离散数学-5-4 群与子群

五、子群 子群
定义5-4.6 设<G,*>是一个群，<S,*>是<G,*>的子群，如果 S={e}，或 定义 者S=G，则称<S,*>为<G,*>的平凡子群 平凡子群 定理5-4.7 〈G，*〉为一个群，B为G的非空子集且B为有限集，则只 定理 须*在B上封闭，〈B，*〉就是〈G，*〉的一个子群。 证明: 设b是B的任一个元素。 若*在B上封闭，则元素b2=b*b,b3=b2*b,… 都在B中。 由于B是有限集，所以必存在正整数i和j,不妨假设i<j,使得 bi=bj 即 bi=bi*bj-i. 这就说明bj-i是<G,*>中的幺元，且这个幺元也在子集B中。 如果j-i>1,那么由bj-i=b*bj-i-1可知bj-i-1是b的逆元，且bj-i-1 ∈B; 如果j-i=1,那么由bi=bi*b可知b就是幺元，而幺元是以自身为逆元的。 因此，<B,*>是<G,*>的一个子群。
三、置换
为进一步讨论群性质，引入置换的概念。 定义5 定义5-4.3 设S为一个非空集合，从集合S到S的一个双射 置换。 称为S的一个置换 置换 集合S={a, d}置换为 置换为a b→ c→ d→ 例：集合S={a, b, c, d}置换为a→b, b→d, c→a, d→c 这是一个从S 上的一对一映射，可表示为： 这是一个从S到S上的一对一映射，可表示为：
定理5-4.8 设<G,Δ>是群，S是G的非空子集，如果对于S中的任意元素 定理 任意元素 ∈S,则<S,Δ>是<G,Δ>的子群。 a和b有aΔb-1∈S 证明: 首先证明，G中的幺元e也是S中的幺元 幺元。 幺元 任取S中的元素a,a∈S⊆G,所以e=aΔa-1∈S且 aΔe=eΔa=a,即e也 是S中的幺元。 其次证明，S中的每一元素都有逆元 逆元。 逆元 对任一a∈S,因为e∈S,所以eΔa-1∈S即a-1∈S。 最后证明，Δ在S上是封闭的 封闭的。 封闭的 对任意的a,b∈S，由上可知b-1 ∈S b 而 b= (b-1)-1 b 所以 aΔb=aΔ(b-1)-1 ∈S b 至于，运算Δ在S上的可结合性 结合性是保持的。 结合性 因此，<S,Δ>是<G,Δ>的子群。
四、等幂元 等幂元
定义5 定义 -4.4 代数结构<G，∗>中，如果存在a ∈G，有a ∗ a = a ，则称 a为等幂元 等幂元。 等幂元 定理5 定理 -4.5 在群<G，∗>中，除幺元 e 之外，不可能有任何 除幺元 之外， 别的等幂元。 别的等幂元 证明：因为e ∗ e = e ，所以 e 是等幂元。 现设 a ∈G， a ≠ e 且 a ∗ a = a 则有 a = e ∗ a = (a -1∗ a)∗ a = a -1 ∗(a ∗ a) = a -1 ∗ a = e 与假设 a ≠ e 且矛盾。
定理5定理 -4.3 设<G，∗>是一个群，对于任意a,b,c∈G，如果a ∗ b = a ∗ c 或者b ∗ a = c ∗ a，则必有 b = c (消去律 消去律)。 消去律 证明：设a ∗ b＝a ∗ c,且a的逆元a-1，则有 a-1 ∗ (a ∗ b )＝ a-1 ∗ (a ∗ c ) (a-1 ∗ a ) ∗ b ＝ (a-1 ∗ a ) ∗ c e∗b ＝e∗ c b＝c 当b ∗ a = c ∗ a时，可同样证得b = c 。
群中无零元！ 群中无零元！因为 零元无逆元。 零元无逆元。
定理5存在唯一x 定理 -4.2 设<G，∗>是一个群，对于a,b∈G，必存在唯一 ∈G ，使得 存在唯一 a ∗ x ＝b。 证明： ⑴先证解的存在性 先证解的存在性 设a的逆元是a-1，令 x ＝ a-1 ∗ b （构造一个解 构造一个解） 构造一个解 a ∗ x ＝ a ∗ ( a-1 ∗ b ) ＝( a ∗ a-1 ) ∗ b ＝ e∗b ＝b ⑵再证解的唯一性 再证解的唯一性 群方程存在 若另有一解x 1满足a∗ x 1 ＝ b ，则 唯一解 a-1 ∗ ( a ∗ x 1 )＝ a-1 ∗ b x 1 ＝ a-1 ∗ b
一、群的概念
群与子群是一种特殊的独异点，也是一种特殊的半群。 群与子群是一种特殊的独异点，也是一种特殊的半群。 定义5-4.1 设<G, ∗ >是一个代数系统，其中G是非空集合， 定义
∗是G上一个二元运算，如果
⑴ 运算∗是封闭 封闭的。 封闭 ⑵ 运算∗是可结合 可结合的。 可结合 ⑶ 存在么元 么元e。 么元 ⑷ 对于每一元素x∈G，存在着它的逆元 -1。 逆元x 逆元 则称<G, ∗ >是一个群（group）。 群
其次，要证明G中的每一个元素都在运算表的每一行和每一列中出现。考 察对应于元素a∈G的那一行，设b是G中的任一元素，由于 b=a*(a1*b),所以b必定出现在对应于a的那一行中。
再由运算表中没有两行（或两列）相同的事实，便可得出：<G,*>的运算 表中每一行都是G的元素的一个置换，且每一行都是不相同的。同样 的结论对于列也是成立的。
五、子群 子群
定义5-4.5设<G,*>是一个群，S是G的非空子集，如果<S,*> 定义 也构成群，则称<S,*>是<G,*>的一个子群 子群。 子群 例：〈Z，+〉为群，取S={2zz∈Z},则〈Ｓ，＋〉为子群。 〈｛０｝，＋〉也为〈Z，+〉的子群. 例：Klein四元群{e}, {e, a}, {e, b}, {e, c}, G都为 子群。 定理5-4.6设<G,*>是一个群，<S,*>是<G,*>的一个子群， 定理 那么，<G,*>中的幺元e必定也是<S,*>中的幺元。 证明: 设<G,*>中的幺元为e1 对于任一x∈S ⊆ G,必有 e1*x=x=e*x, 故e1=e。
<G,∗> G,∗
封闭性
结合性
含幺元
存在逆元
广群
半群
独异点
群
独异点
群 半 群
广群
群的基本性质
由于群的运算可结合，故对任何一个元a，其逆元都是唯 一的，记a-1。 (a-1=a-1*e=a-1*(a*(a-1)’)=(a-1 *a) *(a-1)’= (a-1)’) 定理5群中不可能有零元。 定理 -4.1 群中不可能有零元。 证明：当群的阶为1时，它的唯一元素是视作幺元 。 设|G|>1 且群<G,∗>有零元θ 。那么群中任何元素x ∈G，都有 x ∗ θ ＝θ ∗ x ＝θ ≠ e， 所以，零元θ 就不存在逆元，这与<G,∗>是群相矛盾。
第五章 代数结构
5-4 群与子群
授课人：李朔 Email:chn.nj.ls@gmail.com
独异点是含有幺元的半群。前面曾提到，对于含有幺元的 运算可考虑元素的逆元，并不是每个元素均有逆元的，这 一点引出了一个特殊的独异点—群。 群 群论的研究起源于19世纪，它是由于方程论的需要，首先 群论 作为置换群的理论发展起来的。随后，发现在大多数问题 中，重要的不是构成群的置换本身，而应该是集合在代数 运算下的性质，因而提出了群的概念。 群是近世代数中发展最早、内容最广泛、应用最充分的一 部分，是建立其它代数结构的基础。 下面我们重点讨论群的概念 群的概念及其性质 性质。 群的概念 性质
a b b d c a d c
定理5.4.4 的运算表中任一行（ 的元素都是G 定理5.4.4 群〈G，*〉的运算表中任一行（列）的元素都是G中元素 的一个置换。且不同行，不同列的置换都不同。 的一个置换。且不同行，不同列的置换都不同。 证明 首先，证明运算表中的任一行或任一列所含G中的一个元素不可能 多于一次。用反证法，如果对应于元素a∈G的那一行中有两个元素都 是c,即有 a*b1=a*b2=c 且b1≠b2 由可约性可得 b1=b2,这与b1≠b2矛盾。
思考练习
已知：在整数集 I 上的二元运算∗定义为：a,b∈I， a ∗ b=a+b-2 证明：< I , ∗ >为群。
么元为： 么元为：2 逆元： 逆元：x-1＝4-x
二、有限群和无限群
定义5-4.2 设<G, ∗ >是一群。如果 G是有限集，那么称<G, 定义 ∗ >为有限群 G中元素的个数通常称为该有限群的阶数 有限群, 阶数,记 有限群 阶数 无限群。 为|G|；如果G是无限集，则称<G, ∗ > 为无限群 无限群 例题1中所述的<R, ★>就是一个有限群，且|R|=6。代数系 统<I,+>是一个无限群，这里I是所有整数的集合，+是普 通加法运算。
例：
G = {a, b, c, e}，*如上表所示，是不是一个群？ 易见 1）*运算对G是封闭的， e为幺元。 2) 可以验证，*运算可结合的。（在a,b,c三个元素中，任何两个元素运 算的结果都等于另一个元素， ） 3） G中任何元素的逆元就是它自己； 。 故〈G，*〉为一个群。 一个群 〈 此外，运算∗是可交换的，一般称这个群为克莱因(Klein)四元群 简称四元群 四元群,简称四元群 四元群 简称四元群。
解：由题意，R上的二元运算★的运算表如上所示，由表知，运算★在R 上是封闭的 封闭的。 封闭的 对于任意a, b, c∈R，(a★b)★c表示将图形依次旋转a, b和c，而 a★(b★c)表示将图形依次旋转b,c和a，而总的旋转角度都是 a+b+c(mod 360),因此(a★b)★c= a★(b★c)，即★运算满足结合性 结合性。 结合性 0o是幺元 幺元。 幺元 60o，120o，180o逆元 逆元分别是300o，240o，180o因此<R, ★>是个群
< I , +>，< Q , +>，< R , +>是无限群。 < Nk,＋k>是有限群，是 k 阶群。 克莱因Klein四元群是4阶有限群。 只含单位元的群称为平凡群。 只含单位元的群称为平凡群。<{0},+>是平凡群。是1阶群。
代数系统小结：
至此，我们可以概括地说：广群仅仅是一个具有封闭二元运算的非 空集合；半群是一个具有结合运算的广群；独异点是具有幺元的半 群；群是每个元素都有逆元的独异点。
本课小结
群 有限群、无限群 置换 等幂元 子群
作业
已知：R*是非零实数集，在R*中定义运算⊙， 对任意的a、b∈R*，a⊙b＝ab/2 证明： <R* ,⊙>是一个群。 已知：设S= R-{-1}，S上定义运算∗为： a ∗ b=a+b+ab 证明：<S，∗>是群。Байду номын сангаас
例如： 1.〈Q，+〉，〈Z，+〉，〈R，+〉为群，逆元-x 2.〈R-{0}，*〉，〈P（S），⊕〉都为群。 3.〈N，+〉并不是群。 4.〈Zn, +n〉为群,元素逆元： x = 0, x –1 =0； x ≠ 0, x –1 = n-x P191 例题1；设R={0°，60°，120°，180°，240°， 300°}表示在平面上几何图形绕形心顺时针旋转角度的六 种可能情况，设★是R上的二元运算，对于R中任意两个元 素a和b,a★b表示平面图形连续旋转a和b得到的总旋转角 度。并规定旋转360°等于原来的状态，就看作没有经过 旋转。验证<R,★>是一个群。