高中数学学业水平测试知识点

高中数学学业水平测试知识点
必修一
一、 集合与函数概念
并集：A B ⋂= 交集：A B =U 补集：就是作差。

U C A = 1、集合{}n a a a ,...,,21的子集个数共有 个；真子集有 个；非空子集有 个；非空的真子有 个. 2、求)(x f y =的反函数：解出 ，y x ,互换，写出)(1
x f
y -=的定义域；函数图象关于y=x 对称。

3、（1）函数定义域：①分母 ；②开偶次方被开方数 ；③指数的真数属于 、对数的真数 .
4、函数的单调性：
如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，x ∆= 都有 ，那么就说f(x)在区间D 上是增（减）函数，函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质。

（1） 函数的最值：函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在0x I ∈，使得0()f x M =；函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x I ∈，都有()(())f x M f x m ≤≥．
（2）单调性的判定：①定义法：注意：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符
号；②复合函数法“同增异减”；③图像法。

（注：证明单调性主要用定义法和导数法。

）
5、奇函数：（1）)(x f 是奇函数⇔ ；函数图象关于原点对称（若0x =在其定义域内，则(0)0f =）；
（2）)(x f 是偶函数⇔ ；函数图象关于y 轴对称。

（3）在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；
6. 函数的周期性：
周期性的定义：对定义域内的任意x ，若有 （其中T 为非零常数），则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。

所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。

如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。

7、指数幂的含义及其运算性质：（1）函数)10(≠>=a a a y x
且叫做指数函数。

（2）指数函数(0,1)x y a a a =>≠当 01a <<为减函数，当 1a >为增函数；
①r
s
a a ⋅= ；②()r s
a = ；③()r
ab = 。

m
n
a = （3）指数函数的图象和性质
8、对数函数的含义及其运算性质：
（1）函数log (0,1)a y x a a =>≠叫对数函数。

（2）对数函数log (0,1)a y x a a =>≠当 01a <<为减函数，当 1a >为增函数；
①负数和零没有对数；②1的对数等于0 ： ；③底真相同的对数等于1： ， （3）对数的运算性质：如果a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0，那么：
①log a MN = ②log a MN = ；③log a M α
=
（4）换底公式：log a b = 推论：1︒ log log a b b a ⋅= 2︒ log m n a b =
(5)对数函数的图象和性质：
x y a log =
0 < a < 1 a > 1
图 象
定义域 值域
性 质
（1）过定点
（2）在R 上是 函数
（2）在R 上是 函数
（3） 或 时，log a x > 0； 或 时，log a x < 0。

（4） 函数。

8、幂函数：函数α
x y =叫做幂函数（只考虑2
1
,1,3,2,1-=α的图象）。

9、6．基本初等函数的图像与性质 ⑴幂函数：α
x y = （)R ∈α ； ⑵指数函数：)1,0(≠>=a a a y x
； ⑶对数函数:)1,0(log ≠>=a a x y a ；
(4)常用函数：
①正比例函数： ； ②反比例函数： ； ③对勾函数： 7．二次函数：
⑴解析式：①一般式： ；②顶点式： ， ③零点式： 。

⑵二次函数问题解决需考虑的因素：①开口方向；②对称轴 ；顶点坐标是 ③端点值；
④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。

⑶二次函数问题解决方法：①数形结合；②分类讨论。

8．函数图象⑴图象作法：①描点法（注意三角函数的五点作图）②图象变换法 ⑵图象变换：
① 平移变换：)()(a x f y x f y ±=→=，)0(>a ———左“+”右“-”；
)0(,)()(>±=→=k k x f y x f y ———上“+”下“-”；
② 伸缩变换：)()(x f y x f y ω=→=， （)0>ω———纵坐标不变，横坐标伸长为原来的
ω
1
倍； )()(x Af y x f y =→=， （)0>A ———横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A 倍；
③ 对称变换：)(x f y =−−
→−)0,0()(x f y --=；ⅱ)(x f y =−→−=0
y )(x f y -=； )(x f y =−→−=0x )(x f y -=； ⅳ)(x f y =−−→
−=x y )(1
x f y -=；
④ 翻转变换：|)(|)(x f y x f y =→=———右不动，右向左翻（)(x f 在y 左侧图象去掉）；
|)(|)(x f y x f y =→=———上不动，下向上翻（|)(x f |在x 下面无图象）
； 9、方程的根与函数的零点：
（1）如果函数)(x f y =在区间 [a , b ] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数
)(x f y =在区间 (a , b ) 内有零点，即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程0)(=x f 的根。

（2）函数零点的求法：⑴直接法（求0)(=x f 的根）；⑵图象法；⑶二分法. 必修二
一、直线 平面 简单的几何体
1、棱柱、棱锥、棱（圆）台的本质特征
⑴棱柱：①有两个互相平行的面（即底面平行且全等），②其余各面（即侧面）每相邻两个面的公共边都互相平行（即侧棱都平行且相等）。

⑵棱锥：①一个面（即底面）是多边形，②其余各面（即侧面）是有一个公共顶点的三角形。

⑶棱台：①每条侧棱延长后交于同一点，②两底面是平行且相似的多边形。

⑷圆台：①平行于底面的截面都是圆，②过轴的截面都是全等的等腰梯形，③母线长都相等，每条母线延长后都与轴交于同一点。

2、 长方体的对角线长 ；正方体的对角线长 正四面体的性质：设棱长为a ，则正四面
体的：则（1）高： ；②对棱间距离： ；③相邻两面所成角余弦值： ； ④内切球半径： ；外接球半径： ； 3、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点：①原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变； ②原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半。

4、画三视图要求：主视图与俯视图长对正；主视图与左视图高平齐；左视图与俯视图宽相等。

5、圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式
⑴ S 圆锥表=πr （r+l ）← S 圆台表=π（r 上2+r 下2
+r 上l + r 下l ） → S 圆柱表=2πr （r+l ） ⑵ V 圆锥 =
31πr 2 h
圆台
3
r 上2+ r 下2+ r 上r 下）h 圆柱⑶球的体积公式： 33
4
　R v π=； 球的表面积公式：24　R S π=
6、柱体、锥体、台体的体积公式：
柱体V = (S 为底面积，h 为柱体高)； 锥体V = (S 为底面积，h 为柱体高) 台体V = (S ’, S 分别为上、下底面积，h 为台体高)
7、点、线、面的位置关系及相关公理及定理： （1）四公理三推论:
公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内。

公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。

推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。

推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。

公理4：平行于同一条直线的两条直线平行. （2）空间线线，线面，面面的位置关系：
空间两条直线的位置关系：
相交直线——有且仅有一个公共点；平行直线——在同一平面内，没有公共点；
异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。

相交直线和平行直线也称为共面直线。

空间直线和平面的位置关系：
（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；
（3）直线和平面平行（没有公共点）它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a α⊂，a A α=I ，//a α。

空间平面和平面的位置关系：
（1）两个平面平行——没有公共点；（2）两个平面相交——有一条公共直线。

8、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么该直线与这个平面平行。

9、两个平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。

10、. 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么交线与这条直线平行。

11、两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们交线的平行。

12、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

13、.两个平面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

14、直线与平面垂直的性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

15、平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

16、异面直线所成角：平移到一起求平移后的夹角。

直线与平面所成角：直线和它在平面内的射影所成的角 17、异面直线所成角的取值范围是 ；直线与平面所成角的取值范围是 ；
二面角的取值范围是 ；两个向量所成角的取值范围是 二、直线和圆的方程
1、斜 率：αtan =k ，),(+∞-∞∈k ；直线上两点),(),,(222111y x P y x P ，则斜率为
2、直线的五种方程 ：（1）点斜式 (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 (b 为直线l 在y 轴上的截距).
（3）两点式 ( (111(,)P x y 、222(,)P x y ； (12x x ≠)、(12y y ≠)). (4)截距式 (a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （5）一般式 (其中A 、B 不同时为0). 3、两条直线的平行、重合和垂直：
(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+
①1l ‖2l ⇔ ②12l l ⇔与重合时 ③12l l ⊥⇔
k =
ax 2+bx+c=0(a ≠0)
(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,
①12||l l ⇔ ；②12 l l ⊥⇔
4、两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的距离公式 │P 1P 2│=
5、两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的中点坐标公式 M （ ， ）
6、点P （x 0，y 0）到直线（直线方程必须化为一般式）Ax+By+C=0的距离公式d=
7、平行直线Ax+By+C 1=0、Ax+By+C 2=0的距离公式d=
8、圆的方程：标准方程 ，圆心
()b a ,，半径为r ；
一般方程 ，（配方： ）
0422>-+F E D 时，表示一个以 为圆心，半径为 的圆；
9、点与圆的位置关系：点00(,)P x y 与圆2
2
2
)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种：
若22
00()()d a x b y =-+-d r >⇔ ;d r =⇔ ;d r <⇔ 10、直线与圆的位置关系：直线0=++C By Ax 与圆2
2
2
)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:
0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中2
2
B
A C Bb Aa d +++=
.
11、弦长公式：
若直线y=kx+b 与二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）相交于A(x 1，y 1)，B （x 2，y 2）两点，则由 二次曲线方程
y=kx+m 则知直线与二次曲线相交所截得弦长为：AB =
13、 空间直角坐标系，两点之间的距离公式：
⑴ xoy 平面上的点的坐标的特征A （x ，y ，0）：竖坐标z=0 xoz 平面上的点的坐标的特征B （x ，0，z ）：纵坐标y=0 yoz 平面上的点的坐标的特征C （0，y ，z ）：横坐标x=0 x 轴上的点的坐标的特征D （x ，0，0）：纵、竖坐标y=z=0 y 轴上的点的坐标的特征E （0，y ，0）：横、竖坐标x=z=0 z 轴上的点的坐标的特征E （0，0，z ）：横、纵坐标x=y=0 ⑵│P 1P 2│=2
122
122
12-z z -y y -x x ）（）（）（++ 必修三
算法初步与统计：
图形符号
名称 功能
终端框（起止框） 表示一个算法的起始和结束 输入、输出框 表示一个算法输入输出的信息 处理框（执行框）
赋值、计算（语句、结果的传送） 判断框 判断某一条件是否成立时，在出口处标明“是”或“Y ”，不成立时标明
“否”或“N ” 流程线 连接程序框（流程进行的方向）
连接点 连接程序框图的两部分
注释框
帮助注解流程图
z y
x F E D
C B
A
X
Y
Z
O
一、算法的三种基本结构：（1）顺序结构（2）条件结构（3）循环结构
二、算法基本语句：1、输入语句:输入语句的格式： 2、输出语句:输出语句的一般格式： 3、赋值语句:赋值语句的一般格式： 4、条件语句 5、循环语句:
算法案例：⑴辗转相除法与更相减损法-----求两个正整数的最大公约数；⑵秦九韶算法------求多项式的值； 三．三种常用抽样方法：
1、简单随机抽样；2．系统抽样；3．分层抽样。

4．统计图表：包括条形图，折线图，茎叶图。

四、频率分布直方图：具体做法如下：（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）；（2）决定组距与组数；（3）
将数据分组；（4） 列频率分布表；（5）画频率分布直 方
图。

注：频率分布直方图中小正方形的面积=组
距×频率。

2、频率分布直方图：
计算公式：
各组频数之和=样本容量， 各组频率之和=1 3、茎叶图：茎表示高位，叶表示低位。

折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图。

4、刻画一组数据集中趋势的统计量：平均数，中位数，众数。

在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
将一组数据按照从大到小（或从小到大）排列，处在中间位置上的一个数据（或中间两位数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
5、刻画一组数据离散程度的统计量：极差 ，极准差，方差。

（1）极差一定程度上表明数据的分散程度，对极端数据非常敏感。

（2）方差，标准差越大，离散程度越大。

方差，标准差越小，离散程度越小，聚集于平均数的程度越高。

（3）计算公式：标准差：S= 方差：2
s =
直线回归方程的斜率为b ˆ，截距为a ˆ，即回归方程为y ˆ=b ˆx+a ˆ（此直线必过点（x ，y ））。

6、频率分布直方图：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，方长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1。

五、随机事件：在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。

一般用大写字母A,B,C …表示.
随机事件的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率 总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率,记作P （A ）。

由定义可知0≤P （A ）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。

1、事件间的关系：
（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；
（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；
频率组距
（3）包含：事件A 发生时事件B 一定发生，称事件A 包含于事件B （或事件B 包含事件A ）； （4）对立一定互斥，互斥不一定对立。

2、概率的加法公式：
（1）当A 和B 互斥时，事件A +B 的概率满足加法公式： （A 、B 互斥）（2）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= = ，于是有P(A)= 3、古典概型：
（1）正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；（2）掌握古典概型的概率计算公式： 4、几何概型：
（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。

（2）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等． （3）几何概型的概率公式： 5、排列：（1）、排列数公式： m
n A =)1()1(+--m n n n Λ=
！
！)(m n n -.(n ，m ∈N *
，且m n ≤)．0！=1
（2）、全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列；!n A n
n =)!1(123)2)(1(-⋅=⋅⋅⋅⋅--=n n n n n Λ； 6、组合：
（1）、组合数公式： m
n
C =m n m m
A A =m m n n n ⨯⨯⨯+--ΛΛ21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ，m ∈N *，且m n ≤)；10=n C 。

必修四 一、 三角函数
1、弧度制：（1）、180=o
弧度，1弧度= ≈ ；弧长公式：l = （l 为α所对的弧长，r 为半径，
正负号的确定：逆时针为正，顺时针为负）。

2、三角函数： （1）、定义：
y x
x y r x r y ====ααααcot tan cos sin
4、同角三角函数基本关系式：
5、诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）
练习：1、sin()α-= cos()α-= tan()α-= cot()α-=
2、sin(90)cos(90)tan(90)cot(90sin(90)cos(90)tan(90)cot(90)αααααααα︒+=︒+=︒+=
︒+=︒-=︒-=︒-=︒-= 3、 sin(180)cos(180)tan(180)cot(180)sin(180)cos(180)tan(180)cot(180)αααααααα︒+=︒+=︒+=
︒+=︒-=︒-=︒-=︒-=
4、
sin(270)cos(270)tan(270)cot(270)sin(270)cos(270)tan(270)cot(270)αααααααα︒+=︒+=︒+=
︒+=︒-=︒-=︒-=︒-=
5、sin(360)cos(360)tan(360)cot(360)sin(360)cos(360)tan(360)cot(360)αααααααα︒+=︒+=︒+=
︒+=
︒-=︒-=︒-=︒-=
6、两角和与差的正弦、余弦、正切：
)(βα+S ：sin()αβ+= )(βα-S ：sin()αβ-=
)(βα+C ：cos()a β+= )(βα-C ： cos()a β-= )(βα+T ： tan()αβ+= )(βα-T ： tan()αβ-=
tan α+tan β= tan α-tan β= 7、辅助角公式：sin cos a x b x +=
8、二倍角公式：（1）、α2S ： sin 2α= α2C ：cos2α= α2T ：tan 2α= （2）降次公式：（多用于研究性质）sin cos αα= 2
sin α= 2
cos α= 9、在ααααcot ,tan ,cos ,sin ====y y y y 四个三角函数中只有 是偶函数，其它三个是奇函数。

（指数函数、对数函数是非奇非偶函数）
10
、在三角函数中求最值（最大值、最小值）；求最小正周期；求单调性（单调第增区间、单调第减区间）；求对称轴；
求对称中心点都要将原函数化成标准型；如：
b
x A y b x A y b
x A y b x A y ++=
++=++=
++=
)cot()tan()cos()sin(ϕωϕωϕωϕω再求解，即sin cos y a x b x =+题型
11、三角函数的图象与性质：
12．函数()ϕω+=x A y sin 的图象： （1）用“图象变换法”作图
由函数y x =sin 的图象通过变换得到y A x =+sin()ωϕ的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。

法一：先平移后伸缩
y x y x =−→−−−−−−−=+><sin sin()
()()
||向左或向右平移个单位
ϕϕϕϕ00
y x y x =−→−−−−−−−=+><sin sin()
()()||向左或向右平移个单位
ϕϕϕϕ00，
1
sin y x ωωϕ−−−−−−−−→=+横坐标变为原来的倍
纵坐标不变
（）
法二：先伸缩后平移
y x =−→−−−−−−−sin 横坐标变为原来的倍
纵坐标不变1
ω
纵坐标变为原来的倍
横坐标不变
A y A x −→−−−−−−−=+sin()
ωϕ
当函数y A x =+sin()ωϕ（A>0，ω>0，x ∈+∞[)0，）表示一个振动量时，A 就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次所需要的时间 ，它叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数 ，它叫做振动的频率； 叫做相位， 叫做初相（即当x ＝0时的相位）。

二、平面向量 1、平面向量的概念：
()1在平面内，具有大小和方向的量称为平面向量．
()2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．
()3向量AB u u u r
的大小称为向量的模（或长度）
，记作AB u u u r ． ()4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．
()
5与向量a r 长度相等且方向相反的向量称为a r 的相反向量，记作a -r
． ()6方向相同且模相等的向量称为相等向量．
2、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa ρ
)= ;
(2)第一分配律：(λ+μ)a ρ
= (3)第二分配律：λ(b a ρρ+)=
3、向量的数量积的运算律：(1) a ρ·b ρ =b ρ·a ρ
（交换律）;
y x y x =−→−−−−−−−=+><sin sin()
()()||ωωϕϕϕϕ
ω向左或向右平移个单位
00纵坐标变为原来的倍横坐标不变
A y A x −→−−−−−−−=+sin()
ωϕ
(2)（λa ρ）·b ρ = λ（a ρ·b ρ）=λa ρ·b ρ =a ρ
·（b ρλ）;(3)（b a ρρ+）·c ρ= a ρ·c ρ +b ρ·c ρ.
4、平面向量基本定理： 如果1e ρ、2e ρ是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a ρ = ．不共线的向量1e ρ、2e ρ
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
5、坐标运算：（1）设()()2211,,,y x b y x a ==→
→
，则a b →
→
±= 数与向量的积：λa →
= = ，数量积： a b →→
⋅= （2）、设A 、B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则AB →
= （终点减起点）
6、平面两点间的距离公式：（1） ,A B d =||AB =u u u r = （2）向量a 的模|a |：a a a ⋅=2||= ；
（3）、平面向量的数量积： a b →→
⋅= ， 注意：00=⋅→→a ，→
→=⋅00a ，)(=-+
（4）、向量()()2211,,,y x b y x a ==→
→的夹角θ，则， （()()2211,,,y x b y x a ==→
→） 7、重要结论：（1）、两个向量平行： →→→→=⇔b a b a λ// )(R ∈λ，⇔→
→b a // （2）、两个非零向量垂直 a b →
→
⊥⇔
（3）、P 分有向线段21P P 的：设P （x ，y ） ，P 1（x 1，y 1） ，P 2（x 2，y 2） ，且21PP P P λ= ，
则定比分点坐标公式 中点坐标公式
三、空间向量
1、空间向量的概念：（空间向量与平面向量相似）
()1在空间中，具有大小和方向的量称为空间向量．()2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大
小，箭头所指的方向表示向量的方向．()3向量AB u u u r
的大小称为向量的模（或长度），记作AB u u u r ．()4模（或长度）为0
的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．()5与向量a r 长度相等且方向相反的向量称为a r 的相反向量，记作a -r
．
()6方向相同且模相等的向量称为相等向量．
2、实数λ与空间向量a r 的乘积a λr 是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λr 与a r 方向相同；当0λ<时，a
λr
与a r 方向相反；当0λ=时，a λr 为零向量，记为0r ．a λr 的长度是a r
的长度的λ倍．
3、设λ，μ为实数，a r ，b r
是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．分配律：()
a b a b λλλ+=+r r r r ；
结合律：()()a a λμλμ=r r
．
4、对于两个非零向量a r 和b r ，若,2
a b π〈〉=r r ，则向量a r ，b r
互相垂直，记作a b ⊥r r ．
5、已知两个非零向量a r 和b r ，则cos ,a b a b 〈〉r r r r 称为a r ，b r
的数量积，记作a b ⋅r r ．即cos ,a b a b a b ⋅=〈〉r r r r r r ．零向量
与任何向量的数量积为0．
6、a b ⋅r r 等于a r
的长度a r 与b r 在a r 的方向上的投影cos ,b a b 〈〉r r r 的乘积．
7、若a r ，b r 为非零向量，e r
为单位向量，则有()1cos ,e a a e a a e ⋅=⋅=〈〉r r r r r r r ；()20a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ；()3()
()
a b a b a b a b a b ⎧⎪
⋅=⎨-⎪⎩
r r r r r r r r r r 与同向与反向，2a a a ⋅=r r r
，a =r ()4cos ,a b a b a b ⋅〈〉=r r r r r r ．
8、量数乘积的运算律：()1a b b a ⋅=⋅r r r r ；()2()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r ；()3()
a b c a c b c +⋅=⋅+⋅r r r r r r r
．
⎧⎨
⎩x y =
⎧⎨=
⎩cos θ=
2()2
a b ab +≤9、设()111,,a x y z =r ，()222,,b x y z =r ，则()1a b +=r r ．()2a b -=r r ．
()3a λ=r ．()4a b ⋅=r r ．()5若a r 、b r 为非零向量，则a b ⊥⇔r r ．
()6若0b ≠r r ，则//a b a b λ⇔=⇔r r r r ．()
7
a ==r ． ()8cos ,a
b 〈〉=r r = ．()9()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则d AB =AB =u u u r ．
必修五：
一、解三角形：
（1）三角形的面积公式：A bc B ac C ab S sin 2
1sin 21sin 21===∆： （2）正弦定理： 边用角表示：
（3）
、余弦定理： 222a b c =
==
余弦定理变形式：cos A = cos B = cos C =
二. 数列
1、数列的前n 项和：n n a a a a S ++++=Λ321； 数列前n 项和与通项的关系：
2、等差数列 ：（1）、定义：等差数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数 ；
（2）、通项公式： （其中首项是1a ，公差是d ；）
（3）、前n 项和：=n S （d ≠0）
（4）、等差中项：
若三项成等差，设法 四项成等差：
（5）等差数列性质：①a n =a m + (n －m)d, ②m+n=p+q 时a m +a n =a p +a q ③Λ,,,232k k k k k S S S S S --④Λ,,,2m k m k k a a a ++
3、等比数列：（1）、定义：等比数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数 （0≠q ）。

（2）、通项公式： （其中：首项是1a ，公比是q ）
（3）、前n 项和： （4）、等比中项：
（5）、等比数列性质 ①a n =a m q n-m ; ②m+n=p+q 时a m a n =a p a q ③Λ,,,232k k k k k S S S S S -- ④Λ,,,2m k m k k a a a ++ 三：不等式 1、重要不等式：（1）,a b R ∈⇒ 或 (当且仅当a ＝b 时取“=”号)．
（2）2,0)2ab a b a b a b +≤≤≤≥+ 2、均值不等式： ,a b R +∈⇒ 2a b +≥ 或 (当且仅当a ＝b 时取“=”号)． 口诀：
3、最值问题：
111(1)(2)n n
n a S n a S S n -==⎧=⎨-≥⎩ ,(1),(1)n q S q =⎧=⎨≠⎩ab ≤
已知y x ,都是正数，则有：
(1)如果积xy 是定值p ，那么当y x =时和y x +有最小值 ；
(2)如果和y x +是定值s ，那么当y x =时积xy 有最大值 .
4、解一元二次不等式: 2
0(0)ax bx c ++><或:若0>a ,则对于解集不是全集或空集时,对应的解“ ”.
5、含有绝对值的不等式：当0>a 时，有：①x a <⇔ ； ②x a >⇔ .
6、分式不等式：（1）()()0f x g x >⇔ （2）()()
0f x g x <⇔ ； （3）()()0f x g x ≥⇔ （4）()()
0f x g x ≤⇔ . 7、指数不等式与对数不等式
(1)当1a >时,()()f x g x a a >⇔ ；log ()log ()a a f x g x >⇔ .
(2)当01a <<时,()()f x g x a a >⇔ ；log ()log ()a a f x g x >⇔。