专题训练(五) 求二次函数解析式的四种常见类型

专题训练(五)求二次函数解析式的四种常见类型

►类型一已知三点求解析式

1．已知：如图5－ZT－1，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，求此抛物线的解析式．

图5－ZT－1

2．如图5－ZT－2①，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0，3)，B(3，0)，C(4，3)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；

(3)把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S(图②中阴影部分)．

图5－ZT－2

►类型二已知顶点或对称轴求解析式

3．已知二次函数y＝x2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

则该二次函数的解析式为____________________．

4．在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)，求该二次函数的解析式．

5．已知抛物线经过点A(1，0)，B(0，3)，且对称轴是直线x＝2，求该抛物线的解析式．

6．如图5－ZT－3，已知抛物线的顶点为A(1，4)，与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C，D两点，点P是x轴上的一个动点．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标．

图5－ZT－3

►类型三已知抛物线与x轴的交点求解析式

7．抛物线与x轴交于点(－1，0)和(3，0)，与y轴交于点(0，－3)，则此抛物线的解析式为()

A．y＝x2＋2x＋3 B．y＝x2－2x－3

C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2＋2x－3

图5－ZT－4

8．如图5－ZT－4，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0)，且3AB＝4OC，则此抛物线的解析式为__________________．

9．已知抛物线的顶点坐标为(1，9)，它与x轴有两个交点(交点的横坐标均为整数)，两

交点间的距离为6，求此抛物线的解析式．

►类型四根据图形平移求解析式

10．2017·义乌矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为(2，1)，一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数解析式

为y＝x2，再次平移这张透明纸，使这个点与点C重合，则此时抛物线的函数解析式变为() A．y＝x2＋8x＋14 B．y＝x2－8x＋14

C．y＝x2＋4x＋3 D．y＝x2－4x＋3

11．2017·天津已知抛物线y＝x2－4x＋3与x轴相交于点A，B(点A在点B的左侧)，顶点为M.平移该抛物线，使点M平移后的对应点M′落在x轴上，点B平移后的对应点B′落在y轴上，则平移后的抛物线的解析式为()

A．y＝x2＋2x＋1 B．y＝x2＋2x－1

C．y＝x2－2x＋1 D．y＝x2－2x－1

12．把抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到如图5－ZT－5所示的二次函数的图象．

(1)求此二次函数的解析式；

(2)在平移后的抛物线上存在一点M，使△ABM的面积为20，请直接写出点M的坐标．

图5－ZT－5 13．2018·苏州如图5－ZT－6，已知抛物线y＝x2－4与x轴交于点A，B(点A位于点

B的左侧)，C为顶点．直线y＝x＋m经过点A，与y轴交于点D.

(1)求线段AD的长；

(2)平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为C′.若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数解析式．

图5－ZT－6

详解详析

1．解：把(－1，0)，(0，－3)，(4，5)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，c ＝－3，16a ＋4b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪

⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.

所以此抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3.

2．解：(1)把(0，3)，(3，0)，(4，3)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，9a ＋3b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪

⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝3. 所以抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3. (2)因为y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，

所以抛物线的顶点坐标为(2，－1)，对称轴是直线x ＝2. (3)阴影部分的面积为2. 3．[答案] y ＝x 2－4x ＋5

[解析] 从表格中的数据可以看出，当x ＝1和x ＝3时，函数值y ＝2，可见，抛物线的顶点坐标为(2，1)，故可设二次函数解析式为y ＝a (x －2)2＋1，再由二次函数图象过点(1，2)，得2＝a (1－2)2＋1，解得a ＝1，故二次函数的解析式为y ＝(x －2)2＋1，即y ＝x 2－4x ＋5.

4．解：∵二次函数图象的顶点为A (1，－4)，

∴设该二次函数的解析式为y ＝a (x －1)2－4.将(3，0)代入解析式，得a ＝1， 故y ＝(x －1)2－4，即该二次函数的解析式为y ＝x 2－2x －3. 5．解：∵抛物线的对称轴是直线x ＝2且经过点A (1，0)， ∴由抛物线的对称性可知，抛物线还经过点(3，0)． 设抛物线的解析式为y ＝a (x －1)(x －3)．

把(0，3)代入解析式，得3＝3a ，∴a ＝1，∴y ＝(x －1)(x －3)， 即该抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3. 6．解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(1，4)， ∴设此抛物线的解析式为y ＝a (x －1)2＋4. ∵抛物线过点B (0，3)，

∴3＝a (0－1)2＋4，解得a ＝－1，

∴y ＝－(x －1)2＋4，即此抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.

(2)作点B 关于x 轴的对称点E (0，－3)，连接AE 交x 轴于点P ，此时P A ＋PB 的值最小．

设直线AE 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝4，b ＝－3，解得⎩

⎪⎨⎪⎧k ＝7，

b ＝－3， ∴直线AE 的解析式为y ＝7x －3.

当y ＝0时，x ＝37，∴当P A ＋PB 的值最小时，点P 的坐标为(3

7

，0)．

7．B [解析] 由抛物线与x 轴交于点(－1，0)和(3，0)，设此抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －3)．

又因为抛物线与y 轴交于点(0，－3)，把x ＝0，y ＝－3代入y ＝a (x ＋1)(x －3)，得－3＝a (0＋1)(0－3)，即－3a ＝－3，解得a ＝1，故此抛物线的解析式为y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3.故选B.

8．[答案] y ＝－x 2＋2x ＋3

9．解：由抛物线的对称性可知抛物线与x 轴的两个交点分别为(－2，0)和(4，0)， 所以设其解析式为y ＝a (x ＋2)(x －4)． 将(1，9)代入解析式，得9＝a (1＋2)(1－4)， 解得a ＝－1，所以y ＝－(x ＋2)(x －4)，