函数及其性质：第2讲函数的单调性
2021版新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第2讲 函数的单调性与最值
第2讲 函数的单调性与最值一、知识梳理 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．[注意] 有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．2．函数的最值 前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件 (1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； (2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论 M 为最大值M 为最小值1．函数单调性的两个等价结论 设∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，则(1)f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0(或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0)⇔f (x )在D 上单调递增．(2)f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0(或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0)⇔f (x )在D 上单调递减．2．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 二、教材衍化1．函数f (x )＝x 2－2x 的单调递增区间是________． 答案：[1，＋∞)(或(1，＋∞))2．若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是________． 解析：因为函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，所以2k ＋1＜0，即k ＜－12.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－12 3．已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2，6]，则f (x )的最大值为________，最小值为__________．解析：可判断函数f (x )＝2x －1在[2，6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25. 答案：2 25一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (3)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(4)所有的单调函数都有最值．( )(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( )(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)求单调区间忘记定义域导致出错；(2)混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念出错． 1．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)解析：选B ．设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．2．若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________． 解析：由题意知，[2，＋∞)⊆[m ，＋∞)， 所以m ≤2. 答案：(－∞，2]考点一 确定函数的单调性(区间)(基础型) 复习指导| 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义．核心素养：数学抽象角度一 判断或证明函数的单调性(一题多解)试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性． 【解】 法一：设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1），由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递减； 当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递增． 法二：f ′(x )＝（ax ）′（x －1）－ax （x －1）′（x －1）2＝a （x －1）－ax （x －1）2＝－a（x －1）2.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1，1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．利用定义法证明或判断函数单调性的步骤[注意] 判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等． 角度二 利用函数图象求函数的单调区间求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间．【解】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2＋2，x ≥0，－（x ＋1）2＋2，x <0. 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和(0，1]，单调递减区间为(－1，0]和(1，＋∞)．【迁移探究】 (变条件)若本例函数变为f (x )＝|－x 2＋2x ＋1|，如何求解？解：函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调递增区间为(1－2，1]和(1＋2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－2]和(1，1＋2]．确定函数的单调区间的方法[注意] (1)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函数y ＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但在定义域上不具有单调性．(2)“函数的单调区间是M ”与“函数在区间N 上单调”是两个不同的概念，显然N ⊆M .1．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 可能是( ) A ．(－∞，0) B ．⎣⎡⎦⎤0，12 C ．[0，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析：选B ．y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），x ≥0－x （1－x ），x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≥0x 2－x ，x <0＝⎩⎨⎧－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，x ≥0，⎝⎛⎭⎫x －122－14，x <0.画出函数的草图，如图．由图易知原函数在⎣⎡⎦⎤0，12上单调递增． 2．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C ．由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调，对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．3．判断函数y ＝2x 2－3x的单调性．解：因为f (x )＝2x 2－3x ＝2x －3x ，且函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而函数y ＝2x和y ＝－3x 在区间(－∞，0)上均为增函数，根据单调函数的运算性质，可得f (x )＝2x －3x 在区间(－∞，0)上为增函数．同理，可得f (x )＝2x －3x在区间(0，＋∞)上也是增函数．故函数f (x )＝2x 2－3x 在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均为增函数．考点二 函数的最值(值域)(基础型) 复习指导| 理解函数的最大(小)值，并能利用函数的单调性求最值．核心素养：逻辑推理(1)(一题多解)函数y ＝x ＋x －1的最小值为________．(2)(2020·福建漳州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋a ，x ≤0，x ＋4x ，x ＞0有最小值，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)法一(换元法)：令t ＝x －1，且t ≥0，则x ＝t 2＋1， 所以原函数变为y ＝t 2＋1＋t ，t ≥0. 配方得y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34， 又因为t ≥0，所以y ≥14＋34＝1，故函数y ＝x ＋x －1的最小值为1.法二：因为函数y ＝x 和y ＝x －1在定义域内均为增函数，故函数y ＝x ＋x －1在[1，＋∞)内为增函数，所以y min ＝1.(2)(基本不等式法)由题意知，当x >0时，函数f (x )＝x ＋4x≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时取等号；当x ≤0时，f (x )＝2x ＋a ∈(a ，1＋a ]，因此要使f (x )有最小值，则必须有a ≥4.【答案】 (1)1 (2)[4，＋∞)求函数最值的五种常用方法1．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________．解析：易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝1，f （b ）＝13，即⎩⎨⎧1a －1＝1，1b －1＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4.所以a ＋b ＝6. 答案：62．(一题多解)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．解析：法一：在同一直角坐标系中， 作出函数f (x )，g (x )的图象， 依题意，h (x )的图象如图所示． 易知点A (2，1)为图象的最高点， 因此h (x )的最大值为h (2)＝1.法二：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数， 当x ＞2时，h (x )＝3－x 是减函数， 所以h (x )在x ＝2处取得最大值h (2)＝1. 答案：1考点三 函数单调性的应用(综合型) 复习指导| 利用函数单调性求解，要明确函数的所给区间，不同区间有不同的单调性．角度一 比较两个函数值已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c【解析】 因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由此可得f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时， [f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立， 知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．因为1<2<52<e ，所以f (2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (e)， 所以b >a >c . 【答案】 D比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．角度二 解函数不等式已知函数f (x )＝－x |x |，x ∈(－1，1)，则不等式f (1－m )<f (m 2－1)的解集为________．【解析】 由已知得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1<x ≤0，－x 2，0<x <1，则f (x )在(－1，1)上单调递减，所以⎩⎨⎧－1<1－m <1，－1<m 2－1<1，m 2－1<1－m ，解得0<m <1，所以所求解集为(0，1)． 【答案】 (0，1)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域．角度三 求参数的值或取值范围(1)(2020·南京调研)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________．【解析】 (1)设1<x 1<x 2，所以x 1x 2>1. 因为函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0. 因为x 1－x 2<0，所以1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.因为1<x 1<x 2，x 1x 2>1，所以－x 1x 2<－1，所以a ≥－1. 所以a 的取值范围是[－1，＋∞)．(2)作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.【答案】 (1)[－1，＋∞) (2)(－∞，1]∪[4，＋∞)利用单调性求参数的策略(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．1．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫13，23 B ．⎣⎡⎭⎫13，23 C ．⎝⎛⎭⎫12，23D ．⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D ．因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13.所以0≤2x －1<13，解得12≤x <23.故选D ．2．函数y ＝f (x )在[0，2]上单调递增，且函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52<f ⎝⎛⎭⎫72B ．f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52C ．f ⎝⎛⎭⎫72<f ⎝⎛⎭⎫52<f (1)D ．f ⎝⎛⎭⎫52<f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)解析：选B ．因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫12.又0<12<1<32<2，f (x )在[0，2]上单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫12<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫32，即f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52. 3．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[3，＋∞)，则a 的值为________．解析：由图象(图略)易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是⎣⎡⎭⎫－a 2，＋∞，令－a2＝3，得a ＝－6.答案：－6[基础题组练]1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C ．当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．函数f (x )＝－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤－2，－13上的最大值是( ) A ．32B ．－83C ．－2D ．2解析：选A ．函数f (x )＝－x ＋1x 的导数为f ′(x )＝－1－1x 2，则f ′(x )<0，可得f (x )在⎣⎡⎦⎤－2，－13上单调递减，即f (－2)为最大值，且为2－12＝32.3．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1，1) B ．(0，1)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C ．由f (x )为R 上的减函数且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪1x ＞1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |＜1，x ≠0.所以－1＜x ＜0或0＜x ＜1.故选C ．4．(多选)(2021·预测)已知f (x )是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以断定f (x )是增函数的是( )A ．对任意x ≥0，都有f (x ＋1)>f (x )B ．对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1≥x 2，都有f (x 1)≥f (x 2)C ．对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1－x 2<0，都有f (x 1)－f (x 2)<0D ．对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0解析：选CD ．根据题意，依次分析选项：对于选项A ，对任意x ≥0，都有f (x ＋1)>f (x )，不满足函数单调性的定义，不符合题意；对于选项B ，当f (x )为常数函数时，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，都有f (x 1)＝f (x 2)，不是增函数，不符合题意；对于选项C ，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1－x 2<0，都有f (x 1)－f (x 2)<0，符合题意；对于选项D ，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，设x 1>x 2，若f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，必有f (x 1)－f (x 2)>0，则函数在[0，＋∞)上为增函数，符合题意．5．(创新型)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C ．由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在相应的定义域内都为增函数，且f (1)＝－1，f (2)＝6，所以f (x )的最大值为6.6．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是________．解析：由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调减区间是[1，2]．答案：[1，2]7．函数y ＝2＋－x 2＋4x 的最大值是________，单调递增区间是________．解析：函数y ＝2＋－x 2＋4x ＝2＋－（x －2）2＋4，可得当x ＝2时，函数y 取得最大值2＋2＝4；由4x －x 2≥0，可得0≤x ≤4，令t ＝－x 2＋4x ，则t 在[0，2]上为增函数，y －2＋t 在[0，＋∞)上为增函数，可得函数y ＝2＋－x 2＋4x 的单调递增区间为[0，2]．答案：4 [0，2]8．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3，1)是其图象上的两点，那么不等式－3<f (x ＋1)<1的解集为________．解析：由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3，1)是其图象上的两点，知不等式－3<f (x ＋1)<1，即为f (0)<f (x ＋1)<f (3)，所以0<x ＋1<3，所以－1<x <2.答案：(－1，2)9．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1>x 2>0， 则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，因为x 1>x 2>0， 所以x 1－x 2>0，x 1x 2>0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上为增函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12， f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：设x 1<x 2<－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）.因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)设1<x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）.因为a >0，x 2－x 1>0， 所以要使f (x 1)－f (x 2)>0， 只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立， 所以a ≤1.综上所述，a 的取值范围为(0，1]．[综合题组练]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3（a －3）x ＋2，x ≤1，－4a －ln x ，x >1对任意的x 1≠x 2都有(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]>0成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，3)C ．(3，＋∞)D ．[1，3)解析：选D ．由(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]>0，得(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0， 所以函数f (x )在R 上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，3（a －3）＋2≥－4a ，解得1≤a ＜3.故选D ． 2．(多选)若函数f (x )满足条件：①对于定义域内任意不相等的实数a ，b 恒有f （a ）－f （b ）a －b >0；②对于定义域内任意x 1，x 2都有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≥f （x 1）＋f （x 2）2成立．则称其为G 函数．下列函数为G 函数的是( ) A ．f (x )＝3x ＋1 B ．f (x )＝－2x －1 C ．f (x )＝x 2－2x ＋3D ．f (x )＝－x 2＋4x －3，x ∈(－∞，1)解析：选AD ．①对于定义域内任意不相等的实数a ，b 恒有f （a ）－f （b ）a －b >0，则函数f (x )在定义域为增函数；②对于定义域内任意x 1，x 2都有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≥f （x 1）＋f （x 2）2成立，则函数f (x )为“凸函数”．其中A ．f (x )＝3x ＋1在R 上为增函数，且f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝f （x 1）＋f （x 2）2，故满足条件①②；B ．f (x )＝－2x －1在R 上为减函数，不满足条件①；C ．f (x )＝x 2－2x ＋3在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)为增函数，不满足条件①；D ．f (x )＝－x 2＋4x －3的对称轴为x ＝2，故函数f (x )＝－x 2＋4x －3在(－∞，1)上为增函数，且为“凸函数”，故满足条件①②.综上，为G 函数的是AD ．3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为________．解析：因为当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，所以a ≥0.当x ＞0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2，所以a 的取值范围是0≤a ≤2. 答案：[0，2]4．(创新型)如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f （x ）x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为________． 解析：因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f （x ）x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x (x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2， 由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f （x ）x ＝12x －1＋32x 在区间[1，3 ]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1， 3 ]．答案：[1， 3 ]5．已知函数f (x )＝x 2＋a |x －2|－4.(1)当a ＝2时，求f (x )在[0，3]上的最大值和最小值；(2)若f (x )在区间[－1，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋2|x －2|－4＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －8，x ≥2x 2－2x ，x ＜2＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2－9，x ≥2（x －1）2－1，x ＜2， 当x ∈[0，2)时，－1≤f (x )<0，当x ∈[2，3]时，0≤f (x )≤7， 所以f (x )在[0，3]上的最大值为7，最小值为－1.(2)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a －4，x ＞2x 2－ax ＋2a －4，x ≤2，又f (x )在区间[－1，＋∞)上单调递增，所以当x ＞2时，f (x )单调递增，则－a2≤2，即a ≥－4.当－1＜x ≤2时，f (x )单调递增，则a2≤－1.即a ≤－2，且4＋2a －2a －4≥4－2a ＋2a －4恒成立， 故a 的取值范围为[－4，－2]．6．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2，9]上的最小值．解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈()0，＋∞，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间()0，＋∞上是单调递减函数．(3)因为f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数，所以f (x )在[2，9]上的最小值为f (9)，由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.所以f (x ) 在[2，9]上的最小值为－2.。
函数的单调性(2)课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
解得 x＞ .所以函数 f(x)＝2x2－ln x 的递增区间是 2
2
课后练习
4.（2020·天津·高考真题20）已知函数 f ( x) x3 k ln x(k R)
， f ( x)
为 f(x) 的导函数．
（Ⅰ）当k=6时，
（i）求曲线在点（1，f（1））处的切线方程；
9
g ( x) f ( x) f ( x)
+/-
单调性
巩固练习
判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
（1） f(x)=3x-x3
（2）f(x)=x－2ln x
巩固练习
判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
（1） f(x)=3x-x3
解：（1）函数f(x)=3x-x3 定义域为 R .
对f(x)求导，得f ′(x)=3-3x2 ,
令f ′(x)=0，得x=-1,或x=1。
() = − − 2 + 1
3
2
′() = 2 − − 2
不熟悉的、复杂的函数
熟悉的、简单的函数
算法思想
判断函数的单调性的复杂问题
步骤明确的运算问题
因此，导数是研究函数单调性的基本工具，
利用导数研究函数单调性的方法具有“普适性”。
总结规律
小结：一般情况下，判断函数 = ()的单调性的步骤：
引入新课
3 + 2 + + ( ≠ 0)的函数
形如()
=
问题2
应用广泛，如何利用导数研究这种函数的单调性？
思
路：
定义
域
导
函
数
原
函数
求导
导函数
总复习专题二：函数及其性质(第二部分：函数的单调性与奇函数偶函数)
镇（乡） 学校 班级 考号 姓名 ……○……题……○……不……○……得……○……超……○……过……○……此……○……密……○……封……○……总复习专题二：函数及其性质(含抽象函数的性质）编辑，整理：冉春第一部分：讲义部分：第一节、函数的单调性与奇偶性1、函数的单调性函数的单调性①定义及判定方法 函数的性 质定义图象判定方法 函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性 （3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增） （4）利用复合函数的单调性（同增异减） 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． （1）利用定义（2）利用已知函数的单调性 （3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数例1： 函数12+=x y 在区间），（∞∞+-是增函数；函数 22+-=x y 在区间），（∞∞+-是减函数。
例：证明函数12)(-=x x f 在区间），（∞∞+-是增函数。
证明：设2121),,(,x x x x <+∞-∞∈且，那么12)(,12)(2211-=-=x x f x x f )12()12()()(2121---=-x x x f x f ·)(221x x -=· 21x x <∵，021<-∴x x0)(2)()(2121<-=-∴x x x f x f ，即)()(21x f x f < ∴函数12)(-=x x f 在区间），（∞∞+-是增函数。
函数的单调性与最大小值
条件
f(x)≤M；
②存在x0∈A，使得f(x0)＝M.
结论 M为最大值
考基联动
考向导析
限时规范训练
联动思考
想一想：单调区间与函数定义域有何关系？ 答案：单调区间是定义域的子区间． 议一议：若一个函数出现两个或两个以上单调区间时，能否用“∪”来联结？ 1 答案：不能．如函数y＝ 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，但不能说函数在 x (－∞，0)∪(0，＋∞)上递减，因为若可以这么说，由于－1＜1，由函数递减知 f (－1)＞f (1)，但f (－1)＝－1，f(1)＝1，f (－1)＜f (1)矛盾，故不能将两个单调区间 并起来．
考基联动
考向导析
限时规范训练
考向一 函数单调性判断与证明
2 1 【例1】 试判断函数f (x)＝x － 在(0，＋∞)上的单调性，并加以证明． x 1 解：解法一：函数f (x)＝x2 － 在(0，＋∞)上是单调增函数，设0＜x1 ＜x2 ， x 1 1 1 2 2 则f (x1 )－f (x2)＝x1 －x 2 － － ＝(x1 －x2 )x1 ＋x2 ＋ x1 x2 x1 x2 1 ∵x2 ＞x1 ＞0，∴x1 －x2 ＜0，x1 ＋x2 ＋ ＞0，∴f (x1 )－f(x2 )＜0，即f(x1 )＜f(x2 )． x1 x2 故f (x)在(0，＋∞)上单调递增． 1 解法二：f ′(x)＝2x＋ 2 ，当x＞0时，f ′(x)＞0，故f (x)在(0，＋∞)上为增函数． x
反思感悟：善于总结，养成习惯 对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法，(1)可以结 合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解．(2)可导函数则可以利 用导数解之．但是，对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行．
第2章 第2讲 函数的单调性与最值
(4)有界性法：利用代数式的有界性(如 x2≥0， x≥0，2x>0，－1≤sinx≤1 等)确定函数的值域．如举例说明 4 可用此法．
(5)分离常数法：形如求 y＝acxx＋＋db(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离 常数法求解．如举例说明 4 可用此法．
(2)图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，则 可由图象的直观性确定它的单调性．如举例说明 2.
(3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的Βιβλιοθήκη 调性．如举例说明 3 可 用此法.
2.熟记函数单调性的三个常用结论 (1)若 f(x)，g(x)均是区间 A 上的增(减)函数，则 f(x)＋g(x)也是区间 A 上 的增(减)函数； (2)若 k>0，则 kf(x)与 f(x)单调性相同；若 k<0，则 kf(x)与 f(x)单调性相 反； (3)复合函数单调性的确定方法：若两个简单函数的单调性相同，则这 两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个 函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．如举例说明 1.
fxx11－－fx2x2>0⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0.(
)
(3)若函数 y＝f(x)，x∈D 的最大值为 M，最小值为 m(M＞m)，则此函数
的值域为[m，M]．( )
(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√
答案
2.小题热身 (1)设定义在[－1,7]上的函数 y＝f(x)的图象如图所示，则函数 y＝f(x)的 增区间为__[－__1_,_1_]_，__[5_,_7_]___． 解析 由图可知函数的单调递增区间为[－1,1]和[5,7]．
第二讲 函数的单调性
函数的单调性【基础知识点】1．定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数2.用导数求函数单调区间的步骤： ①先明确函数的定义域 ②求出函数)(x f 的导数)(x f '③求单调增区间时令0)(>'x f ,求单调减区间时令0)(<'x f 【典例解析】【典例1】求下列函数的单调区间：⑴52)(24--=x x x f ⑵nx x x f 12)(2-= ⑶ex e x f x -=)(变式：确定函数[]()sin (0,2)f x x x π=∈的单调减区间【典例2】已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-=．讨论)(x f 的单调性； 【解析】1(21)(1)()(0,),()2(2).x ax f x f x ax a x x+-'+∞=-+-=-的定义域为 ①若.0,()0,()(0,)a f x f x '≤>+∞则所以在单调增加. ②若10,()0,a f x x a'>==则由得且当 11(0,),()0,,()0.x f x x f x a a''∈>><时当时所以1()(0,)f x a 在单调增加，在1(,)a+∞单调减少.变式：1．设)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，()0,g x ≠，当0<x 时，0)()()()(>'-'x g x f x g x f 且(3)0,f -=则不等式0)()(<x g x f 的解集 2．()f x 的定义域为(0,)+∞,()f x 的导函数为()f x ',且对任意正数x 均有()()f x f x x'>，判断函数()()f x F x x=在(0,)+∞上的单调性；【基础知识点】已知函数的单调性或单调区间，求字母参数的取值范围 若)(x f 在某区间I 上单调递增，则0)(≥'x f ()x I ∈恒成立 若)(x f 在某区间I 上单调递减，则0)(≤'x f ()x I ∈恒成立注意：在利用0)(≥'x f 或0)(≤'x f 取等号时，函数)(x f 是否会为常数函数，如果是，则不能取等号，即0)(>'x f 或0)(<'x f【典例3】求函数1)(23+-=mx x x f 的单调减区间. 解 2()32f x x mx '=-.当0m >时，令()0f x '<，解得203mx <<； 当0m =时，2()30f x x '=≥； 当0m <时，令()0f x '<，解得203mx <<. 综上所述，当0m >时，函数1)(23+-=mx x x f 的单调减区间是2[0,]3m；当0m <时，函数1)(23+-=mx x x f 的单调减区间是2[,0]3m 反思：解关于含参数的导函数问题，应对参数进行讨论（抓住“讨论点”以及其完整性）。
高中数学 第三章 函数概念与性质 3.2.函数的单调性课件 a高一第一册数学课件
则函数y=x+ 的a 单调增区间(qū jiān)是(-∞，- ]和a[ ，+∞)，a 单调减区间是 x
(- ，a0)和(0， ). a (2)若a<0，其图象如图2所示，
函数y=x+ 在a (-∞，0)和(0，+∞)上均单调递增，即y=x+ 的单调增区间a
为(-∞，0)和x(0，+∞).
x
12/8/2021
第1课时 函数(hánshù)的单调性
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必备知识·自主(zìzhǔ)学习
导 1.怎样描述函数的图象上升、下降的性质？ 思 2.什么是函数的单调区间？
1.函数(hánshù)的单调性 (1)定义
函数
增函数
减函数
图示
条件 设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，
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类型二 利用定义证明函数(hánshù)的单调性(数学抽象、逻辑推理)
【典例】证明函数f(x)= 在区间1 (2，+∞)上单调递减. x2 4
四步
内容
理解 题意
条件：函数f(x)= ，1x∈(2，+∞)
x2 4
结论：函数f(x)在(2，+∞)上单调递减
思路 任取x1，x2∈(2，+∞)，且x1<x2⇨f(x1)>f(x2)⇨函数在(2，+∞)上单 探求 调递减
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第九页，共四十八页。
3.(教材二次开发：例题改编(gǎibiān))若函数f(x)=(2k-1)x+1是减函数，则实数k的取值范围是
hmw第2讲-函数的单调性与最值)
2 x －1 3． 已知函数 f(x)＝ x .(1)求 f(x)的值域； 2 ＋1 (2)证明 f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数
考向四：利用单调性解函数不等式 例 1：已知函数 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，g(x)＝f(|x|)， 若 g(lg x)>g(1)，则 x 的取值范围是(D A．(0,10) B．(10，＋∞)
C）
2x＋a，x≥－a， 2 解析 f(x)＝|2x＋a|＝ a －2x－a，x<－2。
因为函数 f(x)的单调递
a 增区间是[3，＋∞)，所以－2＝3，即 a＝－6。
若题改为f(x)在[3，＋∞)单调递增，则a的范围
考向一
函数的单调性的判断
ax 例 1： 讨论函数 f(x)＝ (a≠0)在(－1,1)上的单调性． x－1
判断(或证明)函数单调性的主要方法有： (1)函数单调性的定义； (2)观察函数的图象； (3)利用函数和、差、积、商和复合函数单调性的判断法则； (4)利用函数的导数等．
考向二
利用已知函数的单调区间求参数的值(或范围)
2
x ＋a 【例 2】►已知函数 f(x)＝ x (a>0)在(2，＋∞)上递增， 求实数 a 的取值范围．
第2讲
函数的单调性与最值
【高考会这样考】 1．考查求函数单调性和最值的基本方法． 2．利用函数的单调性求单调区间． 3．利用函数的单调性求最值和参数的取值范围． 【复习指导】 本讲复习首先回扣课本，从“数”与“形”两个角度来把握函 数的单调性和最值的概念，复习中重点掌握：(1)函数单调性的 判断及其应用；(2)求函数最值的各种基本方法；对常见题型的 解法要熟练掌握．
x1 ∴ f ( x ) 在 [2,9] 上的最小值为 f (9) ． (2)任取 x1，x2∈(0，＋∞)，且 x1＞x2，则 ＞1， x2
2函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)(含答案)
函数的基本性质一、知识点1．对函数单调性的理解（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域； （2）一些单调性的判断规则：①若)(x f 与)(x g 在定义域内都是增函数（减函数），那么)()(x g x f +在其公共定义域内是增函数（减函数）即“同加异减”减时和第一个单调性相同。
②复合函数的单调性规则是“同增异减”。
2．函数的奇偶性的定义：（1）对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，则称)(x f 为 . 奇函数的图象关于 对称。
（2）对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，则称)(x f 为 . 偶函数的图象关于 对称。
（3）通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。
3．奇偶函数图象的对称性（1）若)(x a f y +=是偶函数，则⇔=-⇔-=+)()2()()(x f x a f x a f x a f )(x f 的图象关于直线a x =对称；（2）若)(x b f y +=是偶函数，则⇔-=-⇔+-=-)()2()()(x f x b f x b f x b f )(x f 的图象关于点)0,(b 中心对称；4．若函数满足()()x f a x f =+，则函数的周期为T=a 。
二、例题讲解1．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．||2x y = B ．3y x = C ．12+-=x y D ．y ＝cosx 【答案】C 【解析】试题分析：偶函数需满足()()f x f x -=，由此验证可知A,C,D 都是偶函数，但要满足在区间(0，＋∞)上单调递减，验证可知只有C 符合. 考点：偶函数的判断，函数的单调性.2．2()24f x x x =-+的单调减区间是 .【答案】(,1)-∞ 【解析】试题分析：将函数进行配方得22()24(1)3f x x x x =-+=-+，又称轴为1x =，函数图象开口向上，所以函数的单调减区间为(,1)-∞． 考点：二次函数的单调性．3．函数22log (23)y x x =+-的单调递减区间为（ ）A ．（－∞，－3）B ．（－∞，－1）C ．(1，+∞)D ．(－3，－1) 【答案】A 【解析】试题分析：由2230x x +->，得3x <-或1x >，∴()f x 的定义域为(,3)(1,)-∞-+∞．22log (23)y x x =+-可看作由2log y u =和223u x x =+-复合而成的，223u x x =+-＝2(1)4x +-在(,3)-∞-上递减，在(1,)+∞上递增，又2log y u =在定义域内单调递增，∴22log (23)y x x =+-在(,3)-∞-上递减，在(1,)+∞上递增，所以22log (23)y x x =+-的单调递减区间是(,3)-∞-，故选A ．考点：复合函数的单调性．4．已知5)2(22+-+=x a x y 在区间(4,)+∞上是增函数，则a 的范围是（ ）A.2a ≤-B.2a ≥-C.6-≥aD.6-≤a 【答案】B 【解析】试题分析：函数5)2(22+-+=x a x y 的图像是开口向上以2x a =-为对称轴的抛物线，因为函数在区间(4,)+∞上是增函数，所以24a -≤，解得2a ≥-，故A 正确。
新教材高中数学 函数的概念与性质2函数的基本性质 单调性与最大小值第一课时课件新人教A版必修第一册
知识点二 单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函 数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)___单__调__性___,区间D叫做 y＝f(x)的___单__调__区__间_____．
【思辨】 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)函数的单调区间是函数定义域的子集．( √ ) (2)函数f(x)＝－ 的单调递增区间是(－∞,0)∪(0,＋∞).
例3 已知函数f(x)在区间(－1,1)上单调递减,且f(a－1)>f(1－4a),
求a的取值范围．
－1<a－1<1，
1
解：由题意知－1<1－4a<1， 解得 0<a<2 . ①
又因为函数 f(x)在区间(－1，1)上单调递减，
且 f(a－1)>f(1－4a)，
所以 a－1<1－4a，得 a<25 .②由①②得，0<a<25 ，
(×) (3)函数f(x)＝x2－2x(x∈[－1,2])的单调递增区间是[1,2],单
调递减区间是[－1,1].( √) (4)函数y＝2x＋1在[0,3]上单调递增,则[0,3]是函数的单调
递增区间．( × )
2 【解析】 (2)函数 f(x)＝－x 的单调递增区间是(－∞，0) 和(0，＋∞).注意两个区间之间要用逗号或“和”连接． (4)函数在定义域内的某区间递增，这个区间不一定是函数 的单调递增区间，它可能是单调区间的子集．
因为 x1<x2，且 x1，x2∈(0，＋∞)，
所以 x2－x1>0，x1＋3>0，x2＋3>0.
所以函数 f(x2)－f(x1)>0，即 f(x2)>f(x1)，
第2讲 函数单调性
第5讲函数的简单性质——单调性知识 整合【基础知识】1．函数单调性一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，区间I ⊆A .如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说y ＝f (x )在区间I 上是单调增函数，I 称为y ＝f (x )的单调增区间．如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说y ＝f (x )在区间I 上是单调减函数，I 称为y ＝f (x )的单调减区间．2．最大(小)值一般地，设y ＝f (x )的定义域为A ，如果存在x 0∈A ，使得对于任意的x ∈A ，都有f (x )≤f (x 0)，那么称f (x 0)为y ＝f (x )的最大值，记为y max ＝f (x 0)；如果存在x 0∈A ，使得对于任意的x ∈A ，都有f (x )≥f (x 0)，那么称f (x 0)为y ＝f (x )的最小值，记为y min ＝f (x 0)．【基础自测】1．如图为函数y ＝f (x )，x ∈[－5,4]的图象，则它的最大值是________，最小值是________．第1题图2．已知函数①y ＝|x |；②y ＝3－x ；③y ＝1x；④y ＝－x 2＋4.其中在区间(0,1)上是增函数的是__________．3．若函数f (x )＝(k 2－3k ＋2)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围为__________．4．函数f (x )＝－3x 2＋1是减函数的区间为__________．5．已知f (x )是R 上的增函数，令F (x )＝f (1－x )－f (3＋x )，则F (x )是R 上的__________．(填“增函数”或“减函数”)重难点 突破考点1 函数单调性的判断 重点阐述函数单调性的判断方法：(1)定义法；(2)图象观察法；(3)利用已知函数的单调性；(4)利用复合函数的单调性法则；利用定义法的关键是对f (x 1)－f (x 2)的整理、化简、变形和符号的判断，其中变形的策略有因式分解、配方、分子(分母)有理化等． 难点释疑函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，函数在某个区间上是单调增(或减)函数，但在整个定义域上不一定是单调递增(或减)函数．例1已知a 、 b 是正整数，函数f (x )＝ax ＋2x ＋b(x ≠－b )的图象经过点(1, 3)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)判断函数f (x )在(－1, 0]上的单调性，并用单调性定义证明你的结论．【解】【点评】 熟悉判断函数的单调性或求函数的单调区间的一般方法是解答此题的关键．考点2 复合函数的单调性 难点释疑复合函数的单调性：复合函数y ＝f (g (x ))的单调性应根据外层函数y ＝f (t )和内层函数t ＝g (x )的单调性判断，遵循“同增异减”的原则．例2：函数y ＝lgsin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的单调递减区间为______________． 【解】【点评】 本题是对数函数与三角函数知识的交汇．复合函数的单调性及单调区间的判断与求解是高考的一个热点．要注意对数函数真数为正的条件限制(即应当首先求得该函数的定义域)，另外在答案中还不能忽视k ∈Z 这个条件．举一反三：函数f (x )＝ln(2x ＋1)的单调增区间是________．例3:(13江苏模拟)函数f (x )＝log 2(x 2－4)的单调减区间为________．【解】【点评】 本题是对数函数与二次函数的交汇，注意这两个函数在定义域内增减性的差异是解题的关键．举一反三：函数f (x )＝log 12(x ＋1)的单调减区间 为________．考点3 已知函数单调性求参数范围例3:设f (x )是定义在区间(1, ＋∞)上的函数，其导函数为f ′(x )．如果存在实数a 和函数h (x )，其中h (x )对任意的x ∈(1, ＋∞)都有h (x )＞0，使得f ′(x )＝h (x )(x 2－ax ＋1)，则称函数f (x )具有性质P(a )．(1)设函数f (x )＝ln x ＋b ＋2x ＋1(x ＞1)，其中b 为实数． ①求证： 函数f (x )具有性质P(b )；②求函数f (x )的单调区间；(2)已知函数g (x )具有性质P(2)．给定x 1, x 2∈(1，＋∞), x 1＜x 2，设m 为实数，α＝mx 1＋(1－m )x 2, β＝(1－m )x 1＋mx 2，且α＞1, β＞1，若|g (α)－g (β)|＜|g (x 1)－g (x 2)|，求m 的取值范围．【解】【点评】 本题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．举一反三：已知函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋2)在(2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．失分 诊断易错点：求解分段函数的单调性问题中忽视定义域(13江苏模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是________．课堂 训练1．函数y ＝(3k ＋2)x ＋b 在R 上是单调增函数，则k 的取值范围是________．2．函数f (x )＝x 2－2x ＋1的单调增区间为________，当x ∈[－1,2]时，f (x )max ＝________.3．给定函数①f (x )＝－x 2＋x ＋1，②f (x )＝1x ，③f (x )＝log 13x ，④f (x )＝ln x ，其中在其定义域内是减函数的序号是__________． 4．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________. 5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x ＜1，log ax ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的单调减函数，那么a 的取值范围是________．。
人教B版高中数学必修一学第二章函数的单调性讲解与例题
2.1.3 函数的单调性1．函数单调性的概念一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，区间M ⊆A . 如果取区间M 中的任意两个值x 1，x 2，改变量Δx ＝x 2－x 1＞0，则当Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＞0时，就称函数y ＝f (x )在区间M 上是增函数，如下图所示．当Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＜0时，就称函数y ＝f (x )在区间M 上是减函数，如下图所示．如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性(区间M 称为单调区间)．谈重点 对函数单调性的理解1．函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，即单调区间是定义域的子集．如函数y ＝x 2的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，0)时是减函数．2．函数单调性定义中的x 1，x 2有三个特征：一是任意性，即“任意取x 1，x 2”，“任意”二字决不能丢掉；二是有大小，即x 1＜x 2(x 1＞x 2)；三是同属一个单调区间，三者缺一不可．3．单调性是一个“区间”概念，如果一个函数在定义域的几个区间上都是增(减)函数，但不能说这个函数在其定义域上是增(减)函数．如函数f (x )＝1x在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数，但不能说f (x )＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数．因为当x 1＝－1，x 2＝1时有f (x 1)＝－1＜f (x 2)＝1，不满足减函数的定义．4．单调区间端点的写法：对于单独的一个点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减性变化，所以不存在单调问题，因此在写此单调区间时，包括端点可以，不包括端点也可以，但对于某些无意义的点，单调区间就一定不包括这些点．【例1－1】下列说法不正确的有( )①函数y ＝x 2在(－∞，＋∞)上具有单调性，且在(－∞，0)上是减函数；②函数1=y x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在其上是减函数； ③函数y ＝kx ＋b (k ∈R )在(－∞，＋∞)上一定具有单调性；④若x 1，x 2是f (x )的定义域A 上的两个值，当x 1＞x 2时，有f (x 1)＜f (x 2)，则y ＝f (x )在A 上是增函数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：①函数y ＝x 2在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数，故其在(－∞，＋∞)上不具有单调性；②(－∞，0)和(0，＋∞)都是函数1=yx的单调区间，在这两个区间上都是减函数，但1=yx在整个定义域上不是减函数；③当k＝0时，y＝b，此时函数是一个常数函数，不具有单调性；④因为x1，x2是定义域上的两个定值，不具有任意性，所以不能由此判定函数的单调性．答案：D【例1－2】若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )A．32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)＜f(2)B．f(－1)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(2)C．f(2)＜f(－1)＜32 f⎛⎫-⎪⎝⎭D．f(2)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)解析：∵函数f(x)对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，∴f(－2)＝f(2)．∵f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2＜32-＜－1，∴f(－2)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)，即f(2)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)．答案：D【例1－3】定义在R上的函数f(x)是增函数，A(0，－1)，B(3,1)是其图象上的两点，那么不等式|f(x＋1)|＜1的解集为( )A．(－1,2) B．[3，＋∞)C．[2，＋∞) D．(－∞，－1]∪(2，＋∞)解析：∵A(0，－1)，B(3,1)是函数f(x)图象上的两点，∴f(0)＝－1，f(3)＝1.由|f(x＋1)|＜1，得－1＜f(x＋1)＜1，即f(0)＜f(x＋1)＜f(3)．∵f(x)是定义在R上的增函数，∴由单调函数的定义，可知0＜x＋1＜3.∴－1＜x＜2.答案：A2．函数单调性的判断方法(1)图象法对于简单函数或可化为简单函数的函数，由于其图象较容易画出，因此，可利用图象的直观性来判断函数的单调性，写出函数的单调区间．【例2－1】写出下列函数的单调区间： (1)y ＝|2x －1|；(2)y ＝|x 2－3x ＋2|；(3)2=3xy x -+. 分析：本题画出各个函数的图象后，就可以得出相应的单调递增或单调递减区间了．图1解：(1)y ＝|2x －1|＝121,,2121,<.2x x x x ⎧-≥⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩ 如图1所示，函数的单调递增区间是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；单调递减区间是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.(2)y ＝|x 2－3x ＋2|＝2232,12321<<2.x x x x x x x ⎧-+≤≥⎨-(-+)⎩或，， 如图2所示，函数的单调递增区间是31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和[2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1]和3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.图2图3(3)255==1=1333xyx x x-⎛⎫---+⎪+++⎝⎭.如图3所示，函数的单调递减区间是(－∞，－3)和(－3，＋∞)．谈重点由图象得出函数的单调区间对于函数求单调区间，可以根据图象及结合基本函数的单调性来寻找的．对于有些函数，如果能够画出函数的图象，那么寻找单调区间就比较容易了，此类题目通常是与基本函数(如一次函数、二次函数、反比例函数以及后面学的指数函数与对数函数等)有关的函数．【例2－2】已知四个函数的图象如下图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是( )解析：已知函数的图象判断其在定义域内的单调性，应从它的图象是上升的还是下降的来考虑．根据函数单调性的定义可知选项B中的函数在定义域内为增函数．答案：B谈重点单调函数的图象特征函数的单调性反映在图象上是在指定的区间(也可以是定义域)从左到右图象越来越高或越来越低(注意一个点也不能例外，如本例C中的函数只有一个点例外，受此点影响，该函数在整个定义域上不具有单调性)，这是函数单调性在函数图象上的直观表现．【例2－3】画出函数f(x)＝－x2＋2|x|＋3的图象，说出函数的单调区间，并指明在该区间上的单调性．分析：含有绝对值符号的函数解析式，可根据绝对值的意义，将其转化为分段函数，画出函数图象后，观察曲线在哪些区间上是上升的，在哪些区间上是下降的，即可确定函数的单调区间及单调性．解：2223,0, ()=23,<0.x x xf xx x x⎧-++≥⎨--+⎩当x≥0时，f(x)＝－(x－1)2＋4，其开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为(1,4)，且f(3)＝0，f(0)＝3；当x＜0时，f(x)＝－(x＋1)2＋4，其开口向下，对称轴为x＝－1，顶点坐标为(－1,4)，且f(－3)＝0.作出函数的图象(如图)，由图看出，函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．辨误区写函数的单调区间易忽略的问题1．如果一个函数有多个单调增(减)区间，这些增(减)区间应该用逗号隔开(即“局部”)或用“和”来表示，而不能用并集的符号“∪”连接；2．确定已知函数的单调区间要有整体观念，本着宁大勿小的原则，即求单调区间则应求“极大”区间．如虽然函数y＝x2在区间[2,3]，[5,9]，[1，＋∞)上都是递增的，但在写这个函数的递增区间时应写成[0，＋∞)，而不能写区间[0，＋∞)的任一子区间；3．书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，若函数在区间端点处有定义且图象在该点处连续，则书写函数的单调区间时，既可以写成闭区间，也可以写成开区间；若函数在区间端点处没有定义，则书写函数的单调区间时必须写成开区间．(2)定义法如果要证明一个函数的单调性，目前只能严格按照定义进行，步骤如下：①取值：设x1，x2为给定区间内任意的两个值，且x1＜x2(在证明函数的单调性时，由于x1，x2的取值具有任意性，它代表区间内的每一个数，所以，在证题时不能用特殊值来代替它们)；②作差变形：作差Δy＝f(x2)－f(x1)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值的符号的方向变形(作差后，尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完全平方式的和的形式，这是值得学习的解题技巧，在判断因式的正负号时，经常采用这种变形方法)；③定号：确定差值Δy的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论(判断符号的依据是自变量的范围、假定的大小关系及符号的运算法则)；④判断：根据定义作出结论(若Δx＝x2－x1与Δy＝f(x2)－f(x1)同号，则给定函数是增函数；异号，就是减函数)．【例2－4】(1)证明函数()=f x在定义域上是减函数；(2)证明函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数；(3)证明函数f(x)＝x＋1x在(0,1)上为减函数．分析：证明函数的单调性，关键是对函数在某一区间上任意两个函数值f(x1)，f(x2)的差Δy＝f(x2)－f(x1)进行合理的变形，尽量变为几个最简单的因式的乘积或几个完全平方式的和的形式．证明：(1)()=f x的定义域为[0，＋∞)，任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2，则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f(x2)－f(x1)＝((--＝<0，由单调函数的定义可知，函数()=f x在定义域[0，＋∞)上是减函数．(2)设x1，x2∈R，且x1＜x2，则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f(x2)－f(x1)＝(x23＋x2)－(x13＋x1)＝(x23－x13)＋(x2－x1)＝(x 2－x 1)(x 22＋x 1x 2＋x 12)＋(x 2－x 1)＝(x 2－x 1)(x 22＋x 1x 2＋x 12＋1)＝222121113()1024x x x x x ⎡⎤⎛⎫-+++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由单调函数的定义可知，函数f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数．(3)设x 1，x 2∈(0,1)，且x 1＜x 2，则Δx ＝x 2－x 1＞0，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝212111x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝(x 2－x 1)＋1212x x x x -＝(x 2－x 1)1211x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝2112121x x x x x x (-)(-).∵0＜x 1＜x 2＜1，∴x 1x 2－1＜0，x 1x 2＞0.∴Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＜0.∴由单调函数的定义可知，函数1()=f x x x+在(0,1)上为减函数．辨误区 利用定义证明函数的单调性需谨慎在第(1)题中，有的同学认为由0≤x 1＜x 2，可得0≤x 1＜x 2，这种证明实际上利用了函数y ＝x 的单调性，而y ＝x 的单调性我们没作证明，因此不能使用；在第(1)题中还使用了“分子有理化”的变形技巧，要注意观察这类题目的结构特点．3．利用函数的单调性比较两个函数值的大小若函数y ＝f (x )在给定的区间A 上是增函数，设x 1，x 2∈A ，且x 1＜x 2，则有f (x 1)＜f (x 2)；若函数y ＝f (x )在给定的区间A 上是减函数，设x 1，x 2∈A ，且x 1＜x 2，则有f (x 1)＞f (x 2)．所以，当给定的两个自变量在同一单调区间上时，可直接比较相应的两个函数值的大小．否则，可以先把它们转化到同一单调区间上，再利用单调性比较大小．【例3】设函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与34f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系为________．解析：∵a 2－a ＋1＝2133244a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭＞0，又∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴当12a ≠时，a 2－a ＋1＞34，有f (a 2－a ＋1)＜34f ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当1=2a 时，a 2－a ＋1＝34，有f (a 2－a ＋1)＝34f ⎛⎫ ⎪⎝⎭.综上可知，f (a 2－a ＋1)≤34f ⎛⎫ ⎪⎝⎭.答案：f (a 2－a ＋1)≤34f ⎛⎫ ⎪⎝⎭4．利用函数的单调性确定参数范围已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围时，要注意利用数形结合的思想，运用函数单调性的逆向思维思考问题．这类问题能够加深对概念、性质的理解．例如：已知函数f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2在(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围．由于二次函数是我们最熟悉的函数，遇到二次函数就画图象，会给我们研究问题带来很大方便．要使f (x )在(－∞，4]上是减函数，由二次函数的图象可知，只要对称轴x ＝1－a ≥4即可，解得a ≤－3.谈重点 对分段函数的单调性的理解求分段函数在定义域上的单调性问题时，不但要考虑各段上函数的类型及其单调性，而且还要考虑各段图象之间的上下关系．【例4】已知函数(3)4,<1,()=,1a x a x f x a x x-+⎧⎪⎨≥⎪⎩是(－∞，＋∞)上的减函数，求实数a 的取值范围．分析：函数f (x )是一个分段函数，其图象由两部分组成．当x ＜1时，f (x )＝(3－a )x ＋4a ，其图象是一条射线(不包括端点)；当x ≥1时，()=af x x，其图象由a 的取值确定，若a ＝0，则为一条与x 轴重合的射线，若a ≠0，则为反比例函数图象的一部分(曲线)．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，则在两段上必须都是递减的，且要保证x ＜1时的图象位于x ≥1时的图象的上方.解：由题意知，函数f (x )＝(3－a )x ＋4a (x ＜1)与()=af x x(x ≥1)都是递减的，且前者图象位于后者图象的上方(如图所示)．∴3<0,>0,34,a a a a a -⎧⎪⎨⎪(-)+≥⎩即>3,>0,3.2a a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪≥-⎩ ∴a ＞3.∴实数a 的取值范围是{a |a ＞3}． 5．利用函数的单调性求函数的最值若函数在给定的区间上是单调函数，可利用函数的单调性求最值．若给定的单调区间是闭区间，函数的最值在区间的两个端点处取得，也就是说，若函数f (x )在某一闭区间[a ，b ]上是增函数，则最大值在右端点b 处取得，最小值在左端点a 处取得；若函数f (x )在某一闭区间[a ，b ]上是减函数，则最大值在左端点a 处取得，最小值在右端点b 处取得．解题时也可结合函数的图象，得出问题的答案．【例5－1】求()=f x x +的最小值．分析：求函数()=f x x +的最小值，可先利用单调函数的定义判断其在定义域上的单调性，再利用单调性求出最值．解：()=f x x +的定义域为[1，＋∞)，任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1＜x 2，Δx ＝x 2－x 1＞0，则Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝(x 2)－(x 1＝(x 2－x 1)＋(－＝(x 2－x 1)＝(x 2－x 1)·1⎛ ⎝.∵Δx ＝x 2－x 1＞0,1＞0，∴f (x 2)－f (x 1)＞0.∴f (x )在[1，＋∞)上为增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝1.【例5－2】已知函数2=1xy x +(x ∈[－3，－2])，求函数的最大值和最小值． 解：设－3≤x 1＜x 2≤－2，则f (x 1)－f (x 2)＝12122211x x x x -++＝122112212111x x x x x x (+)-(+)(+)(+)＝1212211x x x x (-)(+)(+).由于－3≤x 1＜x 2≤－2，则x 1－x 2＜0，x 1＋1＜0，x 2＋1＜0. 所以f (x 1)＜f (x 2)． 所以函数2=1xy x +在[－3，－2]上是增函数． 又因为f (－2)＝4，f (－3)＝3，所以函数的最大值是4，最小值是3. 6．利用函数的单调性解不等式函数的单调性具有可逆性，即f (x )在区间D 上是递增的，则当x 1，x 2∈D 且f (x 1)＞f (x 2)时，有x 1＞x 2〔事实上，若x 1≤x 2，则f (x 1)≤f (x 2)，这与f (x 1)＞f (x 2)矛盾〕．类似地，若f (x )在区间D 上是递减的，则当x 1，x 2∈D 且f (x 1)＞f (x 2)时，有x 1＜x 2.利用函数单调性的可逆性，可以脱去某些函数符号，把抽象的不等式化为具体的不等式．此时要特别注意处在自变量位置的代数式必须满足定义域要求，最后取几个不等式的解的交集即可．利用函数的单调性可以比较函数值或自变量值的大小，在解决比较函数值的大小问题时，要注意将对应的自变量放在同一个单调区间上．【例6】已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )＜f (a 2－1)，求a 的取值范围．分析：由于函数y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )＜f (a 2－1)，所以由单调函数的定义可知1－a ∈(－1,1)，a 2－1∈(－1,1)，且1－a ＞a 2－1，解此关于a 的不等式组，即可求出a 的取值范围．解：由题意可得221<1<1,1<1<1,1>1,a a a a --⎧⎪--⎨⎪--⎩①②③由①得0＜a ＜2，由②得0＜a 2＜2，∴0＜|a |，∴a ，且a ≠0.由③得a 2＋a －2＜0，即(a －1)(a ＋2)＜0， ∴1>0,2<0a a -⎧⎨+⎩或1<0,2>0,a a -⎧⎨+⎩∴－2＜a ＜1.综上可知0＜a ＜1， ∴a 的取值范围是0＜a ＜1.7．复合函数单调性的判断方法一般地，如果f(x)，g (x)在给定区间上具有单调性，则可以得到如下结论：(1)f(x)，g(x)的单调性相同时，f(x)＋g(x)的单调性与f(x)，g(x)的单调性相同．(2)f(x)，g(x)的单调性相反时，f(x)－g(x)的单调性与f(x)的单调性相同．(3)y＝f(x)在区间I上是递增(减)的，c，d都是常数，则y＝cf(x)＋d在I上是单调函数．若c＞0，y＝cf(x)＋d在I上是递增(减)的；若c＜0，y＝cf(x)＋d在I上是递减(增)的．(4)f(x)恒为正或恒为负时，y＝1f x与y＝f(x)单调性相反．(5)若f(x)＞0，则函数y＝f(x)与y＝f x具有相同的单调性．(6)复合函数y＝f[g(x)]的单调区间求解步骤：①将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)，u＝g(x)；②分别确定各个函数的定义域；③分别确定分解成的两个函数的单调区间；④若两个函数在对应区间上的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数；若不同，则y＝f[g(x)]为减函数．该法可简记为“同增异减”．值得注意的是：在解选择题、填空题时我们可直接运用此法，但在解答题中不能利用它作为论证的依据，必须利用定义证明．【例7】求y的单调区间，并指明在该区间上的单调性．分析：这是一个复合函数，应先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断法则确定其单调性．解：要使函数y需满足x2＋2x－3≥0，即(x－1)(x＋3)≥0.∴10,30xx-≥⎧⎨+≥⎩或10,30.xx-≤⎧⎨+≤⎩∴x≥1，或x≤－3.∴函数y的定义域为{x|x≥1，或x≤－3}．令u＝x2＋2x－3，则=y u＝(x＋1)2－4，其开口向上，对称轴为x＝－1.∴当x≥1时，u是x的增函数，y是u的增函数，从而y是x的增函数；当x≤－3时，u是x的减函数，y是u的增函数，从而y是x的减函数．∴y的递增区间是[1，＋∞)，递减区间是(－∞，－3]．辨误区求函数的单调区间易忽略的问题由于函数的单调区间一定是函数定义域的子集，所以我们在求函数的单调区间时，一定要先求函数的定义域，在函数的定义域内讨论函数的单调区间；在处理函数的相关问题时，往往会把函数问题转化成方程问题或简单不等式问题来处理，但要注意转化时应确保转化前后式子的等价性．8．抽象函数的单调性问题没有具体的函数解析式的函数，我们称为抽象函数，关于抽象函数的单调性，常见的有以下题型：(1)抽象函数单调性的证明．证明抽象函数的单调性，必须用单调函数的定义作出严格证明，而不能用几个特殊值的大小来检验，证明时要同时注意特殊值的应用．(2)抽象函数单调性的应用．如，利用抽象函数的单调性求函数的最值、解不等式等．解决抽象函数的有关问题，常采用赋值法．在解不等式时关键是将已知不等式转化为f(x1)≥f(x2)的形式，然后利用单调性结合定义域求解．【例8】已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，2 (1)=3f .求证：f(x)在R上是减函数；证明：令x＝y＝0，得f(0)＋f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0. 令y＝－x，得f(x)＋f(－x)＝f(0)，∴f(－x)＝－f(x)．任取x1，x2∈R，且x1＜x2，Δx＝x2－x1＞0，则Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.又∵当x＞0时，f(x)＜0，∴f(x2－x1)＜0，即Δy＜0.∴f(x)在R上是减函数．。
2.2 函数的单调性及值域
基础梳理
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第2讲 函数的单调性及值域
考纲考向
考点基础
重点难点
随堂演练
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1
2
3
2.函数值域 (1)在函数 y=f(x)中,与自变量 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值 的集合叫做函数的值域. (2)基本初等函数的值域 ①y=kx+b(k≠0)的值域是 R. ②y=ax +bx+c(a≠0)的值域是:当 a>0 时,值域为 当 a<0 时,值域为
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1
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(2)若 f(x)为增(减)函数,则-f(x)为减(增)函数,如果同时有 f(x)>0,则 (增)函数, f(x)为增(减)函数. (3)互为反函数的两个函数有相同的单调性.
1 为减 f(x)
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Hale Waihona Puke 2讲 函数的单调性及值域-11考纲考向 考点基础 重点难点 随堂演练
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1 2 1 C.k>2
1
2-3
4-5
2.若函数 y=(2k+1)x+b 在(-∞,+∞)上是减函数,则( A.k> B.k<
1 2
)
D.k<-
1 2
答案:D 解析:∵ 函数 y=(2k+1)x+b 是减函数, ∴ 2k+1<0,即 k<- . 3.函数 f(x)=x2-2x(x∈[-2,4])的单调增区间 为 ,f(x)max= . 答案:[1,4] 8 解析:函数 f(x)的对称轴为 x=1,单调增区间为[1,4],f(x)max=f(-2)=f(4)=8.
初等函数第二讲(函数的性质)
统一备课纸
[例7]若f(x)=
21++x ax 在区间（－2，＋∞）上是增函数，求a 的取值范围
[例8] 已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (
21)=－1,当且仅当0<x <1时f (x )<0,且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f (xy
y x ++1),试证明： (1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减
四、典型习题导练
1.某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y 轴表示离学校的距离，x 轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是( )
2. 若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在 ]0,(-∞上是减函数，且(2)0f = ，则使得x x f 的0)(<的取值范围是
（ ） A.)2,(-∞ B. ),2(+∞ C . ),2()2,(+∞--∞ D.（－2，2）
3. 若函数)2(log )(22a x x x f n ++=是奇函数，则a = .
4. 已知)(x f y =是定义在R 上的单调函数，实数21x x ≠，
,1,121λλλ++=
-≠x x a λλβ++=112x x ，若|)()(||)()(|21βαf f x f x f -<-，则（ ） A.0<λ
B.0=λ
C.10<<λ
D.1≥λ.。
2022高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第2讲函数的单调性与最值学案文(含答案)
高考数学一轮总复习学案：第2讲函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值1．函数单调性的常用结论(1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数．(2)若k＞0，则kf(x)与f(x)的单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)的单调性相反．(3)函数y ＝f (x )(f (x )＞0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反． (4)函数y ＝f (x )(f (x )≥0)在公共定义域内与y ＝f （x ）的单调性相同．(5)复合函数单调性的判断方法：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数．简称“同增异减”．2．单调性定义的等价形式 设x 1，x 2∈[a ，b ]，x 1≠x 2.(1)若有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0或f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0，则f (x )在闭区间[a ，b ]上是增函数；(2)若有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0或f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0，则f (x )在闭区间[a ，b ]上是减函数．3．函数最值的结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的单调递增区间是[1，＋∞)．( )(3)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(4)所有的单调函数都有最值．( )(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( )(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到． ( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)求单调区间忘记定义域导致出错； (2)对于分段函数，一般不能整体单调，只能分段单调； (3)利用单调性解不等式忘记在单调区间内求解；(4)混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念． 1．函数y ＝log 12(x 2－4)的单调递减区间为________．答案：(2，＋∞)2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x <2是定义在R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，2（a －2）≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a <2，a ≤138，即a ≤138.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，138 3．函数y ＝f (x )是定义在[－2，2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ＋1≤2，－2≤2a ≤2，a ＋1>2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ≤1，－1≤a ≤1，a <1. 所以－1≤a <1. 答案：[－1，1)4．(1)若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是________；(2)若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2的单调递减区间为(－∞，4]，则a 的值为________． 答案：(1)a ≤－3 (2)－3确定函数的单调性(区间)(多维探究) 角度一 判断或证明函数的单调性(一题多解)试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性． 【解】 方法一：(定义法)设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1）， 由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递减； 当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递增． 方法二：(导数法)f ′(x )＝（ax ）′（x －1）－ax （x －1）′（x －1）2＝a （x －1）－ax （x －1）2＝－a（x －1）2.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1，1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．利用定义法证明或判断函数单调性的步骤[提醒] 判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等． 角度二 求具体函数的单调区间求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间．【解】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2＋2，x ≥0，－（x ＋1）2＋2，x <0. 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和(0，1]，单调递减区间为(－1，0]和(1，＋∞)．【迁移探究】 (变条件)若本例函数变为f (x )＝|－x 2＋2x ＋1|，如何求解？ 解：函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调递增区间为(1－2，1]和(1＋2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－ 2 ]和(1，1＋ 2 ]．确定函数的单调区间的方法[注意] (1)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函数y ＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但在定义域上不具有单调性．(2)“函数的单调区间是M ”与“函数在区间N 上单调”是两个不同的概念，显然N ⊆M .1．下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( ) A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x解析：选D ．A 项中，y ＝11－x在(－1，1)上为增函数；B 项中，y ＝cos x 在(－1，1)上不单调；C 项中，y ＝ln(x ＋1)在(－1，1)上为增函数；D 项中，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－1，1)上为减函数．故选D ．2．函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选D ．由x 2－2x －8＞0得x ＜－2或x ＞4.令g (x )＝x 2－2x －8，则g (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，而y ＝ln x 为单调递增函数，根据复合函数的性质，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间为(4，＋∞)．3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是________．解析：由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，得g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＞1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1，作出图象如下：故函数g (x )的单调递减区间为[0，1)． 答案：[0，1)4．判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x(其中1＜a ＜3)在x ∈[1，2]上的单调性．解：函数f (x )＝ax 2＋1x(其中1<a <3)在x ∈[1，2]上单调递增，证明如下：设1≤x 1＜x 2≤2，则f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 21＋1x 1＝(x 2－x 1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a （x 1＋x 2）－1x 1x 2， 由1≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0，2＜x 1＋x 2＜4， 1＜x 1x 2＜4，－1＜－1x 1x 2＜－14.又1＜a ＜3， 所以2＜a (x 1＋x 2)＜12， 得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2＞0，从而f (x 2)－f (x 1)＞0， 即f (x 2)＞f (x 1)，故当a ∈(1，3)时，f (x )在[1，2]上单调递增．函数单调性的应用(多维探究) 角度一 比较大小已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c【解析】 因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称．所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立， 故f (x )在(1，＋∞)上单调递减．因为1<2<52<e ，所以f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (e)，所以b >a >c . 【答案】 D比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．角度二 解函数不等式(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x，x ≤0，－x 2－2x ＋1，x ＞0，若f (a －1)≥f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 (2)已知函数f (x )＝－x |x |，x ∈(－1，1)，则不等式f (1－m )<f (m 2－1)的解集为________．【解析】 (1)函数f (x )＝e －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x在(－∞，0]上为减函数，函数f (x )＝－x 2－2x ＋1在(0，＋∞)上为减函数，且e －0＝－02－2×0＋1＝1，所以函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．由f (a －1)≥f (－a )得a －1≤－a ，解得a ≤12.故选A ．(2)由已知得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1<x ≤0，－x 2，0<x <1，则f (x )在(－1，1)上单调递减，所以⎩⎨⎧－1<1－m <1，－1<m 2－1<1，m 2－1<1－m ，解得0<m <1， 所以所求解集为(0，1)． 【答案】 (1)A (2)(0，1)解函数不等式的理论依据是函数单调性的定义，具体步骤是：(1)将函数不等式转化成f (x 1)＞f (x 2)的形式；(2)考查函数f (x )的单调性；(3)根据函数f (x )的单调性去掉法则“f ”，转化为形如“x 1＞x 2”或“x 1＜x 2”的常规不等式，从而得解．[提醒] 要注意函数的定义域，如本例(2)易忽视“－1＜1－m ＜1，－1＜m 2－1＜1”而致误．角度三 利用函数的单调性求最值(1)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________．(2)函数y ＝x 2＋4x 2＋5的最大值为________．【解析】 (1)由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f (x )在[－1，1]上单调递减，故f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝3.(2)令 x 2＋4＝t ，则t ≥2，所以x 2＝t 2－4，所以y ＝t t 2＋1＝1t ＋1t，设h (t )＝t ＋1t在[2，＋∞)上为增函数，所以h (t )min ＝h (2)＝52，所以y ≤152＝25(x ＝0时取等号)．即y 的最大值为25.【答案】 (1)3 (2)25运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性法几乎成为首选方法．角度四 利用函数的单调性求参数的范围(或值)(1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3－a ）x ，x ∈（－∞，－1]，a x ，x ∈（1，＋∞）是R 上的增函数，则实数a的取值范围是( )A ．(0，3)B ．(1，3)C ．(1，＋∞)D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3 (2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－a ＞0，a ＞1，3－a ≤a ，解得32≤a ＜3，故选D ．(2)作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.【答案】 (1)D (2)(－∞，1]∪[4，＋∞)(1)根据函数的单调性，将题设条件转化为含参数的不等式(组)，即可求出参数的值或范围；(2)若分段函数是单调函数，则不仅要保证在各区间上单调性一致，还要确保在整个定义域内是单调的．1．函数y ＝f (x )在[0，2]上单调递增，且函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1) D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1) 解析：选B ．因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.又0<12<1<32<2，f (x )在[0，2]上单调递增，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 2．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x＜f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1，1)B ．(0，1)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C ．由f (x )为R 上的减函数且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＞1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |＜1，x ≠0.所以－1＜x ＜0或0＜x ＜1.故选C ．3．设函数f (x )＝2x x －2在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M ，m ，则m2M ＝( )A ．23 B ．38 C ．32D ．83解析：选D ．由题意得f (x )＝2x x －2＝2＋4x －2，所以函数f (x )在区间[3，4]上单调递减，所以M ＝f (3)＝2＋43－2＝6，m ＝f (4)＝2＋44－2＝4，所以m 2M ＝426＝83.故选D ．4．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是________．解析：当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5， 在(－∞，3)上是减函数；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－4（a －3）4a ≥3，得0＜a ≤34.综上可知，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34思想方法系列2 函数最值的求法方法一 单调性法已知a ＞0，设函数f (x )＝2 022x ＋1＋2 0212 022x＋1＋2 022x 3(x ∈[－a ，a ])的最大值为M ，最小值为N ，则M ＋N 的值为( )A ．2 022B ．2 023C ．4 043D ．4 044【解析】 f (x )＝2 022x ＋1＋2 0212 022x ＋1＋2 022x 3＝2 022（2 022x＋1）－12 022x＋1＋2 022x 3＝2 022－12 022x＋1＋2 022x 3. 因为y ＝－12 022x＋1，y ＝2 022x 3均为增函数， 所以f (x )在[－a ，a ]上单调递增， 故最大值为f (a )，最小值为f (－a )， 所以M ＋N ＝f (a )＋f (－a )＝2 022－12 022a ＋1＋2 022a 3＋2 022－12 022－a＋1＋2 022(－a )3＝4 044－1＝4 043.【答案】 C利用函数的单调性求解函数的值域是最基本的方法，解题的关键是准确确定函数的单调性．方法二 不等式法主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常用的基本不等式有以下几种：a 2＋b 2≥2ab (a ，b 为实数)； a ＋b2≥ab (a ≥0，b ≥0)；ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b 为实数)．设x ，y ，z 为正实数，x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值为________．【解析】 因为x －2y ＋3z ＝0，所以y ＝x ＋3z2，所以y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz4xz.又x ，z 为正实数，所以由基本不等式，得y 2xz ≥6xz ＋6xz 4xz ＝3.当且仅当x ＝3z 时取“＝”．故y 2xz的最小值为3.【答案】 3先对解析式进行变形，使之满足“一正、二定、三相等”的条件，再利用基本不等式求得最值．常用的不等式有a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab (a ，b 均为正实数)．解题时要注意验证等号成立的条件，如果在求解时发现等号不成立，可尝试利用函数性质解题．方法三 配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F (x )＝af 2(x )＋bf (x )＋c 的最值问题，可以考虑用配方法．已知函数y ＝(e x －a )2＋(e －x －a )2(a ∈R ，a ≠0)，求函数y 的最小值．【解】 y ＝(e x －a )2＋(e －x －a )2＝(e x ＋e －x )2－2a (e x ＋e －x )＋2a 2－2.令t ＝e x ＋e －x (t ≥2)，设f (t )＝t 2－2at ＋2a 2－2.因为t ≥2，所以f (t )＝t 2－2at ＋2a 2－2＝(t －a )2＋a 2－2，定义域为[2，＋∞)． 因为函数y ＝f (t )图象的对称轴为直线t ＝a ，所以当a ≤2且a ≠0时，y min ＝f (2)＝2(a －1)2；当a ＞2时，y min ＝f (a )＝a 2－2.利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系．如本例化为含参数的二次函数后，求解最值时要细心区分对称轴与区间的位置关系，然后再根据不同情况分类解决．方法四 换元法换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值．(1)函数f (x )＝x ＋21－x 的最大值为________．(2)函数y ＝x －4－x 2的值域为________．【解析】 (1)设1－x ＝t (t ≥0)，所以x ＝1－t 2.所以y ＝f (x )＝x ＋21－x ＝1－t 2＋2t ＝－t 2＋2t ＋1＝－(t －1)2＋2.所以当t ＝1即x ＝0时，f (x )max ＝2.(2)由4－x 2≥0，得－2≤x ≤2， 所以设x ＝2cos θ(θ∈[0，π])，则y ＝2cos θ－4－4cos 2θ＝2cos θ－2sin θ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，因为θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22，所以y ∈[]－22，2. 【答案】 (1)2 (2)[]－22，2换元法方式很多，常见的有代数换元和三角换元．如可用三角代换解决形如a 2＋b 2＝1及部分根式函数形式的最值问题．方法五 数形结合法数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的一种常用的方法．对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a ＜b ，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的最小值是________．【解析】 由|x ＋1|≥|x －2|，得(x ＋1)2≥(x －2)2.所以x ≥12.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，x ≥12，|x －2|，x ＜12. 其图象如图所示．由图象易知，当x ＝12时，函数有最小值，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋1＝32.【答案】 32本例作出y ＝|x ＋1|与y ＝|x －2|的图象，作出f (x )的图象是解题关键．。
第二章函数函数单调性
第二章 函数、导数及其应用第二节 函数的单调性与最值考点1 函数的单调性的判断回扣教材 1.单调函数的定义2.函数单调性的定义的等价形式：增函数；减函数．设x 1，x 2∈[a ，b]，x 1≠x 2.若有(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]>0或f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，则f(x)在闭区间[a ，b]上是 ；若有(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]<0或f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，则f(x)在闭区间[a ，b]上是 ．3．函数单调性的常用结论(1)若f(x)，g(x)均为区间A 上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A 上的增(减)函数； (2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反； (3)函数y ＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y ＝－f(x)，y ＝1f (x )的单调性相反； (4)函数y ＝f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y ＝f (x )的单调性相同；小题快做1.思考辨析(1)函数f(x)＝|x|的定义域为R ，由于f (0)<f (1)，所以f (x )＝|x |为R 上的增函数．( )(2)设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，那么f (x )在[a ，b ]上是增函数⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0.( )2．[2014·北京高考]下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1) 3．[教材改编]函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A ．k >12B ．k <12C ．k >－12D ．k <－12典例1 判断函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，＋∞)上的单调性，并给出证明．1．判断函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上的单调性．考点2 函数的单调区间回扣教材1.单调区间的定义如果函数y ＝f(x)在区间D 上是 ，那么就说函数y ＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性， 叫做函数y ＝f(x)的单调区间．．研究函数单调区间的注意事项(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性．(2)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域．(3)函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y ＝1x 分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．小题快做1.思考辨析(1)函数y ＝1x 在定义域上为减函数，故其单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(2)函数y ＝f(x)在[0，＋∞)上为增函数，则函数y ＝f(x)的增区间为[0，＋∞)．( ) (3)函数f(x)＝log 12 (x 2－2x －3)在区间[1，＋∞)上单调递减．( )2．函数f(x)＝|x －2|(x －4)的单调减区间是( )A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．[0,2]D ．[2,3]3．函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－3x ＋1的单调递增区间为( ) A ．(1，＋∞) B .⎝⎛⎦⎤－∞，34 C .⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D .⎣⎡⎭⎫34，＋∞ 4．[2014·天津高考]函数f(x)＝log 12 (x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)典例2 (1)[2015·洛阳二模]函数y ＝f(x)(x ∈R )的图象如图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是( )A.⎣⎡⎦⎤0，12B ．[a ，1]C ．(－∞，0)∪⎣⎡⎦⎤12，＋∞ D ．[a ，a ＋1](2)[2015·东北四校联考]函数f (x )＝(a －1)x ＋2在R 上单调递增，则函数g (x )＝a |x －2|的单调递减区间是________．【跟踪训练】2．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 是( ) A ．(－∞，0) B.⎣⎡⎦⎤0，12 C ．[0，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 3．[2015·武汉调研]若函数f (x )＝ax ＋1在R 上递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的增区间是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4) 考点3 函数单调性的应用回扣教材 1.函数的最值2.(1)由x 1，x 2的大小关系可以判断f(x 1)与f(x 2)的大小关系，也可以由f(x 1)与f(x 2)的大小关系判断出x 1与x 2的大小关系．(2)利用函数的单调性，求函数的最大值和最小值． (3)利用函数的单调性，求参数的取值范围． (4)利用函数的单调性解不等式．小题快做1.思考辨析(1)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( ) (2)所有的单调函数都有最值．( )(3)[教材改编]定义在R 上的函数f (x )，若在(－∞，a ]上f (x )单调递增，在[a ，＋∞)上f (x )单调递减，则f (a )为f (x )的最大值．( )2．下列函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( ) A ．f(x )＝e x B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝(x －2)2D ．f (x )＝ln (x ＋3)3．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－14，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫－14，0 D.⎣⎡⎦⎤－14，0 4．[教材改编]f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________．函数单调性结合函数图象以及其他性质的考查一直是高考命题的热点，常以客观题的形式呈现，有时也出现在解答题的某一问中，且主要有以下几种命题角度.命题角度1 利用函数的单调性比较大小典例3 21[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c命题角度2 利用函数的单调性解不等式典例4 ≤2时，x的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8,9]C ．[8,9]D ．(0,8)命题角度3 利用函数的单调性求参数的取值或范围典例5 ⎩⎪⎨⎪⎧a x(x <0)，(a －3)x ＋4a (x ≥0)，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，14 B ．(0,1) C.⎣⎡⎭⎫－14，0 D ．(0,3)命题角度4 利用函数的单调性求最值典例6 [2015·福州一模]如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥12时，f (x )＝log 2(3x －1)，那么函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为( )A ．2B ．3C ．4D ．－1函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解． (2)解不等式首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．跟踪训练】4．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>05．[2016·辽宁五校联考]已知f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增函数，且f ⎝⎛⎭⎫13＝0，则不等式f ⎝⎛⎭⎫log 18 x >0的解集为( )A.⎝⎛⎭⎫12，2B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫12，1∪(2，＋∞)\6．[2013·天津高考]已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( ) A ．[1,2] B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎦⎤12，2 D ．(0,2]7．[2015·青岛检测]函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值为13，则a ＋b ＝______[失误与防范]1．函数的单调性是通过任意两点的变化趋势来刻画整体的变化趋势，“任意”两个字是必不可少的．如果只用其中两点的函数值(比如说端点值)进行大小比较是不能确定函数的单调性的．2．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，函数的单调区间是其定义域的子集，因此，讨论函数的单调性时，应先确定函数的定义域．3．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示．转化与化归思想在求解函数不等式中的应用典例 [2015·正定模拟]函数f(x)对任意的m ，n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1. (1)求证：f (x )在R 上是增函数． (2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2.。
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函数的单调性求函数的单调区间 【知识简介】对于高考中函数的单调性是重点考查内容．备考时要熟记基本初等函数的图象和性质．往往以选择题、填空题形式出现，难度中等，解答题部分一般与导数结合，考查难度较大． 【典例】 1(1)(2015·湖南，5)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0，1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0，1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0，1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0，1)上是减函数(2)(2014·天津，4)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)(2)因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调增区间，即求函数y ＝x 2－4的单调减区间，结合函数的定义域x 2－4>0，可知所求区间为(－∞，－2)． 【答案】 (1)A (2)D(2015·河南洛阳二模，6)函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是( )A.⎣⎡⎦⎤0，12 B ．[a ，1] C ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D ．[a ，a ＋1] B 由图象可知，函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和⎝⎛⎭⎫12，＋∞，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，12. ∵0<a <1，∴函数y ＝log a x 在定义域内单调递减．由题意可知，0≤log a x ≤12，解得a ≤x ≤1，即所求递减区间为[a ，1]，故选B.,判断函数单调性(单调区间)的常用方法(1)定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论．(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降判断它的单调性或写出单调区间．(3)复合函数法：适用于形如y ＝f (φ(x ))的复合函数，具体规则如下表：函数 增减情况内函数t ＝φ(x ) 增 增 减 减 外函数y ＝f (t ) 增 减 增 减 y ＝f (φ(x ))增减减增y ＝f (φ(x ))的单调性可以利用口诀——“同增异减”来判断，即内外函数的单调性相同时，为增函数；单调性不同时为减函数．(4)导数法：先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性(区间)． (5)性质法：利用函数单调性的有关结论，确定简单的初等函数的单调性． 函数的值域 【知识简介】确定函数的值域或最值一般先探求函数在定义域内的单调性，通常出现在选择题或填空题中，函数求值域问题涉及到的函数是基本初等函数，或由基本初等函数经过变换得到．在备考时熟练掌握几个常见函数模型的图象与性质，如y ＝ax ＋b cx ＋d (c ≠0)或y ＝x ＋ax (a ≠0)．此外，在解答题中常与恒成立、有解问题综合考查，属于中高档题．【典例】 2(1)(2014·安徽，9)若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4 D ．－4或8(2)(2015·福建，14)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log ax ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)①当－1≤－a2，即a ≤2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a －1，x ≤－1，－x －a ＋1，－1<x <－a 2，3x ＋a ＋1，x ≥－a 2. 易知函数f (x )在x ＝－a 2处取最小值，即1－a2＝3.所以a ＝－4.②当－1>－a2，即a >2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a －1，x ≤－a2，x ＋a －1，－a 2<x <－1，3x ＋a ＋1，x ≥－1.易知函数f (x )在x ＝－a 2处取最小值，即a2－1＝3，故a ＝8.综上可得a ＝－4或a ＝8.【答案】 (1)D (2)(1，2](2015·福建福州一模，6)如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥12时，f (x )＝log 2(3x －1)，那么函数f (x )在[－2，0]上的最大值与最小值之和为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．－1常见求函数值域的方法(1)配方法：对形如y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)形式的函数，配方转化为顶点式，利用二次函数值域的求法求 解．(2)单调性法(图象法)：若f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (x )min ＝f (a )，f (x )max ＝f (b )；若f (x )在[a ，b ] 上单调递减，则f (x )min ＝f (b )，f (x )max ＝f (a )．(3)对于形如y ＝x ＋ax (a >0)的函数，利用基本不等式：a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)求最值．(4)导数法． 单调性的应用 【知识简介】函数单调性的应用常以基本初等函数为载体，考查学生数形结合思想、转化与化归思想的应用，综合分析问题的能力．在高考中常以选择题、填空题出现，难度中等． 【典例】 3(1)(2015·天津，7)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <b D ．c <b <a(2)(2013·安徽，4)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件(3)(2014·课标Ⅱ，15)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．【解析】 (1)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴m ＝0， ∴f (x )＝2|x |－1.图象如图，由函数的图象可知，函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．∵a＝f(log0.53)＝f(log23)，b＝f(log25)，c＝f(0)，又log25＞log23＞0，∴b＞a＞c，故选C.(3)由题知，f(2)＝0且f(x－1)>0，故f(x－1)>f(2)，而函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减且为偶函数，故满足|x －1|<2，解得－1<x<3.【答案】(1)C(2)C(3)(－1，3),比较函数值大小的思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．含“f”号不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内．利用函数的单调性求参数的取值范围已知函数在区间A上是增函数，求相关参数的取值范围，若函数是复合函数的形式，此类问题应理解为区间A是函数增区间的子集，根据复合函数“同增异减”的单调性结论来解决．若函数的导数可求，则可用函数的导数恒大于或等于0来解决．如f(x)在区间A上为增函数，求参数a的范围，则转化为：f′(x)≥0在A上恒成立且f ′(x )＝0在A 的任意子区间不恒成立，若求得a ≥2，则需检验a ＝2时是否符合题意．【针对训练】1．(2016·河南郑州一模，2)下列函数中是偶函数并且在(0，＋∞)内单调递增的是( ) A ．y ＝－(x －1)2 B ．y ＝cos x ＋1 C ．y ＝lg|x |＋2 D ．y ＝2x2．(2015·河北保定三模，6)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C.⎣⎡⎭⎫－1，12 D.⎝⎛⎭⎫0，12 2．C 要使函数f (x )的值域为R ，只需⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1，∴－1≤a <12，故选C.3．(2015·湖南株洲一模，7)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．6 D ．123．C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2； 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.4．(2016·黑龙江哈尔滨联考，8)已知函数f (x )的图象向右平移a (a >0)个单位后关于直线x ＝a ＋1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关 系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c4．D 由函数f (x )的图象向右平移a (a >0)个单位后关于直线x ＝a ＋1对称，知f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由此可得f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.由x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减． ∵1<2<52<e ，∴f (2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (e)， ∴b >a >c ，故选D.5．(2016·江西八校联考，10)定义在R 上的函数f (x )对任意x 1，x 2(x 1≠x 2)都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0，且函数y＝f (x －1)的图象关于点(1，0)中心对称，若s ，t 满足不等式f (s 2－2s )≤－f (2t －t 2)．则当1≤s ≤4时，t －2ss ＋t 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－3，－12B.⎣⎡⎦⎤－3，－12 C.⎣⎡⎭⎫－5，－12 D.⎣⎡⎦⎤－5，－12①不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤s ≤4，s ≤t ，s ＋t ≤2的解只有⎩⎪⎨⎪⎧s ＝1，t ＝1，此时t －2s s ＋t＝－12.②∵t －2s s ＋t ＝t ＋s －3s s ＋t＝1－31＋t s，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤s ≤4，s ≥t ，s ＋t ≥2表示的可行域如图中阴影部分所示，6．(2016·吉林长春质检，15)已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≥0的解集是________．6．【解析】 由已知可得x －2≥1或x －2≤－1，解得x ≥3或x ≤1， ∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)． 【答案】 (－∞，1]∪[3，＋∞)【点击高考】1．(2014·北京，2，易)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1)1．A 对于A ，函数y ＝x ＋1在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故符合；对于B ，函数y ＝(x －1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故不符合；对于C ，函数y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x在R 上为减函数，故不符合；对于D ，函数y ＝log 0.5(x ＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故不符合．2．(2014·陕西，7，易)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 12 B ．f (x )＝x3 C ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12xD ．f (x )＝3x2．D ∵f (x ＋y )＝f (x )f (y )， ∴f (x )为指数函数模型，排除A ，B.又∵f (x )为单调递增函数，∴排除C ，故选D.3．(2012·广东，4，易)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x D ．y ＝x ＋1x4．(2012·陕西，2，易)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3 C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |4．D (逐项验证法)对于A ，注意到函数y ＝x ＋1不是奇函数；对于B ，注意到函数y ＝－x 3是在R 上的减函数；对于C ，注意到函数y ＝1x 在其定义域上不是增函数；对于D ，注意到－x ·|－x |＋x |x |＝0，即函数y ＝x |x |是奇函数，且当x ≥0时，y ＝x |x |＝x 2是增函数，因此函数y ＝x |x |既是奇函数又是R 上的增函数，故选D.5．(2015·北京，14，中)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x <1，4（x －a ）（x －2a ），x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________． 5．【解析】 (1)若a ＝1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x <1，4（x －1）（x －2），x ≥1.当x <1时，－1<2x －1<1.当x ≥1时，4(x －1)(x －2)＝4(x 2－3x ＋2)＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫x －322－14≥－1，∴f (x )min ＝－1.6．(2012·上海，7，中)已知函数f (x )＝e |x-－a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．6．【解析】 方法一：∵f (x )＝e |x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a （x ≥a ），e －x ＋a （x <a ），∴f (x )在[a ，＋∞)上为增函数， 则[1，＋∞)⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1.方法二：∵f (x )＝e |x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a （x ≥a ），e －x ＋a （x <a ），当x ≥a 时，f (x )＝e x －a ，f ′(x )＝e x －a .由题意知f ′(x )＝e x －a ≥0在[1，＋∞)上是恒成立的， ∴a ≤x min ，∴a ≤1.当x ＜a 时，f ′(x )＝－e x －a ＜0恒成立，不符合题意． 综上所述，a ≤1. 【答案】 (－∞，1]7．(2016·浙江，16，15分，中)已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎪⎨⎪⎧p ，p ≤q ，q ，p >q . (1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围； (2)①求F (x )的最小值m (a )；②求F (x )在区间[0，6]上的最大值M (a )．7．解：(1)由于a≥3，故当x≤1时，(x2－2ax＋4a－2)－2|x－1|＝x2＋2(a－1)(2－x)>0，当x>1时，(x2－2ax＋4a－2)－2|x－1|＝(x－2)(x－2a)．所以使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围为[2，2a]．。