导数常见题型与解题方法总结

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时取当时由得且

为，求：（1）的解析式；（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的(1,3)()f x (1,)P m -()y f x =m 取值范围．

（1）由题意得：2

'()323(1)(3),(0)

f x ax bx c a x x a =++=--<∴在上；在上；在上(,1)-∞'()0f x <(1,3)'()0f x >(3,)+∞'()0f x <因此在处取得极小值()f x 01x =4

-∴①，②，③

4a b c ++=-'(1)320f a b c =++='(3)2760f a b c =++=由①②③联立得：，∴

169a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩

32

()69f x x x x =-+-（2）设切点Q ，(,())t f t ,

()()()

y f t f t x t -=-232(3129)()(69)

y t t x t t t t =-+--+-+-222(3129)(3129)(69)t t x t t t t t t =-+-+-+--+过22(3129)(26)t t x t t t =-+-+-(1,)m -232(3129)(1)26m t t t t =-+--+-32()221290

g t t t t m =--+-=令，2

2

'()66126(2)0g t t t t t =--=--=求得：，方程有三个根。

1,2t t =-=()0g t =需：(1)0(2)0g g ->⎧⎨

<⎩23129016122490

m m --++->⎧⇒⎨

--+-<⎩16

11m m <⎧⇒⎨>-⎩故：；因此所求实数的范围为：1116m -<

-题3 已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数

()f x 解法：根分布或判别式法例8、

g

o o

d f

o r

s o m e t 解：函数的定义域为（Ⅰ）当m ＝4时，f (x )＝ x 3－x 2＋10x ，

R 137

2＝x 2－7x ＋10，令 ， 解得或.

()f x '()0f x '>5,x >2x <令 ， 解得()0f x '<25

x <<

g a

t a

t i m

e a

n d

A

l

11222211122AOH =⨯⨯-⨯⨯=得332c d a b =⎧⎨

++⎩

∴由3/a2 •x2=3得x=±a，

即切点坐标为（a，a），（-a，-a）

∴切线方程为y-a=3（x-a），或y+a=3（x+a）（2分）

整理得3x-y-2a=0或3x-y+2a=0

解得a=±1，

∴f（x）=x3．

∴g（x）=x3-3bx+3（4分）

∵g′（x）=3x2-3b，g（x）在x=1处有极值，

∴g′（1）=0，

即3×12-3b=0，解得b=1

∴g（x）=x3-3x+3（6分）

（2）∵函数g（x）在区间[-1，1]上为增函数，

∴g′（x）=3x2-3b≥0在区间[-1，1]上恒成立，

∴b≤0，

又∵b2-mb+4≥g（x）在区间[-1，1]上恒成立，

∴b2-mb+4≥g（1）（8分）

即b2-mb+4≥4-3b，若b=0，则不等式显然成立，若b≠0，则m≥b+3在b∈（-∞，0）上恒成立

∴m≥3．

故m的取值范围是[3，+∞）