中考压轴题分类专题三《抛物线中的等腰三角形》

中考压轴题分类专题三——抛物线中的等腰三角形

基本题型：

已知AB ，抛物线()02

≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ∆为

等腰三角形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论：

（1）AB 为底时（即PA PB =）：点P 在AB 的垂直平分线上。

利用中点公式求出AB 的中点M ；

利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出AB 的垂直平分线的斜率k ； 利用中点M 与斜率k 求出AB 的垂直平分线的解析式；

将AB 的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为腰时，分两类讨论：

①以A ∠为顶角时（即AP AB =）：点P 在以A 为圆心以AB 为半径的圆上。 ②以B ∠为顶角时（即BP BA =）：点P 在以B 为圆心以AB 为半径的圆上。

利用圆的一般方程列出A (或B )的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出

点P 坐标。

所需知识点：

一、 两点之间距离公式：

已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：()()2

21221y y x x PQ -+-=

。

二、 圆的方程：

点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。 则()()R b y a x PM =-+-=

22，得到方程☆：()()22

2

R b y a x =-+-。

∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。

三、 中点公式：

已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭

⎫

⎝⎛++222121y y ,x x 。 四、 任意两点的斜率公式：

已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则直线PQ 的斜率： 2

12

1x x y y k PQ --=

。

_ Q

_ G

_

P

_ O

图9

B C

O y

x A

典型例题：

例一（06深圳）如图9，抛物线2

812(0)y ax ax a a =-+<与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），抛物线上另有一点C 在第一象限，满足∠ACB 为直角,且恰使△OCA ∽△OBC . (1)(3分)求线段OC 的长.

(2)(3分)求该抛物线的函数关系式．

(3)(4分)在x 轴上是否存在点P ，使△BCP 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由.

例二（09深圳）：已知，Rt ABC ∆的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直接坐标系中，使其斜边AB 与x 轴重合（其中OA OB <），直角顶点C 落在y 轴正半轴上（如图11）。 （1）求线段OA 、OB 的长和过点A 、B 、C 的抛物线的解析式。（4分）

（2）如图12,点D 的坐标为（2，0），点(),P m n 是该抛物线上的一个动点（其中0,0m n >>），连接DP 交BC 于点E 。

①当BDE ∆是等腰三角形时，直接写出此时点E 的坐标。（3分） ②又连接CD 、CP （如图13），CDP ∆是否有最大面积？若有，求出CDP ∆的最大面积和此时点P 的坐标；若没有，请说明理由。（3分）

图11 图12 图13

例三（龙岩市中考题）：如图，抛物线2

54y ax ax =-+经过ABC ∆的三个顶点，已知BC ∥x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC = （1）求抛物线的对称轴； （2）求抛物线的解析式；

（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB ∆是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

y

x

B

C A

同步训练：

1、（08年临沂市中考题）如图，已知抛物线与x 轴交于(1,0),(3,0)A B -两点，与y 轴交于点(0,3)C

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得PDC ∆是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

（3）若点M 是抛物线上一点，以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M 的坐标。 0

x

y

A

B

C D

2、如图，已知抛物线34

9

432++-

=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧）

，与y 轴交于点C 。 （1）求A 、B 、C 三点的坐标；

（2）求直线BC 的函数解析式；

（3）点P 是直线BC 上的动点，若△POB 为等腰三角形，请写出此时点P 的坐标。（可直接写出结果）

A

B

O

C x

y

3、在直角坐标系中，把点A （－1，a ）（a 为常数）向右平移4个单位得到点A '，经过点A 、A '的抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点的纵坐标为2． （1）求这条抛物线的解析式；

（2）设该抛物线的顶点为点P ，点B 的坐标为)1m ，（，且3

x

y

O

图7