北师大版高中数学选修21第二章空间向量与立体几何教案
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②若空间两向量 a、b 满足|a|＝|b|，则 a＝b；
③在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中必有A→C＝A→1C1； ④若空间向量 m、n、p 满足 m＝n，n＝p，则 m＝p；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为( )
A．4
B．3
C．2
D．1
[解析] 当空间两个向量的起点、终点分别相同时，这两个向 量必相等，但两个相等向量的起点不一定相同，终点也不一定相 同，故①错；根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅它 们的模要相等，而且方向也要相同，但②中向量 a 与 b 的方向不 一定相同，故②不对；根据正方体的性质，在正方体 ABCD－ A1B1C1D1 中，向量A→C和A→1C1不但方向相同而且长度相等，故应有 A→C＝A→1C1，所以③正确；④显然正确；对于⑤，空间任意两个单 位向量的模均为 1，但方向不一定相同，故不一定相等，所以⑤不 对．[答案] C
•一(个2)向共量面所向在直量线：平在行于空一间个中平面，如果 ________________________________， 则称这个向量平行于该平面．平行于同一平 面的一组向量叫作共面向量．
• 不共面向量：不平行于同一平面的一组向量 叫作不共面向量．
知识要点解读
• 1．空间向量是平面向量概念的拓展，只有大 小和方向两个要素，用有向线段表示向量时， 它的起点可以是空间内的任意一点，只要保 证它的大小和方向不改变，它是可以自由平 移的，与起点无关．
• 如图，在正方体ABCD— A1B1C1D1中，(1)分别给出 直线AA1、BD的一个方向向 量；
• (2)分别给出平面ADD1A1、 平面BB1D1D的一个法向 量．
[解析] (1)直线 AA1 的方向向量可以是A→A1、B→B1、C→C1、D→D1、 A→1A、B→1B、C→1C、D→1D中的任一个；
高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.6 距离的计算教学案 北师大版选修21
§6 距离的计算[对应学生用书P40]如图，设l 是过点P 平行于向量s 的直线，A 是直线l 外一定点．如图，作AA ′⊥l ，垂足为A ′.问题1：点A 到直线l 的距离与线段AA ′的长度有何关系？ 提示：相等．问题2：若s 0为s 的单位向量，你能得出PA 在s 上的投影长吗？提示：向量PA 在s 上的投影长为|PA ||cos 〈PA ，s 〉|＝|PA |·|PA ·s ||PA ||s |＝|PA ·s ||s |＝|PA ·s|s ||＝|PA ·s 0|.问题3：设点A 到直线l 的距离为d ，你能根据问题2的答案写出d 的表达式吗？ 提示：d ＝|AA ′|＝ |PA |2－|PA ·s 0|2.点到直线的距离设l 是过点P 平行于向量s 的直线，A 是直线l 外一定点，向量PA 在s 上的投影的大小为|PA ·s 0|，则点A 到直线l 的距离d ＝ |PA |2－|PA ·s 0|2.如图，设π是过点P 垂直于向量n 的平面，A 是平面π外一定点．作AA ′⊥π，垂足为A ′.问题1：点A 到平面π的距离d 与线段AA ′的长度有何关系？ 提示：相等．问题2：n 0是n 的单位向量，则向量PA 在向量n 上的投影大小是什么？与|AA ′|相等吗？提示：|PA ·n 0|，相等．点到平面的距离设n 为过点P 的平面的一个法向量，A 是该平面外一定点，向量PA 在n 上的投影的大小为|PA ·n 0|，则点A 到该平面的距离d ＝|PA ·n 0|.1．用向量法求点到直线的距离，在直线上选点时，可视情况灵活选择，原则是便于计算，s 0是s 的单位向量， s 0＝s|s |.2．用向量法求点到平面的距离，关键是找到平面的法向量和平面的斜线段的方向向量．[对应学生用书P40][例1] 如图，在空间直角坐标系中，有长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，AB ＝2，BC ＝3，AA ′＝4，求点B 到直线A ′C 的距离．[思路点拨] 用点到直线的距离公式计算点B 到直线A ′C 的距离D.[精解详析] 因为AB ＝2，BC ＝3，AA ′＝4， 所以B (2,0,0)，C (2,3,0)，A ′(0,0,4)．CA '＝(0,0,4)－(2,3,0)＝(－2，－3,4)． CB ＝(2,0,0)－(2,3,0)＝(0，－3,0)．所以CB 在CA '上的投影：CB ·CA '|CA '|＝(0，－3,0)·－2，－3，－2＋－2＋42＝(0，－3,0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－229，－329，429＝0×－229＋(－3)×－329＋0×429＝929；所以点B 到直线A ′C 的距离为d ＝|CB |2－|CB ·CA '|CA '||2＝32－⎝⎛⎭⎪⎫9292＝614529. [一点通]1．用向量法求直线外一点A 到直线l 的距离的步骤 (1)确定直线l 的方向向量s 及s 0； (2)在l 上找一点P ，计算PA 的长度； (3)计算PA ·s 0的值；(4)由公式d ＝ |PA |2－|PA ·s 0|2求解．2．用向量法求点到直线的距离的好处在于回避了用直接法求距离的难点(即过A 1点作l 的垂线，难在垂足的位置的确定)．1．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则点A 1与对角线BC 1所在的直线间的距离为( )A.62a B ．a C.2aD.a2解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(a,0，a )，B (a ，a,0)，C 1(0，a ，a )．∴1A B ＝(0，a ，－a )，1BC ＝(－a,0，a )． ∴|1A B |＝2a ，|1BC |＝2a . ∴点A 1到BC 1的距离d ＝|1A B |2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1A B ·1BC |1BC |2 ＝2a 2－12a 2＝62a .答案：A2．正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，E ，F 分别是C 1C ，D 1A 1的中点，求点A 到EF 的距离． 解：以D 点为原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图．设DA ＝2，则A (2,0,0)，E (0,2,1)，F (1，0,2)，则EF ＝(1，－2,1)，FA ＝(1,0，－2)，|EF |＝12＋－2＋12＝6，FA ·EF ＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1，FA 在EF 上的投影长＝|FA ·EF ||EF |＝16.∴点A 到EF 的距离＝ |FA |2－⎝⎛⎭⎪⎫162＝ 296＝1746.[例2] 如图，已知△ABC 是以∠ABC 为直角的直角三角形，SA ⊥平面ABC ，SA ＝BC ＝2，AB ＝4，M ，N ，D 分别是SC ，AB ，BC 的中点，求A 到平面SND 的距离．[思路点拨] 建立空间直角坐标系，用向量法求点到面的距离． [精解详析] 建立如图所示的空间直角坐标系，则N (0,2,0)，S (0,0,2)，D (－1,4,0)，∴NS ＝(0，－2,2)，SD ＝(－1,4，－2)．设平面SND 的法向量为n ＝(x ，y,1)．∴n ·NS ＝0，n ·SD ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2y ＋2＝0，－x ＋4y －2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1，∴n ＝(2,1,1)．∵AS ＝(0,0,2)．∴A 到平面SND 的距离为|n ·AS ||n |＝26＝63.[一点通]用向量法求平面π外一点A 到平面的距离的步骤： (1)计算平面π的法向量n 及n 0； (2)在平面π上找一点P ，计算PA ； (3)由公式计算d ＝|PA ·n 0|.利用这种方法求点到平面的距离，不必作出垂线段，只需求出垂线段对应的向量和平面的法向量，代入公式求解即可．3．已知PD ⊥正方形ABCD 所在平面，PD ＝AD ＝1，则C 到平面PAB 的距离d ＝( ) A ．1 B. 2 C.22D.32解析：以D 为原点，以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,1)，∴AP ＝(－1,0,1)，AB ＝(0,1,0)，AC ＝(－1,1,0)， 设平面PAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，∴⎩⎨⎧n ·AP ＝0，n ·AB ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，y ＝0，令x ＝1，则z ＝1，∴n ＝(1,0,1)． ∴d ＝|AC ·n ||n |＝|－1|2＝22.答案：C4．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB ＝2，AA 1＝1，则点A 到平面A 1BC 的距离为________．. 解析：建立如图所示的空间直角坐标系．A (0,0,0)，B (3，1,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0,1)，∴1AB ＝(3，1，－1)，1AC ＝(0,2，－1)．设平面A 1BC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·1A B ＝0，n ·1A C ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33y ，z ＝2y ，令y ＝3，则n ＝(3，3,6)，n 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，32. 又1AA ＝(0,0,1)，∴d ＝|1AA ·n 0|＝32. 答案：325.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G 分别是C 1C ，D 1A 1，AB 的中点，求点A 到平面EFG 的距离．解：建立空间直角坐标系如图， 则A (2,0,0)，E (0,2,1)，F (1,0,2)，G (2,1,0)，∴AG ＝(0,1,0)，GE ＝(－2,1,1)， GF ＝(－1，－1,2)．设n ＝(x ，y ，z )是平面GEF 的法向量， 点A 到平面EFG 的距离为d ，则⎩⎨⎧n ·GE ＝0，n ·GF ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋y ＋z ＝0，－x －y ＋2z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝z ，y ＝z .令z ＝1， 则n ＝(1,1,1)，∴d ＝|AG ·n ||n |＝13＝33.即点A 到平面EFG 的距离为33.1．空间距离包括：点到点、点到线、点到面、线到线、线到面、面到面之间的距离．其中以点到面的距离最为重要，其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距离．2．空间一点A 到直线l 的距离的算法：3．空间一点A 到平面π的距离的算法：[对应课时跟踪训练十三1．已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2,1)，点A (2，－1,0)在α内，则P (1,3，－2)到α的距离为( )A ．10B ．3 C.83D.103解析：PA ＝(1，－4,2)，又平面α的一个法向量为n ＝(－2，－2,1)，所以P 到α的距离为|PA ·n |n ＝|－2＋8＋2|3＝83.答案：C2．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在1AC 上且AM ＝121MC ，N 为B 1B 的中点，则|MN |为( )A.216a B.66aC.156a D.153a 解析：以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2.设M (x ，y ，z )．∵点M 在1AC 上且AM ＝121MC .∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )，∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3.于是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3. ∴|MN | ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32 ＝216a . 答案：A3.如图，P －ABCD 是正四棱锥，ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，其中AB ＝2，PA ＝6，则B 1到平面PAD 的距离为( )A ．6 B.355 C.655D.322解析：以A 1B 1为x 轴，A 1D 1为y 轴，A 1A 为z 轴建立空间直角坐标系，设平面PAD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，由题意知，B 1(2,0,0)，A (0,0,2)，D (0,2,2)，P (1,1,4)．AD ＝(0,2,0)，AP ＝(1,1,2)，∴AD ·n ＝0，且AP ·n ＝0.∴y ＝0，x ＋y ＋2z ＝0，取z ＝1，得n ＝(－2,0,1)．∵1B A ＝(－2,0,2)，∴B 1到平面PAD 的距离d ＝|1B A ·n ||n |＝655.答案：C4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( )A.83 B.38 C.43D.34解析：如图，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，A 1(2,0,4)，B 1(2,2,4)，D 1(0,0,4)． ∴11D B ＝(2,2,0)，1D A ＝(2,0，－4)，1AA ＝(0,0,4)，设n ＝(x ，y ，z )是平面AB 1D 1的一个法向量，则n ⊥11D B ，n ⊥1D A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·11D B ＝0，n ·1D A ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，2x －4z ＝0.令z ＝1，则平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．∴由1AA 在n 上射影可得A 1到平面AB 1D 1的距离为d ＝|1AA ·n ||n |＝43.答案：C5．如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，则点B 1到平面ABC 1的距离为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，0，B (0,1,0)，B 1(0,1,1)，C 1(0,0,1)，则1C A ＝⎝⎛⎭⎪⎫32，12，－1，11C B ＝(0,1,0)，1C B ＝(0,1，－1)，设平面ABC 1的法向量为n ＝(x ，y,1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧1C A ·n ＝01C B ·n ＝0，解得n ＝⎝⎛⎭⎪⎫33，1，1， 则d ＝|11C B ·n|n ||＝113＋1＋1＝217.答案：2176．如图所示，正方体的棱长为1，E ，F ，M ，N 分别是棱的中点，则平面A 1EF 与平面B 1NMD 1的距离为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1,0,0)，B 1(1,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，D 1(0,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1. ∵E ，F ，M ，N 分别是棱的中点， ∴MN ∥EF ，A 1E ∥B 1N . ∴平面A 1EF ∥平面B 1NMD 1.∴平面A 1EF 与平面B 1NMD 1的距离即为A 1到平面B 1NMD 1的距离． 设平面B 1NMD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴n ·11D B ＝0，且n ·1B N ＝0.即(x ，y ，z )·(1,1,0)＝0，且(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1＝0.∴x ＋y ＝0，且－12x ＋z ＝0，令x ＝2，则y ＝－2，z ＝1.∴n ＝(2，－2,1)，n 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－23，13.∴A 1到平面B 1NMD 1的距离为d ＝|11A B ·n 0| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－23，13＝23. 答案：237.如图，已知正方形ABCD ，边长为1，过D 作PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝1，E ，F 分别是AB 和BC 的中点．求直线AC 到平面PEF 的距离．解：由题意知直线AC 到平面PEF 的距离即为点A 到平面PEF 的距离，以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，P (0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，0，F ⎝⎛⎭⎪⎫12，1，0，∴PE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，－1，PF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－1. 设n ＝(x ，y ，z )是平面PEF 的一个法向量，则由⎩⎨⎧n ·PE ＝0，n ·PF ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y2－z ＝0，x 2＋y －z ＝0.令x ＝1，则y ＝1，z ＝32，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，32.又∵AP ＝(－1,0,1)， ∴d ＝|AP ·n ||n |＝－1×1＋0×1＋1×321＋1＋94＝1717.8.如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截而得到的，其中AB ＝4，BC ＝2，CC1＝3，BE ＝1.求点C 到平面AEC 1F 的距离．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (2,4,0)，A (2,0,0)，C (0,4,0)，E (2,4,1)，C 1(0,4,3)．设n 为平面AEC 1F 的法向量，显然n 不垂直于平面ADF ，故可设n ＝(x ，y,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE ＝0，n ·1EC ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧0·x ＋4·y ＋1＝0，－2·x ＋0·y ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4y ＋1＝0，－2x ＋2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－14.n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－14，1.又1CC ＝(0,0,3)． ∴C 到平面AEC 1F 的距离为 d ＝|1CC ·n ||n |＝31＋116＋1＝43311.[对应学生用书P42]一、空间向量的概念与运算1．空间向量有关概念与平面向量的有关概念类似，对基本概念的理解要做到全面、准确、深入．2．空间向量的运算包括加、减、数乘及数量积运算，其中加、减、数乘运算称为线性运算，结果仍为向量，加减算法可运用平行四边形法则与三角形法则进行运算；数量积运算结果为实数，运用数量积可解决长度、夹角与距离等问题．二、向量的坐标表示与运算和空间向量基本定理1．选定空间不共面的向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，是空间向量基本定理的具体体现．2．空间向量的坐标表示与运算是解决立体几何中的夹角、长度、距离等问题的关键，要熟记公式．三、空间向量与平行和垂直利用空间向量解决空间中的位置关系的常用方法为： 1．线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． 2．线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0. 3．线面平行：用向量证明线面平行的方法主要有：(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直(需说明直线不在平面内)；(2)证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量(需说明直线不在平面内)；(3)利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量把直线的方向向量线性表示出来(需说明直线不在平面内)．4．线面垂直：用向量证明线面垂直的方法主要有：(1)证明直线的方向向量与平面的法向量平行； (2)证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直． 5．面面平行：(1)证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)； (2)证明一个平面内的两个不共线向量与另一平面平行． 6．面面垂直：(1)证明两个平面的法向量互相垂直；(2)证明一个平面内某直线的方向向量是另一平面的法向量． 四、空间向量与空间角1．求两异面直线的夹角可利用公式cos 〈a ，b 〉＝a·b|a |·|b |，但务必注意两异面直线夹角θ的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2 ，而两向量之间的夹角的范围是[0，π]．故实质上应有cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|.2．求线面角：求直线与平面的夹角时，一种方法是先求出直线及此直线在平面内的投影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面的夹角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面的夹角θ，其关系是sin θ＝|cos φ|.3．求两平面间的夹角：利用空间直角坐标系求得两个平面的法向量n 1，n 2，代入cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|.当cos 〈n 1，n 2〉>0时，两平面的夹角为〈n 1，n 2〉， 当cos 〈n 1，n 2〉<0时，两平面的夹角为π－〈n 1，n 2〉． 五、空间距离的计算主要掌握点到直线的距离与点到平面的距离，利用直线的方向向量与平面的法向量求解．1．若直线l 的方向向量为s ，s 0＝s|s |，点P 是直线l 上的点，点A 是直线外任一点，则点A 到直线l 的距离d ＝ |PA |2－|PA ·s 0|2.2．若n 0为平面α的单位法向量，点P 是平面α内一点，点A 是平面α外一点，则点A 到该平面的距离d ＝|PA ·n 0|.⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测二 见8开试卷 (时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a ＝(x,4,3)，b ＝(3,2，z )，若a∥b ，则xz ＝( ) A ．－4 B ．9 C ．－9D.649解析：∵a∥b ，∴x 3＝42＝3z.∴x ＝6，z ＝32.∴xz ＝9.答案：B2.如图所示，已知四面体ABCD ，E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，AC 的中点，则12(AB ＋BC ＋CD )＝( )A ．BFB ．EHC ．HGD ．FG解析：∵12(AB ＋BC ＋CD )＝12(AC ＋CD )＝12AD ，又∵HG ＝12AD ，∴12(AB ＋BC ＋CD )＝HG .答案：C3．P 是△ABC 所在平面上一点，若PA ·PB ＝PB ·PC ＝PC ·PA ，则P 是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：∵PA ·PB ＝PB ·PC ＝PC ·PA ， ∴PB ·(PA －PC )＝0， 即PB ·CA ＝0， ∴PB ⊥CA .同理PC ·(PB －PA )＝0， ∴PC ·AB ＝0，∴PC ⊥AB ， ∴P 是△ABC 的垂心． 答案：D4．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫33，33，－33 B.⎝⎛⎭⎪⎫33，－33，33C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33，－33 解析：设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．则n ·AB ＝0，即(x ，y ，z )·(－1,1,0)＝0，∴－x ＋y ＝0.n ·BC ＝0，即(x ，y ，z )·(0，－1,1)＝0，∴－y ＋z ＝0，令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，∴n ＝(1,1,1)，与n 平行的单位向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，33，33或⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33，－33.答案：D5．已知空间四个点A (1,1,1)，B (－4,0,2)，C (－3，－1,0)，D (－1,0,4)，则直线AD 与平面ABC 的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：设n ＝(x ，y,1)是平面ABC 的一个法向量． ∵AB ＝(－5，－1,1)，AC ＝(－4，－2，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－5x －y ＋1＝0，－4x －2y －1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－32，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，1.又AD ＝(－2，－1,3)，设AD 与平面ABC 所成的角为θ， 则sin θ＝|AD ·n ||AD ||n |＝727＝12，∴θ＝30°.答案：A6．已知正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE ，SD 夹角的余弦值为( )A.13B.23C.33D.23解析：建立如图所示的空间直角坐标系．令正四棱锥的棱长为2，则A (1，－1,0)，D (－1，－1,0)，S (0,0，2)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，22，AE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，22，SD ＝(－1，－1，－2)，∴cos 〈AE ，SD 〉＝AE ·SD|AE ||SD |＝－33，∴AE 、SD 夹角的余弦值为33. 答案：C7.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 的夹角等于( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体棱长为1，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1， ∴EF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－12，GH ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12，cos 〈EF ·GH 〉＝－1422×22＝－12.∴EF 与GH 的夹角为60°. 答案：B8．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 夹角的余弦值为( ) A.24 B.23 C.33D.32解析：以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AA 1分别为x 轴，y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则C 1(1，1,1)，A 1(0,0,1)，B (1,0,0)，D (0,1,0)．∵1AC ＝(1,1,1)，1BA ＝(－1,0,1)，BD ＝(－1,1,0)， ∴1AC ·1BA ＝0，1AC ·BD ＝0， ∴1AC 即为平面A 1BD 的法向量．设BC 1与面A 1BD 夹角为θ，又1BC ＝(0,1,1)， 则sin θ＝|1AC ·1BC ||1AC ||1BC |＝23×2＝63，∴cos θ＝33. 答案：C9．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则点A 1到平面MBD 的距离是( )A.66a B.36a C.34a D.63a解析：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (a ，a,0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫a ，0，12a ，A 1(a,0，a )．∴DB ＝(a ，a,0)，DM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，0，12a ，1A M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，－12a .设平面BDM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋ay ＝0，ax ＋12za ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x ＋12z ＝0.令z ＝2，得x ＝－1，y ＝1. ∴n ＝(－1,1,2)，∴n 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－66，66，266.∴A 1到平面BDM 的距离为d ＝|1A M ·n 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12a ×266＝66a . 答案：A10．三棱锥O －ABC 中，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG ＝x OA ＋y OB ＋z OC ，则(x ，y ，z )为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，34，34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，23 解析：∵OG ＝341OG ＝34(OA ＋1AG )＝34OA ＋34×23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12AB ＋AC＝34OA ＋14[(OB －OA )＋(OC －OA )] ＝14OA ＋14OB ＋14OC ， 而OG ＝x OA ＋y OB ＋z OC ， ∴x ＝14，y ＝14，z ＝14.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)11．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，点F 是侧面CDD ′C ′的中心，若AF ＝AD ＋x AB ＋y AA '，则x －y ＝________.解析：如图，∵AF ＝AD ＋DF ，DF ＝12(DC ＋DD ')＝12(AB ＋AA ')，∴AF ＝AD ＋12AB ＋12AA '，又AF ＝AD ＋x AB ＋y AA '， ∴x ＝12，y ＝12，即x －y ＝12－12＝0.答案：012．已知向量a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)，且a·b ＝2，则x 的值为________． 解析：∵a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)，且a·b ＝2， ∴－3×1＋2x ＋5×(－1)＝2，∴x ＝5. 答案：513．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1的中点，则点E 到平面ABC 1D 1的距离是________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系， ∵正方体的棱长为1，∴A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，1.设平面ABC 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )．∴n ·AB ＝0，且n ·1BC ＝0，即(x ，y ，z )·(0,1,0)＝0，且(x ，y ，z )·(－1,0,1)＝0.∴y ＝0，且－x ＋z ＝0，令x ＝1，则z ＝1， ∴n ＝(1,0,1)． ∴n 0＝⎝⎛⎭⎪⎫22，0，22，又EC '＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，0，∴点E 到平面ABC 1D 1的距离为|EC '·n 0| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，0·⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，22＝22.答案：2214. 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1的夹角的正弦值为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系．则A (2,0,0)，C 1(0,2,1)，A 1(2,0,1)， ∴1AC ＝(－2,2,1)，1AA ＝(0,0,1)．由长方体的性质知平面A 1B 1C 1D 1的法向量为1AA ＝(0，0,1)． ∴cos 〈1AC ，1AA 〉＝1AC ·1AA | 1AC ||1AA |＝13×1＝13，∴AC 1与平面A 1B 1C 1D 1的夹角的正弦值为13.答案：13三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知a ＝(3,5，－4)，b ＝(2,1,2)．求： (1)a·b ；(2)a 与b 夹角的余弦值；(3)确定λ，μ的值使得λa ＋μb 与z 轴垂直，且(λa ＋μb )·(a ＋b )＝77. 解：(1)a·b ＝(3,5，－4)·(2,1,2)＝3×2＋5×1＋(－4)×2＝3. (2)∵|a |＝32＋52＋－2＝52，|b |＝22＋12＋22＝3. ∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝352×3＝210.(3)取z 轴上的单位向量n ＝(0,0,1)，a ＋b ＝(5,6，－2)．依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧λa ＋μb n ＝0，λa ＋μba ＋b ＝77，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋2μ，0，＝0，λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋2μ，6，－＝77，化简整理，得⎩⎪⎨⎪⎧－4λ＋2μ＝0，53λ＋12μ＝77，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，μ＝2.16．(本小题满分12分)四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，AB ＝(2，－1，－4)，AD ＝(4,2,0)，AP ＝(－1,2，－1)．(1)求证：PA ⊥底面ABCD ； (2)求四棱锥P －ABCD 的体积．解：(1)证明：∵AP ·AB ＝－2－2＋4＝0， ∴AP ⊥AB .又∵AP ·AD ＝－4＋4＋0＝0， ∴AP ⊥AD.∵AB ，AD 是底面ABCD 上的两条相交直线， ∴AP ⊥底面ABCD.(2)设AB 与AD 的夹角为θ，则cos θ＝AB ·AD|AB ||AD |＝8－24＋1＋16×16＋4＝3105.V ＝13|AB |·|AD |·sin θ·|AP |＝23105× 1－9105×1＋4＋1＝16. 17．(本小题满分12分)如图所示，直三棱柱ABC －A1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求A 1到平面BCN 的距离； (2)求证：A 1B ⊥C 1M .解：如图，建立空间直角坐标系．(1)依题意得B (0,1,0)，N (1,0,1)，A 1(1,0,2)，B 1(0,1,2)， ∴1BA ＝(1，－1,2)，1CB ＝(0,1,2)，1BA ·1CB ＝3，|1BA |＝6，|1CB |＝5，∴cos 〈1BA ，1CB 〉＝1BA ·1CB |1BA ||1CB |＝3010.设平面BCN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，BN ＝(1，－1，1)，CB ＝(0,1,0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋z ＝0，y ＝0，取x ＝1，得n ＝(1,0，－1)．n 0＝⎝⎛⎭⎪⎫22，0，－22，则A 1到平面BCN 的距离为d ＝|1BA ·n 0|＝|22－2|＝22. (2)证明：依题意得C 1(0,0,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，2，1A B ＝(－1,1，－2)，1C M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0.∵1A B ·1C M ＝－12＋12＋0＝0，∴1A B ⊥1C M .∴A 1B ⊥C 1M .18．(本小题满分14分)如图①，在等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，CD ＝BE ＝2，O 为BC 的中点．将△ADE 沿DE 折起，得到如图②所示的四棱锥A ′BCDE ，其中A ′O ＝ 3.(1)证明：A ′O ⊥平面BCDE ；(2)求平面A ′CD 与平面BCD 的夹角的余弦值．解：(1)证明：在折叠前的图形中，在等腰直角三角形ABC 中，因为BC ＝6，O 为BC 的中点，所以AC ＝AB ＝32，OC ＝OB ＝3.如图，连接OD ，在△OCD 中，由余弦定理可得OD ＝ OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos 45°＝ 5.在折叠后的图形中，因为A ′D ＝22， 所以A ′O 2＋OD 2＝A ′D 2，所以A ′O ⊥O D. 同理可证A ′O ⊥OE .又OD ∩OE ＝O ， 所以A ′O ⊥平面BCDE .(2)以点O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz ，如图所示， 则A ′(0,0，3)，C (0，－3,0)，D (1，－2,0)，所以OA '＝(0,0，3)，CA '＝(0,3，3)，DA '＝(－1,2，3)．设n ＝(x ，y ，z )为平面A ′CD 的一个法向量，则⎩⎨⎧n ·CA '＝3y ＋3z ＝0.n ·DA '＝－x ＋2y ＋3z ＝0.令z ＝3，得n ＝(1，－1，3)，|n |＝1＋1＋3＝ 5. 由(1)知，OA '＝(0,0，3)为平面CDB 的一个法向量， 又|OA '|＝3，OA '·n ＝0×1＋0×(－1)＋3×3＝3，所以cos 〈n ，OA '〉＝n ·OA '|n ||OA '|＝33×5＝155，即平面A ′CD 与平面BCD 的夹角的余弦值为155.。
2018年北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》教案
北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》第一课时平面向量知识复习一、教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备二、教学重点：平面向量的基础知识。
教学难点：运用向量知识解决具体问题三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、基本概念向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。
（二）、基本运算1、向量的运算及其性质2、平面向量基本定理：如果21,e e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使a =； 注意)(21OB OA OP +=,OA OA OP )1(λλ-+=的几何意义 3、两个向量平行的充要条件： ⑴ //a b的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则//a b 的充要条件是： ；（坐标表示）4、两个非零向量垂直的充要条件： ⑴ a b ⊥的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则a b ⊥ 的充要条件是： ；（坐标表示）（三）、课堂练习1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( -)·(+－2)=0，则∆ABC 是（ ）A ．以AB 为底边的等腰三角形B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形2．P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（ ） A ．外心B ．内心 C ．重心D ．垂心3．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） A ． 矩形 B ． 菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形4．已知||p = ||3q = ，p 、q 的夹角为45︒，则以52a p q =+ ，3b p q =-为邻边的平行四边形的一条对角线长为（ ）A ．15BC ． 14D ．165．O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足=)++λ，),0[+∞∈λ则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 （四）、作业布置1．设平面向量=(－2，1)，=(λ，-1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ） A ．),2()2,21(+∞- B ．),2(+∞C ．),21(+∞- D ．)21,(--∞ 2．若()(),0,7,4,3,2=+-==c a b a 方向在则上的投影为。
数学 第二章 空间向量与立体几何 2.4 用向量讨论平行与垂直教学设计 北师大版选修2 1 教案
第4节用向量讨论平行与垂直【空间向量的应用之-----垂直】【教学目标】通过本节课的学习让学生体会到向量这种工具在解决立体几何问题中的重要应用，体会数学中数与形的结合，转化之美。
激发学生学习数学的兴趣，减轻空间思维能力差的学生的学习压力。
【课型】新授课 【课时安排】1课时【教学难点】利用向量解决立体几何问题的本质即如何将空间中的线面关系转化为相关向量之间的关系 【教学重点】1教会学生如何用向量解决空间中的垂直问题 2掌握坐标法，知道基底法【设计思路】本节课的教学首先我将重点放在与直线和平面有关的向量问题上，只要学生意识到与直线和平面有关的向量分别是直线的方向向量和平面的法向量，那么如何用向量去研究平行与垂直关系便显而易见！然后结合例题展示解题过程，强化知识点。
【教学方法】启发探讨式 【教学过程】 一：课前梳理1.空间向量基本定理的内容：已知321,,e e e 是三个_____________的向量，那么对于空间任意一个向量a ，存在唯一一组实数321,,λλλ使得_____________________.2.空间向量的坐标运算：已知),,(111z y x a =，),,(222z y x b = 那么=+b a =-b a=a λ =•b a >=<b a ,cos⇔≠)0(//b b a ⇔⊥b a3.与直线有关的向量是_________________4.与平面有关的向量是_________________二：课前预习思考空间中的平行关系包括哪些？如何用向量来体现？空间中的垂直关系包括哪些？如何用向量来体现？三：新知探索：1小组呈现预习思考研究结果（1）平行关系（2）垂直关系2．应用演练例2：在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，ABCD PA 平面⊥,AP=AB=2，BC=22,E,F 分别是AD,PC 的中点，求证：PC ⊥平面BEF练习.在正方体1111ABCD A B C D -中,E F 、分别是1BB CD、的中点, 求证:1D F ADE⊥平面.例3：已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，,600=∠BCD E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD,PA=2求证：平面PBE ⊥平面PAB四：点拨与小结:利用向量解决空间的线面关系其本质是研究直线的方向向量与平面的法向量之间的关系，所以熟练掌握直线的方向向量与平面的法向量的求解方法是解题的关键。
北师大版高中数学2-1教案：第二章空间向量与立体几何复习与小结(1)
北师大版高中数学2-1教案：第二章空北师大版选修2-1第二章空间向量与立体几何间向量与立体几何复习与小结（1）本节课题空间向量与立体几何复习与小结（1）1、把握空间向量的概念、运算及其应用；三维目标2、把握利用空间向量解决立体几何问题的方法提炼的课题空间向量及其运算和空间向量的应用教学手段运用探析归纳，讲练结合教学资源选择教学过程知识梳理（一）、差不多概念1、共线向量定理：关于空间任意两个向量（0b ≠），//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．推论：假如l 为通过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么关于任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式OP OA ta =+，其中向量a 叫做直线l 的方向向量．在l 上取AB a =，则OP OA t AB =+或(1)OP t OA tOB =-+．O 是空间任一点，A 、B 、C 三点共线的充要条件是OA xOB yOC =+，其中x + y = 1．专门地，当12t =时，P 为AB 的中点，1()2OP OA OB =+称为线段AB 的中点公式．2、共面向量定理：假如两个向量,a b 不共线，则向量p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数对x 、y ，使p xa yb =+。
推论：空间一点位于平面MBA 内的充分必要条件是存在有序实数对（x ，y ），使MA xMB yMC =+．关于空间任一定点O ，有OP OM xMA yMB =++．关于空间任一定点O ，P 、M 、A 、B 四点共面的充分必要条件是OP xOM yOA zOB =++，其中1x y z ++=。
3、假如三个向量a b c 、、不共面，那么关于空间任一向量p ，存在唯独的有序实数组（x ，y ，z ），使p xa yb zc =++，其中{a b c 、、}叫做空间的一个基底，a b c 、、都叫做基向量。
推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯独的有序实数组x y z 、、，使OP xOA yOB zOC =++。
高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.4 用向量讨论垂直与平行教学案 北师大版选修2-1-北师大
§4用向量讨论垂直与平行[对应学生用书P28]直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2；平面π1，π2的法向量分别为n1，n2.问题1：假设直线l1∥l2，直线l1垂直于平面π1，那么它们的方向向量和法向量有什么关系？提示：u1∥u2∥n1.问题2：假设l1⊥l2，l1∥π2呢？提示：u1⊥u2，u1⊥n2.问题3：假设π1∥π2，那么n1，n2有什么关系？提示：n1∥n2.1．空间中平行、垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面π1，π2的法向量分别为n1，n2，那么线线平行l∥m⇔a＝k b(k∈R)线面平行l∥π1⇔a⊥n1⇔a·n1＝0面面平行π1∥π2⇔n1∥n2⇔n1＝k n2(k∈R)线线垂直l⊥m⇔a·b＝0线面垂直l⊥π1⇔a∥n1⇔a＝k n1(k∈R)面面垂直π1⊥π2⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝02.假设平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影，那么这两条直线垂直．3．面面垂直的判定定理假设一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直．一条直线可由一点及其方向向量确定，平面可由一点及其法向量确定，因此可利用直线的方向向量与平面的法向量的平行、垂直来判定直线、平面的位置关系．这是向量法证明垂直、平行关系的关键．第一课时 空间向量与平行关系[对应学生用书P28]由直线的方向向量与平面的法向量判定线面位置关系[例1] (1)设a ，b 分别是两条不同直线l 1，l 2的方向向量，根据以下条件判断l 1与l 2的位置关系：①a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)； ②a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)； ③a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)．(2)设n 1，n 2分别是两个不同平面π1，π2的法向量，根据以下条件判断π1，π2的位置关系：①n 1＝(1，－1,2)，n 2＝(3,2，－12)；②n 1＝(0,3,0)，n 2＝(0，－5,0)； ③n 1＝(2，－3,4)，n 2＝(4，－2,1)．(3)设n 是平面π的法向量，a 是直线l 的方向向量，根据以下条件判断π和l 的位置关系：①n ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)； ②n ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)； ③n ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)．[思路点拨] 此题可由直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，转化为线线、线面及面面之间的关系．[精解详析] (1)①∵a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)， ∴a ＝－13b .∴a∥b ，∴l 1∥l 2.②∵a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)， ∴a·b ＝0.∴a⊥b .∴l 1⊥l 2. ③∵a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)， ∴a 与b 不共线，也不垂直．∴l 1与l 2的位置关系是相交或异面(不垂直)． (2)①∵n 1＝(1，－1,2)，n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，－12， ∴n 1·n 2＝3－2－1＝0. ∴n 1⊥n 2，∴π1⊥π2.②∵n 1＝(0,3,0)，n 2＝(0，－5,0)， ∴n 1＝－35n 2，∴n 1∥n 2.∴π1∥π2.③∵n 1＝(2，－3,4)，n 2＝(4，－2,1)， ∴n 1与n 2既不共线，也不垂直． ∴平面π1和π2相交(不垂直)． (3)①∵n ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)， ∴n·a ＝－6＋8－2＝0. ∴n⊥a .∴直线l 和平面π的位置关系是l π或l ∥π. ②∵n ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)， ∴n ＝－14a .∴n∥a .∴l ⊥π.③∵n ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)，∴n和a既不共线，也不垂直．∴l与π斜交．[一点通]用向量法来判定线面位置关系时，只需判断直线的方向向量与平面的法向量位置关系即可．线线间位置关系与方向向量关系相同，面面间位置关系与法向量间关系相同，线面间的位置关系与向量间位置关系不同，只是平行与垂直的互换．1．设直线l的方向向量为a，平面π的法向量为b，假设a·b＝0，那么( ) A．l∥πB．lπC．l⊥πD．lπ或l∥π解析：当a·b＝0时，lπ或l∥π.答案：D2．假设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l不在平面α内，那么能使l∥α的是( )A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)解析：直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，要使l∥α，那么a⊥n，∴a·n＝0.只有D中a·n＝0.答案：D3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，H，G分别是AA1，AB，CC1，C1D1的中点，求证：EF∥HG.证明：以D为原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．设正方体的棱长为2，那么E，F，H，G的坐标分别为E(2,0,1)，F(2,1,0)，H(0,2,1)，G(0,1，2)．∴EF＝(0,1，－1)，GH ＝(0,1，－1)．∴EF ＝GH .∴EF ∥GH . 又∵G ∉EF ，∴EF ∥GH .用空间向量证明线面平行问题[例2] 如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ，点O ，D 分别是AC ，PC 的中点，且OA ＝OP ，OP ⊥平面ABC .求证：OD ∥平面PAB .[思路点拨] 思路：一证明OD 与平面PAB 的法向量垂直．思路二：证明OD 与面PAB 内某一直线平行．[精解详析] 法一：因为AB ＝BC ，O 为AC 的中点，所以OB ⊥AC ，OA ＝OB ＝OC ，如图，建立空间直角坐标系，设OA ＝a ，那么A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a ，0,0)，P (0,0，a )，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，a 2，所以OD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，a 2.设平面PAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．那么⎩⎪⎨⎪⎧n ·PA ＝0，n ·AB ＝0.由于PA ＝(a,0，－a )，AB ＝(－a ，a,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ax －az ＝0，－ax ＋ay ＝0.令z ＝1，得x ＝y ＝1，所以n ＝(1,1,1)，所以OD ·n ＝－a 2＋a2＝0，所以OD ⊥n ，因为OD 不在平面PAB 内，所以OD ∥平面PAB .法二：因为O ，D 分别是AC ，PC 的中点，所以OD ＝－CO ＝12－12CA ＝12AP ，所以OD ∥AP ，即OD ∥AP ，O D ⃘平面PAB ，PA 面PAB ，所以OD ∥平面PAB .[一点通]用向量法证明线面平行时，可证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，也可直接证明平面内的某一向量与直线的方向向量共线，还可以证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面．但必须说明直线在平面外．4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝4，AA 1＝2.点M 在棱BB 1上，且BM ＝2MB 1，点S 在DD 1上，且SD 1＝2SD ，点N ，R 分别为A 1D 1，BC 的中点．求证：MN ∥平面RSD .证明：法一：如下图，建立空间直角坐标系，那么根据题意得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，43，N (0,2,2)，R (3,2,0)，S ⎝⎛⎭⎪⎫0，4，23.∴MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，2，23，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，2，23，MN ＝.∴MN ∥. ∵M ∉RS .∴MN ∥RS .又RS 平面RSD ，M N ⃘平面RSD ， ∴MN ∥平面RSD .法二：设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ， 那么MN ＝1MB ＋11B A ＋1A N ＝13c －a ＋12b ，＝RC ＋＋DS ＝12b －a ＋13c ，∴MN ＝，∴MN ∥， 又∵R ∉MN ，∴MN ∥RS .又RS 平面RSD ，M N ⃘平面RSD ， ∴MN ∥平面RSD .5．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1C ，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .证明：法一：如下图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，那么可求得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，于是MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，1DA ＝(1,0,1)，DB ＝(1,1,0)，设平面A 1BD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，那么n ·1DA ＝0且n ·DB ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0.取x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1.∴n ＝(1，－1，－1)．又MN ·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN ⊥n .∴MN ∥平面A 1BD .法二：∵MN ＝1C N －C 1M ―→＝1211C B －121C C＝12(11D A －1D D )＝121DA ，∴MN ∥1DA . 又DA 1平面A 1BD ， ∴MN ∥平面A 1BD .用空间向量证明面面平行[例3] 111111，A 1B 1，D 1C 1，B 1C 1的中点，求证：平面AMN ∥平面EFBD .[思路点拨] 此题可通过建立空间直角坐标系，利用向量共线的条件先证线线平行，再证面面平行．也可以先求这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．[精解详析] 法一：如下图，建立空间直角坐标系，那么A (4,0,0)，M (2,0,4)，N (4,2,4)，D (0,0,0)，B (4,4,0)，E (0,2,4)，F (2,4,4)．取MN 的中点G 及EF 的中点K ，BD 的中点Q ，连AG ，QK ，那么G (3,1,4)，K (1,3,4)，Q (2,2,0)．∴MN ＝(2,2,0)，EF ＝(2,2,0)，AG ＝(－1,1,4)，QK ＝(－1,1,4)．可见MN ＝EF ，AG ＝QK ，∴MN ∥EF ，AG ∥QK . 又M N ⃘平面EFBD ，A G ⃘平面EFBD . ∴MN ∥平面EFBD ，AG ∥平面EFBD . 又MN ∩AG ＝G ， ∴平面AMN ∥平面EFBD .法二：由法一得AM ＝(－2,0,4)，MN ＝(2,2,0)，DE ＝(0,2,4)，EF ＝(2,2,0)． 设平面AMN 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，那么⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AM ＝0，n 1·MN ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1＋4z 1＝0，2x 1＋2y 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝12x 1，y 1＝－x 1.令x 1＝1，那么n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，12. 设平面BDEF 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧n 2·EF ＝0，n 2·DE ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝0，2y 2＋4z 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－y 2，z 2＝－12y 2，令x 2＝1，那么n 2＝(1，－1，12)．∴n 1＝n 2.∴平面AMN ∥平面BDEF . [一点通]用向量法证明两面互相平行，可由两平面平行的判定定理证明一面内的两条相交直线的方向向量与另一面平行；也可分别求出两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．6.如下图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．求证：平面EGF ∥平面ABD .证明：如下图，由条件知BA ，BC ，BB 1两两互相垂直，以B 为坐标原点，BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由条件知B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)，E (0,0,3)，F (0,1,4)，设BA ＝a ，那么A (a,0,0)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，1，4.所以BA ＝(a,0,0)，BD ＝(0,2,2)，1B D ＝(0,2，－2)，EG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，1，1，EF ＝(0,1,1)．法一：∵1B D ·BA ＝0，1B D ·BD ＝0＋4－4＝0， 所以B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD .因BA ∩BD ＝B ，因此B 1D ⊥平面ABD .又1B D ·EG ＝0＋2－2＝0，1B D ·EF ＝0＋2－2＝0.所以B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF ，又EG ∩EF ＝E ， 所以B 1D ⊥平面EFG ，可知平面EGF ∥平面ABD . 法二：设平面EGF 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，那么⎩⎪⎨⎪⎧n 1·EF ＝0，n 1·EG ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－z ，令y ＝1，那么n 1＝(0,1，－1)．设平面ABD 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BA ＝0，n 2·BD ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－z ，令y ＝1，那么n 2＝(0,1，－1)．所以n 1＝n 2.所以平面EGF ∥平面ABD .7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F . 证明：建立空间直角坐标系如图，那么有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)，所以1FC ＝(0,2,1)，DA ＝(2,0,0)，AE ＝(0,2,1)(1)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，那么n 1⊥DA ，n 1⊥AE ，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA ＝2x 1＝0，n 1·AE ＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，那么y 1＝－1， 所以n 1＝(0，－1,2)．因为1FC ·n 1＝－2＋2＝0，所以1FC ⊥n 1. 又因为FC 1⃘平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE . (2)∵11C B ＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量．由n 2⊥1FC ，n 2⊥11C B ，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·1FC ＝2y 2＋z 2＝0，n 2·11C B ＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)，因为n 1＝n 2， 所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .1．平面的法向量确定通常有两种方法：(1)利用几何体中的线面垂直关系；(2)用待定系数法，设出法向量，根据它和α内不共线两向量的垂直关系建立方程组进行求解．由于一个平面的法向量有无数个，故可从方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．2．用空间向量处理平行问题的常用方法： (1)线线平行转化为直线的方向向量平行．(2)线面平行转化为直线的方向向量与平面法向量垂直． (3)面面平行转化为平面法向量的平行．[对应课时跟踪训练九]1．向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量，假设l 1∥l 2，那么( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152解析：∵l 1∥l 2，设a ＝λb ， ∴(2,4,5)＝λ(3，x ，y )， ∴x ＝6，y ＝152.答案：D2．l ∥π，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面π的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，那么m ＝( )A ．－8B ．－5C ．5D ．8解析：∵l ∥π，∴直线l 的方向向量与平面π的法向量垂直． ∴2＋m2＋2＝0，m ＝－8.答案：A3．假设两个不同平面π1，π2的法向量分别为n 1＝(1,2，－2)，n 2＝(－3，－6,6)，那么( )A ．π1∥π2B ．π1⊥π2C ．π1，π2相交但不垂直D ．以上均不正确解析：∵n 1＝－13n 2，∴n 1∥n 2，∴π1∥π2.答案：A4．平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，假设α∥β，那么λ的值是( )A ．－103B ．6C ．－6 D.103解析：∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行， ∴24＝3λ＝－1－2，∴λ＝6. 答案：B5．两直线l 1与l 2的方向向量分别为v 1＝(1，－3，－2)，v 2＝(－3,9,6)，那么l 1与l 2的位置关系是________．解析：∵v 2＝－3v 1， ∴l 1∥l 2或l 1与l 2重合．答案：平行或重合6．假设平面π1的一个法向量为n 1＝(－3，y,2)，平面π2的一个法向量为n 2＝(6，－2，z )，且π1∥π2，那么y ＋z ＝________.解析：∵π1∥π2，∴n 1∥n 2.∴－36＝y －2＝2z .∴y ＝1，z ＝－4. ∴y ＋z ＝－3. 答案：－37.如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．证明：直线MN ∥平面OCD .证明：作AP ⊥CD 于点P .如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．那么A (0,0,0)，B (1,0,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，0，O (0,0,2)，M (0,0,1)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－24，24，0. MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－24，24，－1，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，－2， OD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，－2.设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 那么n ·＝0，n ·OD ＝0. 即⎩⎪⎨⎪⎧22y －2z ＝0，－22x ＋22y －2z ＝0，取z ＝2，解得n ＝(0,4，2)． ∵MN ·n ＝(1－24，24，－1)·(0,4，2)＝0，∴MN ⊥n . 又M N ⃘平面OCD ，∴MN ∥平面OCD .8．如下图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．解：依题意，建立如下图的空间直角坐标系，设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，那么A 1(0,0,1)，B (1,0,0)，B 1(1,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，1BA ＝(－1,0,1)，BE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，12.设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的一个法向量，那么由n ·1BA ＝0，n ·BE ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x ＋y ＋12z ＝0.所以x ＝z ，y ＝12z .取z ＝2，得n ＝(2,1,2)．设棱C 1D 1上存在点F (t,1,1)(0≤t ≤1)满足条件，又B 1(1,0,1)，所以1B F ＝(t －1,1,0)．而B 1F ⃘平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ⇔1B F ·n ＝0⇔(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t －1)＋1＝0⇔t ＝12⇔F 为C 1D 1的中点．这说明在棱C 1D 1上存在点F (C 1D 1的中点)，使B 1F ∥平面A 1BE .第二课时 空间向量与垂直关系[对应学生用书P31]用空间向量证明线线垂直[例1] 直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，M 是BC 的中点，在DD 1上存在一点N ，使MN ⊥DC 1，试确定N 点位置．[思路点拨] 此题中DA ，DC ，DD 1两两垂直，故可以D 为原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．可设出点N 坐标后利用方程MN ·1DC ＝0，进行求解．[精解详析] 建立空间直角坐标系，如图．那么C 1(0,2,3)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，0，D (0,0,0)，∴1DC ＝(0,2,3)． 设点N (0,0，h )，那么MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，h . ∵MN ⊥DC 1，那么MN ·1DC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，h ·(0,2,3)＝－4＋3h ＝0.∴h ＝43，那么N ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，43.故N 点在DD 1上且|DN |＝43时，有MN ⊥DC 1.[一点通]用向量法证明两直线互相垂直时，可以证明两直线的方向向量a ，b 的数量积为零，即a·b ＝0.假设图形易于建立空间直角坐标系，那么可用坐标法进行证明，否那么可用基向量分别表示a ，b 后进行证明．1．如图，长方形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，M 为DC 的中点．将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM .求证：AD ⊥BM .证明：因为平面ADM ⊥平面ABCM ，AB ＝2，AD ＝1，M 为DC 的中点，∴AD ＝DM ，取AM 的中点O ，连接OD ，那么DO ⊥平面ABCM ，取AB 的中点N ，连接ON ，那么ON ⊥AM ，以O 为原点建立如下图的空间直角坐标系，根据条件，得A ⎝⎛⎭⎪⎫22，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，2，0，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，0，D ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，22，那么AD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，22，BM ＝(0，－2，0)，所以AD ·BM ＝0，故AD ⊥BM . 2．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，BB 1＝6，M 为CC 1中点，求证：AM ⊥BA 1.证明：如图，建立空间直角坐标系，那么B (0,0,0)，C (1,0,0)，A (0，3，0)，B 1(0,0，6)，A 1(0，3，6)，C 1(1，0，6)．∵M 为CC 1的中点， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，62. ∴AM ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－3，62，1BA ＝(0，3，6)．∴AM ·1BA ＝1×0－3＋62×6＝0. ∴AM ⊥1BA ，即AM ⊥BA 1.用空间向量证明线面垂直[例2] 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，求证：B 1O ⊥平面PAC .[思路点拨] 欲证B 1O ⊥平面PAC ，只需证明1B O 与平面PAC 内的两条相交直线都垂直，1B O 与这两条相交直线的方向向量的数量积为0即可．[精解详析] 如图，建立空间直角坐标系，不妨假设正方体的棱长为2，那么A (2,0,0)，P (0,0,1)，C (0，2,0)，B 1(2,2,2)，O (1,1,0)． 于是1OB ＝(1,1,2)，AC ＝(－2,2,0)，AP ＝(－2,0,1)．由于1OB ·AC ＝－2＋2＝0，1OB ·AP ＝－2＋2＝0.所以OB 1⊥AC ，OB 1⊥AP .又AC 面PAC ，AP 面PAC ，且AC ∩AP ＝A ， 所以OB 1⊥平面PAC . [一点通]用向量法证明线面垂直时，可直接证明直线的方向向量与面内两相交直线的方向向量垂直；也可证明直线的方向向量与平面的法向量平行．可由图形特点建立直角坐标系后用坐标法证明，也可利用基向量法进行处理．3.如下图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .证明：建立如下图坐标系，令正方体的棱长为1，那么A (1,0,0)，B 1(1，1,1)，C (0,1,0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12，F ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，1，那么1AB ＝(0,1,1)，AC ＝(－1,1,0)，EF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，12.法一：令平面B 1AC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，那么⎩⎪⎨⎪⎧n ·1AB ＝0，n ·AC ＝0，得：⎩⎪⎨⎪⎧z ＝－y ，x ＝y ，令y ＝1得n ＝(1,1，－1)＝－2⎝⎛⎭⎪⎫－12，－12，12＝－2EF ，∴n ∥EF ， ∴EF ⊥平面B 1AC .法二：∵EF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，12，1B A ＝(0，－1，－1)，1B C ＝(－1,0，－1)，又EF ·1B A ＝0，EF ·1B C ＝0， ∴EF ⊥B 1A ，EF ⊥B 1C又B 1C ∩B 1A ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC .4．如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .证明：取BC 中点O ，B 1C 1中点O 1，以O 为原点，，1OO ，的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如下图的空间直角坐标系，那么B (1,0,0)，D (－1,1,0)，A 1(0,2，3)，A (0,0，3)，B 1(1,2,0)，∴1AB ＝(1,2，－3)，BD ＝(－2,1,0)，BA 1―→＝(－1,2，3)． ∵1AB ·BD ＝－2＋2＋0＝0，1AB ·1BA ＝－1＋4－3＝0，∴1AB ⊥BD ，1AB ⊥1BA . 即AB 1⊥BD ，AB 1⊥BA 1.又BD ∩BA 1＝B ，∴AB 1⊥平面A 1BD .用空间向量证明面面垂直[例3] 在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ＝CD ，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝30°，E ，F 分别是AC ，AD 的中点．求证：平面BEF ⊥平面ABC .[思路点拨] 此题可建立空间坐标系后，证明面BEF 内某一直线的方向向量为面ABC 的法向量；也可分别得出两面的法向量，证明法向量垂直．[精解详析] 建立空间直角坐标系如图，设AB ＝a ，那么BD ＝3a ，于是A (0,0，a )，B (0,0,0)，C ⎝⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0，D (0，3a,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，34a ，a 2，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，32a ，a 2，法一：可得EF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34a ，34a ，0，BA ＝(0,0，a )，BC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0， ∴EF ·BA ＝0，EF ·BC ＝0. 即EF ⊥AB ，EF ⊥BC .又AB ∩BC ＝B ，∴EF ⊥平面ABC . 又EF 平面BEF ，∴平面ABC ⊥平面BEF . 法二：∵∠BCD ＝90°，∴CD ⊥BC . 又AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD . 又AB ∩BC ＝B ，∴CD ⊥平面ABC . ∴＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，32a ，0为平面ABC 的一个法向量． 设平面BEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，∴n ·EF ＝0，即(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－34a ，34a ，0＝0. ∴x ＝y .由n ·BF 0，即(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，a 2＝0， 有32ay ＋a2z ＝0，∴z ＝－3y . 取y ＝1，得n ＝(1,1，－3)． ∵n ·＝(1,1，－3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，32a ，0＝0， ∴n ⊥.∴平面BEF ⊥平面ABC . [一点通]用向量法证明两平面垂直时，可证其中一面内某条直线的方向向量与另一面内的两相交直线的方向向量垂直；也可直接得出两平面的法向量，证明两平面的法向量互相垂直．5．：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点．求证：平面DEA ⊥平面A 1FD 1.证明：建立空间直角坐标系如图．令DD 1＝2，那么有D (0,0,0)，D 1(0,0,2)，A (2,0,0)，A 1(2，0,2)，F (0,1,0)，E (2,2,1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面DEA ，平面A 1FD 1的法向量，那么n 1⊥DA ，n 1⊥DE .∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1，y 1，z 1·2，0，0＝0，x 1，y 1，z 1·2，2，1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，2y 1＋z 1＝0.令y 1＝－1，得n 1＝(0，－1,2)．同理可得n 2＝(0,2,1)． ∴n 1·n 2＝(0，－1,2)·(0,2,1)＝0，知n 1⊥n 2. ∴平面DEA ⊥平面A 1FD 1.6.如图，ABC －A 1B 1C 1是各条棱长均为a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点．求证：平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1.证明：法一：取AB 1的中点M ， 那么DM ＝DC ＋CA ＋AM . 又因为DM ＝1DC ＋11C B ＋1B M ， 两式相加，得2DM ＝CA ＋11C B ＝CA ＋， 由于2DM ·1AA ＝(CA ＋)·1AA ＝0，2DM ·AB ＝(CA ＋)·(－CA )＝||2－|CA |2＝0，所以DM ⊥AA 1，DM ⊥AB ， 又AA 1∩AB ＝A ，所以DM ⊥平面ABB 1A 1，而DM 平面AB 1D . 所以平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1.法二：如图建立空间直角坐标系，取AB 的中点E ，连接CE ，由题意知CE ⊥平面ABB 1A 1.由图知，C (0，a,0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫3a 4，a 4，0，B 1(0,0，a )，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ，a 2，A ⎝⎛⎭⎪⎫3a 2，a 2，0， ∴＝⎝⎛⎭⎪⎫34a ，－34a ，0，1B A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，a 2，－a ，1B D ＝⎝⎛⎭⎪⎫0，a ，－a 2.设平面AB 1D 的法向量n ＝(x ，y ，z )，那么⎩⎪⎨⎪⎧n ·1B A ＝0，n ·1B D ＝0，即⎩⎨⎧x ＝3y ，z ＝2y ，令y ＝1，那么n ＝(3，1,2)． 又·n ＝34a －34a ＝0，∴⊥n .∴平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1.垂直问题包括：直线与直线的垂直，常用两直线的方向向量的数量积为0来判断；直线与平面的垂直，常用直线的方向向量与平面的法向量共线来判断；平面与平面垂直，常用法向量垂直来判断．用向量知识来探讨空间的垂直问题与平行问题类似，主要研究向量的共线或垂直，可以用向量的基本运算进行，当几何体比较特殊时，构建空间直角坐标系解题更为简单．[对应课时跟踪训练〔十〕]1．假设直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)，那么( ) A ．l 1∥l 2 B ．l 1⊥l 2 C ．l 1与l 2相交但不垂直D ．不确定解析：∵直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)， ∴a·b ＝(1,2，－2)·(－2,3,2)＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0. ∴a⊥b ，∴l 1⊥l 2. 答案：B2．假设直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面π的法向量为n ＝(－3,0，－6)，那么( )A ．l ∥πB ．l ⊥πC ．l πD ．l 与π斜交解析：a ＝－13n ，∴a∥n ，∴l ⊥π.答案：B3．如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ∶FD 等于( )A ．1∶2B ．1∶1C ．3∶1D ．2∶1解析：建立如下图的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PA ＝a .那么B (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，P (0,0，a )． 设点F 的坐标为(0，y,0)，那么BF ＝(－1，y,0)，PE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－a .∵BF ⊥PE ，∴BF ·PE ＝0，解得y ＝12，那么F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，∴F 为AD 中点，∴AF ∶FD ＝1∶1. 答案：B4．AB ＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，假设AB ⊥BC ，BP ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，那么向量BP ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫337，－157，－3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫407，－157，－3C.⎝⎛⎭⎪⎫407，－2，－3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，407，－3 解析：AB ·BC ＝3＋5－2z ＝0，故z ＝4，由BP ·AB x －1＋5y ＋6＝0，且BP ―3(x －1)＋y －12＝0，得x ＝407，y ＝－157.⎝ ⎛⎭⎪⎫337，－157，－3.答案：A5．a ＝(1,2,3)，b ＝(1,0,1)，c ＝a －2b ，d ＝m a －b ，假设c ⊥d ，那么m ＝________. 解析：∵c ＝a －2b ，∴c ＝(1,2,3)－2(1,0,1)＝(－1,2,1)， ∵d ＝m a －b ，∴d ＝m (1,2,3)－(1,0,1)＝(m －1,2m,3m －1)． 又c ⊥d ，∴c ·d ＝0，即(－1,2,1)·(m －1,2m,3m －1)＝0， 即1－m ＋4m ＋3m －1＝0，∴m ＝0. 答案：06．在直角坐标系O －xyz 中，点P (2cos x ＋1,2cos 2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π]，假设直线OP 与直线OQ 垂直，那么x 的值为________．解析：由OP ⊥OQ 0.即(2cos x ＋1)·cos x ＋(2cos 2x ＋2)·(－1)＝0. ∴cos x ＝0或cos x ＝12.∵x ∈[0，π]，∴x ＝π2或x ＝π3.答案：π2或π37.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 于点F .(1)证明：PA ∥平面EDB ； (2)证明：PB ⊥平面EFD .证明：如下图，建立空间直角坐标系，D 是坐标原点，设DC ＝a .(1)连接AC ，AC 交BD 于G ，连接EG .依题意得A (a,0,0)，P (0，0，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2.∵底面ABCD 是正方形，∴G 是此正方形的中心．故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，0， 且PA ＝()a ，0，－a ，EG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，－a2.∴PA ＝2EG ，那么PA ∥EG . 又EG 平面EDB 且P A ⃘平面EDB . ∴PA ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a,0)，PB ＝(a ，a ，－a )，DE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，故PB ·DE ＝0＋a 22－a 22＝0.∴PB ⊥DE ，又EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ， ∴PB ⊥平面EFD .8.三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如下图，截面为A 1B 1C 1，∠BAC ＝90°，A 1A ⊥平面ABC .A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2A 1C 1＝2，D 为BC 中点．求证：平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1. 证明：如图，建立空间直角坐标系，那么A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0，3)，C 1(0,1，3)， ∵D 为BC 的中点， ∴D 点坐标为(1,1,0)．∴1AA ＝(0,0，3)，AD ＝(1,1,0)，BC ＝(－2,2,0)，1CC ＝(0，－1，3)．设平面A 1AD 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面BCC 1B 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·1AA ＝0，n 10，得⎩⎨⎧3z 1＝0，x 1＋y 1＝0.令y 1＝－1，那么x 1＝1，z 1＝0， ∴n 1＝(1，－1,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BC ＝0，n 20，得⎩⎨⎧－2x 2＋2y 2＝0，－y 2＋3z 2＝0.令y 2＝1，那么x 2＝1，z 2＝33， ∴n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，33. ∵n 1·n 2＝1－1＋0＝0，∴n 1⊥n 2. ∴平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.。
高中数学 第二章 空间向量与立体几何本章高效整合课件
空间向量的概念及其运算 1．空间向量及其加减运算 (1)空间向量可以看作是平面向量的推广．它们之间有许 多共同性质．如模、零向量、单位向量、相等向量、相 反向量等都是一致的． (2)空间向量的加减法是用几何方式引入的．向量的加法 满足交换律及结合律．对于加法的平行四边形法则和三 角形法则，以及减法的三角形法则要注意灵活运用．
cos〈a，b〉＝|aa|··b|b|＝ a21＋a1ab221＋＋aa232·b2＋b21＋a3bb322＋b23. ②设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则A→B＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)， |A→B|＝ x2－x12＋y2－y12＋z2－z12.
2．平行与垂直关系的证明 (1)利用向量处理平行问题 空间图形的平行关系包括直线与直线的平行，直
②两向量的数量积 两个非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
③向量的数量积的性质(e是单位向量) ⅰa·a＝a2；ⅳ)|a·b|≤|a||b|.
④向量的数量积满足如下运算律： ⅰ)(λa·b＝λ(a·b)；ⅱ)a·b＝b·a(交换律)； ⅲ)a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．
第 二 章 空间向量与立体几何
本章高效整合
知能整合提升
1．空间向量的概念与运算 (1)空间向量的有关定理 ①共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0， a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. ②共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么 向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有 序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. ③空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面 ，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y， z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}叫做空间 的一个基底．
北师大版数学选修2-1教案：第二章+§3.2空间向量基本定理
科目：教师：授课时间：第周星期年精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
数学 第二章 空间向量与立体几何 2.1 从平面向量到空间向量教案 北师大版选修2 1 教案
从平面向量到空间向量一、设计思路本节是北师大版高中数学选修2-1第二章第一节内容，学生已经学习了平面向量和空间几何体及其点线面位置关系，本章是平面向量的推广和延伸，是解决空间问题的有力工具.学生是学习的主体，本节课注重给学生提供各种参与机会：通过自学，小组讨论，多媒体展示，最大程度地激发学生参与教学的过程.结合教材以及本班学生情况，本节教学内容设计为两个部分，第一部分是向量的概念，着重学生自学与合作后的展示.通过与平面向量的类比，引入空间向量的相应概念：空间向量、向量的表示、自由向量、向量的模、向量，的夹角等.第二部分是向量、直线、平面，主要由教师引导完成教学内容.通过分析向量与直线，向量与平面的位置关系，引入直线l的方向向量，平面 的法向量等概念.通过这两部分的设计，降低学生的理解难度，突出了类比的数学思想方法.二、教学目标1. 知识与技能：(1)了解空间向量的有关概念；(2)掌握两个空间向量的夹角、方向向量和平面的法向量的概念.2. 过程与方法：经历向量从平面到空间推广的过程，分析向量与直线、平面的位置关系，让学生学会类比的数学思想方法.3. 情感与态度：尝试解决问题过程中，让学生树立类比分析、循序渐进解决数学问题的能力；借助直观模型，让学生感受从感性到理性，从具体到抽象的研究问题的方法.三、教学重点及处理设想理解向量的夹角、直线的方向向量、平面的法向量等概念.借助平面向量以及空间平行概念的基础，对向量的概念从维度(二维平面到三维空间)进行推广，可让学生从周围的几何体(长方体模型，教室等)培养学生的空间想象能力. 四、教学难点及处理设想理解共面向量的概念.对于空间两个向量都是共面向量的认同，处理设想为可以借助空间异面直线的概念提出空间两向量是否可能异面的问题，继而结合自由向量和相等向量的概念来解决.五、教学方法导学法，讨论法.六、教学准备学生学案，多媒体课件.七、教学流程设计2.学案导学（学案详见附1）知识要点：(1)空间向量的有关概念空间向量的概念及表示自由向量向量的模(或长度)④向量a,b的夹角、X围及垂直与平行(共线)⑤单位向量⑥零向量⑦相等向量⑧相反向量⑨共面向量(2)向量、直线、平面激励主动学习，培养自主探究能力.(1)对于让学生感受到维度改变(平面到空间)对概念产生的影响，培养类比的意识；对于④⑤⑥⑦⑧让学生感受直接由平面向量类比得到空间向量的相关概念所得到的成就感；对于⑦结合数量适时引出“向量不能比较大小”的结论；对于④直线l的方向向量平面α的法向量适时回顾区分向量与异面直线的夹角概念的区别,对于⑦引出“空间任何两个向量都共面”的结论.(2)对于直线的方向向量与平面的法向量主要由教师随后引导完成概念教学.5.教师引导性讲解向量、直线、平面直线l的方向向量平面 的法向量借助多媒体向同学引入直线的方向向量和平面的法向量的概念，并且完成问题(7)(8).八、教学反思1.《新课程标准》中要求让学生经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，目的是让学生体会数学的思想方法(类比与归纳)，体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题，并尝试如何解决这些问题.同时在这一过程中，也让学生见识一个数学概念的推广可能带来很多更好的性质.掌握空间向量的基本概念及其性质是基本要求.空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，空间向量的基本概念是后续学习的前提，空间向量是平面向量的推广，空间向量及其运算所涉及的内容与平面向量及其运算相似，所以，空间向量的教学要注重知识间的联系，温故而知新，运用类比的方法认识新问题，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.2.教师的教学实际上就是保证和促进学生学习的主动性和知识体系的建构.本节课尝试让学生自主学习，主要过程包括:(1)预习交流——学生按照“学案”进行课前预习或当堂预习交流；(2)小组讨论——根据自学任务小组进行讨论交流，完成预期任务；(3)展示交流——各组根据组内讨论情况，对本组的学习任务进行讲解展示；(4)穿插巩固——在展示过程中，对未能展现的学习任务进行巩固练习.(5)学后反思——对学习过程中的感受进行总结.。
陕西省西安市高中数学 第二章 空间向量与立体几何教案
第二章空间向量与立体几何教材解析本章突出了用空间向量解决立体几何问题的基本思想．需注意：（1）根据问题的特点，以适当的方式（例如构建向量、建立空间直角坐标系）用空间向量表示空间图形中的点、线、面等元素，建立起空间图形与空间向量的联系.（2）通过空间向量的运算，研究相应元素之间的关系（平行、垂直、角和距离等）.（3）对运算结果的几何意义作出解释，从而解决立体几何的问题．（4）通过例题，引导学生对解决立体几何问题的二种方法（向量方法、坐标法）进行比较，分析各自的优势，因题而宜作出适当的选择，从而提高综合运用数学知识解决问题的能力．课时安排2．1 从平面向量到空间向量 1课时2．2 空间向量的运算 1课时2．3 向量的坐标表示和空间向量基本定理 3课时2.3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示2.3.2 空间向量基本定理2.3.3 空间向量运算的坐标表示2．4 用向量讨论垂直与平行 1课时2．5 夹角的计算 3课时2.5.1 直线间的夹角2.5.2 平面间的夹角2.5.3 直线与平面的夹角2．6 距离的计算 1课时小结 1课时§2.1从平面向量到空间向量§2.2空间向量的运算§2.3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示§2.3.2向量基本定理§2.3.3空间向量运算的坐标表示§2.4用向量讨论垂直与平行§2.5.1直线间的夹角授课时间第周星期第节课型讲授新课主备课人李春侠学习目标用向量求直线间的夹角重点难点用向量求直线间的夹角学习过程与方法自主学习：①两直线共面时夹角概念②两直线异面时夹角③精讲互动（1）课本43页例1（2）如图1，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．错误!未找到引用源。
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高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.3 向量的坐标表示和空间向量基本定理教学案 北师大版选修21
§3向量的坐标表示和空间向量基本定理3．1 & 3.2 空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理[对应学生用书P22]学生小李参加某大学自主招生考试，在一楼咨询处小李得知：面试地点由此向东10 m，后向南15 m，然后乘5号电梯到位于6楼的2号学术报告厅参加面试．设e1是向东的单位向量，e2是向南的单位向量，e3是向上的单位向量．问题1：e1，e2，e3有什么关系？提示：两两垂直．问题2：假定每层楼高为3 m，请把面试地点用向量p表示．提示：p＝10e1＋15e2＋15e3.标准正交基与向量坐标(1)标准正交基：在给定的空间直角坐标系中，x轴、y轴、z轴正方向的单位向量i，j，k叫作标准正交基．(2)标准正交分解：设i，j，k为标准正交基，对空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得a＝x i＋y j＋z k，叫作a的标准正交分解．(3)向量的坐标表示：在a的标准正交分解中三元有序实数(x，y，z)叫作空间向量a的坐标，a＝(x，y，z)叫作向量a的坐标表示．(4)向量坐标与投影：①i，j，k为标准正交基，a＝x i＋y j＋z k，那么a·i＝x，a·j＝y，a·k＝z.把x，y，z分别称为向量a在x轴、y轴、z轴正方向上的投影．②向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影．③一般地，若b0为b的单位向量，则称a·b0＝|a|cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影.空间中任给三个向量a，b，c.问题1：什么情况下，向量a，b，c可以作为一个基底？提示：它们不共面时．问题2：若a，b，c是基底，则空间任一向量v都可以由a，b，c表示吗？提示：可以．如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3.其中e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底．a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3表示向量a关于基底e1，e2，e3的分解．空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量a，b，c可以表示出空间任一向量；空间中的基底是不唯一的，空间任意三个不共面的向量均可作为空间向量的基底．[对应学生用书P23][例1] ′，AB＝3，BC＝4，AA′＝6.(1)写出C′的坐标，给出AC'关于i，j，k的分解式；(2)求BD'的坐标．[思路点拨] (1)C ′的坐标(也是AC '的坐标)，即为C ′在x 轴、y 轴、z 轴正方向上的投影，即|OD |，|OB ||OA ′|.(2)写出BD '关于i ，j ，k 的分解式，即可求得BD '的坐标． [精解详析] (1)∵AB ＝3，BC ＝4，AA ′＝6， ∴C ′的坐标为(4,3,6)． ∴AC '＝(4,3,6)＝4i ＋3j ＋6k . (2)BD '＝AD '－AB . ∵AD '＝AD ＋AA '＝4i ＋6k ，∴BD '＝AD '－AB ＝－AB ＋AD ＋AA '＝4i －3j ＋6k ， ∴BD '＝(4，－3,6)． [一点通]1．建立恰当的空间直角坐标系是准确表达空间向量坐标的前提，应充分利用已知图形的特点，寻找三条两两垂直的直线，并分别为x ，y ，z 轴进行建系．2．若表示向量AB 的坐标，只要写出向量AB 关于i ，j ，k 的标准正交分解式，即可得坐标．1．在如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E 1＝14A 1B 1，则1DE 的坐标为________．解析：显然D 为原点，设E 1(x ，y ，z )， 易知x ＝1，y ＝34，z ＝1，∴1DE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34，1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34，12．已知点A 的坐标是(1,2，－1)，且向量OC 与向量OA 关于坐标平面xOy 对称，向量OB 与向量OA 关于x 轴对称，求向量OC 和向量OB 的坐标．解：如图，过A 点作AM ⊥平面xOy 于M ，则直线AM 过点C ，且CM ＝AM ，则点C 的坐标为(1,2,1)，此时OC ＝(1,2,1)，该向量与OA ＝(1,2，－1)关于平面xOy 对称．过A 点作AN ⊥x 轴于N ，则直线AN 过点B ，且BN ＝AN ，则B (1，－2,1)，此时OB ＝(1，－2,1)，该向量与OA 关于x 轴对称．3.在直三棱柱ABO －A1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求DO ，1A B 的坐标．解：(1)∵DO ＝－OD ＝－(1OO ＋1O D ) ＝－[1OO ＋12(OA ＋OB )]＝－1OO －12OA －12OB ＝－4k －2i －j .∴DO ＝(－2，－1，－4)．(2)∵1A B ＝OB －1OA ＝OB －(OA ＋1AA ) ＝OB －OA －1AA ＝2j －4i －4k . ∴1A B ＝(－4,2，－4)．[例2] 如图，已知单位正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′.(1)求向量CA '在CD 上的投影；(2)DC 是单位向量，且垂直于平面ADD ′A ′，求向量CA '在DC 上的投影．[思路点拨] a 在b 上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉，只要求出|a|及〈a ，b 〉即可． [精解详析] (1)法一：向量CA '在CD 上的投影为|CA '|cos 〈CA '，CD 〉，又正方体棱长为1，∴|CA ′|＝12＋12＋12＝3，∴|CA '|＝3，∠DCA ′即为CA '与CD 的夹角，在Rt △A ′CD 中， cos ∠A ′CD ＝13＝33， ∴CA '在CD 上的投影为 |CA '|cos 〈CA '，CD 〉＝3·33＝1. 法二：在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，DC ⊥AD ，〈CA '，CD 〉＝∠DCA ′.∴CA '在CD 上的投影为：|CA '|cos 〈CA '，CD 〉＝|CA '|cos ∠DCA ′＝|CD |＝1. (2)CA '与DC 的夹角为180°－∠A ′CD ， ∴CA '在DC 上的投影为|CA '|cos(180°－∠A ′CD )＝－|CA '|cos ∠D ′CA ＝－1. [一点通]1．求向量a 在向量b 上的投影，可先求出|a|，再求出两个向量a 与b 的夹角，最后计算|a|cos 〈a ，b 〉，即为向量a 在向量b 上的投影，它可正、可负，也可以为零；也可以利用几何图形直观转化求解．2．在确定向量的夹角时要注意向量的方向，如本题中〈CA '，CD 〉与〈CA '，DC 〉是不同的，其和为π.4．已知i ，j ，k 为标准正交基，a ＝i ＋2j ＋3k ，则a 在i 方向上的投影为( ) A ．1 B ．－1 C.14D ．－14解析：a·i ＝|a||i |cos 〈a ，i 〉， ∴|a |cos 〈a ，i 〉＝a·i|i|＝(i ＋2j ＋3k )·i ＝1. 答案：A5.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝AA 1＝2，则向量1AC 在向量1AD 上的投影为________．解析：1AC 在1AD 上的投影为|1AC |cos 〈1AC ，1AD 〉， 而|1AC |＝42＋22＋22＝26，在Rt △AD 1C 1中，cos ∠D 1AC 1＝|AD 1||AC 1|＝33，∴|1AC |cos 〈1AC ，1AD 〉＝2 2. 答案：2 2[例3] 如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.(1)证明A ，E ，C 1，F 四点共面；(2)若EF ＝x AB ＋y AD ＋z 1AA ，求x ＋y ＋z .[思路点拨] 要证明四点共面只需证明1AC 可用AE ，AF 表示即可；第(2)问中求x ＋y ＋z 只需先把EF 用AB ，AD ，1AA 表示出来，求出x ，y ，z ，再求x ＋y ＋z .[精解详析] (1)证明：1AC ＝AE ＋1EC ，又1EC ＝1EB ＋11B C ＝231BB ＋11B C ＝231AA ＋AD ，AF ＝AD ＋DF ＝AD ＋231DD ＝AD ＋231AA ， ∴1EC ＝AF ， ∴1AC ＝AE ＋AF ， ∴A ，E ，C 1，F 四点共面． (2)∵EF ＝AF －AE ＝AD ＋DF －(AB ＋BE ) ＝AD ＋231DD －AB －131BB＝－AB ＋AD ＋131AA ，∴x ＝－1，y ＝1，z ＝13.∴x ＋y ＋z ＝13.[一点通]1．空间向量基本定理是指用空间三个不共面的已知向量a ，b ，c 构成的向量组{a ，b ，c }可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．2．利用空间的一个基底a ，b ，c 可以表示出所有向量，注意结合图形，灵活应用三角形法则、平行四边形法则，及向量的数乘运算，表示要彻底，结果只含有a ，b ，c ，不能再有其他向量．6．O ，A ，B ，C 为空间四边形的四个顶点，点M ，N 分别是边OA ，BC 的中点，且OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，且a ，b ，c 表示MN 为( )A.12(c ＋b －a ) B.12(a ＋b －c ) C.12(a －b ＋c ) D.12(a ＋b ＋c ) 解析：MN ＝MO ＋ON ＝－12OA ＋12(OB ＋OC )＝12(OB ＋OC －OA )＝12(b ＋c－a )．答案：A7．已知e 1，e 2，e 3是空间中不共面的三个向量，且a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3＝α a ＋β b ＋γ c ，则α＋2β＋γ＝________.解析：∵a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3＝α a ＋β b ＋γ c ，∴e 1＋2e 2＋3e 3＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋γ＝1，α＋β－γ＝2，α－β＋γ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧α＝52，β＝－1，γ＝－12.∴α＋2β＋γ＝0. 答案：08．如图所示，已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，且1AA ＝a ，AB ＝b ，AD ＝c ，用a ，b ，c 表示如下向量：(1) 1A C ；(2)BG (G 在B 1D 1上且1B G ＝121GD )．解：(1)1A C ＝AC －1AA ＝AB ＋AD －1AA ＝－a ＋b ＋c . (2)BG ＝1BB ＋1B G ，又1B G ＝1311B D ＝13(11B A ＋11A D )＝13(AD －AB )＝13(c －b )， ∴BG ＝a －13b ＋13c .1．空间任一点P 的坐标的确定：过P 作面xOy 的垂线，垂足为P ′.在平面xOy 中，过P ′分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A ，C ，则|x |＝|P ′C |，|y |＝|AP ′|，|z |＝|PP ′|.2．空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底，基底中的三个向量e 1，e 2，e 3都不是0.3．空间中任一向量可用空间中不共面的三个向量来唯一表示．4．点A (a ，b ，c )关于x 轴、y 轴、z 轴对称点的坐标分别为(a ，－b ，－c )，(－a ，b ，－c )，(－a ，－b ，c )；它关于xOy 面、xOz 面、yOz 面、原点对称点的坐标分别为(a ，b ，－c )，(a ，－b ，c )，(－a ，b ，c )，(－a ，－b ，－c )．[对应课时跟踪训练七1．在以下三个命题中，真命题的个数是( )①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面；②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线； ③若a ，b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则a ，b ，c 构成空间的一个基底．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：③中向量a ，b ，c 共面，故a ，b ，c 不能构成空间向量的一个基底，①②均正确． 答案：C2．如图，已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E 是平面A ′B ′C ′D ′的中心，a ＝12AA '，b ＝12AB ，c ＝13AD ，AE ＝x a ＋y b ＋z c ，则( )A ．x ＝2，y ＝1，z ＝32B ．x ＝2，y ＝12，z ＝12C ．x ＝12，y ＝12，z ＝1D ．x ＝12，y ＝12，z ＝32解析：AE ＝AA '＋A E '＝AA '＋12(A B ''＋A ′D ′―→)＝2a ＋b ＋32c .答案：A3．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，则1AB 在1CB 上的投影为( )A ．－22B.22C ．－ 2 D. 2解析：∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1， ∴|1AB |＝2，|AC |＝2，|1B C |＝ 2. ∴△AB 1C 是等边三角形．∴1AB 在1CB 上的投影为|1AB |cos 〈1AB ，1CB 〉＝2×cos 60°＝22. 答案：B4．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是面BB 1C 1C 的中心，且1AA ＝a ，AB ＝b ，AC ＝c ，则1A D ＝( )A.12a ＋12b ＋12cB.12a －12b ＋12c C.12a ＋12b －12c D ．－12a ＋12b ＋12c解析：1A D ＝11A C ＋1C D ＝AC ＋12(1C C ＋11C B )＝c ＋12(－1AA ＋CA ＋AB )＝c －12a ＋12(－c )＋12b＝－12a ＋12b ＋12c .答案：D5．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝1，CC 1＝1，则1AC 在BA 上的投影是________．解析：1AC 在BA 上的投影为|1AC |cos 〈1AC ，BA 〉， 在△ABC 1中， cos ∠BAC 1 ＝|AB ||AC 1|＝222＋12＋12＝26＝63， 又|1AC |＝ 6.∴|1AC |cos 〈1AC ·BA 〉＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－63＝－2. 答案：－26．在三棱锥O －ABC 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝________(用a ，b ，c 表示)．解析：如图，OE ＝OA ＋AE ＝OA ＋12AD ＝OA ＋14(AB ＋AC )＝OA ＋14(OB －OA ＋OC －OA )．＝12OA ＋14OB ＋14OC ＝12a ＋14b ＋14c . 答案：12a ＋14b ＋14c7．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为1的正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出A ，B ，C ，D ，A 1，B 1，C 1，D 1各点的坐标，并写出DA ，DB ，DC ，1DC ，1DD ，1DA ，1DB 的坐标表示．解：∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，∴A (1,0,0), B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)．∴DA ＝(1,0,0)，DB ＝(1,1,0)，DC ＝(0,1,0)，1DC ＝ (0,1,1)，1DD ＝(0,0,1)，1DA ＝(1,0,1)，1DB ＝(1,1,1)．8．如下图，已知PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，G 为△PDC 的重心，AB ＝i ，AD ＝j ，AP ＝k ，试用基底i ，j ，k 表示向量PG ，BG .解：∵G 是△PDC 的重心， ∴PG ＝23PN ＝13(PD ＋PC )＝13(PA ＋AD ＋PA ＋AB ＋BC ) ＝13(－k ＋j －k ＋i ＋j )＝13i ＋23j －23k ， BG ＝BA ＋AP ＋PG＝－i ＋k ＋13i ＋23j －23k＝－23i ＋23j ＋13k .3．3 空间向量运算的坐标表示[对应学生用书P25]2014年2月，济青高速临沂段发生交通事故，一辆中型车严重变形，驾驶员被困车内，消防官兵紧急破拆施救．为防止救援造成的二次伤害，现从3个方向用力拉动驾驶室门，这3个力两两垂直，其大小分别为|F1|＝300 N，|F2|＝200 N，|F3|＝200 3 N.问题1：若以F1，F2，F3的方向分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，驾驶室门受到的力的坐标是什么？提示：(300,200,2003)．问题2：驾驶室门受到的合力有多大？提示：|F|＝500 N.空间向量的坐标运算若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)；(2)a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)；(3)λa＝(λx1，λy1，λz1)；(4)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；(5)a∥b⇔a＝λb⇔x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)；(6)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0；(7)|a|＝a·a＝x21＋y21＋z21；(8)cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2＋z1z2x21＋y21＋z21x22＋y22＋z22.若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．1．空间向量的加、减、数乘的坐标运算仍是坐标，数量积的运算是实数．2．利用空间向量的坐标可以解决向量的模、夹角、向量的平行与垂直等问题．[对应学生用书P25][例1] 已知a.[思路点拨] 空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和．[精解详析] 2a ＋3b ＝(6,10，－8)＋(6,6,24)＝(12,16,16)，3a －2b ＝(9,15，－12)－(4,4,16)＝(5,11，－28)， a·b ＝3×2＋5×2－4×8＝－16.[一点通]空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算类似，两个向量的加、减、数乘运算就是向量的横坐标、纵坐标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算；空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．1．已知a ＝(1,0，－1)，b ＝(1，－2,2)，c ＝(－2,3，－1)，那么向量a －b ＋2c ＝( ) A ．(0,1,2) B ．(4，－5,5) C ．(－4,8，－5)D ．(2，－5,4)解析：a －b ＋2c ＝(1－1－2×2,0＋2＋6，－1－2－2)＝(－4,8，－5)． 答案：C2．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求P 点坐标，使(1)OP ＝12(AB －AC )；(2)AP ＝12(AB －AC )．解：AB ＝(2,6，－3)，AC ＝(－4,3,1)． (1)OP ＝12(6,3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2， 则P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2；(2)设P 为(x ，y ，z )，则AP ＝(x －2，y ＋1，z －2)＝12(AB －AC )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2，所以x ＝5，y ＝12，z ＝0，即P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，0. 3．已知向量a ＝(1，－2,4)，求同时满足以下三个条件的向量c ：(1)a·c ＝0；(2)|c |＝10；(3)c 与向量b ＝(1,0,0)垂直． 解：设c ＝(x ，y ，z )，由三个条件得⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4z ＝0，x 2＋y 2＋z 2＝100，x ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝45，z ＝25或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－45，z ＝－25.∴c ＝(0,45，25)或(0，－45，－25)．[例1111DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．过B 作BM ⊥AC 1于M ，求点M 的坐标．[思路点拨] 写出A ，B ，C 1的坐标，设出M 的坐标，利用条件BM ⊥AC 1及M 在AC 1上建立方程组，求解．[精解详析] 法一：设M (x ，y ，z )，由图可知：A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C 1(0，a ，a )，则1AC ＝(－a ，a ，a )，AM ＝(x －a ，y ，z )，BM ＝(x －a ，y －a ，z )．∵BM ⊥1AC ，∴BM ·1AC ＝0， ∴－a (x －a )＋a (y －a )＋az ＝0， 即x －y －z ＝0.①又∵1AC ∥AM ，∴x －a ＝－λa ，y ＝λa ，z ＝λa ， 即x ＝a －λa ，y ＝λa ，z ＝λa .② 由①②得x ＝2a 3，y ＝a 3，z ＝a3.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3. 法二：设AM ＝λ1AC ＝(－a λ，a λ，a λ)， ∴BM ＝BA ＋AM ＝(0，－a,0)＋(－a λ，a λ，a λ) ＝(－a λ，a λ－a ，a λ)． ∵BM ⊥AC 1， ∴BM ·1AC ＝0即a 2λ＋a 2λ－a 2＋a 2λ＝0，解得λ＝13，∴AM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，a 3，a 3，DM ＝DA ＋AM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3.∴M 点坐标(2a 3，a 3，a3)．[一点通]用坐标运算解决向量平行、垂直有关问题，要注意以下两个等价关系的应用： (1)若a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)(b 为非零向量)，则a ∥b ⇔x 1＝λx 2，且y 1＝λy 2且z 1＝λz 2(λ∈R )．若b ＝0时，必有a∥b ，必要时应对b 是否为0进行讨论．(2)a⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0.4．已知a ＝(1，－5,6)，b ＝(0,6,5)，则a 与b ( ) A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向D ．平行且反向解析：a·b ＝0－30＋30＝0，∴a⊥b . 答案：A5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，F 是DC 的中点，求证：AD ⊥D 1F .证明：建立空间直角坐标系如图，不妨设正方体的棱长为1，则有D (0,0,0)，A (1,0,0)，D 1(0,0,1)，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，0.∴AD ＝(－1,0,0)，1D F ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－1. ∴AD ·1D F ＝(－1,0,0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－1＝0. ∴AD ⊥D 1F .6．已知a ＝(1，x,1－x )，b ＝(1－x 2，－3x ，x ＋1)，求满足下列条件时，实数x 的值． (1)a∥b ；(2)a⊥b .解：(1)①当x ＝0时，a ＝(1,0,1)，b ＝(1,0,1)，a ＝b ， ∴x ＝0，满足a∥b ；②当x ＝1时，a ＝(1,1,0)，b ＝(0，－3,2)， 此时a 不平行b ，∴x ≠1. ③当x ≠0且x ≠1时，由a∥b ⇔1－x 21＝－3x x ＝x ＋11－x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＝－3，x ＋11－x ＝－3⇔x ＝2.综上所述，当x ＝0或2时，a∥b . (2)∵a⊥b ⇔a·b ＝0⇔(1，x,1－x )·(1－x 2，－3x ，x ＋1)＝0⇔1－x 2－3x 2＋1－x 2＝0，解得x ＝±105.[例1111N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求cos 〈1BA ，1CB 〉的值．[思路点拨] CA ，CB ，CC 1两两垂直，可由此建立空间直角坐标系，利用坐标运算求解向量的模及夹角．[精解详析] 以C 为原点，以CA ，CB ，1CC 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系．(1)依题意，得B (0,1,0)，N (1,0,1)，BN ＝(1，－1,1)， ∴|BN |＝ 3.(2)依题意，得A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)． ∴1BA ＝(1，－1,2)，1CB ＝(0,1,2)， ∴1BA ·1CB ＝3，|1BA |＝6，|1CB |＝ 5.∴cos 〈1BA ，1CB 〉＝1BA ·1CB | 1BA ||1CB |＝3010.[一点通]在几何体中建立空间直角坐标系时，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量的坐标运算，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．7．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，求AB 与CA 的夹角． 解：AB ＝(－2，－1,3)，CA ＝(－1,3，－2)， |AB |＝4＋1＋9＝14，|CA |＝1＋9＋4＝14，AB ·CA ＝2－3－6＝－7，∴cos 〈AB ，CA 〉＝AB ―→·CA ―→|AB ―→||CA ―→|＝－714×14＝－12.∵〈AB ，CA 〉∈[0，π]，∴〈AB ，CA 〉＝2π3.8．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点．(1)求证：EF ⊥B 1C ；(2)求EF 与C 1G 所成角的余弦值； (3)求FH 的长．解：如图所示，建立空间直角坐标系D －xyz ，D 为坐标原点，则有E ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，F ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0，C (0,1,0)，C 1(0,1,1)，B 1(1,1,1)，G ⎝⎛⎭⎪⎫0，34，0.(1)证明：EF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0－⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，－12， 1B C ＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)，∴EF ·1B C ＝12×(－1)＋12×0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×(－1)＝0，∴EF ⊥1B C ，即EF ⊥B 1C .(2)∵1C G ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0－(0,1,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，－1，∴|1C G |＝174. 又∵EF ·1C G ＝12×0＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×(－1)＝38，|EF |＝32.∴cos 〈EF ，1C G 〉＝EF ·1C G|EF ||1C G |＝5117.即异面直线EF 与C 1G 所成角的余弦值为5117. (3)∵F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12， ∴FH ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，38，12. ∴|FH |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫382＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝418. 故FH 的长为418.1．空间向量加法、减法、数乘、数量积、平行、垂直、夹角的坐标表示都类似于平面向量，要类比记忆与理解．2．空间向量的坐标运算，关键是要建立恰当的空间直角坐标系，然后利用有关公式求解．要注意总结在长方体、直三棱柱、正三棱柱、正四棱锥等特殊几何体中建立空间直角坐标系的规律．3．利用向量的坐标运算可证明向量的垂直与平行问题，利用向量的夹角公式和距离公式可求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题．[对应课时跟踪训练八1．下列各组向量中不平行的是( ) A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4) B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0) C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0) D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16，－24,40)解析：对D 中向量g ，h ，16－2＝－243≠405，故g ，h 不平行．答案：D2．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，若(a ＋b )⊥c ，则x ＝( ) A ．4 B ．－4 C.12D ．－6解析：∵a ＋b ＝(－2,1,3＋x )且(a ＋b )⊥c ， ∴－2－x ＋6＋2x ＝0，∴x ＝－4. 答案：B3．若a ＝(1，λ，－1)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 的夹角的余弦为19，则|a |＝( )A.94B.102C.32D. 6解析：因为a·b ＝1×2＋λ×(－1)＋(－1)×2＝－λ，又因为a·b ＝|a||b |·cos〈a ，b 〉＝2＋λ2×9×19＝13 2＋λ2，所以132＋λ2＝－λ.解得λ2＝14，所以|a |＝ 1＋14＋1＝32. 答案：C4.如图，在空间直角坐标系中有四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝2，E 为PD 的中点，则|BE |＝( ) A ．2 B. 5 C. 6 D ．2 2 解析：由题意可得B (2,0,0)，E (0,1,1)，则BE ＝(－2,1,1)，|BE |＝ 6. 答案：C5．已知向量a ＝(－1,0,1)，b ＝(1,2,3)，k ∈R ，若k a －b 与b 垂直，则k ＝________. 解析：因为(k a －b )⊥b ，所以(k a －b )·b ＝0，所以k a·b －|b |2＝0，所以k (－1×1＋0×2＋1×3)－(12＋22＋32)2＝0，解得k ＝7.答案：76．若空间三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (p,3，q ＋2)共线， 则p ＝________，q ＝________.解析：由A ，B ，C 三点共线，则有AB 与AC 共线，即AB ＝λAC .又AB ＝(1，－1,3)，AC ＝(p －1，－2，q ＋4)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝λp －，－1＝－2λ，3＝λq ＋所以⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝12，p ＝3，q ＝2.答案：3 2 7．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,2)，问是否存在实数x ，y ，使得AC ＝x AB ＋y BC成立？若存在，求x ，y 的值．解：∵AB ＝(－1,1,0)，AC ＝(－1,0,2)，BC ＝(0，－1,2)．假设存在x ，y ∈R 满足条件，由已知得(－1,0,2)＝x (－1,1,0)＋y (0，－1,2)，即(－1,0,2)＝(－x ，x,0)＋(0，－y,2y )＝(－x ，x －y,2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1＝－x ，0＝x －y ，2＝2y ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1.即存在实数x ＝1，y ＝1使结论成立．8．如图，在长方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，|OA |＝2，|AB |＝3，|1AA |＝2，E 为BC 的中点．(1)求1AO 与1B E 所成角的余弦值；(2)作O 1D ⊥AC 于D ，求O 1D 的长．解：建立如图所示的空间直角坐标系．(1)由已知得A (2,0,0)，O 1(0,0,2)，B 1(2,3,2)，E (1,3,0)，所以1AO ＝(－2,0,2)，1B E ＝(－1,0，－2)，所以cos 〈1AO ，1B E 〉＝1AO ·1B E| 1AO ||1B E |＝－2210＝－1010. (2)因为1O D ⊥AC ，AD ∥AC ，而C (0,3,0)，设D (x ，y,0)，则1O D ＝(x ，y ，－2)，AD ＝(x －2，y,0)，AC ＝(－2,3,0)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋3y ＝0，x －2－2＝y 3⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1813，y ＝1213. 所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1813，1213，0，所以O 1D ＝|1O D |＝228613.。
高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.2 空间向量及其运算教案 北师大版选修2-1-北师大版高二
空间向量及其运算【教学目标】1.和平面向量类比理解空间向量的概念、运算；2.掌握空间向量的共线、垂直的条件，理解空间向量基本定理和数量积【知识梳理】复习：平面向量有加减以及数乘向量运算1. 空间向量的加法和减法的运算法则有法则和法则.2.空间向量的数乘：实数λ与向量a 的积是一个量，记作，其长度和方向规定如下：(1)|λa |＝.(2)当λ＞0时，λa 与a. ；当λ＜0时，λa 与a. ；当λ＝0时，λa ＝.(3)共线向量定理：对空间任意两个向量a ， b (b ≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .3. 空间向量加法和数乘向量，以下运算律仍然成立：加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 数乘交换律: λa=a λ加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ）数乘结合律：a a )()(λμμλ=数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb a a a μλμλ+=+)(小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． 例3三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G是△ABC 的重心，用基向量OA →，OB →，OC →表示MG →，OG →.追踪训练1.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则用向量a ，b ，c 可表示向量BD 1→等于( )A ．a ＋b ＋cB ．a －b ＋cC ．a ＋b －cD ．－a ＋b ＋c2．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是( )A ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a·b ＝a·c ，则b ＝c 5．3.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则( )A.EF →＋GH →＋PQ →＝0B.EF →－GH →－PQ →＝0C.EF →＋GH →－PQ →＝0D.EF →－GH →＋PQ →＝04.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为BD 1→的是( )①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5. 如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1中，ABCD 是平行四边形．若AE →＝12EC →，A 1F →＝2FD →，若AB →＝b ，AD →＝c ，AA 1→＝a ，试用a ，b ，c 表示EF →.。
高中数学 第二章 空间向量与立体几何教案 北师大版选修2-1
第二章空间向量与立体几何§1从平面向量到空间向量(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解空间向量的概念．(2)掌握空间向量的两种表示法．(3)掌握两个空间向量的夹角、空间向量的方向向量和平面的法向量的概念．2．过程与方法通过从平面向量到空间向量的教学，掌握类比的学习方法，培养学生迁移的能力．3．情感、态度与价值观学会用发展的眼光看问题，会用联系的观点看待事物．●重点难点重点：使学生理解两空间向量的夹角、直线的方向向量、平面的法向量等概念．难点：准确找出已知平面的法向量．对于空间向量的有关概念，可通过与平面向量的相应概念的类比进行教学．对于本节课的难点，则可设置一些递进式的问题，采用启发、诱导、合作探究的方式，引导学生分析比较，在探索中，总结寻找平面法向量的方法．(教师用书独具)●教学建议在教学中，可采用以问题为主线，以小组合作探究为主体，学生自我展示、老师适当点拨为辅助的教学模式：本节课的核心是空间向量相关概念的生成，在教学中，应始终渗透一种由已知类比探究未知，由特殊到一般的认识事物的方法；通过问题设置让学生主动参于、积极思考、认真探究，积极引导他们学会合作与交流，进而逐步将知识内化为自身的认知结构．●教学流程通过类比引入概念⇒通过概括形成概念⇒通过辨析深化概念⇒通过例题应用概念⇒反馈矫正归纳小结课标解读1.了解空间向量的有关概念．(重点)2．理解直线的方向向量和平面的法向量．(重点)3．会求简单空间向量的夹角．(难点)空间向量的概念1．空间中任意两个向量是共面向量吗？【提示】是．2．问题1中的结论，对你学习空间向量有什么启发？【提示】由问题1的结论可知，空间向量的平行、垂直、夹角等概念应与平面向量中相应概念的定义相同．空间向量的概念定义在空间中，既有大小又有方向的量，叫作空间向量表示方法①用有向线段AB →表示，A 叫作向量的起点，B 叫作向量的终点 ②用 a\s\up12(→)), b\s\up12(→)), c\s\up12(→))或a ，b ，c表示自由向量数学中所讨论的向量与向量的起点无关，称之为自由向量长度或模 与平面向量一样，空间向量AB →或a 的大小也叫作向量的长度或模，用|AB →|或|a |表示夹角定义如图，两非零向量a ，b ，过空间中任意一点O ，作向量a ，b 的相等向量OA →和OB →，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉范围 规定0≤〈a ，b 〉≤π向量垂直 当〈a ，b 〉＝π2时，向量a 与b 垂直，记作a ⊥b向量平行当〈a ，b 〉＝0或π时，向量a 与b 平行，记作a ∥b向量与直线、平面【问题导思】1．给定空间中任意一点A 和非零向量a ，可以确定唯一一条过点A 且平行于向量a 的直线吗？可以确定唯一一条过点A 且垂直于向量a 的直线吗？【提示】 可以，不可以．2．给定空间中任意一点A 和非零向量a ，可以确定唯一一个过点A 且垂直于向量a 的平面吗？可以确定唯一一个过点A 且平行于向量a 的平面吗？【提示】 可以，不可以． 1．直线的方向向量设l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB →为直线l 的方向向量． 2．平面的法向量如果直线l 垂直于平面α，那么把直线l 的方向向量a 叫作平面α的法向量.空间向量的有关概念 图2－1－1如图2－1－1所示，在正六棱柱ABCDEF －A ′B ′C ′D ′E ′F ′中，(1)与AB →相等的向量有哪些？ (2)BD →与E ′A ′→是相反向量吗？ (3)与AD →平行的向量有多少个？【思路探究】 根据正六棱柱的结构特征，分析各线段的相互关系，从而得到向量之间的关系．【自主解答】 (1)CD →，A ′B ′→，E ′D ′→. (2)是 (3)11个．以几何体为载体给出向量时，要注意结合几何体的结构特征来分析向量之间的关系．图2－1－2如图2－1－2所示已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′. (1)写出与BB ′→相等的向量；(2)写出与AB →相反的向量； (3)与AB →平行的向量共有多少个？ 【解】 (1)AA ′→，CC ′→，DD ′→. (2)BA →，CD →，C ′D ′→，B ′A ′→. (3)7个．直线的方向向量与平面的法向量 图2－1－3如图2－1－3所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，(1)分别给出直线AA 1，BD 的一个方向向量；(2)分别给出平面ADD 1A 1，平面BB 1D 1D 的一个法向量． 【思路探究】 根据方向向量与法向量的定义直按写出即可．【自主解答】 (1)直线AA 1的一个方向向量可为BB 1→、AA 1→、CC 1→、DD 1→、A 1A →、B 1B →、C 1C →、D 1D →中的任一个，直线BD 的一个方向向量可为B 1D 1→、BD →、DB →、D 1B 1→中的任一个．(2)平面ADD 1A 1的一个法向量可为AB →、DC →、A 1B 1→、D 1C 1→、BA →、CD →、B 1A 1→、C 1D 1→中的任一个． 平面BB 1D 1D 的一个法向量可为AC →、CA →、A 1C 1→、C 1A 1→中的任一个．找直线的方向向量要注意几何体中的平行关系；找平面的法向量要注意几何体中的垂直关系，特别是线面垂直关系．根据例2的条件，写出平面AB 1C 的一个法向量．【解】 如图，直线BD 1垂直于平面AB 1C ，即一个法向量为BD 1→.求空间向量的夹角 图2－1－4如图2－1－4在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中． (1)求〈BA 1→，CC 1→〉； (2)求〈BA 1→，B 1C 1→〉； (3)求〈BA 1→，AD 1→〉．【思路探究】 平移向量，使它们的起点相同，然后在三角形中求角．【自主解答】 (1)∵CC 1→∥BB 1→， ∴∠A 1BB 1为BA 1→，CC 1→所成的角， 在Rt △A 1BB 1中，A 1B 1＝B 1B ，∴∠A 1BB 1＝45°，即〈BA 1→，CC 1→〉＝45°. (2)∵B 1C 1→∥BC →，∴∠A 1BC 为BA 1→，B 1C 1→所成的角，又∵BC ⊥面A 1ABB 1，BA 1面A 1ABB 1，∴BC ⊥BA 1，即∠A 1BC ＝90°，∴〈BA 1→，B 1C 1→〉＝90°.(3)∵AD 1→∥BC 1→，∴∠A 1BC 1为BA 1→与AD 1→所成的角，在△A 1BC 1中，A 1B ＝BC 1＝A 1C 1.∴∠A 1BC 1＝60°，即〈BA 1→，AD 1→〉＝60°.1．解答本题的关键是平移向量，使它们的起点相同．2．求两个向量的夹角和求两条异面直线所成的角比较相似，就是采取平移的方法找到一个与另一向量相交的共线向量，进而转化为同一平面内的两条相交直线所成的角进行求解，在平移的过程中，要充分利用已知图形的特点，寻找线线平行，找出所求的角，这一过程可简单总结为：(1)找角，(2)在三角形中求角．3．在利用平面角求向量角时，要注意两种角的取值范围，线线角的范围是[0，π2]，而向量夹角的范围是[0，π]，比如〈a ，b 〉与〈－a ，b 〉两个角互补，而它们对应的线线角却是相等的．在本例中求(1)〈BA 1→，D 1C →〉； (2)〈BA 1→，D 1A →〉； (3)〈BA 1→，DA →〉．【解】 (1)BA 1→∥D 1C →，且BA 1→与D 1C →反向， ∴〈BA 1→，D 1C →〉＝π.(2)∵AD 1→∥BC 1→，且D 1A →与BC 1→反向， ∴〈BA 1→，D 1A →〉＝π－∠A 1BC 1，由例题知∠A 1BC 1＝π3，∴〈BA 1→，D 1A →〉＝2π3.(3)∵DA ⊥面A 1ABB 1，BA 1面A 1BB 1， ∴DA ⊥BA 1， ∴〈BA 1→，DA →〉＝π2.因思维定势致误在空间中，把单位向量的始点放置于同一点，则终点构成的图形是( )A ．点B ．直线C ．圆D ．球面【错解】 由于单位向量的模为单位长度，由圆的定义知：应选C. 【答案】 C【错因分析】 没考虑到空间与平面的不同，造成错误．【防范措施】 空间比平面多了一维，对于在平面向量中成立的结论，在空间中不一定成立．在学习空间向量时，要注意这一点．【正解】 由于单位向量的模为单位长度，由球面的定义知：应选D ． 【答案】 D1．在数学中所研究的向量是与起点无关的自由向量，可以设法将向量平移到同一起点上，然后再研究向量之间的夹角问题，如例3.2．若要证明一个向量是一条直线的方向向量，只要证明向量所在直线与直线平行即可；若要证明一个向量是一个平面的法向量，只要证明向量所在直线垂直于平面即可.1．若空间任意两个非零向量a ，b ，则|a |＝|b |，且a ∥b 是a ＝b 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】 a ＝b ⇒|a |＝|b |，且a ∥b ；所以，必要；当b ＝－a 时，有|a |＝|b |且a ∥b ，但a ≠b ，所以，不充分．故选B ．【答案】 B图2－1－52．在正四面体A －BCD 中，如图2－1－5，〈AB →，DA →〉等于( ) A ．45° B ．60° C ．120°D ．90° 【解析】 〈AB →，DA →〉＝180°－ 〈AB →，AD →〉＝180°－60°＝120°.【答案】 C3．当两个平面平行时，它们的法向量________；当两个平面垂直时，它们的法向量________．【解析】 由于平面与其法向量垂直，所以，当两个平面平行时，它们的法向量平行；当两个平面垂直时，它们的法向量垂直．【答案】 平行 垂直图2－1－64．如图2－1－6在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中(1)给出平面ABC 1D 1的一个法向量；(2)试求〈C 1C →，AD 1→〉．【解】 (1)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， ∵AB ⊥平面AA 1D 1D ，A 1D 平面AA 1D 1D ， ∴AB ⊥A 1D ，又AD 1⊥A 1D ，AD 1∩AB ＝A ， ∴A 1D ⊥平面ABC 1D 1， ∴A 1D →是平面ABC 1D 1的一个法向量．(2)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，〈D 1D →，D 1A →〉＝45°， 又C 1C →＝D 1D →，∴〈C 1C →，D 1A →〉＝45°，∴〈C 1C →，AD 1→〉＝135°. 一、选择题1．若空间向量a 与b 不相等，则a 与b 一定( ) A ．有不同的方向B ．有不相等的模C ．不可能是平行向量D ．不可能都是零向量【解析】 若a ＝0，b ＝0，则a ＝b ，这与已知矛盾，故选D ．【答案】 D图2－1－72．如图2－1－7所示，已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，在下列选项中，CD →的相反向量是( )A.BA → B ．A 1C 1→C.A 1B 1→D ．AA 1→【解析】 由相反向量的定义可知，A 1B 1→是CD →的相反向量． 【答案】 C图2－1－83．在如图2－1－8所示的正三棱柱中，与〈AB →，AC →〉相等的是( ) A ．〈AB →，BC →〉 B ．〈BC →，CA →〉 C ．〈C 1B 1→，AC →〉 D ．〈BC →，B 1A 1→〉【解析】 ∵B 1A 1→＝BA →，∴〈BA →，BC →〉＝〈AB →，AC →〉＝〈BC →，B 1A 1→〉＝60°，故选D ． 【答案】 D4．在正三棱锥A BCD 中，E 、F 分别为棱AB ，CD 的中点，设〈EF →，AC →〉＝α，〈EF →，BD →〉＝β，则α＋β等于( )A.π6B ．π4C.π3 D ．π2【解析】 如图，取BC 的中点G ，连接EG 、FG ， 则EG ∥AC ，FG ∥BD ， 故∠FEG ＝α，∠EFG ＝β. ∵A －BCD 是正三棱锥， ∴AC ⊥BD ．∴EG ⊥FG ，即∠EGF ＝π2.∴α＋β＝∠FEG ＋∠EFG ＝π2. 【答案】 D5．如图2－1－9所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点为向量端点的所有向量中，直线AB 的方向向量有( )图2－1－9A ．8个B ．7个C ．6个D ．5个【解析】 与向量AB →平行的向量就是直线AB 的方向向量，有AB →，BA →，A 1B 1→，B 1A 1→，C 1D 1→，D 1C 1→，CD →，DC →，共8个，故选A.【答案】 A 二、填空题6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则向量CE →和BD →的夹角为________． 【解析】 ∵BD →为平面ACC 1A 1的法向量，而CE 在平面ACC 1A 1中， ∴BD →⊥CE →.∴〈BD →，CE →〉＝90°. 【答案】 90°7．下列命题正确的序号是________． ①若a ∥b ，〈b ，c 〉＝π4，则〈a ，c 〉＝π4.②若a ，b 是同一个平面的两个法向量，则a ＝B ． ③若空间向量a ，b ，c 满足a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . ④异面直线的方向向量不共线．【解析】 ①〈a ，c 〉＝π4或3π4，①错；②a ∥b ；②错；③当c ＝0时，推不出a ∥c ，③错；④由于异面直线既不平行也不重合，所以它们的方向向量不共线，④对． 【答案】 ④8．在棱长为1的正方体中，S 表示所有顶点的集合，向量的集合P ＝{a |a ＝P 1P 2→，P 1，P 2∈S }，则在集合P 中模为3的向量的个数为________．【解析】 由棱长为1的正方体的四条体对角线长均为3知：在集合P 中模为3的向量的个数为8.【答案】 8 三、解答题图2－1－109．如图2－1－10所示，在长、宽、高分别为AB ＝3、AD ＝2、AA 1＝1的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，(1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为5的所有向量； (3)试写出与AB →相等的所有向量．【解】 (1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →，CC 1→，C 1C →，DD 1→，D 1D →这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD 1→，D 1A →，A 1D →，DA 1→，BC 1→，C 1B →，B 1C →，CB 1→共8个．(3)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)共有A 1B 1→，DC →及D 1C 1→3个．图2－1－1110．如图2－1－11所示，正四棱锥S －ABCD 中，O 为底面中心，求平面SBD 的法向量与AD →的夹角．【解】 ∵正四棱锥底面为正方形， ∴BD ⊥AC ，SO ⊥AC 又∵BD ∩SO ＝O ∴AC ⊥平面SBD ．∴AC →为平面SBD 的一个法向量．∴〈AC →，AD →〉＝45°.图2－1－1211．如图2－1－12，四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形且PD ＝AD ，E 、F 分别是PC 、PB 的中点．(1)试以F 为起点作直线DE 的一个方向向量； (2)试以F 为起点作平面PBC 的一个法向量． 【解】 (1)取AD 的中点M ，连接MF ，连接EF ，∵E 、F 分别是PC 、PB 的中点，∴EF 綊12BC ，又BC 綊AD ，∴EF 綊12AD ，则由EF 綊DM 知四边形DEFM 是平行四边形， ∴MF ∥DE ，∴FM →就是直线DE 的一个方向向量． (2)∵PD ⊥平面ABCD ， ∴PD ⊥BC ， 又BC ⊥CD ， ∴BC ⊥平面PCD ， ∵DE 平面PCD ，∴DE ⊥BC ，又PD ＝CD ，E 为PC 中点， ∴DE ⊥PC ，从而DE ⊥平面PBC ，∴DE →是平面PBC 的一个法向量，由(1)可知FM →＝ED →， ∴FM →就是平面PBC 的一个法向量.(教师用书独具)判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．①若非零向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上； ②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB →＝DC →； ⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．【思路探究】 明确共线向量的定义；掌握单位向量的含义；理解零向量的特征． 【自主解答】 ①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →，CD →在同一条直线上．②不正确，单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同．③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的． ④不正确，因为A 、B 、C 、D 可能共线． ⑤正确，符合零向量的定义．⑥不正确，AC →与BC →共线，可能起点不同，但终点却相同．解此类题主要是透彻理解概念，对向量、零向量、单位向量、平行向量(共线向量)、共面向量的概念特征及相互关系要把握好．下列命题是真命题的是( )A ．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等且方向相同C ．若向量AB →，CD →满足|AB →|＞|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →＞CD →D ．若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →∥CD →【解析】 由AB →＋CD →＝0，得AB →＝－CD →，∴AB →与CD →是相反向量，∴AB →∥CD →. 【答案】 D§2空间向量的运算 (教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能(1)理解空间向量的概念，掌握其表示方法．(2)能用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律． (3)能用空间向量的运算意义及运算律解决立体几何中的简单问题． 2．过程与方法通过对空间向量的运算的学习，了解并初步把握空间向量的运算意义及运算律解决立体几何中的简单问题的方法．3．情感、态度与价值观培养学生知识迁移的能力，渗透数形结合思想． ●重点难点重点：空间向量的加、减、数乘与数量积的运算法则及运算律． 难点：用空间向量解决立体几何问题．突破难点：通过提问让学生类比平面向量去定义空间向量的加减法、数乘运算和数量积运算，让学生进一步体会空间向量与平面向量之间的关系，突出教学重点．初步应用空间向量的运算解决一些问题，平行六面体是空间向量加法运算的一个重要几何模型，需要加深对平行六面体的理解．突破难点．(教师用书独具)●教学建议1．以类比为教学方法：在学生原有的知识体系上，通过类比逐步引导学生从平面向量运算及其规律向空间向量的过渡，发现两者之间的内在联系．2．以学生为课堂主体：重视学生的自主参与能力，重视学生探究能力和创新能力的培养，激励学生积极思维，大胆思考，动手实践．3．以问题为教学线索：问题是数学的心脏，本课教学总是以问题的解决为线索．在教师的引导下，使学生的思维从问题开始，由问题深化．●教学流程 通过类比，引 入空间向量的运算―→通过探究活 动，认识空间向量的运算―→通过例题分 析，深化空间向量的运算―→通过练习，体 会空间向量 运算的应用课标解读1.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律．(重点)2．会利用两个空间向量共线的充要条件解决有关问题．(难点)3．能够利用空间向量的数量积的定义求两个向量的数量积．(重点)空间向量的运算1．平面向量的加法遵循怎样的运算法则？空间向量的加法也遵循该法则吗？ 【提示】 平面向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，空间向量的加法也遵循该法则．2．平面向量的加法满足结合律，空间向量的加法也满足结合律吗？试用图形加以说明． 【提示】 空间向量的加法满足结合律． (a ＋b )＋c ＝AC →＋CD →＝AD →＝AB →＋BD →＝a ＋(b ＋c )．3．空间向量的数量积与平面向量的数量积的定义一样吗？为什么？【提示】 一样．由于空间任意两个向量经平移后都可以在同一个平面内，因此，空间向量的数量积和平面中的情形完全一样．4. 平面向量的数量积满足分配律，空间向量的数量积也满足分配律吗？试用图形加以说明．【提示】 空间向量的数量积满足分配律．(a ＋b )·c ＝OB →·c ＝|OB ′→||c |＝(|OA ′→|＋|A ′B ′→|)|c |＝|OA →||c |＋|A ′B ′→||c |＝a ·c ＋b ·c .空间向量 的运算定义(或法则)运算律空间向量的加减法加法设a 和b 是空间两个向量，过一点O 作a 和b 的相等向量OA →和OB →，根据平面向量加法的平行四边形法则，平行四边形的对角线OC 对应的向量OC →就是a 与b 的和，记作a ＋b ，如图所示①结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )；②交换律：a ＋b ＝b ＋a减法与平面向量类似，a 与b 的差定义为a ＋(－b )，记作a －b ，其中－b 是b 的相反向量空间向量 的数乘空间向量a 与一个实数λ的乘积是一个向量，记作λa ，满足：①|λa |＝|λ||a |②当λ＞0时，λa 与a 方向相同； 当λ＜0时，λa 与a 方向相反；当λ＝0时，λa ＝0①λa ＝a λ(λ∈R ) ②λ(a ＋b )＝λa ＋λb (λ＋μ)a ＝λa ＋μb (λ∈R ，μ∈R )③(λμ)a ＝λ(μa )(λ∈R ，μ∈R ).空间向量 的数量积空间两个向量a 和b 的数量积是一个数，等于|a ||b |cos 〈a ，b 〉，记作a ·b①交换律：a ·b ＝b ·a②分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b＋a ·c③λ(a ·b )＝(λa )·b (λ∈R )与数量积 有关的 结论①|a |＝a ·a ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0③cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |(a ≠0，b ≠0)共线向量定理【问题导思】1．在平面向量中，什么是共线向量？【提示】 表示向量的两有向线段所在的直线平行或重合． 2．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则a ，b 共线吗？反之成立吗？【提示】 共线．反之，不一定成立，例如当a ≠0，b ＝0，实数λ不存在． 空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λB ．单位向量【问题导思】在平面向量中，与a 共线的单位向量有几个，分别是什么？【提示】 有2个，分别是a |a |与－a |a |. 对于任意一个非零向量a ，我们把a |a |叫作向量a 的单位向量，记作a 0，a 0与a 同方向.空间向量的线性运算 图2－2－1如图2－2－1已知三棱锥A －BCD ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，化简下列各表达式．(1)AB →＋BC →＋CD →； (2)AB →＋12BD →＋12BC →；(3)AF →－12AB →－12AC →.【思路探究】 结合图形特点，利用空间向量的线性运算法则进行化简． 【自主解答】 (1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. (2)AB →＋12BD →＋12BC →＝AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋BF →＝AF →.(3)AF →－12AB →－12AC →＝AF →－12(AB →＋AC →)＝AF →－AE →＝EF →.1．在例1中，利用向量加法的结合律以及数乘向量的分配律简化了计算．2．对向量式的化简，要结合图形，充分利用图形的性质．图2－2－2如图2－2－2，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点． (1)化简：A 1O →－12AB →－12AD →；(2)设E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→，试用AB →，AD →，AA 1→表示EO →.【解】 (1)∵AB →＋AD →＝AC →，∴A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－12AC →＝A 1O →－AO →＝A 1A →.(2)EO →＝ED →＋DO →＝23D 1D →＋12DB →＝23D 1D →＋12(DA →＋AB →)＝23A 1A →＋12DA →＋12AB →＝12AB →－12AD →－23AA 1→.空间共线向量定理的应用 图2－2－3如图2－2－3四边形ABCD ，四边形ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线？【思路探究】 要判断CE →与MN →是否共线，由共线向量定理可判断是否存在实数x 使CE →＝xMN →.若存在，则CE →与MN →共线；否则，CE →与MN →不共线．【自主解答】 ∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点，而四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形， ∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.又MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，∴12CA →＋AF →＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →. ∴CE →＝CA →＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →)＝2MN →，即CE →＝2MN →. ∴CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．利用空间共线向量定理证明两直线平行是常用方法．证明两直线平行时，一方面要说明这两条直线的方向向量平行，另一方面要说明这两条直线不重合．图2－2－4如图2－2－4所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．【证明】 EF →＝A 1F →－A 1E →＝25A 1C →－23A 1D 1→ ＝25(A 1B 1→＋A 1D 1→＋A 1A →)－23A 1D 1→＝25A 1B 1→＋25A 1A →－415A 1D 1→. FB →＝A 1B →－A 1F →＝A 1B 1→＋A 1A →－25(A 1B 1→＋A 1D 1→＋A 1A →)＝35A 1B 1→＋35A 1A →－25A 1D 1→. ∴EF →＝23FB →，∴EF →∥FB →，又∵EF ∩FB ＝F ， ∴E ，F ，B 三点共线.空间向量的数量积 图2－2－5如图2－2－5所示，已知，空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于a ，点E 、F 、G 分别是AB 、AD 、DC 的中点．求下列向量的数量积： (1)AB →·AC →；(2)AD →·BD →； (3)GF →·AC →；(4)EF →·BC →. 【思路探究】着眼点向量的模――→数量积的定义结果向量的夹角【自主解答】 (1)在空间四边形ABCD 中，|AB →|＝|AC →|＝a ， 且〈AB →，AC →〉＝60°， ∴AB →·AC →＝a ·a cos 60°＝12a 2.(2)|AD →|＝a ，|BD →|＝a ，〈AD →，BD →〉＝60°， ∴AD →·BD →＝|AD →|·|BD →|·cos〈AD →，BD →〉 ＝a 2cos 60°＝12a 2.(3)∵G 、F 分别为CD ，AD 的中点， ∴GF →＝12CA →＝－12AC →，∴GF →·AC →＝－12AC →2，∵AC →2＝a 2， ∴GF →·AC →＝－12a .(4)∵|EF →|＝12a 2，|BC →|＝a ，EF →∥BD →，∴〈EF →，BC →〉＝〈BC →，BD →〉＝60°， ∴BC →·EF →＝12a 2cos 60°＝14a 2.1．求空间向量的数量积可仿照平面向量的数量积的求法进行，注意观察空间向量的方向，正确求出其夹角．2．空间向量的数量积的应用主要有以下三个方面： (1)利用|a |＝a 2，求线段的长； (2)利用cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |，求两直线所成的角； (3)利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0，证明两直线垂直．已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′等于( )A ．85B ．85C ．5 2D ．50 【解析】 |AC ′→|＝ |AC ′→|2＝AB →＋AD →＋AA ′→2＝16＋9＋25＋2×4×5×12＋2×3×5×12＝85.【答案】 B计算数量积时夹角求错致误图2－2－6如图2－2－6已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则AB 1→·C 1B →＝( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1【错解】 AB 1→·C 1B →＝AB 1→·D 1A →＝(2)2cos 〈AB 1→，D 1A →〉＝2cos 60°＝2×12＝1.故选D ．【答案】 D【错因分析】 向量AB 1→与C 1B →的夹角求错致误．【防范措施】 求两向量夹角时，应使这两个向量同起点，当由于空间图形限制造成一个向量的起点与另一个向量终点重合时，例如本题中AB 1→与D 1A →，其夹角〈AB 1→，D 1A →〉＝π－∠D 1AB 1.【正解】 AB 1→·C 1B →＝AB 1→·D 1A →＝(2)2cos 〈AB 1→，D 1A →〉＝2cos(180°－60°)＝2cos 120°＝2×(－12)＝－1.故选C.【答案】 C1．在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中的表示，然后运用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并要化简到最简为止．2．用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题，一般用向量共线定理；解决垂直问题一般可转化为求向量的数量积为零．3．灵活地应用向量的数量积公式是解决空间求模、求夹角的关键．图2－2－71．(2013·抚州高二检测)如图2－2－7所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1→＋D 1C 1→－BB 1→＝( )A.AB 1→ B ．DC →C.AD → D ．BA →【解析】 AA 1→＋D 1C 1→－BB 1→＝AA 1→＋A 1B 1→＋B 1B →＝AB 1→＋B 1B →＝AB →＝DC →. 【答案】 B2．已知|a |＝1，|b |＝2，且〈a ，b 〉＝120°，则|2a ＋b |＝( )A ．2B ．2 3C ．4D ．12 【解析】 |2a ＋b |＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝4|a |2＋4|a ||b |cos 〈a ，b 〉＋|b |2＝2. 【答案】 A3．正四面体ABCD 棱长为2，E 、F 分别为BC 、AD 中点，则EF 的长为________． 【解析】 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c .则|a |＝|b |＝|c |＝2，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝π3.∴EF →＝AF →－AE →＝12c －12(b ＋a )＝12(c －b －a )．∴EF →2＝14(c 2＋b 2＋a 2－2b ·c －2c ·a ＋2a ·b )＝14×(4＋4＋4－4－4＋4)＝2，∴|EF →|＝2，即EF 的长为 2. 【答案】2图2－2－84．如图2－2－8所示，在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，请判断向量EF →与AD →＋BC →是否共线？【解】 EF →＝EB →＋BC →＋CF →＝AB →2＋BC →＋CD →2＝AB →＋2BC →＋CD →2＝AB →＋BC →＋CD →＋BC →2＝AD →＋BC→2＝12(AD →＋BC →)， ∴EF →与AD →＋BC →共线. 一、选择题1．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 和BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列式子中与B 1M →相等的是( )A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c 【解析】 B 1M →＝B 1B →＋BM →＝c ＋12BD →＝c ＋12B 1D 1→＝c ＋12b －12a ，故选A.【答案】 A2．a ，b 是两个非零向量，现给出以下命题： ①a ·b ＞0⇔〈a ，b 〉∈[0，π2)； ②a ·b ＝0⇔〈a ，b 〉＝π2；③a ·b ＜0⇔〈a ，b 〉∈(π2，π]；④|a ·b |＝|a ||b |⇔〈a ，b 〉＝0.其中正确的命题有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【解析】 只有④是假命题，故选C. 【答案】 C3．空间四边形ABCD 的各边和对角线长均为1，E 是BC 的中点，那么( ) A.AE →·BC →＜AE →·CD → B ．AE →·BC →＝AE →·CD → C.AE →·BC →＞AE →·CD →D ．AE →·BC →与AE →·CD →不能比较大小 【解析】 ∵AE →⊥BC →， ∴AE →·BC →＝0. 又〈AE →，CD →〉＞90°，∴AE →·CD →＜0.∴AE →·BC →＞AE →·CD →. 【答案】 C4．已知点A ，B ，C ∈平面α，点P ∉α，则AP →·AB →＝0，且AP →·AC →＝0是AP →·BC →＝0的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【解析】 由⎩⎨⎧AP →·AB →＝0AP →·AC →＝0，得AP →·(AB →－AC →)＝0，即AP →·CB →＝0，亦即AP →·BC →＝0， 反之，若AP →·BC →＝0，则AP →·(AC →－AB →)＝0⇒AP →·AB →＝AP →·AC →，未必等于0. 【答案】 A图2－2－95．如图2－2－9所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos〈OA →，BC →〉的值为( )A.12 B ．22C ．－12D ．0【解析】 ∵OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →|·|OC →|cos 〈OA →，OC →〉－|OA →|·|OB →|·cos〈OA →，OB →〉 ∵OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3， ∴OA →·BC →＝0，即OA →⊥BC →，∴cos 〈OA →，BC →〉＝0. 【答案】 D 二、填空题6．在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)【解析】 如图，E 为AD 的中点，根据向量的平行四边形法则，得OE →＝12(OA →＋OD →)，同理可得OD →＝12(OB →＋OC →)，∴OE →＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c .【答案】 12a ＋14b ＋14c图2－2－107．如图2－2－10，在45°的二面角α－l －β的棱上有两点A 、B ，点C 、D 分别在α、β内，且AC ⊥AB ，∠ABD ＝45°，AC ＝BD ＝AB ＝1，则CD 的长度为________．【解析】 由CD →＝CA →＋AB →＋BD →， cos 〈AC →，BD →〉＝cos 45°cos 45°＝12，∴|CD →|2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2(CA →·AB →＋AB →·BD →＋CA →·BD →) ＝3＋2×(0＋1×1×cos 135°＋1×1×cos 120°) ＝2－2，∴|CD →|＝2－ 2. 【答案】2－ 28．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF →的值为________．【解析】 如图设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝a ，且a ，b ，c 三向量两两夹角为60°. AE →＝12(a ＋b )，AF →＝12c ，∴AE →·AF →＝12(a ＋b )·12c ＝14(a ·c ＋b ·c )＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2. 【答案】 14a 2三、解答题图2－2－119．如图2－2－11所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1，A 1A 的中点，求证：EF →＋GH →＋PQ →＝0.【证明】 设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ， 则EF →＝12a ＋12b ，GH →＝－12c －12a ，PQ →＝－12b ＋12c ，∴EF →＋GH →＋PQ →＝12a ＋12b －12c －12a －12b ＋12c ＝0.10．在三棱锥A －BCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，求证：AD ⊥BC . 【证明】 如图由AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，得AB →·CD →＝0，AC →·BD →＝0， 又∵CD →＝AD →－AC →，BD →＝AD →－AB →，∴AB →·(AD →－AC →)＝0，AC →·(AD →－AB →)＝0， 即AB →·AD →－AB →·AC →＝0，AC →·AD →－AC →·AB →＝0， 两式相减得 AB →·AD →－AC →·AD →＝0，即(AB →－AC →)·AD →＝0， ∴BC →·AD →＝0， ∴BC →⊥AD →， ∴AD ⊥BC .图2－2－1211．如图2－2－12所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC 1⊥AB 1，BC 1⊥A 1C . 求证：AB 1＝A 1C .【证明】 ∵A 1C →＝A 1C 1→＋C 1C →，BC 1→＝BC →＋CC 1→，A 1C →·BC 1→＝(A 1C 1→＋C 1C →)·(BC →＋CC 1→)＝A 1C 1→·BC →－C 1C →2＝0， ∴C 1C →2＝A 1C 1→·BC →.同理AB 1→＝AB →＋BB 1→，BC 1→＝BB 1→＋B 1C 1→， AB 1→·BC 1→＝AB →·BC →＋CC 1→2＝0，∵C 1C →2＝A 1C 1→·BC →，∴AB →·BC →＋A 1C 1→·BC →＝0.又A 1C 1→＝AC →，∴BC →·(AB →＋AC →)＝0. 设D 为BC 的中点，则AB →＋AC →＝2AD →， ∴2BC →·AD →＝0，∴BC ⊥AD ，∴AB ＝AC .又A 1A ＝B 1B ，∠A 1AC ＝∠ABB 1＝90°∴A 1C ＝AB 1.(教师用书独具)如图，设A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心． 求证：AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)．【思路探究】 三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍．【自主解答】 连接BG ，延长后交CD 于点E . 由G 为△BCD 的重心，得BG →＝2GE →.且CE ＝ED ， ∵AG →－AB →＝2(AE →－AG →)∴AG →＝13AB →＋23AE →，2AE →＝AC →＋AD →2，∴AG →＝13AB →＋13(AC →＋AD →)＝13(AB →＋AC →＋AD →)．1．本题的求解运用了方程思想，先建立一个关于向量的等式BG →＝2GE →，再把这个等式用已知向量与未知向量表示，然后解出未知向量，注意该思想方法的应用．2．本例也是重心的一个性质，与A 在平面BCD 内时，也成立.若条件不变，试求BG →、CG →、DG →，并验证BG →＋CG →＋DG →＝0. 【解】 BG →＝AG →－AB →＝13(AB →＋AC →＋AD →)－AB →＝13(AC →＋AD →－2AB →)． 同理CG →＝13(AB →＋AD →－2AC →)，DG →＝13(AB →＋AC →－2AD →)，∴BG →＋CG →＋DG →＝13(AC →＋AD →－2AB →)＋13(AB →＋AD →－2AC →)＋13(AB →＋AC →－2AD →)＝0.§3向量的坐标表示和空间向量基本定理3．1 空间向量的标准正交分解与坐标表示 3．2 空间向量基本定理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解空间向量基本定理及其意义．(2)掌握空间向量的标准正交分解及其坐标表示．(3)会在简单问题中选用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量．(4)掌握空间向量长度与夹角的坐标表示．2．过程与方法从向量的几何表示到坐标表示，体会向量的几何和代数的双重特点．3．情感、态度与价值观从空间向量的正交分解到空间向量基本定理，体会从特殊到一般的辩证唯物主义观点．●重点难点重点：空间向量的正交分解与坐标表示．难点：向量坐标的确定及空间向量基本定理．空间向量的标准正交分解与空间向量基本定理是在平面向量的正交分解与平面向量基本定理的基础上，增加了一维，在学习本节内容时，一要进行类比；二要增强空间意识，最好借助长方体这个模型来理解有关规律．(教师用书独具)●教学建议在前面必修4中已学习了平面向量基本定理，所以将其拓展到空间引出空间共线向量定理是比较自然的；对于空间向量基本定理，有些学生只是从形式上加以记忆，缺乏对问题本质的理解，所以在教学中教师要不断地帮助学生进行反思，这也是改善学生的思维品质，提升学生的数学能力的一个途径，这一过程是隐性的、长期的，但也是必须的．●教学流程创设情境，引出问题：如何用坐标表示空间向量类比,平面向量的坐标表示空间向量的坐标表示类比,平面向量基本定理空间向量基本定理―→通过例题探究用基底表示空间向量的方法―→通过变式领会空间向量基本定理中唯一性的应用―→归纳总结，形成整体认识。
北师大版高中数学选修2-1教案：2.4用向量讨论垂直与平行(3)
α ABC D O单元（章节）课题 北师大版选修2-1第二章空间向量与立体几何本节课题§4用向量讨论垂直与平行（3）课标要求能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
三维目标1．知识与技能掌握用向量法证明立体几何中的线、面垂直与平行问题． 2．过程与方法通过对定理的证明，认识到向量方法是解决立体几何问题的基本方法． 3．情感、态度与价值观通过对定理的证明，形成多元多维的角度看待立体几何问题的观点．学情分析树立以学生发展为本的思想．通过构建以学习者为中心、有利于学生主体精神、创新能力健康发展的宽松的教学环境，提供学生自主探索和动手操作的机会，鼓励他们创新思考，亲身参与知识的形成过程．教学重难点教学重点：用向量方法判断空间线面平行与垂直关系；教学难点：用向量方法判断空间线面平行与垂直关系。
提炼的课题 用向量方法判断空间线面平行与垂直关系 教学手段运用 教学资源选择能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理教学过程环节学生要解决的问题或任务教师教与学生学 设计意图例4，证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
（三垂线定理）已知：如图,OB 是平面α的斜线，O 为斜足，α⊥AB ，A 为垂足，OA CD CD ⊥⊂,α证明：=⋅⇒⊥OA CD OA CD⇒⊥αAB0=⋅⇒⊥AB CD AB CD AB OA OB +=)(=⋅+⋅=+⋅=⋅AB CD OA CD AB OA CD OB CDAB CD ⊥∴利用向量解决平行与垂直问题1． 向量法：利用向量的概念技巧运算解决问题。
2． 坐标法：利用数及其运算解决问题。
两种方法经常结合起来使用。
用向量法证明三垂线定理。
求一个平面的法向量，主要有以下两种方法：1．根据立体几何的知识，可以明确找到该平面的垂线，则以该垂线的方向向量为该平面的法向量．2．对于一般位置状态的平面，采用以下步骤求法向量．课堂检测内容1 已知l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，12，2)，则m＝________.2如图2－4－5在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B、AC的中点，则MN 与平面BB1C1C的位置关系是()A．相交B．平行C．垂直D．不能确定课后作业布置课本 42页习题2-4 A组 1 4预习内容布置§5 夹角的计算2 / 2。
【方向】2020学年高中数学第二章空间向量与立体几何21从平面向量到空间向量教学案北师大版选修21
【关键字】方向§1从平面向量到空间向量问题1：位移是既有大小又有方向的量，可用向量表示．那么，小刚从学校大门口到住处的总位移所对应的向量是三个位移所对应的向量的合成吗？提示：是．问题2：问题1中的位移是不在同一个平面内的位移，已不能用平面向量来刻画，应如何刻画这种位移？提示：用空间向量．问题3：若设大门口向东行走为a，再向北行走为b，最后乘电梯上行为c，则a，b，c 夹角分别是多少？提示：.空间向量(1)空间向量及其模的表示方法：a或aAB||a|或|a|①定义：过空间任意一点O作向量a，b的相等向量和，则∠AOB叫作向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．②范围：[0，π]．③当〈a，b〉＝时，向量a与b笔直，记作a⊥b.④当〈a，b〉＝0或π时，向量a与b平行，记作a∥b.(3)特殊向量：问题1：在正方体的顶点为起点和终点的向量中，直线AB的方向向量有哪些？提示：，，，，，，，.问题2：在正方体的顶点为起点和终点的向量中，与平面ABCD笔直的向量有几个？提示：8个．向量、直线、平面(1)方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量．与平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量．(2)法向量：如果直线l笔直于平面α，那么把直线l的方向向量a叫作平面α的法向量．所有与直线l平行的非零向量都是平面α的法向量．1．空间向量是对平面向量的拓展和提高，平面向量研究的是向量在同一平面内的平移，空间向量研究的是向量在空间的平移，空间的平移包含平面内的平移．2．直线的方向向量与平面的法向量是不唯一的，直线的方向向量都平行于该直线，平面的法向量都笔直于该平面．[例1]①若a，b是空间向量，则|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件；②若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|；③两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；⑤在正方体ABCD－A1B1D1中，必有＝；⑥空间中任意两个单位向量必相等．其中，正确的命题序号是________．[思路点拨] 用空间向量的有关概念进行判断．[精解详析] 以上命题①②④⑤正确．两向量若相等，必须方向相同且模相等．但相等的向量起点不一定相同，故③错；两个单位向量虽模相等，但方向不一定相同，故⑥错．[答案] ①②④⑤[一点通]与平面向量一样，空间向量也有向量的模、向量的夹角、单位向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量的概念．两个向量是否相等，要看方向是否相同，模是否相等，与起点和终点位置无关．1．把空间所有单位向量归结到一个共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是( )A ．一个圆B ．两个孤立的点C ．一个球面D ．以上均不正确解析：单位向量的模为1，把所有空间单位向量移到共同起点后，向量的终点到起点的距离均为1，构成了一个球面．答案：C2．下列命题中正确的个数是( )①如果a ，b 是两个单位向量，则|a|＝|b|； ②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同； ③若a ，b ，c 为非零向量，且a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：对于①：由单位向量的定义即得|a|＝|b|＝1，故①正确；对于②：共线不一定同向，故②错；对于③：正确；对于④：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内．答案：C3．如图所示的长方体中，AD ＝2，AA 1＝1，AB ＝3. (1)试写出与AB 相等的所有向量； (2)1AA 的相反向量； (3)写出与向量BC 的模相等的向量； (4)写出与向量11A D 平行的向量．解：(1)与AB 相等的向量有：DC ，11D C ，1A B .(2)(3)与向量BC 的模相等的向量有：CB ，11B C ，11C B ，11A D ，11D A ，AD ，DA . (4)与向量11A D 平行的向量有：11D A ，11B C ，11C B ，BC ，CB ，AD ，DA .求空间向量的夹角[例2] 如图，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，求(1)〈AB ，A B ''〉，〈AD ，D C ''〉，〈AB ，C D ''〉．(2)〈AD '，BC 〉，〈AD '，D C '〉．[思路点拨] 按空间向量夹角的定义求解，空间向量a ，b 夹角范围是[0，π]． [精解详析] (1)∵正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′， ∴AB ∥A ′B ′，AD ⊥D ′C ′，AB ∥C ′D ′.∴〈AB ，A B ''〉＝0，〈AD ，D C ''〉＝π2，〈AB ，C D ''〉＝π.(2)∵正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，∴AD ∥BC . ∴〈AD '，BC 〉＝〈AD '，AD 〉＝π4.连接AC ，则△ACD ′为等边三角形． ∴〈AD '，D C '〉＝2π3.[一点通]与求平面内两向量夹角类似，求空间两向量夹角时，采取平移的方法，把空间两向量的夹角转化为平面内某两条相交直线的角，进而用解三角形的知识求解．必须注意两向量夹角应保证两向量移至共同起点处，比如若〈AB ，AC 〉＝π4，而〈AB ，CA 〉＝3π4.4．正四面体S －ABC 中，E ，F 分别为SB ，AB 中点，则〈EF ，AC 〉＝________. 解析：如图所示，∵E ，F 为中点， ∴EF ∥SA ，而△SAC 为正三角形， ∴∠SAC ＝π3，∴〈EF ，AC 〉＝2π3.答案：2π35．在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝3，AA ′＝1，AD ＝6，求〈AC ，A B '〉． 解：如图，连接A ′C ′，BC ′. ∵AC ＝A C ''，∴∠BA ′C ′的大小就等于〈AC ，A B '〉． 由长方体的性质和三角形勾股定理知，在△A ′BC ′中A ′B ＝AA ′2＋AB 2＝2，A ′C ′＝AB 2＋AD 2＝3， BC ′＝AD 2＋AA ′2＝7.∴cos ∠BA ′C ′＝A ′C ′2＋A ′B 2－BC ′22·A ′C ′·A ′B ＝12.∴∠BA ′C ′＝π3.即〈AC ，A B '〉＝π3.直线的方向向量与平面的法向量[例3] 如图，四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形且PD ＝AD ＝CD ，E ，F 分别是PC ，PB 的中点．(1)试以F 为起点作直线DE 的一个方向向量； (2)试以F 为起点作平面PBC 的一个法向量．[思路点拨] (1)只要作出过F 与DE 平行的直线即可． (2)作出过F 与平面PBC 垂直的直线即可． [精解详析] (1)连接EF . ∵E ，F 分别是PC ，PB 的中点， ∴EF 綊12BC .又BC 綊AD ，∴EF 綊12AD .取AD 的中点M ，连接MF ，则由EF 綊DM 知四边形DEFM 是平行四边形， ∴MF ∥DE .∴FM 就是直线DE 的一个方向向量． (2)∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥BC . 又BC ⊥CD ，∴BC ⊥平面PCD . ∵DE 平面PCD ， ∴DE ⊥BC .又PD＝CD，E为PC中点，∴DE⊥PC.从而DE⊥平面PBC.∴DE是平面PBC的一个法向量．由(1)可知FM＝ED，∴FM就是平面PBC的一个法向量．[一点通]直线的方向向量有无数个，它们之间互相平行；平面的法向量也有无数个，它们之间也都互相平行且都垂直于平面．而过空间某点作直线的方向向量或平面的法向量时，可利用线面平行及线面垂直等相关知识，在该点处作出直线的平行线或平面的垂线即可．6．直线的方向向量是( )A．唯一的B．相等的C．平行的D．相反的解析：与直线平行的任何非零向量都是直线的方向向量．答案：C7．下列说法中不正确的是( )A．平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量B．一个平面的所有法向量互相平行C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D．如果a，b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量解析：A，B，C正确，而D中，若a∥b，虽然n⊥a，n⊥b，但n不一定是平面的法向量．答案：D8．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1中点．(1)试以E点为起点作直线AD1的方向向量；(2)试以B1点为起点作平面ABC1D1的法向量．解：(1)如图所示，取BC中点F，连EF，BC1，则EF∥BC1.又AD1∥BC1.∴EF∥AD1，∴EF为直线AD1的方向向量．(2)连B1C，则B1C⊥BC1.又AB⊥面BCC1B1，∴AB⊥B1C.∴B1C⊥面ABC1D1.ABC1D1的法向量．1．空间向量是平面向量概念的拓展，也只有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，它的起点可以是空间内的任意一点，只要保证它的大小和方向不改变．它是可以自由平移的，与起点无关．数量可以比较大小，但向量不可以比较大小，向量的模是个非负实数，可以比较大小．2．由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要大小和方向分别相同，那它们就是相等向量，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．3．平行向量的方向不一定相同，表示共线向量的有向线段也不一定在同一条直线上．1．空间向量中，下列说法正确的是( )A．如果两个向量的长度相等，那么这两个向量相等B．如果两个向量平行，那么这两个向量的方向相同C．如果两个向量平行，并且它们的模相等，那么这两个向量相等D．同向且等长的有向线段表示同一向量解析：只有两个向量方向相同且长度相等，才能为相等向量．故D正确．答案：D2．下列说法中正确的是( )A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反B．若a是b的相反向量，则|a|＝|b|C．如果两个向量平行，则这两向量相等D．在四边形ABCD解析：模相等的两向量，方向不一定相同或相反；相反向量模相等，方向相反；平行向ABCD是平行四边形．答案：B3．在四边形ABCD＝，则四边形ABCD为( ) A．菱形B．矩形C．正方形D．不确定解析：若AB则AB＝DC，且AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形，又＝，即AC＝BD，∴四边形ABCD为矩形．答案：B4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ACC 1A 1的法向量是( ) A ．BD B ．1BC C ．1BDD ．1A B解析：∵BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1， ∴BD ⊥面ACC 1A 1，故BD 为平面ACC 1A 1的法向量． 答案：A5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以A 1为起点，以正方体的其余顶点为终点的向量中，与向量1BC 垂直的向量有________．解析：A 1B 1⊥面BCC 1B 1，∴1A B ⊥1BC ；A 1D ⊥AD 1，而AD 1∥BC 1，∴1A D ⊥1BC .答案：1A B 1A D6．如图正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AD ，BC ，CC 1的中点，则〈EF ，GH 〉＝________.解析：连接DB ，BC 1，DC 1， 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， △BDC 1为等边三角形．∵E ，F ，G ，H 分别是AB ，AD ，BC ，CC 1的中点， ∴EF ∥BD ，GH ∥BC 1.∴〈EF ，GH 〉＝〈BD ，1BC 〉＝60°. 答案：60°7.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1顶点为起点或终点的向量中：(1)写出与1BB 相等的向量； (2)写出与BA 相反的向量； (3)写出与BA 平行的向量．解：(1) 1CC ，1DD ，1AA . (2)DC ，11D C ，1A B ，AB1，1A B ，11B A .8．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1a ，11A D ＝b ，1A A ＝c ，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1，A 1A 的中点，求，，．解：由题意知，六边形EFGHPQ 为正六边形，所以＝∠HPQ ＝2π3；FGH ＝2π3；QEF 〉＝π3.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
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北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》扶风县法门高中姚连省第一课时平面向量知识复习一、教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备二、教学重点：平面向量的基础知识。
教学难点：运用向量知识解决具体问题三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、基本概念向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。
（二）、基本运算1、向量的运算及其性质运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1平行四边形法则2三角形法则向量的减法三角形法则向量的乘法1a是一个向量,满足:2>0时,aλ与a同向;λ<0时,aλ与a异向;λ=0时, aλ=0a∥babλ=⇔向ba•是一个数量 的 数 量 积10=或0=b 时,b a •=020≠且0≠b 时,2、平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ，使a = ； 注意)(21+=,)1(λλ-+=的几何意义 3、两个向量平行的充要条件： ⑴ //a b 的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则//a b 的充要条件是： ；（坐标表示）4、两个非零向量垂直的充要条件： ⑴ a b ⊥的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则a b ⊥的充要条件是： ；（坐标表示）（三）、课堂练习1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( OB -OC )·(OB +OC －2OA )=0，则∆ABC 是（ ）A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形2．P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心3．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） A ． 矩形 B ． 菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形4．已知||22p =||3q =，p 、q 的夹角为45︒，则以52a p q =+，3b p q =-为邻边的平行四边形的一条对角线长为（ ）A ．15B ． 14 D ．165．O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足=(++λ，),0[+∞∈λ则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 （四）、作业布置1．设平面向量=(－2，1)，=(λ，-1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）A ．),2()2,21(+∞- B ．),2(+∞ C ．),21(+∞- D ．)21,(--∞ 2．若()(),0,7,4,3,2=+-==c a b a 方向在则上的投影为 。
3．向量(,1),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A ，B ，C 三点共线，则k ＝ ． 4．在直角坐标系xoy 中，已知点A(0,1)和点B(-3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且||=2,则=5．在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若AM =2，则)(+•的最小值是__________。
（五）、教后反思：第二课时 空间向量及其运算（一）一、教学目标：1、知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；2、能力目标：（1）理解空间向量的概念，掌握其表示方法；（2）会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；（3）能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．3、德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．二、教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．三、教学方法：讨论式． 四、教学过程（Ⅰ）、复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律：加法交换律：a＋b＝b＋a；加法结合律：(a ＋b)＋c＝a＋（b＋c）；数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P26～P27．（Ⅱ）新课探究：［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：AB OA OB +==a +b ，OA OB AB -=（指向被减向量），=OP λa )(R ∈λ［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律． ［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律： ⑴加法交换律：a + b = b + a ；⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；（课件验证） ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ．［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即： 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． ⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：011433221=+++++-A A A A A A A A A A n n n ．⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．例１已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：说明：平行四边形ABCD 平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD —A’B’C’D’．平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．解：（见课本P 27）说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广． （Ⅲ）、课堂练习：课本P27练习（Ⅳ）、课时小结：平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移．关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法． （Ⅴ）、课后作业：⒈课本习题2-1A 组中 3、4；B 组中1⒉预习课本P 92～P 96，预习提纲： ⑴怎样的向量叫做共线向量？⑵两个向量共线的充要条件是什么？⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？⑸怎样的向量叫做共面向量？⑹向量p 与不共线向量a 、b 共面的充要条件是什么？⑺空间一点P 在平面MAB 内的充要条件是什么？ 五、教后反思：第三课时 空间向量及其运算（二）一、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式． 二、教学重、难点：共线、共面定理及其应用． 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）复习：1．空间向量的概念及表示；2、加减与数乘向量及运算律。
（二）新课探析1．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
读作：a 平行于b ，记作：//a b ． 2．共线向量定理：对空间任意两个向量,(0),//a b b a b ≠的充要条件是存在实数λ，使a b λ=（λ唯一）． 推论：如果l 为经过已知点A ，且平行于已知向量a 的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式OP OA t AB =+①，其中向量a 叫做直线l 的方向向量。
在l 上取AB a =，则①式可化为OP OA t AB =+或(1)OP t OA tOB =-+②当12t =时，点P 是线段AB 的中点，此时1()2OP OA OB =+③①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段AB 的中点公式． 3．向量与平面平行：已知平面α和向量a ，作OA a =，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量． 说明：空间任意的两向量都是共面的．alPBAO4．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+．推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++①上面①式叫做平面MAB 的向量表达式． （三）例题分析：例1．已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OP OA OB OC =++，试判断：点P 与,,A B C 是否一定共面？解：由题意：522OP OA OB OC =++，∴()2()2()OP OA OB OP OC OP -=-+-， ∴22AP PB PC =+，即22PA PB PC =--，所以，点P 与,,A B C 共面．说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．【练习】：对空间任一点O 和不共线的三点,,A B C ，问满足向量式OP xOA yOB zOC =++ （其中1x y z ++=）的四点,,,P A B C 是否共面？解：∵(1)OP z y OA yOB zOC =--++，∴()()OP OA y OB OA z OC OA -=-+-，∴AP y AB z AC =+，∴点P 与点,,A B C 共面．例2．已知ABCD ，从平面AC 外一点O 引向量,,,OE kOA OF KOB OG kOC OH kOD ====，（1）求证：四点,,,E F G H 共面； （2）平面AC //平面EG ．解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC AB AD =+， ∵EG OG OE =-，()()()k OC k OA k OC OA k AC k AB AD k OB OA OD OA OF OE OH OE EF EH=⋅-⋅=-==+=-+-=-+-=+∴,,,E F G H 共面；（2）∵()EF OF OE k OB OA k AB =-=-=⋅，又∵EG k AC =⋅， ∴//,//EF AB EG AC 所以，平面//AC 平面EG ． （四）、课堂练习：课本第31页练习第2、3、4题．（五）、课堂小结：1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．（六）、作业1．已知两个非零向量21,e e 不共线，如果21AB e e =+，2128AC e e =+，2133AD e e =-，求证：,,,A B C D 共面．2．已知324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++，0a ≠，若//a b ，求实数,x y 的值。