤--≤<<≤+===-=-==--==-==-+-+-∑∑∑121121C (1)C (1)(1)C (1)k k n n k n n nn n n n--=---++--故所求概率为121121()1C (1)C (1)nk i i n ni P A n n=-=--+--+ 111(1)C (1)n n k nn n+---- 48.设随机试验中，某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A 迟早会出现的概率为1. 【证】在前n 次试验中，A 至少出现一次的概率为1(1)1()n n ε--→→∞49.袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】设A ={投掷硬币r 次都得到国徽}B ={这只硬币为正品}由题知(),()m nP B P B m n m n==++1(|),(|)12r P A B P A B == 则由贝叶斯公式知()()(|)(|)()()(|)()(|)P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B ==+121212rrr m m m n m n m n m n m n+==++++ 50.巴拿赫（Banach ）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r 根的概率又有多少？ 【解】以B 1、B 2记火柴取自不同两盒的事件，则有121()()2P B P B ==.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r 根，说明已取了2n -r 次，设n 次取自B 1盒（已空），n -r 次取自B 2盒，第2n -r +1次拿起B 1，发现已空。
华农-2013-2014第一学期概率论与数理统计答案(1)
12013学年第一学期《概率论与数理统计》试卷参考解答一、1、C 2、B 3、C 4、D 5、A 6、B 7、A 8、B 9、D 10、A 二、1、0.6；2、A B C ；3、36125或0.288；4、0.014；5、14； 6、0，1；7、(0,1)N ，(1)t n -；8、（39.51，40.49）三、1.解：令 ,0,1,2i A i = ， 表示事件“从乙袋中拿到i 个白球”, B 表示事件“从甲袋中取到白球”则 0()0.3P A = ， 1()0.6P A =，2()0.1P A =，012678(),(),()121212P B A P B A P B A === （1）由全概率公式知2()()()i i i P B P A P B A ==∑678170.30.60.112121230=⨯+⨯+⨯= 则从甲袋中取到白球的概率为1730.（2）由bayes 公式知222()()()()P A P B A P A B P B =80.1212171730⨯==则从乙袋中取到两个白球的概率是2172.解： （1）由密度函数的性质知 111()()2f x dx ax b dx a b +∞-∞==+=+⎰⎰ （1） 又由15()28P X >=知1121315()()2828P X ax b dx a b >=+=+=⎰ （2）联立（1）（2）解得11,2a b ==（2）1(2)3P X <<＝213()f x dx ⎰2＝1211317()029x dx dx ++=⎰⎰（3）X 的分布函数()()xF x f t dt -∞=⎰当0x ≤时，()00x F x dt -∞==⎰当01x <<时，020111()0()222xF x dt t dt x x -∞=++=+⎰⎰当1x ≥时，101()()12F x x dt =+=⎰则X 的分布函数20,011(),1221,1x F x x x x x ≤⎧⎪⎪=+<<⎨⎪≥⎪⎩ 0 .（4）()()E X xf x dx +∞-∞=⎰1017()212x x dx =+=⎰1222015()()()212E X x f x dx x x dx +∞-∞==+=⎰⎰2211()()()144D XE X EX =-=3.解：Y 的分布函数F Y (y )为2(){}{2}Y F y P Y y P X y =<=< 当0y ≤时，2(){}{2}0Y F y P Y y P X y =<=<=Y 的概率密度函数为()()0Y Y f y F y '== 当0y >时，2(){}{2}Y F y P Y y P X y =<=<{X X P X F F ⎛=<=- ⎝ Y 的概率密度函数为08,()()0,8.Y Y X X y f y F y f f y ⎛<<'=== ⎝⎪>⎩综上所述08,()0,.Y y f y <<=⎪⎩其他34.解：（1）1101()()(1),2E X x f x dx x dx θθθθ+∞+-∞+==+=+⎰⎰ 由111,2nii X X n θθ=+==+∑ 得θ的矩估计量 21ˆ,1X Xθ-=- （2）似然函数11()(;)(1)()nnni ii i L f x x θθθθ====+∏∏取 1ln ()ln(1)ln nii L n xθθθ==++∑令1ln ()ln 01ni i d L nx d θθθ==+=+∑ 得极大似然估计值为1ˆ1ln nii nxθ==--∑，估计量为1ˆ1ln nii nXθ==--∑5. 解：（1）此题是正态总体方差未知检验均值，故采用t 检验。
华南农业大学概率论5-习题1解答
P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( AC ) P( BC ) P( ABC ) 0.4 0.5 0.6 0 0.2 0.4 0 0.9
8.将 3 个球随机地放入 4 个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1, 2,3 的概率 分析：题意是将 3 个不同的球放入 4 个不同的杯子 因此样本空间中的样本点数为 4 4 4 43 （第一个球有 4 种选择，第二个球有 4 种选 择，第三个球有 4 种选择） 杯子中球的最大个数为 1，表示 3 个球在不同的杯子中，因此含有的样本点数为
（3）“第一卷或第五卷出现在旁边”的情况数 为了计数时不重复、不遗漏，这种情况分成更细的三种情况：只有第一卷在旁边（第 五卷不在旁边）、只有第五卷在旁边、第一卷和第五卷都在旁边 第一卷在旁边且第五卷不在旁边时，先把第一卷排在旁边，有 2 种排法，然后在二、 三、四卷中选一卷排在另一边，最后剩下的 3 卷任意排，因此共有 2 3 3 2 1 36 种情况； 同理，第五卷在旁边且第一卷不在旁边，也有 2 3 3 2 1 36 种情况； “第一卷和第五卷都在旁边”是（2）的情形，共有 12 中情况 因此“第一卷或第五卷出现在旁边”共有 36 36 12 84 种情况 对应概率为
6.设 P( AB) P( AB ) ，且 P( A) p ，求 P( B) 解答：由于 P( AB ) P( A
B) 1 P( A B) 1 P( AB) P( A) P( B)
因此 P( A) P( B) 1 ，故 P( B) 1 P( A) 1 p
（2）“第一卷及第五卷出现在旁边”的情况数
《概率论与数理统计》习题 1 解答（5/15）
概率论5考研真题答案解析
概率论5考研真题答案解析概率论是数学中的一个重要分支，广泛应用于科学、工程、金融等各个领域。
对于考研学子来说，概率论是必考的科目之一。
在考试中，常常会出现一些难题，需要我们运用所学的概率论知识进行分析和解答。
本文将对概率论5考研真题的答案进行详细解析，帮助考生更好地掌握概率论知识。
题目一：已知一个随机试验有5个等可能的结果，记为A1、A2、A3、A4、A5，A是A1事件与A2事件的和事件，B是A1事件与A3事件的和事件，C是A2事件与A4事件的和事件，D是A3事件与A5事件的和事件，求事件B与事件C相互独立的概率。
解析一：设事件A1发生的概率为P(A1)，事件A2发生的概率为P(A2)，以此类推。
根据题意，我们可以计算事件B与事件C的概率。
首先，事件B是A1事件与A3事件的和事件，即B=A1∪A3。
由概率论的加法公式可知，P(B)=P(A1)+P(A3)。
同理，事件C是A2事件与A4事件的和事件，即C=A2∪A4。
所以，P(C)=P(A2)+P(A4)。
题目中要求事件B与事件C相互独立的概率，即P(B∩C)=P(B)×P(C)。
根据题意，我们需要计算出P(B∩C)的概率。
事件B∩C表示事件B与C同时发生的概率，即B和C的交集。
根据概率论的乘法公式可知，P(B∩C)=P(B)×P(C|B)。
P(C|B)表示在事件B发生的条件下，事件C发生的概率。
根据题意，B发生意味着A1和A3同时发生，因此P(C|B)=P(A2∪A4|A1∪A3)。
根据概率论的条件概率公式可知，P(C|B)=P(A2∪A4∩(A1∪A3))/(P(A1∪A3))。
由于A1、A2、A3、A4、A5是等可能的结果，所以P(Ai)=1/5，其中i=1, 2, 3, 4, 5。
因此，P(A2∪A4∩(A1∪A3))=P(A2∩A1∪A2∩A3∪A4∩A1∪A4∩A3)=P(A2∩A 1)+P(A2∩A3)+P(A4∩A1)+P(A4∩A3)。
概率论第五章习题答案
ˆ = min(x , x ,L, x ) 。 然函数 L 取得最大值，从而知 θ 1 2 n
16．设总体 X 的概率分布为
X
0
1
2θ (1 − θ )
2
3
P
θ2
θ2
1 − 2θ
其中 θ
1 (0 < θ < ) 是未知参数，利用总体 X 的如下样本值 3，1，3，0，3，1，2， 2
3，求 θ 的矩估计值和极大似然估计值。
2 答案与提示：由于 X ~ N ( 3} = 0.1336
3．设 X 1 , X 2 , L , X n 为来自总体 X ~ P (λ ) 的一个样本， X 、 S 2 分别为样本均值 和样本方差。求 DX 及 ES 2 。 答案与提示：此题旨在考察样本均值的期望、方差以及样本方差的期望与总体 期望、总体方差的关系，显然应由定理 5-1 来解决这一问题。
8．设 X 1 , X 2 , L , X n 为来自正态总体 X ~ N ( µ , σ 2 ) 的一个样本， µ 已知，求 σ 2 的极大似然估计。 答案与提示：设 x1 , x 2 , L, x n 为样本 X 1 ，X 2 ，L ，X n 的一组观察值。则似然函数 为
( xi − µ ) 2 2σ
15．设某种元件的使用寿命 X 的概率密度为
⎧2e −2( x −θ )， x > θ ， f ( x;θ ) = ⎨ 0 ， x θ ≤ ⎩
其中 θ > 0 为未知参数。又设 x1，x 2， L，x n 是 X 的一组样本观察值，求 θ 的极大似然 估计值。 答案与提示: 构造似然函数 L(θ ) = ∏ 2e
第五章 习题参考答案与提示
第五章 数理统计初步习题参考答案与提示
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（3）“第一卷或第五卷出现在旁边”的情况数 为了计数时不重复、不遗漏，这种情况分成更细的三种情况：只有第一卷在旁边（第 五卷不在旁边）、只有第五卷在旁边、第一卷和第五卷都在旁边 第一卷在旁边且第五卷不在旁边时，先把第一卷排在旁边，有 2 种排法，然后在二、 三、四卷中选一卷排在另一边，最后剩下的 3 卷任意排，因此共有 2 3 3 2 1 36 种情况； 同理，第五卷在旁边且第一卷不在旁边，也有 2 3 3 2 1 36 种情况； “第一卷和第五卷都在旁边”是（2）的情形，共有 12 中情况 因此“第一卷或第五卷出现在旁边”共有 36 36 12 84 种情况 对应概率为
（2）“第一卷及第五卷出现在旁边”的情况数
《概率论与数理统计》习题 1 解答（5/15）
先排第一卷，要求出现在旁边，所以有 2 种选择，那么第五卷就只能排剩下的那个边， 只有 1 种选择，之后排剩下的 3 卷，可以随意排，因此共有 2 1 3 2 1 12 种情况 对应概率为
12 1 120 10
B) 0.8 ，求：（1） P( AB) ；（2） P( A B) ；
B) P( A) P( B) P( AB)
（2） P( A B) P( A) P( AB) 0.3 0 0.3 （3） P( AB ) P( A
B) 1 P( A B) 1 0.8 0.2
《概率论与数理统计》习题 1 解答（3/15）
7.对于事件 A, B, C ，设 P( A) 0.4, P( B) 0.5, P(C) 0.6, P( AC) 0.2, P( BC) 0.4 且 AB ，求 P( A
B C)
解答：由于 ABC AB ，因此 ABC ，于是
{00, 100, 1111, 1110, 1101, 1100, 1011, 1010, 0111, 0110, 0101, 0100}
注：教材附录中答理统计》习题 1 解答（1/15）
（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标. 解答： {( x, y) | x 2 y 2 1}
解：由题目条件 2 p p 2 4 p 1 1 ，即 p 2 6 p 2 0 解得 p1 11 3, p2 11 3 由概率的非负性， P( A) 2 p 0 ，因此 p 11 3
5.已知 P( A) 0.3, P( B) 0.5, P( A （3） P( AB ) 解答：（1）由加法公式， P( A 因此 P( AB) 0
84 7 120 10
（4）“第一卷及第五卷都不出现在旁边”的情况数 先在二、三、四卷中选一卷排左边，再选一卷排右边（这样就保证第一和第五都不在 旁边了），最后把剩下的 3 卷书任意排，因此共有 3 2 3 2 1 36 种情况 因此对应概率为
4.一个样本空间有三个样本点，其对应的概率分别为 2 p, p 2 , 4 p 1 ，求 p 的值。 分析：设三个样本点分别对应事件 A, B, C ，则 A 于是 1 P() P( A
B C ，且 A, B, C 互不相容，
B C) P( A) P( B) P(C) 2 p p 2 4 p 1
要排成四位数，千位上不能是 0，所以有 9 种选择；百位可以在剩下的 9 个数字中选， 有 9 种选择；...。因此可以排成的四位数共有 9 9 8 7 个。 再计算排成的四位数是偶数有多少种情况 （先排个位为 0,2,4,6,8 中的一个，十百千任排时，会出现个位为 2，千位排了 0 的情 况，这样就不是四位数了。因此要单独考虑 0 的情况） 当个位为 0 时，剩下的数字没有 0，十百千位可以随便排，所以此时有 9 8 7 种情况； 当个位为 2 或 4 或 6 或 8 时，0 在剩下的数字中，需要保证千位不是 0，所以先排千位。 在剩下的 9 个数字（个位只选了一个数字）中，除 0 以外的其余 8 个都可以作为千位， 然后剩下的 8 个数字可以在百位十位上任意排，所以此时有 4 8 8 7 中情况。 所以排成的四位数是偶数共有 9 8 7 4 8 8 7 种情况 因此概率为
6.设 P( AB) P( AB ) ，且 P( A) p ，求 P( B) 解答：由于 P( AB ) P( A
B) 1 P( A B) 1 P( AB) P( A) P( B)
因此 P( A) P( B) 1 ，故 P( B) 1 P( A) 1 p
M n i n
解答：设该班有 n 名同学，则样本空间为 { | i 0,1,2,,100n} （2）生产某种产品直到有 10 件正品为止，记录此过程中生产该种产品的总件数； 分析：根据题意，生产出 10 件正品试验就停止，要生产 出 10 件正品，最少需要生产 10 件产品（这 10 件刚好都是正品），也有可能一直生产次品而凑不够 10 件正品必须 一直生产下去，所以生产的产品总件数是没有上限的。因此样本空间应该是 10 到正无 穷的整数 解答：样本空间 {10,11,12,13,} 说明：也可写成 {10,11,12,13,, n,} ，但不能写成 {10,11,12,13,, n} （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记为“正品”，不合格的记为“次品”， 若连续查出了 2 件次品就停止检查，或者检查了 4 件产品就停止检查，记录检查的结 果； 分析：由题意知，停止检查时已经检查的产品数可能是 2 件、3 件、4 件。如果检查了 2 件就停止，只可能是两件都是次品，所以检查结果是（次，次）；如果检查了 3 件 停止，一定是连续检查出 2 件次品导致的，并且一定是连续查出 2 件次品马上停止， 所以第一件一定不是次品，第二件第三件一定是次品，即检查结果是（正，次，次）； 如果检查了 4 件停止，那么前 3 件不能出现连续次品情况，所以前 3 件只能是（正， 正，正）、（正、正、次）、（正、次、正）、（次、正、正）、（次、正、次）这 5 种情况之一，而第 4 件可以是正品也可以次品，那么共有 10 种情况。 解答：以 0 表示次品，以 1 表示正品，那么检查结果组成的集合为
9 8 7 4 8 8 7 9 32 41 10 9 8 7 90 90
10.一部五卷的文集，按任意次序放到书架上取，求下列事件的概率：（1）第一卷出 现在旁边；（2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4） 第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。
P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( AC ) P( BC ) P( ABC ) 0.4 0.5 0.6 0 0.2 0.4 0 0.9
8.将 3 个球随机地放入 4 个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1, 2,3 的概率 分析：题意是将 3 个不同的球放入 4 个不同的杯子 因此样本空间中的样本点数为 4 4 4 43 （第一个球有 4 种选择，第二个球有 4 种选 择，第三个球有 4 种选择） 杯子中球的最大个数为 1，表示 3 个球在不同的杯子中，因此含有的样本点数为
P29 习题 1 1. 写出下列随机试验的样本空间Ω： （1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）； 分析：只考虑每位同学的分数都是整数的情况。设该班有 n 名同学，那么全体同学的 考试分数之和 M 就可以是 0 到 100n 之间的任意整数（包括 0 分和 100n 分），所以所 有可能的平均分数就是
4 3 2 （第一个球有 4 种选择，第二个球只能在余下的 3 个杯子中选，第三个球只剩
下 2 个杯子可以选） 杯子中球的最大个数为 2，表示有 2 个球在一个杯子中，第三个球在另一个杯子中， 因此含有的样本点数为 3 4 3 （先选两个球并绑在一起，有 3 种情况，再为这两个球 选杯子，有 4 种情况，最后为剩下的球在剩下的 3 个杯子中选一个放进去，有 3 种情 况） 杯子中球的最大个数为 3，表示三个球放在同一个杯子中，因此含有 4 个样本点 解答：杯子中球的最大个数为 1 的概率为 杯子中球的最大个数为 2 的概率为 杯子中球的最大个数为 3 的概率为
9 8 7 4 8 8 7 9 32 41 998 7 81 81
9. 在整数 0 至 9 中任取 4 个排成一排，它们排成四位偶数的概率是多少？
4 解答：10 个数字中任取 4 个排成一排，共有 A10 10 9 8 7 种情况
排成四位偶数，共有 9 8 7 4 8 8 7 种情况 因此概率为
2.设 A, B, C 为三个事件，用 A, B, C 及其运算关系表示下列事件 （1） A 发生而 B 与 C 不发生； 解答：“ A 发生且 B 不发生且 C 不发生”，表示为 AB C 注：书写时要注意 B 与 C 上面的短线不能连在一起. （2） A, B, C 中恰好有一个发生； 解答： AB C A BC A B C （3） A, B, C 中至少有一个发生； 解答：“至少”就是“或”关系，“ A 发生或 B 发生或 C 发生”，表示为 A B C （4） A, B, C 中恰好有两个发生； 解答： ABC AB C A BC （5） A, B, C 中至少有两个发生； 解答：“至少有两个”就是“这两个或那两个”，表示为 AB AC BC （6） A, B, C 中有不多于一个发生. 分析：“不多于一个发生”就是发生的事件的个数要么刚好是 0 个，要么刚好是 1 个 解答： A B C AB C A BC A B C 分析 2：“不多于一个发生”就是“不发生的事件数至少为 2” 解答 2： B C A C A B
5 解答：5 卷文集，放到书架上排成一排，共有 A5 5! 120 种情况
（1）考虑“第一卷出现在旁边”的情况数 先排第一卷，可以出现在左边，也可以出现在右边，有 2 种选择，之后剩下的 4 卷可 以随意排，因此共有 2 4 3 2 1 48 种情况 对应概率为