线性系统理论精简版 ——4.系统的可控可观性剖析
线性系统的可控性和可观性
第四章 线性系统的可控性和可观性§4-1 问题的提出经典控制理论中用传递函数描述系统的输入—输出特性，输出量即被控量，只要系统是因果系统并且是稳定的，输出量便可以受控，且输出量总是可以被测量的，因而不需要提出可控性和可观性的概念。
现代控制理论是建立在用状态空间法描述系统的基础上的。
状态方程描述输入)(t u 引起状态)(t x 的变化过程；输出方程描述由状态变化所引起的输出)(t y 的变化。
可控性和可观性正是定性地分别描述输入)(t u 对状态)(t x 的控制能力，输出)(t y 对状态)(t x 的反映能力。
它们分别回答：“输入能否控制状态的变化”——可控性 “状态的变化能否由输出反映出来”——可观性可控性和可观性是卡尔曼（Kalman ）在1960年首先提出来的。
可控性和可观性的概念在现代控制理论中无论是理论上还是实践上都是非常重要的。
例如：在最优控制问题中，其任务是寻找输入)(t u ，使状态达到预期的轨线。
就定常系统而言，如果系统的状态不受控于输入)(t u ，当然就无法实现最优控制。
另外，为了改善系统的品质，在工程上常用状态变量作为反馈信息。
可是状态)(t x 的值通常是难以测取的，往往需要从测量到的)(t y 中估计出状态)(t x ；如果输出)(t y 不能完全反映系统的状态)(t x ，那么就无法实现对状态的估计。
状态空间表达式是对系统的一种完全的描述。
判别系统的可控性和可观性的主要依据就是状态空间表达式。
【例如】（1）u x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=202001 []x y 01=分析：上述动态方程写成方程组形式：⎪⎩⎪⎨⎧=+==1221122xy u x x x x 从状态方程来看，输入u 不能控制状态变量1x ，所以状态变量1x 是不可控的；从输出方程看，输出y 不能反映状态变量2x ，所以状态变量2x 是不能观测的。
即状态变量1x 不可控、可观测；状态变量2x 可控、不可观测。
线性系统理论(第四章)线性系统的能控性和能观测性
x(t) (t,t0 )[x0 (t)]
上式表明能观测性即是x(t)可由y(t) 完全估计的能力。可
把输入u 的 等价状态 (t) 等同初始状态看待，从而在状
态方程和输出方程中去掉u 的相关项。因此相应的状态
空间描述为
x A(t)x(t)
t0,t J
y C(t)x(t)
x(t0 ) x0
x0TWC (0, t1)x0
t1 0
x0T
eAt
BBT
eAT t
x0
dt
t1 0
BT
eAT t
x0
2
dt
0,
BT eATt x0 0
x(t1) eAt1 x0
t1 eA(t1t) Bu(t) d t 0
0
x0
et1 -At1
0
Bu(t) d t
x0
2
x0T x0
[
et1 -At1
② 系统能控：如果状态空间中的所有非零状态都是在 t0 时 刻可控的，则称系统在 t0 时刻是完全可控，简称系统在 时刻 t0 可控。如果系统对任意初始时刻 t0 完全可控， 则称系统一致可控。
③系统不完全能控：如果对给定得初始时刻 t0 Tt ，如果状
态空间中存在一个或一些非零状态在 t0 时刻是不可控的，则 称系统在 t0 时刻是不完全可控的，也称系统是不可控的。
三、能观测性定义
线性时变系统的状态方程及输出方程为
x A(t)x(t) B(t)u(t) x C(t)x(t) D(t)u(t)
t0,t J x(t0 ) x0
系统状态方程 解
x(t) (t,t0)x(t0)
t
(t, τ)B(τ)u(τ)d τ
《自动控制原理》线性系统的可控性与可观测性
将状态 x(t0 ) = 0 转移到 x(t f ) =x f 的控制作用，则称状态 x f 是 t0 时刻 可达的。若x f 对所有时刻都是可达的，则称状态x f 为完全可达或 一致可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻 t0 可达的， 则称该系统是 t0 时刻状态完全可达的，或简称该系统是 t0 时刻可达
可观测性问题: 相应地，如果系统所有状态变量的任意形式 的运动均可由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，简称为系 统可观测。反之，则称系统是不完全可观测的，或简称为系统不可 观测。
可控性与可观测性概念，是卡尔曼于20世纪60年代首先提出 来的，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论 中起着重要的作用。它不仅是研究线性系统控制问题必不可少的重 要概念，而且对于许多最优控制、最优估计和自适应控制问题，也 是常用到的概念之一。
在研究可观测性问题时，输出 y 和输入 u 均假定为已知，只有初始
状态 x0 是未知的。因此，若定义
t
y(t) = y(t) − C(t) (t, )B( )u( )d − D(t)u(t) t0
则式（9-79）可写为
y(t) = C(t)(t,t0 )x0
（9-80）
这表明可观测性即x0 可由 y 完全估计的性能，由于 y 和 x0 可任意取
y = −6x2
这表明状态变量 x1 和 x2 都可通过选择控制量 u 而由始点达到原
点，因而系统完全可控。 如何判别？
但是，输出 y 只能反映状态变量 x2 ，而与状态变量 x1 既无直
接关系也无间接关系，所以系统是不完全可观测的。如何判别？
变化：（1）b1=0 ? （2）a12≠0 ？ (3) a21≠0 ?
值，所
第四章线性定常系统的可控性和可测性资料
• 显然那些与输入（控制）无关的状态是不 可控的，这些状态构成了不可控子空间。 而与输入（控制）有关的状态是可控的， 这些状态构成了可控子空间。
• 上述方法称为按能控性分解，显然主要是 对A和B进行变换。
• ⑵. 另一种，则是按能观性分解，其方法是 类似的。即将状态空间表达式中的状态分 解为：一部分状态与输出有关，另一部分 状态则与输出是无关的。显然这主要是通 过对C的变换来达到。
• ⑶. 第三种方法是按能控性和能观性进行分 解
• 显然如果系统不可控也不可观，则需要同 时进行可控和可观性分解。A, B, C
三. 按可控性分解
• 设定常系统
x Ax Bu
y Cx
(3 1)
是状态不完全能控，其能控性判别阵：
M B, AB, , An1B
的秩 rankM n1 n
1 R1 b 1 ,
0
0 R2 Ab 1 ,
1
1 R3 0 任意
0
1 0 1 R c 1 1 0
0 1 0
• 检查 det Rc 1 0 ，故 Rc 满秩。
•则
0 1 1
Rc1 0 0
1
1 1 1
•则
0 1 1
Aˆ
Rc1 ARc
1
2
0
0
0
1
1
Bˆ
Rc1B
0
• 2.性质
(1).对偶系统 S1和 S2 的传函阵互为转置,即
GS 2 (GS1)T
(2).对偶系统的特征值是相同的
• 3.对偶原理
(1)若 S1 可控则有 S2 可观 (2)若 S2可观则有 S1 可控
线性系统的可控性与可观测性
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第三章 线性系统的可控性与可观测性
本章主要介绍定性分析方法，即对决定系统运
动行为和综合系统结构有重要意义的关键性质（如
可控性、可观测性、稳定性等）进行定性研究。
在线性系统的定性分析中，一个很重要的内容
是关于系统的可控性、可观测性分析。系统的可控、
可观测性是由卡尔曼于60年代首先提出的，事后被
证明这是系统的两个基本结构属性。
本章首先给出可控性、可观测性的严格的数学
定义，然后导出判别线性系统的可控性和可观测性
的各种准则，这的。
整理版
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
第三章 线性系统的可控性与可观测性
3.1 可控性和可观测性的定义 3.2 线性定常连续系统的可控性判据（※） 3.3 线性定常连续系统的可观测性判据（※） 3.4 对偶原理
如果系统内部所有状态变量的任意形式的运动均可
由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，否则就
称系统为不完全可观测的，或简称为系统不可观测。
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
例3-1：给定系统的状态空间描述为
xx1204 05xx1212u
y 0
6
x1 x2
图3-1 系统结构图
如果对取定初始时刻 t0 Tt 的一个非零初始状态 x(t0) =x0，存在一个时刻 t1Tt,t1t0 和一个无约 束的容许控制u(t)，t [t0,t1]，使状态由x(t0)=x0转 移到t1时的x(t1)=0 ，则称此x0是在时刻t0可控的.
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
第四章线性系统的可控性和可观性2
§4-5 线性定常连续系统的可观测性一、可观测性的定义定义4.4（可观测性定义）：设线性定常连续系统的状态方程和输出方程为Bu Ax x+= ，cx y =，如果对于任一给定的输入)(t u ，存在一有限观测时间0t t f >，使得在],[0f t t 期间测量到的)(t y ，能唯一地确定系统的初始状态)(0t x ，则称此状态是可观测的。
若系统的每一个状态都是可观测的，则称系统是状态完全可观测的，简称系统是可观测的。
二、线性定常连续系统可观测性的判别准则定理4.6：（可观测性判别准则Ⅰ）线性定常连续系统Bu Ax x += ，cx y =，其状态完全可观测的充分必要条件是：由A 、C 构成的可观测性判别矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-1n o cA cA c Q 满秩，即n rankQ o =【例4.5.1】判别可观测性（1）u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=110154 ，[]x y 11-=（2）u x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=113112 ，x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0101说明： 在定义中之所以把可观测性规定为对初始状态的确定，这是因为一旦确定了初始状态，便可根据给定输入，利用状态方程的解 ⎰-+-=tt d Bu t t x t t t x 0)()()()()(00τττφφ 就可以求出各个瞬间状态。
（3）u x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111001 ，[]x y 11= 解：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5511cA c Q o ，21<=o rankQ ，故系统是不可观测的。
（2）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=12120101cA c Q o ，22==o rankQ ，故系统是可观测的。
（3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1111cA c Q o ，21<=o rankQ ，故系统是不可观测的。
定理4.7：（可观测性判别准则Ⅱ）设线性定常连续系统Bu Ax x+= ，cx y =，A 阵具有互不相同的特征值，则其状态完全可观测的充分必要条件是系统经非奇异变换后的对角标准型u B x x n +⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλ001， x c y = 中的矩阵c 中不含元素全为零的列。
4.系统的可控可观性
和不可控状态空间。
因此，系统的可控性是刻画系统的结构性质，与系 统的具体输入u无关。
说明2： 可控性分为状态可控性和输出可控性，若 不特别指明，一般指状态可控性。状态可控性只与 状态方程有关，与输出方程无关。 说明3：等价定义于若给定系统的一个初始状态可为
x(t0 )
t0可以为 0 ，如果在的有限时间区间 t0 , t1内，
若输入矩阵中B3≠0,则 输入u (t)对状态变量x3 有直接的控制作用。此 时，即使中其他行的元 素全为0，即B1=0和B2=0，源自uB1
x1
B2
x2
输入u (t)对状态变量x1和
x2也可以通过状态变量x3 产生间接的控制作用。
B3
x3
因此，只要B3≠0 ，输入
u (t)对各状态变量都有 控制作用。
解：
4.1.4 系统的可观性概念 如果系统所有的状态变量任意形式的运动均可由 有限时间的输出测量完全确定出来，则称系统是可观
测的，简称为系统可观测；反之，则称系统是不完全
可观测的，简称为系统不可观测。
提示：号脉
在下面讨论能观测性条件时，我们将只考虑零输
入系统。这是因为，状态能否被观测，与有没有输入
At o
由于矩阵A、B、C和D均为已知，u(t)也已知，所 以上式右端的最后两项为已知，因而它们可以从被量
测值y(t)中消去。因此，为研究能观测性的充要条件，
只考虑式零输入系统就可以了。
4.1.5 系统的可观性判据 判据一：考虑下式所描述的线性定常系统。
Ax x y Cx
其输出向量为
y(t ) Ce At x(0)
线性系统理论第4章线性系统的能控性和能观测性
CA
n 1
满秩，即rankQ o=n
n 维连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为：
rank
SI C
A
n
S C
或
rank
i
C
I
A
n
, 1, 2 ,n
为系统特征值
结论6：n维连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为：矩阵A不 存在与C所有行正交的非零右特征向量，即对矩阵A所有特征值，使同时满足
如果对初始时刻h和任意非零状态Xl，都存在时刻l∈Jk,l>h和对应输入u(k)，使输 入作用下由初始状态X(h)=0出发的系统运动在时刻l∈Jk达到Xl，则称系统在时刻 h完全能达。
结论1 离散时间线性时变系统在时刻h完全能达的充分必要条件为，存在时刻 l∈Jk,l>h，使格兰姆矩阵
A i ,C 0 的右特征向量 0
3/5,14/45
结论7：对n维连续时间线性时不变系统，若A为对角阵，且其特征值两两相异，系 统完全能观测的充分必要条件是C阵中不包含零列向量。 结论8：对n维连续时间线性时不变系统，若A为约当阵，系统完全能观测的充分
必要条件是：
①特征值互异的约当块第一列对应的C阵中，该列元素不全为零。 ②特征值相同的约当块第一列对应的C阵中，各列向量线性无关。
t1
t0
(t1
,
)
B(
)u(
)d
(t1,t0 )x(t0 )
t1
t0
(t1
,
)
B(
)
BT
(
)
T
(t0
,
)W
1
(t0
,
t1
)
x(t0
线性系统的可控性与可观测性
线性系统的可控性与可观测性经典控制理论中用传递函数描述系统的输入-输出特性，输出量即被控量，只要系统是因果系统并且稳定，输出量便可以控制。
且输出量总是可以被测量的，因而不需提出可控性及可观测性概念，现代控制理论中用状态方程和输出方程描述系统，输入和输出构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量，这就纯在着系统内的所有状态是否可受输入影响和是否可由输出反映的问题，这就是可控性和可观测性问题。
如果系统所有状态变量的运动都可以由输入来影响和控制由任意的初态达到原点，则称系统是完全可控的，或者更确切的说是状态完全可控的额，简称为系统可控；否则就称系统是不完全可控的，或简称为系统不可控。
相应的，如果系统所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反映，则称西戎是状态完全可观测的，简称为系统可观测；反之系统是不完全可观测的，或简称为系统不可观测。
可控性与可观测概念是卡尔曼与20世纪60年代首先提出来的是用状态空间描述系统引申出来的新概念，在现代控制理论中起着重要的作用。
它不仅是研究性线性系统控制问题必不可少的重要概念，而且对于徐福哦最优控制、最优估计和自适应控制问题，也是常用到的概念之一。
下面我们现举例来直观地说明可控性与可观测性的而无力概念，然后给出可控性与可观测性的严格定义。
应当指出，对可控性和可观测性所作的直观说明，只是对这两个概念的直觉的但不严密的描述，而且也只能用来解释和判断非常直观和非常简单系统的可控性和可观测性。
为了揭示可控性和可观测性的本质属性，并用于分析和判断更为一般和较为复杂的系统，需要对这两个概念建立严格的定义，并在此基础上导出相应的判别准则。
尽管本章主要研究线性定常数，但由于线性时变系统的可控性和可观测性定义更具有代表性，而线性定常数系统知识线性时变系统的一种特殊类型，因而我们选用线性时变系统给出可控性和可观测性的严格定义。
线性系统理论chapter4线性系统的能控性和能观测性
也可写成
y(t) C(t)(t,t0 )x0
所谓能观测性即是研究x0的可由y的完全估计性，等 价于研究u = 0时y来估计x0的可能性。
: x A(t)x, x(t0) x0 , t0,t J
y C(t)x
6
定义4.6 系统Σ，对初始时刻t0∈J的一个非零初始状态 x0，存在一个有限时刻t1∈J，t1> t0，使对所有t∈[t0， t1]有y(t) = 0，则称此x0在t0时刻是不能观测的。 定义4.7 系统Σ，如果状态空间中的所有非零状态都不 是完时 全刻能观t0(t测0 ∈的J。)不如能果观对测任状意态初，始则时称刻系t0 统∈ΣJ均在为时完刻全t0是能 观测，则称系统Σ是一致完全能观测的。
bˆrik
12
而一(行ri1所+ 组ri2+成…的矩+ri阵ai ) = i，由Bˆik (k 1, ,ai ) 的最后
bˆri1 bˆri2
bˆriai
对i = 1,2, … ,l均为行线性无关。
13
4.3 连续时间线性时不变系统的 能观测性判据
格拉姆矩阵判据
方程 x Ax, x(0) x0,t 0
N0 (t1)
rank
n
其中
N n1 (t1 )
N0 (t) C(t)
N1(t)
N0 (t) A(t)
d dt
N0 (t)
N n1 (t )
Nn2
(t) A(t)
d dt
Nn2 (t)
返回 23
4.5 离散时间线性系统的能控性和 能观测性判据
时变系统的能控性和能达性判据
: x(k 1) G(k)x(k) H (k)u(k), k Jk
线性系统的可控性与可观测性概述
2．系统可控
考虑n维线性时变系统的状态方程
x A(t ) x B(t )u
x(t0 ) x0
t Tt
如 果 状 态 空 间 中 的 所 有 非 零 状 态 都 是 在 t0 （ t 0 Tt ）时刻可控的，则称系统在时刻t0是
完全可控的，简称系统在时刻 t0 可控。若系
统在所有时刻都是可控的，则称系统是一致
可控的。
6
第3章 线性系统的可控性和可观测性
3．系统不完全可控
对于线性时变系统
x A(t ) x B(t )u
x(t0 ) x0
t Tt
取定初始时刻 t 0 Tt ，如果状态空间中存在一 个或一些非零状态在时刻 t0 是不可控的，则称 系统在时刻 t0 是不完全可控的，也称为系统是 不可控的。
第3章 线性系统的可控性和可观测性
第三章 线性系统的可控性与可观测性
本章主要介绍定性分析方法，即对决定系统运 动行为和综合系统结构有重要意义的关键性质（如 可控性、可观测性、稳定性等）进行定性研究。 在线性系统的定性分析中，一个很重要的内容 是关于系统的可控性、可观测性分析。系统的可控、 可观测性是由卡尔曼于60年代首先提出的，事后被 证明这是系统的两个基本结构属性。 本章首先给出可控性、可观测性的严格的数 学定义，然后导出判别线性系统的可控性和可观测 性的各种准则，这些判别准则无论在理论分析中还 是在实际应用中都是很有用的。 1
13
第3章 线性系统的可控性和可观测性
因系统完全可控，根据定义对此非零向量 x0 应有
x(t1 ) e x0 e At1 e At Bu (t )dt 0
At1 0 t1
x0 e At Bu(t )dt
线性系统的可控性与可观性
可控性可观测性例题
【例】
y 1 0 x
1 0 0 x x u 0 2 2
解：上述动态方程可写成：
1 x1 x 2 2 x 2 2u x y x 1
输入u不能控制状态变量 x1，所以状态变量 x 1 是不可控的； 从输出方程看，输出y不能反映状态变量
n 1
a1 a 0
则A满足特征方程
f (A) A
证明 证明:
n
a n 1 A
n 1
a1 A a 0 I 0
Ax Bu x x (t ) (t to ) x (t0 )
tf t0
x ( t 0 ) ( t 0 )Bu ( )d
x(t) 的变化过程；输出方程描述由状态变化所引起的输出 的变化过程 输出方程描述由状态变化所引起的输出
y(t ) 的变化。
可控性和可观性回答：“输入能否控制系统状态的变化”——可控性 状 变化能否 输 反映 观性 “状态的变化能否由输出反映”——可观性 可控性和可观性的概念是卡尔曼（Kalman）在1960年首先提出, 是经典控 制进入现代控制理论的标志之 。 制进入现代控制理论的标志之一。
x (t0 )
tf t0
m 0
n 1
A
m
B
t t0
f
m
( t 0 ) u ( ) d
tf t0
[ B 0 ( t 0 ) u ( )d A B 1 ( t 0 ) u ( )d A
u0 u AB An 1 B ) 1 u n 1
线性系统的可控性与可观性
41线性系统的能控性和能观性
x1(t)-x2(t)=e-3t[x1(0)-x2(0)] 即状态x1(t)和x2(t)总是相差一个固定的,不受u(t)控制的函数
值。
3/22/2020
第4章 线性系统的能控性和能观性
✓ 因此,x1(t)和x1(t)不能在有限时间内同时被控制到零 或状态空间中的任意状态,只能被控制在满足由状态 方程解所规定的状态空间中的曲线上。
3/22/2020
第4章 线性系统的能控性和能观性
动态系统的能控性和能观性是揭示动态系统不变的本质 特征的两个重要的基本结构特性。
卡尔曼在60年代初首先提出状态能控性和能观性。 其后的发展表明,这两个概念对回答被控系统能否进行控 制与综合等基本性问题,对于控制和状态估计问题的研究, 有着极其重要的意义。系统能控性指的是控制作用对被 控系统的状态和输出进行控制的可能性。
• 具有这种特性的系统称为状态不能控的。
3/22/2020
第4章 线性系统的能控性和能观性
补充例 给定系统的状态空间模型为
x1 x2
2x1 x2 u x1 2x2 u
由该状态方程可知,状态变量x1(t)和x2(t)都可由输入u单独控制, ✓ 可以说,x1(t)和x2(t)都是单独能控的。
3/22/2020
第4章 线性系统的能控性和能观性
现代控制理论中着眼于对系统内部特性和动态变化的状态 进行分析、优化和控制。 状态变量是表征系统动态变化的一组内部变量,有时并不能 直接测量或间接测量,故存在能否利用可测量或观测的输入 输出的信息来构造系统状态的问题。
3/22/2020
第4章 线性系统的能控性和能观性
状态能控性反映输入u(t)对状态x(t)的控制能力。
如果状态变量x(t)由任意初始时刻的任意初始状态引起的运动都 能由输入(控制项)来影响,并能在有限时间内控制到空间原点,那 么称系统是能控的,或者更确切地说,是状态能控的。否则,就称系 统为不完全能控的。
线性系统的可控性和可观性
线性系统的可控性和可观性摘要：线性系统的可控性和可控性是线性系统最基本的概念。
本文从这个基本概念着手，介绍了线性系统的可控标准形和可观标准形，并且对系统可控性和可观性的判据做了详细的介绍。
本文的研究有利于对线性系统可控性和可观性的知识体系有一个比较好的了解，对进一步学习现代控制理论提供一个扎实的基础，同时通过对相关知识的归纳总结，为以后的学习研究提供了一个好的方法。
通过对其中大量高等数学的学习与应用，可以提高应用高等数学解决相关问题的意识与能力。
关键词:线性系统；可控性；可观性Linear system controllability and observabilityHou Shibo Liu Yingrui Wang linlin Lin HuanAbstact: Controllability of linear systems and control is the most basic concepts of linear systems. This paper started from this basic concept, introduced the form of linear system controllability and observability of the standard normal form, and the system controllability and observability criterion for a detailed description. This study is beneficial to the linear system controllability and observability of knowledge have a better understanding of the further study of modern control theory provides a solid foundation, through summarized the relevant knowledge for the future of learning Study provides a good method. Through which a large number of learning and application of advanced mathematics, applied mathematics can improve awareness of the problem solving and capacity-related.Key words: Linear system ；Controllable ；Observability0 引言在控制工程中，有两个问题经常引起设计者的关心。
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和不可控状态空间。
因此，系统的可控性是刻画系统的结构性质，与系 统的具体输入u无关。
说明2： 可控性分为状态可控性和输出可控性，若 不特别指明，一般指状态可控性。状态可控性只与 状态方程有关，与输出方程无关。 说明3：等价定义于若给定系统的一个初始状态可为
x(t0 ) t0可以为 0 ，如果在的有限时间区间t0 , t1 内，
的子系统并联。 输入u(t)对状态变 量 xi是否有控制作用 取决于输入矩阵B中 第i行的元素是否不 全为0，即是否 Bi 0
Bn
1
B2
x2
2
xn
n
如果矩阵A不具有互异的特征向量，则不能将其化为对 角线形式。在这种情况下，可将A化为Jordan标准形。
若输入矩阵中B3≠0,则 输入u (t)对状态变量x3 有直接的控制作用。此 时，即使中其他行的元 素全为0，即B1=0和B2=0，
第4章控制系统的可控性和可观测性
在经典控制理论中，着眼点在于研究对系统输出
的控制。对于一个单输入—单输出系统来说，系统的
输出量既是被控量，又是观测量。因此，输出量明显 地受输人信号控制，同时，也能观测，即系统不存在 能控、不能控和能观测、不能观测的问题。现代控制 理论着眼点在于研究系统状态的控制和观测。这时就 遇到系统的能控性和能观测性问题了。可控性、可观 性与稳定性是现代控制系统的三大基本特性。
由于：
1 1 det U det [ B AB] 0 0 0
即U为奇异，所以该系统是状态不能控的。
例4-2 考虑由下式确定的系统：
1 1 1 x1 0 x u x 2 2 1 x2 1
由于：
det U det [ B AB]
4.1 可控性和可观测性
4.1.1 系统的可控性概念 如果系统所有状态变量的运动都可以通过有限 点的控制输入来使其由任意的初态达到任意设定的
终态，则称系统是可控的，更确切的说是状态可控
的；否则，就称系统是不完全可控的，简称为系统 不可控。
说明1： 系统在时刻 t 的运动状态是由n个状态变量综 合描述的。系统可控就意味着这n个状态变量都必须与 系统的控制输入存在确定的联系，如果有一个或部分状 态变量不接受输入控制，就称系统是不可控的，或称系 统是部分可控。这样系统状态空间就分为可控状态空间
u
B1
x1
B2
x2
输入u (t)对状态变量x1和
x2也可以通过状态变量x3 产生间接的控制作用。
B3
x3Βιβλιοθήκη 因此，只要B3≠0 ，输入
u (t)对各状态变量都有 控制作用。
例4-3 下列系统是状态能控的：
1 1 x x 2 0
1 1 x x 2 0 3 0 x 1 2 x x 2 0 x 3 0 4 x x5 0 1
提示：说明3+说明4=任意位置 到任意位置
时变系统y可以用格拉姆矩阵 判断，充要条件。复杂。
4.1.2 系统状态的可控性判据 判据一：若线性定常系统状态方程 x(t ) Ax(t ) Bu
能控，则能控性矩阵
满秩。即
U B
AB
A2 B
...
An1B
rank(U） n
反之也成立。
1 5
下列系统是不能控的：
1 1 x x 2 0 1 1 x x 2 0 3 0 x 1 2 x x 2 0 x 3 0 4 x x 0 5 0 x1 2 u 2 x2 0 1 1 0 1 2 0 0 x1 4 x 0 0 2 2 3 x3 0 1 2 5 0 2 u1 0 u2 0 0 x1 4 x 2 2 x3 1 u 1 x4 3 0 5 x5
判据一的证明从略，结合具体例子介绍其方法。 能控性矩阵的秩称为系统的能控性指数，表示 系统的能控状态变量的个数。
其它充要判据等价从略
例4-1 考虑由下式确定的系统：
x1 1 1 x1 1 x 0 1 x 0 u 2 2
存在控制 u(t ) 使 x(t1 ) 0 ，则称系统状态在 t 0 时刻是
能控的；如果系统对任意一个初始状态都能控，则
称系统是状态完全能控的。
说明4：如果在时间区间 t0 , t1 内存在控制 u(t ) ，使
系统从状态空间坐标原点 x(t0 ) 0 推向预先指定的
状态x(t1 )，则称为状态能达性。可以证明系统能控性 与能达性是等价的。
0
1
1 1
0
即U为非奇异，所以该系统是状态能控的。
判据二：如果A的特征向量互不相同，则经过线性变 换将A阵转换为对角阵后，系统可控的充要条件是转 换后的状态方程：
其输入矩阵 没有一行的所有元素均为零。
每一个方程都有 u参与
可见，系统各状态变 量之间没有耦合关系，
u
B1
x1
系统相当于n个独立
0 x1 2 u 2 x2 5
1 0 1 2 0 0 x1 0 x 4 u 0 2 2 3 x3 0 1 2 5 0 0 x1 0 x 0 2 x3 3 x 4 0 2 x5 1 0 u 0 1 u 2 0 1