结构动力学初相位计算
CAE动力分析基础
采用合理的方法求解，并通过实验来验证所得解的正确性。
分析模型类型
连续系统模型
无限自由度
单自由度 (SDOF)
离散系统模型
三自由度 (MDOF) 多自由度 (3DOF)
m
u(t )
c
k
a u(t )
速度 v u (t ) ，加速度 ma(t ) 惯性力： 粘性阻尼力： 弹性力： 外载： 圆频率： n
② 临界阻尼
c =1，即c ccr 2mn ccr
此时运动方程的解为
、c
均为系统实际阻尼的反映，
ccr 为指标性参量，是决定振动能
否发生临界阻尼值。
u(t ) ( A Bt )e
-nt
结论：临界阻尼情况下，为非周期单调衰减运动，系统的运动
也是衰减的非往复运动。
（2）有阻尼自由振动分析
（1）无阻尼自由振动分析
对于需要用角位移作为独立坐标来描述振动状态的角振动问题，可用同样的
方法，并得到相似的结论。
a. 扭转振动
k n I
b. 作微幅摆动的摆
轴的扭转刚度 盘的转动惯量
k
I
a
Ga n Io
Tn 2
系统对悬挂点O 的转动惯量
静平衡位置
A
G
b. 作微幅摆动的摆
u(t ) U sin(nt )
2
其中 振幅
结论：
U = u (0) (
1
u (0)
n
)2 )
无阻尼单自由度的自由振动为简谐振动；
其振动圆频率与系统固有的 与初始条件无关；
初相位 arctan (
nu (0)
初相位怎么求？
初相位怎么求？问题一：怎么在波形图上看初相位？例2-2中为什么u的初相位是正3分之派？怎么看出来的？电压u的初相角不是在纵坐标轴上，你标的不对，应该是在横坐标轴上（原点0左边这一段就是+触/3)。
电流初相角-π/3是横坐标0到电流曲线过零之间这一段。
问题二：相位和初相如何计算？相位(phase)是对于一个波，特定的时刻在它循环中的位置：一种它是否在波峰、波谷或它们之间的某点的标度。
相位描述信号波形变化的度量，通常以度（角度）作为单位，也称作相角。
当信号波形以周期的方式变化，波形循环一周即为360° 。
相位常应用在科学领域，如数学、物理学等。
例如：在函数y=Acos(ωx+φ)中，ωx+φ称为相位。
在astrolog32中点击ALT+SHIFT+A可以显示相位设定菜单。
在交流电中，相位是反映交流电任何时刻的状态的物理量。
交流电的大小和方向是随时间变化的。
比如正弦交流电流，它的公式是i=Isin2πft。
i是交流电流的瞬时值，I是交流电流的最大值，f是交流电的频率，t是时间。
随着时间的推移，交流电流可以从零变到最大值，从最大值变到零，又从零变到负的最大值，从负的最大值变到零。
在三角函数中2πft相当于弧度，它反映了交流电任何时刻所处的状态，是在增大还是在减小，是正的还是负的等等。
因此把2πft叫做相位，或者叫做相。
一般是指，角度所在的象限。
在形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)中，ωx+φ被称为相位。
初相在三角函数图像y=Asin(ωx+φ)中ωx+φ称为相位（phase）,x=0时的相位（ωx+φ=φ）称为初相（initial phase).在三角函数模型中我们会遇到三角函数图像y=Asin(ωx+φ)。
物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期、和频率等都是与这个解析式中的常数有关。
（初相的前提是（A>0，ω>0），如果其中有一个不是，可以通过诱导公式进行变形，使之满足上述条件即可・）A就是这个简谐运动的振幅(amplitude of vibration），它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期（period）是T=2π/ω，这是做间歇运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率（frequency)由公式f=1/T=|ω|/2π（这里的频率不是指角速率）它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx+φ称为相位（phase）x=0时的相位（ωx+φ=φ）称为初相（initial phase),（初相的前提是（A>0，ω>0），如果其中有一个不是，可以通过诱导公式进行变形，使之满足上述条件即可.）初相的运算（1）三角函数图像向左或向右移动的距离=φ/|ω|（注意移动距离向左符号为正，向右符号为负。
结构动力学习题答案
结构动力学习题答案在结构动力学中，习题答案通常涉及对结构在动态载荷下的行为进行分析和计算。
这些习题可能包括自由振动分析、受迫振动分析、随机振动分析、模态分析、响应谱分析等。
以下是一些典型的结构动力学习题答案示例。
习题一：单自由度系统的自由振动问题：一个单自由度系统具有质量m=2kg，阻尼系数c=0.5N·s/m，弹簧刚度k=800N/m。
初始条件为位移x(0)=0.1m，速度v(0)=0。
求该系统自由振动的位移时间历程。
答案：首先，确定系统的自然频率ωn：\[ \omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{800}{2}}\text{ rad/s} \]然后，计算阻尼比ζ：\[ \zeta = \frac{c}{2\sqrt{mk}} = \frac{0.5}{2\sqrt{2 \cdot 800}} \]由于ζ < 1，系统将进行衰减振动。
可以使用以下公式计算位移时间历程：\[ x(t) = A e^{-\zeta \omega_n t} \cos(\omega_d t + \phi) \] 其中，\( \omega_d = \sqrt{\omega_n^2 - \zeta^2 \omega_n^2} \) 是阻尼频率，A是振幅，\( \phi \)是相位角。
初始条件给出x(0)=0.1m，v(0)=0，可以解出A和\( \phi \)。
最终位移时间历程的表达式为：\[ x(t) = 0.1 e^{-\zeta \omega_n t} \cos(\omega_d t) \]习题二：单自由度系统的受迫振动问题：考虑上述单自由度系统，现在施加一个简谐力F(t)=F_0sin(ωt)，其中F_0=100N，ω=10 ra d/s。
求系统的稳态响应。
答案：稳态响应可以通过傅里叶级数或直接应用受迫振动的公式来求解。
对于简谐力，系统的稳态响应为：\[ x_{ss}(t) = \frac{F_0}{k - m\omega^2} \sin(\omega t + \phi) \]其中，\( \phi \) 是相位差，可以通过以下公式计算：\[ \phi = \arctan\left(\frac{2\zeta\omega}{\omega_n^2 -\omega^2}\right) \]习题三：多自由度系统的模态分析问题：考虑一个二自由度系统，其质量矩阵M和刚度矩阵K如下：\[ M = \begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{bmatrix},\quad K = \begin{bmatrix} k_1 & -k_c \\ -k_c & k_2\end{bmatrix} \]其中，\( m_1 = 2kg \)，\( m_2 = 1kg \)，\( k_1 = 800N/m \)，\( k_2 = 1600N/m \)，\( k_c = 200N/m \)。
结构力学第10章 结构的动力计算
F k
1
2 1 2
yst sin t
A yst
F F yst F 2 m k
动荷载幅值当作静载 作用时质体的位移
1
2 1 2
A yst
动力系数
§10-3
单自由度体系的强迫振动
动力系数的讨论
0， 1
荷载变化比较慢，可按静载处理。
解
对于竖向振动，柔度系数为
l3 48 EI
ml 3 T 2 m 2 48 EI
1 48 EI ml 3 m
§10-2
单自由度体系的自由振动
例题10-2 求图示悬臂杆的水平和竖向振动时的自振周期
解 （1）水平振动
当杆顶作用水平力W时，杆 顶的水平位移为
Wl 3 st 3EI
杜哈梅积分(Duhamel)
1 t y (t ) 0 FP sin t d m
零初始条件下，单自由度体系在任意荷载下的动位移公式
若 则
y0 0
v0 0 v0
1 y y0 cos t sin t m
t
0
FP ( ) sin t d
y t C1 sin t C2 cos t
F y t y t y * t C1 sin t C2 cos t sin t 2 2 m
§10-3
单自由度体系的强迫振动
代入初始条件
y 0 0 C2 0; F y 0 0 C1 m 2 2
（2）竖向振动
Wl 3 T 2 3EIg
当杆顶作用竖向力W时，杆顶的 竖向位移为
结构动力学(5)-第四章 结构动力学的求解
H ( ) Z 1 ( ) ( K 2 M )1 , r
def
u H ( ) f
其中 H ( ) 正是系统的位移频响函数矩阵，它的元素 H ij ( ) 具有柔度系数的量纲， 反映了在系统第j个自由度上施加单位正弦激励后第i个自由度的稳态位移响应幅值。
（2）频响函数矩阵的模态展开式 利用固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性，对式动刚度矩阵左乘 和右乘
4．1 无阻尼自由振动
Mu(t ) Ku(t ) 0 u(0) u0 , u(0) u0
特性： 质量矩阵 1）反映系统的动能
T
1 T u Mu 0 2
1 T u Mu 0 2
2）正定 但也有例外：存在纯静态模态
u ，使
（针对两种情况：当采用集中质量矩阵时和当离散系统中设有无质量点的自由度时）
根据前面的分析，线性系统的响应可分为零初始状态下激励引起的响应及零 激励条件下初始条件引起的响应，即零状态响应及零输入响应。系统的响应可以 是其中某一种或两种之线性组合。研究下述微分方程的求解问题
Mu(t ) Ku(t ) f (t ) u(0) 0 u(0) 0,
Φ{diag [cos r t ]a diag [sin
1 r N
1 r N
r
t ]b}
其中
a [a1 aN ] ,
T def
b [b1 bN ]T
def
对于给定的初始条件
u0
和
u0
，可得到
u0 Φa ,
解出参数向量
u0 Φ diag[ r ]b
0 0
t
t
当考虑进系统初始状态对响应的贡献时，系统的响应为
结构动力学试题及答案
结构动力学试题及答案一、选择题1. 在结构动力学中，下列哪项不是描述结构动力响应的参数？A. 自然频率B. 阻尼比C. 静力平衡D. 模态阻尼2. 以下哪个不是结构动力学分析中的常用方法？A. 模态分析B. 时域分析C. 频域分析D. 静力分析二、简答题1. 简述结构动力学中模态分析的目的和重要性。
2. 描述阻尼对结构动力响应的影响。
三、计算题1. 假设一个单自由度系统，其质量为m，刚度为k，初始位移为x0，初始速度为v0。
若外力为F(t) = F0 * sin(ωt)，求该系统在任意时间t的位移响应。
答案一、选择题1. 正确答案：C. 静力平衡解析：静力平衡是静力学的概念，与结构动力学无关。
2. 正确答案：D. 静力分析解析：静力分析是分析结构在静载荷作用下的响应，而结构动力学分析动态载荷下的结构响应。
二、简答题1. 模态分析的目的在于识别结构的自然振动特性，包括自然频率、阻尼比和模态形状。
它的重要性在于：- 预测结构在动态载荷下的响应。
- 为控制结构的振动提供基础数据。
- 优化设计，提高结构的抗震性能。
2. 阻尼对结构动力响应的影响主要表现在：- 减少振动幅度，提高结构的稳定性。
- 改变系统的自然频率和模态形状。
- 影响系统的动态响应时间。
三、计算题1. 单自由度系统的位移响应可以通过以下步骤求解：- 写出系统的动力学方程：m * d²x/dt² + c * dx/dt + k * x = F(t)- 应用初始条件：x(0) = x0, v(0) = v0- 应用外力：F(t) = F0 * sin(ωt)- 通过傅里叶变换或拉普拉斯变换求解方程。
- 应用逆变换得到位移响应的解析解或数值解。
位移响应的一般形式为：x(t) = X * cos(ωt - φ) + Y *sin(ωt - φ)，其中X和Y是与系统参数和初始条件有关的常数，φ是相位角。
具体的数值需要根据系统参数和初始条件进行计算。
结构力学 结构的动力计算
§13-2 单自由度体系的运动方程
实际上，工程中很多问题可化成 单自由度体系进行动力分析或进行初 步估算。要掌握其动力反应的规律， 必须首先建立其运动方程。下面介绍 建立在达朗伯原理基础上的“动静 法”。
一.按平衡条件建立运动方程－刚度法
FP(t) m y(t)
FP(t) m
-my(t) -k y(t)
输出 （动力反应）
第二类问题：参数（或系统）的识别 结构 （系统）
输入 （动荷载）
输出 （动力反应）
第三类问题：荷载识别 输入 （动荷载） 结构 （系统）
输出 （动力反应）
第四类问题：控制问题
输入 （动荷载）
结构 （系统）
控制系统 （装置、能量）
输出 （动力反应）
2．结构动力计算的目的 研究结构在动荷载作用下的反应规 律，找出动荷载作用下结构的最大动内 力和最大动位移，为结构的动力可靠性 设计提供依据。
§13-3
单自由度体系的自由振动 （不计阻尼）
自由振动－由初位移或初速度引起的， 在运动中无动荷载作用的振动。 分析自由振动的目的－确定结构的动力 特性，自振频率，自振周期。
一.自由振动运动方程
y(t)
单自由度体系的自由 振动及相应的弹簧－ 质量模型如图示。以 静平衡位置为坐标原 点，在 t 时刻，质量 m 的位移为 y(t)。
m
-my(t)
LLeabharlann EI刚度法建立平衡方程： 取质量 m 为隔离体，作用在隔离体上的力： 弹性力 －ky(t)与位移方向相反； 惯性力
y y － m(t ) 与加速度 方向相反。
y(t) k m
动平衡方程：
m(t ) ky(t ) 0 y
结构动力计算教学课件PPT_OK
k12
0
k21
(k22 2m2 )
特征方程 频率方程
(k11 2m1)(k22 2m2) k12k21 0
4
(k11 2m1)(k22 2m2) k12k21 0
2
2 1,2
1 2
k11 m1
k 22 m2
1
2
k11 m1
k 22 m2
k11k22 k12k21 m1m2
最小圆频率称为第一(基本)圆频率： 第二圆频率-------
K1 F
n1 n2 nn
FMYY 0
K Fn自M由度Y体 系作K自由Y振动 的K 0 IM运动Y方程（K柔Y度法）0
将特解带入方
程整理后：
FM
1 2
IX
0
M Y
KY 0
FM
1 2
I
0
频率方程
19
FM
1
2 j
I j
0
j(1) 1
规准化主振型方程
一般的：
n个主振型向量彼此线性无关，
( j 1,2,, n)
n个自由 度体系的
依上式可求得与ωj 相对应 主振型，我们可唯一地确 振型方程
定主振型的形状，但不能唯一地确定它的振幅。
N自由度体系有n个主振型，若体系为对称形式，则这些主振型
分为对称及反对称形式两类。
17
主振型的规准化：
为了使主振型的振幅也具有确定值，需另外补充条件， 由此得到的主振型叫规准化主振型。
则系数行列式为零：
K 2 M 0
n个自由度体系 的频率方程
n个频率（按数值大小从小到大排列）： ω1，ω2，---，ωn
令：Xj 表示与频率ωj相对应的主振型向量：
结构动力学中的常用数值方法
第五章 结构动力学中的常用数值方法5．1．结构动力响应的数值算法....0()(0)(0)M x c x kx F t x a x v ⎧++=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩当c 为比例阻尼、线性问题→模态叠加最常用。
但当C 无法解耦，有非线性存在，有冲击作用（激起高阶模态，此时模态叠加法中的高阶模态不可以忽略）。
此时就要借助数值积分方法，在结构动力学问题中，有一类方法称为直接积分方法最为常用。
所识直接是为模态叠加法相对照来说，模态叠加法在求解之前，需要对原方程进行解耦处理，而本节的方法不用作解耦的处理，直接求解。
（由以力学，工程中的力学问题为主要研究对象的学者发展出来的）中心差分法的解题步骤1. 初始值计算（1） 形成刚度矩阵K ，质量矩阵M 和阻尼矩阵C 。
（2） 定初始值0x ，.0x ，..0x 。
（3） 选择时间步长t ∆，使它满足cr t t ∆<∆，并计算 021()a t =∆，112a t=∆，202a a =（4） 计算...0011122t x x x x a a -∆=-+（5） 形成等效质量阵01M a M a C -=+ （6） 对M -阵进行三角分解T M LDL -= 2．对每一时间步长（1） 计算时刻t 的等效载荷21()()t t t tt Q Q K a M x a Ma C x --∆=---- （2） 求解t t +∆时刻的位移 ()Tt t t L D L x Q -+∆=（3） 如需要计算时刻t 的速度和加速度值，则.1()t t t t t x a x x +∆-∆=-..0(2)t t t t t t x a x x x +∆-∆=-+若系统的质量矩阵和阻尼矩阵为对角阵时，则计算可进一步简化。
纽马克法的解题步骤1.初始值计算（1）形成系统刚度矩阵K ，质量矩阵M 和阻尼矩阵C（2）定初始值0x ，.0x ，..0x 。
（3）选择时间步长t ∆，参数γ、σ。
结构力学第10章-结构动力计算基础
t m y y ( t ) 的方 质点位移y(t)的方向相反；惯性力F ，它与质点加速度 I=
向相反。若将质点位移的计算始点取在质点静力平衡位置上，则质点
重量的影响不必考虑。
对于无阻尼自由振动，质点在惯性力FI和弹性恢复力FS作用下处于
(a)二质点三自由度结构
(b)三质点二自由度结构
§10-1 概述
3）结构的振动自由度
由以上几个例子可以看出：
① 结构振动自由度的数目不一定等于体系集中质量的数目；
② 结构振动自由度的数目与体系是静定或超静定无关；
③ 结构振动自由度的数目与计算精度有关。
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
1）运动微分方程的建立
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
2）简谐荷载
第三项是纯受迫振动的质点位移，其最大动位移(即振幅)为
F 1 F A 2 2 2 2 m m ( ) 1 2
由于
1 11 m 2
，代入上式，有
1 1 F A F y 1 1 2 2 st 1 2 1 2
m y ( t ) + ky t ) = 0 动力平衡状态，则有 F ，此式可改写为 F 1 1( I+ s =0,即
(t)+ y k 1 1 y(t) =0 m
此式为单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程，这种由力系平 衡条件建立运动微分方程的方法称为刚度法。
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
1 1 2 1
1 3 E I m 11 4 m
当静荷载撤除后，梁的运动为单自由度体系的无阻尼自由
结构动力学计算
变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值；
➢ 由于在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，于是可在幅值
处建立运动方程，此时方程中将不含时间t，把微分方程转化为
代数方程，使计算得以简化。
例7. 求图示体系的自振频率
m1 m
B
EI C
m2
1 3
m
m l22kl2
A
0 .5 l
l
kD 0 .5 l
在质量上沿位移方向施加惯性力； 求外力（包括惯性力）引起的质量的位移； 令该位移等于体系的位移；
例2. 用柔度法建立体系的运动方程
m
l EI EI
l
O
y
my y
ym y
my 1 y 0
2l 3
11 3EI
my(t)32E l3Iy(t)0
P=1
图乘法
?
l
例3：用柔度法列运动方程
m y(t)
12 EI h3
6 EI h2
1
6 EI
k
h2
12 EI
h3
6 EI h2
k m
24EI mh3
T 2
练习3：计算图示结构水平振动和竖直振动时 的自振 频率，自重忽略不计。
m
EI常 数
l
l
l
Horizontal Vibration： -----Flexibility Method
Anti-symmetrical Load +symmetrical Structure
✓ 自振频率计算公式
k m
1
m
tan1
y
0 0
v
0
✓ 计算k或δ：静力学知识 l 3 1 8EI
《结构力学》结构的动力计算
t................(e)
y(t) Asin( t )........................( f )
yy
T
0
t y cos t
-y
y
T
v
0
v
y T
A
0
-A
t
v sin t
t
Asin
t
13
三、结构的自振周期和频率
由式 y(t) Asin( t ) 及图可见位移方程是一个周期函数。
非弹性力起着减小振幅的作用，使振动衰减，因此，为了进一步了解结构
的振动规律，就要研究阻尼。
18
关于阻尼，有两种定义或理解： 1）使振动衰减的作用； 2）使能量耗散。 2、在建筑物中产生阻尼、耗散能量的因素 1）结构在变形过程中材料内部有摩擦，称“内摩擦”，耗散能量； 2）建筑物基础的振动引起土壤发生振动，此振动以波的形式向周围扩散，
1）周期荷载：随时间作周期性变化。（转动电机的偏心力）
P(t )
P
t 简谐荷载（按正余弦规律变化）
t 一般周期荷载
3
2）冲击荷载：短时内剧增或剧减。（如爆炸荷载）
P
P(t )
P
P
tr
t
tr
t
3）随机荷载：(非确定性荷载) 荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。 （如地震荷载、风荷载）
三、动力计算中体系的自由度
改写为 y k y 0 m
y 2 y 0 其中 2 k
m
它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：
y(t) C1 sin t C2 cost ...............(d )
积分常数C1，C2由初始条件确定
第10章 结构动力计算基础
n=2
n=0
n=1
n=2
n=2
11
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度
※注意：
体系中集中质量的个数不一定等于体系振动的自由度数，自 由度数目与计算假定有关，而与集中质量数目和超静定次数 无关。
(b) (a)
m2. EI=∞ m3.
m1.
α (t)
三个集中质量，n=1
一个集中质量，n=2
12
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度
=
l3 3EI
l EI
k11
=
k
=
3EI l3
20
§10—2 单自由度体系的自由振动 二、单自由度体系的自由振动微分方程
1.（刚度法）建立动力平衡方程
k
取 t 时刻质块 m为研究对象
y
受力分析，根据达朗贝尔原理
y m
y
my(t) ky(t) = 0
k
2.（柔度法）列位移方程
以t时刻系统整体为研究对象受力分
——主振型叠加法 §10-9 求自振频率和主振型的近似法与迭代法
1
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度 一 、结构动力计算的特点和内容 ⑴静力荷载：荷载的大小方向作用位置不随时间变化，或虽有 变化，变化极缓，不致引起结构上的质点产生加速度而具有惯 性力的作用。
第十章结构的动力计算
得到
&y& 2 y(t) FP (t)
m
27
一、简谐荷载 FP (t) F sin t
1. 方程解答
运动方程为： &y& 2 y(t) F sin t
m
齐次方程 &y& 2 y(t) 0的通解为：
y(t) C1 sint C2 cost
设方程的特解为：
y* Asin t y& A cos t &y& A 2 sin t
28
代入原方程得：
A 2 sin t 2 Asin t F sin t
m
得：
A(2 2 ) F
m
A
F
m(2
2)
F
m 2
1
1
2 2
所以特解为：
y
F
m 2
1
1
2 2
sin t
29
令
yst
F
m 2
F k
F
yst 为动荷载幅值F产生的静位移。
特解为
y*
yst
1
1
2 2
sin t
原方程一般解为：（齐次解+特解）
1
k
m
st
y(t)
Y(t)
因为 Y (t) st y(t) Y&&(t) &y&(t) -kY -mY&&
所以 m&y& k[ y(t) st ] W
w
又 k st kW W
m&y& ky(t) W W
m& y& ky(t) 0 22
可见，重力对动位移y (t ) 的运动方程无影 响。质量围绕静力平衡位置进行振动。
结构动力计算讲解
28
W mg
k 1
ys
W
W k
ω
k m
kg W
g
W
g
ys
1
m
由此看到频率只取决于体系的质量和刚度，而与外 界因素无关，是体系本身固有的属性，所以又称为
固有频率（natural frenquency）。
29
自振周期计算公式的几种形式
T 2 2 m 2 m 2 W 2 D st
k
g
g
圆频率计算 公式的几种形式：
l
11
几点注意
1）对于具有集中质量的体系，其自由度数并不一定等于集 中质量数，可能比它多，也可能比它少。
一个质点两 个自由度
两个质点一 个自由度
2）体系的自由度与其超静定次数无关。 3）体系的自由度决定了结构动力计算的精度。 4）在几何构造分析中所说的自由度是刚体系的运动自 由度，动力计算中讨论的自由度是变形体系中质量的运动自由度。
自由度数和质量点个数
有关，但没有确定关系
12
§10-2 单自由度体系的自由振动
单自由度体系动力分析 的重要性
①具有实际应用价值，或进行初步的估算。 ②多自由度体系动力分析的基础。
y(t) m
自由振动(free vibration) ：
k 振动过程中没有干扰力作用，振 动是由初始位移或初始速度或两者共同 影响下所引起的。
A
B
k12y2
k22y2
FP(t)
B
FE1(t) FE2(t)
20
其中 FIi mi yi
2
(i 1,2)
FSi kij y j
j1
m1 y1 k11 y1 k12 y2 FE1(t )
结构力学动力计算
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确定单自由度体系的自振方程的四个基本物理量
刚度或柔度: k或
初始位移：y0
质量: m
初始速度：v0
与内在因素有关的物理量 自振圆频率: （自振频率）
k 1 m m
(2个单位时间内的振动次 数，或每秒振动次数*2)
m 自振周期: T 2 2 m k
1
y0 v0
y(t ) A sin cos t A cos sin t A sin(t )
单自由度体系的无阻尼自由振动是由初位移和初速度 引起的简谐振动。
结构力学（2）
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简谐自由振动的特性
如果一个质点在某方向的位移与所受弹性力成正比， 则质点在该方向上可发生简谐自由振动
结构力学（2）
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计算方法的简化
常用的三种简化方法 1.集中质量法: 将连续分布的质量集中为质点，以质点位移（线位移） 为基本未知量。（本章主要讨论集中质量法）
2.广义坐标法： 用级数表示度曲线方程，以广义坐标（级数的项系数） 为基本未知量。 3.有限单元法： 将结构分割为若干个单元，用结点位移（线位移与角 位移）表示各单元挠曲线方程。将无限自由度问题化为有 限自由度问题。
(某一时刻的位移等于隔一段时间T之后的位移，T为自振周期)
2
频率
1 f (每秒振动次数，周期的倒数) T
结构力学（2）
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确定单自由度体系的自振方程的四个基本物理量 内因素 外因素
刚度或柔度: k或
初始位移：y0
质量: m
初始速度：v0
与外因素有关的物理量 自振方程 y(t ) A sin(t ) 代入初始条件得
结构动力计算
y A
A 2 y
I mA 2
§10-2
单自由度体系的自由振动
例1 求图示 简支梁的自振周期和圆频率
解
对于竖向振动，柔度系数为
l3 48 EI
ml 3 T 2 m 2 48 EI 1 48 EI ml 3 m
§10-2
单自由度体系的自由振动
式中
k m
结构的自振频率
式（10－11)为单自由度体系强迫振动的运动 方程。
ky m P(t ) ..
y
my
二、简谐荷载作用下的受迫振动 1.运动方程的建立及求解 P(t)
m
y (t )
EI
P(t ) P sint
P ——荷载幅值
l
运动方程
——荷载频率 P (t ) 2 y (t ) sint y m
§10-2
单自由度体系的自由振动
例4、求图示结构的自振圆频率。解法1：求 k
1 k A m
h
θ=1/h
EI 3EI 3 l lh
MBA=kh = MBC
EI l C
I→∞
B
θ
3EI k 2 lh
k m 3EI mh 2l
1
解法2：求 δ
h
1 lh 2h lh2 EI 2 3 3EI
与其它课程之间的关系
结构动力学以结构力学和数学为基础。 结构动力学作为结构抗震、抗风设计计算的基础。
五、动力计算中体系的自由度
确定运动过程中任意时刻全部质量的位置所需独立几何 参数的个数称为体系的振动自由度。 1）集中质量法(method of lumped mess)
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由表中可以清楚的看出，在自振频率、振幅和初位移一定的条 速度的增加逐渐增大。
10 10 10 10 10 10 10 10 10
92 93 94 95 96 97 98 99 100
61.47688139 61.73599585 61.99082329 62.2414594 62.48799738 62.73052801 62.96913974 63.20391871 63.43494882
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
自振频率 振幅A ω
位移x 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
92 93 94 95 96 97 98 99 100
5 5 5 5 5 5 5 5 5
10 10 10 10 10 10 10 10 10
5 5 5 5 5 5 5 5 5
0.31138704 0.308038857 0.30476191 0.30155395 0.29841282 0.295336454 0.292322869 0.289370163 0.28647651
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
41.9872125 42.61405597 43.22853026 43.83086067 44.42127443 45 45.56726641 46.12330271 46.66833745 47.20259816 47.72631099 48.2397003 48.7429883 49.2363948 49.72013693 50.19442891 50.65948184 51.11550357 51.56269851 52.00126756 52.43140797 52.8533133 53.26717334 53.67317405 54.07149758 54.46232221 54.84582237 55.22216863 55.59152775 55.95406264 56.30993247 56.65929265 57.0022949 57.33908728 57.66981426 57.99461679 58.31363231 58.62699486 58.93483511 59.23728047 59.53445508 59.82647997 60.11347306 60.39554925 60.67282051 60.9453959 61.21338169
初速度v 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
初相位φ
#DIV/0! 26.56505118 14.03624347 9.462322208 7.125016349 5.710593137 4.763641691 4.08561678 3.576334375 3.17983012 2.862405226 2.602562202 2.38594403 2.202598162 2.045408489 1.909152433 1.789910608 1.684684318 1.591140271 1.507435759 1.432096184 1.363927532 1.301952673 1.245364267 1.193489424 1.145762838 1.101706115 1.06091169 1.023030189 0.9877604 0.954841254 0.924045353 0.89517371 0.86805145 0.842524261 0.818455462 0.795723553 0.774220165 0.753848333 0.734521034 0.716159945 0.698694383 0.682060393 0.66619997 0.65106038
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91
自振频率 振幅A ω
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
初速度v 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
初相位φ -0 1.145762838 2.290610043 3.433630362 4.57392126 5.710593137 6.842773413 7.969610394 9.090276921 10.20397372 11.30993247 12.40741853 13.49573328 14.5742162 15.64224646 16.69924423 17.74467163 18.77803322 19.79887635 20.80679101 21.80140949 22.78240573 23.74949449 24.70243023 25.64100582 26.56505118 27.47443163 28.36904629 29.24882634 30.11373315 30.96375653 31.79891282 32.61924307 33.42481118 34.21570213 34.9920202 35.75388725 36.50144112 37.23483398 37.95423088 38.65980825 39.35175263 40.03025927 40.69553104 41.34777722
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
0.636593576 0.622755687 0.609506577 0.596809451 0.584630521 0.572938698 0.561705333 0.550903979 0.540510187 0.530501317 0.520856375 0.511555867 0.502581667 0.493916899 0.48554583 0.477453777 0.46962702 0.462052721 0.454718862 0.447614171 0.440728073 0.434050632 0.427572507 0.421284904 0.415179541 0.409248608 0.403484735 0.397880962 0.392430709 0.387127754 0.381966205 0.37694048 0.372045287 0.367275607 0.362626674 0.358093959 0.353673159 0.34936018 0.345151123 0.341042279 0.33703011 0.333111244 0.329282464 0.325540699 0.321883015 0.318306611 0.314808807