概率密度、分布函数和上分位点的数值计算
概率密度分布函数和上分位点的数值计算
概率密度分布函数和上分位点的数值计算对于连续型随机变量X，其概率密度分布函数f(x)满足下列两个条件：1.对于任意的x，f(x)≥0；2. 在定义域D上，∫f(x)dx = 1，其中积分范围为整个定义域D。
上分位点是一个与概率相关的概念。
对于具有概率密度分布函数f(x)的随机变量X，给定一个概率p（0≤p≤1），上分位点q_p是一个实数，满足P(X≤q_p)=p。
换句话说，上分位点是使得随机变量X小于或等于该值的概率等于给定概率p的值。
计算概率密度分布函数和上分位点的数值通常需要根据随机变量的性质和分布类型来进行。
以下是几种常见类型的随机变量以及如何计算其概率密度分布函数和上分位点的方法：1. 均匀分布（Uniform Distribution）：在[a,b]区间上的均匀分布具有概率密度函数为 f(x) = 1/(b-a)，其中a ≤ x ≤ b。
上分位点的计算方法为 q_p = a + p(b-a)。
2. 正态分布（Normal Distribution）：正态分布是最常见的分布之一，在统计学和自然科学研究中广泛应用。
正态分布的概率密度函数为f(x) = (1/(σ√(2π))) * e^(-(x-μ)²/(2σ²))，其中μ是均值，σ是标准差。
上分位点的计算通常需要使用正态分布的累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）和逆函数，可以使用查表或计算工具完成。
3. 指数分布（Exponential Distribution）：指数分布用于描述独立随机事件发生的时间间隔的概率分布。
指数分布的概率密度函数为 f(x)= λe^(-λx)，其中λ是速率参数。
上分位点的计算方法是，找到满足累积分布函数P(X≤q_p) = p 的数值q_p，通常使用查表或计算工具进行计算。
4. 伽玛分布（Gamma Distribution）：伽玛分布是一种用于描述正数上随机变量的概率分布。
分位数
且X与Y相互独立，则称统计量 T
X Y
n
服从自由度为n的t分布或学生氏分布，记作T ～t(n).
t分布的概率密度函数为
f(t)
(n
2
1)
n (n2)
(1
t2 n
)
n1
2,
( t )
其图形如图5-6所示(P106)，其形状类似标准正态分布
的概率密度的图形.
当n较大时， t分布近似于标准正态分布.
在附表中所列的值都比较小，当 较大
时，可用下面公式
F1(n1, n2)
1 F(n2, n1)
例如，F0.99(18, 2)
1 F0.01(2,18)
1 6.01
≈0.166
F 分布的双侧分位数
称满足条件
P F
F12(n1, n2)
P F
F 2
(n1,
当n较大时， t分布近似于标准正态分布.
一般说来，当n>30时，t分布与标准正态分布N(0，
1)就非常接近.
但对较小的n值，t分布与标准正态分布之间有较大
差异.且P{|T|≥t0}≥P{|X|≥t0}，其中X ～N(0，1)，即在t分 布的尾部比在标准正态分布的尾部有着更大的概率.
t 分布的数学期望与方差（补充）
t 分布的双侧分位数 由于t分布的对称性，称满足条件
P T t 2(n) (5.12)
的数t/2(n)为t分布的双侧分位数或双侧临界值，
其几何意义如图5-8所示.
f(t)
/2
/2
- t/2(n) O t/2(n) t
图5-8
附表中给出了t分布的临界值表.
标准正态分布的分位数
标准正态分布的分位数标准正态分布是统计学中非常重要的一种分布，它具有许多特殊的性质，其中之一就是其分位数的计算方法。
在实际应用中，我们经常需要计算标准正态分布的分位数，以便进行统计推断和假设检验。
本文将详细介绍标准正态分布的分位数的计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一概念。
首先，我们需要明确标准正态分布的概念。
标准正态分布是均值为0，标准差为1的正态分布，其概率密度函数为：\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\]其中，\(x\)为随机变量的取值，\(e\)为自然对数的底。
标准正态分布的分位数通常用符号\(z\)表示，即对于给定的概率\(p\)，我们需要找到一个数\(z\)，使得\(P(Z \leq z) = p\)。
这个数\(z\)就是标准正态分布的分位数。
计算标准正态分布的分位数通常需要使用统计软件或查阅标准正态分布表。
但是，我们也可以通过一些近似的方法来计算分位数。
下面我们将介绍两种常用的计算方法。
一种常用的计算方法是使用标准正态分布表。
标准正态分布表给出了标准正态分布的分位数对应的概率值。
我们可以根据给定的概率值，在标准正态分布表中查找对应的分位数。
例如，如果我们需要找到\(P(Z \leq z) = 0.95\)对应的分位数，我们可以在标准正态分布表中查找0.95对应的分位数，然后找到最接近的数作为分位数。
这种方法的优点是简单直观，缺点是精度有限，对于一些特定的概率值可能无法找到精确的分位数。
另一种常用的计算方法是使用统计软件进行计算。
现代统计软件通常提供了标准正态分布分位数的计算功能，可以非常方便地得到精确的分位数。
我们只需要输入对应的概率值，软件就可以给出相应的分位数。
这种方法的优点是精度高，可以得到较为精确的分位数，缺点是需要借助统计软件，不够直观。
在实际应用中，我们需要根据具体的情况选择合适的计算方法。
如果对分位数的精度要求不高，可以使用标准正态分布表进行查找；如果对分位数的精度要求较高，可以使用统计软件进行计算。
分布 概率密度
分布概率密度摘要：1.分布与概率密度的基本概念2.常见概率密度函数及其应用3.概率密度在实际问题中的意义和作用4.分布与概率密度在统计学中的重要性正文：一、分布与概率密度的基本概念分布是指在概率论和统计学中，对于一组数据或随机变量，其取值范围、取值规律和概率分布特征的描述。
而概率密度（Probability Density）是一种描述随机变量在某个取值范围内分布情况的函数，常用符号ρ（或f（x））表示。
二、常见概率密度函数及其应用1.均匀分布：在区间[a, b]上均匀分布的随机变量X的概率密度函数为：f(x) = 1 / (b - a)。
均匀分布的概率密度函数在区间内是恒定的，即各个取值的概率相等。
2.指数分布：指数分布的概率密度函数为：f(x) = λe^(-λx)，其中λ为正常数。
指数分布常用于描述等待时间、故障间隔时间等场景。
3.正态分布：正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1 / √(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2 / 2σ^2)，其中μ为均值，σ为标准差。
正态分布广泛应用于自然科学、社会科学和工程领域。
4.泊松分布：泊松分布的概率密度函数为：f(x) = (λe^(-λ) * x) / λ！，其中λ为正常数。
泊松分布用于描述单位时间内随机事件发生的次数。
三、概率密度在实际问题中的意义和作用概率密度在实际问题中具有很大的意义，它可以帮助我们了解随机变量在某个取值范围内的分布规律，从而对不确定性事件进行预测和分析。
例如，在产品质量检测中，通过概率密度函数可以评估产品不合格的概率；在金融领域，概率密度函数可以用于描述风险收益的分布特征。
四、分布与概率密度在统计学中的重要性分布和概率密度在统计学中具有举足轻重的地位。
统计学研究的中心问题是如何从观测数据中估计未知参数，而分布和概率密度正是这一过程中的重要工具。
通过概率密度函数，我们可以对未知参数进行点估计和区间估计，为决策提供依据。
实验一常见分布的概率密度、分布函数生成
实验一：常见分布的概率密度、分布函数生成实验目的：会利用 Matlab 软件计算离散型随机变量的概率、连续型随机变量概率密度值,以及产生离散型随机变量的概率分布(即分布律)。
利用 Matlab 软件计算分布函数值, 或计算形如事件{X≤x}的概率。
求上α分位点以及分布函数的反函数值。
实验分析：本次实验主要需要运用matlab，掌握常见分布的分布律和概率密度的产生命令，如binopdf，normpdf等，常见分布的分布分布函数命令，如binocdf，normcdf等。
常见分布的分布分布函数反函数命令，如binoinv，norminv等实验过程：1. 事件 A 在每次试验中发生的概率是 0.3（1）在 10 次试验中 A 恰好发生 6 次的概率实验程序>> binopdf(6,10,0.3)运行结果为：ans =0.0368（2）生成事件A发生次数的概率分布实验程序>> binopdf(0:10,10,0.3)运行结果为：ans =Columns 1 through 90.0282 0.1211 0.2335 0.2668 0.2001 0.1029 0.0368 0.0090 0.0014Columns 10 through 110.0001 0.0000（3）在 10 次试验中 A 至少发生 6 次的概率实验程序>> binocdf(6,10,0.3)运行结果为：ans =0.9894（4）设事件A发生次数为X，且X的分布函数为F(x)，求F(6.1)；又已知F（x）=0.345，求x实验程序>> binocdf(6.1,10,0.3)运行结果为：ans =0.98942．设随机变量 X服从参数是 3 的泊松分布（1）概率 P{X=6}实验程序>> poisscdf(6,3)运行结果为：ans =0.0504（2）X的分布律前七项实验程序>> poisscdf(0:6,3)运行结果为：ans =0.0498 0.1494 0.2240 0.2240 0.1680 0.1008 0.0504 （3）设X的分布函数为F(x)，求F(6.1)；又已知F（x）=0.345，求x实验程序>> poisscdf(6.1,3)运行结果为ans =0.9665>> poissinv(0.345,3)运行结果为：ans =23．设随机变量 X服从区间[2, 6]上的均匀分布（1））X=4 时的概率密度值实验程序>> unifpdf(4,2,6)运行结果为：ans =0.2500（2）P{X≤5}实验程序>> unifcdf(5,2,6)运行结果为：ans =0.7500（3）若P{X≤x}=0.345，求x实验程序>> unifinv(0.345,2,6)运行结果为：ans =3.38004．设随机变量 X 服从参数是 6 的指数分布（1）X=0，1，2，3，4，5，6 时的概率密度值实验程序>> exppdf(0:6,6)运行结果为：ans =0.1667 0.1411 0.1194 0.1011 0.0856 0.0724 0.0613（2）P{X≤5}实验程序>> expcdf(5,6)运行结果为：ans =0.5654(3)若P{X≤x}=0.345，求x实验程序>> expinv(0.345,6)运行结果为：ans =2.53875．设随机变量 X 服从均值是 6，标准差是2 的正态分布(1)X=3，4，5，6，7，8，9 时的概率密度值实验程序>> normpdf(3:9,6,2)运行结果为：ans =0.0648 0.1210 0.1760 0.1995 0.1760 0.1210 0.0648（2）X=3，4，5，6，7，8，9 时的分布函数值实验程序>> normcdf(3:9,6,2)运行结果为：ans =0.0668 0.1587 0.3085 0.5000 0.6915 0.8413 0.9332 (3) 若P{X≤x}=0.345，求x 实验程序>> norminv(0.345,6,2)运行结果为：ans =5.2023(4)求标准正态分布的上0.05分为点实验程序>> norminv(0.95,0,1)运行结果为：ans =1.6449实验二：随机数的生成实验目的：通过本次实验，了解Matlab在概率与数理统计领域的应用，学会用matlab掌握常见分布的随机数产生的有关命令，掌握利用随机数进行随机模拟的方法。
gamma分布的计算
gamma分布的计算Gamma分布是概率论与统计学中一种常见的连续概率分布，广泛应用于各个领域的数据建模和分析中。
本文将介绍Gamma分布的计算方法及其应用。
一、Gamma分布的定义Gamma分布是一种正数随机变量的概率分布，其概率密度函数为：f(x) = (1 / (Γ(α) * β^α)) * (x^(α-1)) * (e^(-x/β))其中，Γ(α)为Gamma函数，α和β为Gamma分布的参数。
二、Gamma分布的计算1. 概率密度函数计算根据Gamma分布的概率密度函数，可以通过给定的参数值，计算出给定点的概率密度。
例如，给定α=2和β=3，计算x=4处的概率密度为：f(4) = (1 / (Γ(2) * 3^2)) * (4^(2-1)) * (e^(-4/3))2. 累积分布函数计算累积分布函数（CDF）是指随机变量小于或等于某个给定值的概率。
对于Gamma分布，累积分布函数为：F(x) = ∫[0,x] (1 / (Γ(α) * β^α)) * (t^(α-1)) * (e^(-t/β)) dt通过计算CDF，可以得到给定点处的累积概率。
例如，给定α=2和β=3，计算x=4处的累积概率为：F(4) = ∫[0,4] (1 / (Γ(2) * 3^2)) * (t^(2-1)) * (e^(-t/3)) dt3. 分位数计算分位数是指某个概率下，随机变量取值的临界值。
对于Gamma分布，可以通过求解累积分布函数的逆函数来计算分位数。
例如，给定α=2和β=3，计算累积概率为0.5对应的分位数为：F^(-1)(0.5) = x4. 均值和方差计算Gamma分布的均值和方差可以通过参数计算得到。
均值为：μ = α* β方差为：σ^2 = α * β^2三、Gamma分布的应用Gamma分布在实际应用中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 生命科学领域Gamma分布常被用来对生命科学中的事件发生时间进行建模，例如细胞分裂时间、药物作用时间等。
概率论及统计学地重要公式和解地题目思路
一、基本概率公式及分布 1、概率常用公式：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) ;P(A-B)=P(A)-P(AB) ; 如A 、B 独立，则P(AB)=P(A)P(B) ; P(A )=1-P(A) ; B 发生的前提下A 发生的概率==条件概率 ：P(A|B)=P (AB )P (B );或记 ： P(AB)=P(A|B)*P(B) ;2、随机变量分布律、分布函数、概率密度 分布律：离散型X 的取值是x k (k=1,2,3...), 事件X=x k 的概率为： P{X=x k }=P k , k=1,2,3...; --- 既 X 的分布律；X 的分布律也可以是上面的表格形式，二者都可以。
分布函数：F(x)=P(X ≤x ), -∞<x <+∞ ; 是概率的累积！ P(x1<X<x2)=F(x2)-F(x1) ;离散型rv X; F(x)= P{X ≤x }=∑p k x k <x ;(把X<x 的概率累加） 连续型rvX ；F(x)=∫f (x )dx x −∞, f(x)称密度函数；既分布函数F(X)是密度函数f(x)和X 轴上的(-∞,x)围成的面积！ 性质：F(∞)=1; F(−∞)=0;二、常用概率分布：①离散：二项分布：事件发生的概率为p,重复实验n 次，发生k 次的概率（如打靶、投篮等）,记为B(n,p) P{X=k}=(n k)p k (1−p )n −k ，k=0,1,2,...n; E(X)=np,D(X)=np(1-p);②离散：泊松分布：X ～Π(λ) P{X=k}=λk e−λk !,k=0,1,2,...; E(X)=λ, D(X)=λ ;③连续型：均匀分布：X 在(a,b)上均匀分布，X ～U(a,b),则：密度函数：f(x)={1b −a,a <x <x0,其它分布函数F(x)=∫f (x )dx x−∞={0, x <x x −ab −a 1,x ≥b,a <x <x④连续型：指数分布，参数为θ，f(x)= {1θe −xθ,0<x0,其它F(x)={1−e −xθ0,x >0 ;⑤连续型：正态分布：X ～N(μ,σ2), most importment! 密度函数 f(x),表达式不用记！一定要记住对称轴x=µ, E(X)=µ,方差D(X)=σ2; 当µ=0，σ2=1时，N(0,1)称标准正态，图形为：分布函数F(x)为密度函数f(x)从(-∞,x)围成的面积。
(课件)概率论与数理统计：分位数
根据t分布密度曲线的对称性，也有 t n t1 n
同 u u1
.
例如，t 0.95 (4)=2.132，t 0.975 (4)=2.776，
，论述
t 0.995 (4)=4.604，t 0.005 (4)=-4.604，
t 0.025 (4)=-2.776，t 0.05 (4)=-2.132.
F 0.99 (3,4)=16.7，F 0.95 (4,3)=9.12，
F 0.975 (4,3)=15.1，F 0.99 (4,3)=28.7，
F
0.01
(3,4)= 1
28.7
1
，F 0.025 (3,4)1=5.1
1 ，F 0.05 (93.1,42)=
.
若X～ (4)，P{X<0.711}=0.05， P{X<9.49}=0.95，试写出有关的分位数
标准正态分布常用的上侧α分位数有：
α=0.10，u 0.90=1.282； α=0.05，u 0.95=1.645； α=0.01，u 0.99=2.326； α=0.025，u 0.975=1.960； α=0.005，u 0.995=2.576。
2）卡平方分布的 α 分位数记作2 n 。 2 n 0 当X～ 2n 时，P{X< x2α(n)}=α
例如， 2 0.005 (4)=0.21， 2 0.025 (4)=0.48， 2 0.05 (4)=0.71， 2 0.95 (4)=9.49， 2 0.975 (4)=11.1， 2 0.995 (4)=14.9。
3）t 分布的α分位数记作tα(n) 当X～t (n)时，P{X<t α(n)}=α，且与标准正态分布相类似。
因为1-F(λ)=α，F(λ)=1-α，所以上侧α分位数λ就是1-
概率论常用统计分布
又因为 Xi ~ N (0, 1),
由定义
X
2 i
~
2 (1),
即
X
2 i
~
1 2
,
1 2
,
i 1, 2, L , n.
因为X1, X2, , Xn相互独立,
所以
X12 ,
X
2 2
,
,
X n2也相互独立,
根据 分布的可加性知
2 n
n i 1
Xi2
~
n 2
,
1 2
.
(3) 2 分布的性质
,
(n2 4)
3) 设F ~ F (n1, n2 ),则当n2 4时,对任意x有
lim P{F E(F ) x} x
1
e
t2 2
dt
n1
D(F )
2π
这说明F分布极限分布也是正态分布.
例4 已知 T ~ t(n),试证 T 2 ~ F (1,n).
证 因为 T ~ t(n), 由定义5.7有 T X Yn
可直接查表5 ~ 8.
F0.05(14,30) 2.31 .
F0.025(7,8) 4.90,
此外，还可利用关系
F1
( n1 ,
n2 )
F
1 (n2 ,
. n1 )
由F求得F1 .
如：
F0.95 (12,9)
1 F0.05(9, 12)
1 2.8
0.357 .
F1
( n1 ,
n2 )
F
1 (n2 ,
h(t)
n
2
πn
1 n
1
t2 n
n1
2
,
分布函数的计算
I a b f ( x ) d n ix 0 1x x ii 1f ( x ) d n ix 0 1 ( x i 1 2 x i) (f ( x i) f ( x i 1 ))
如用 Newton-Cotes 求积公式，则在该区间不收敛。请见以 下结果
n=1时 NC=0.07692
n=2时 NC=1.35897
n=10时 NC=0.93466 n=40时 NC=-4912.42
显然 Newton—Cotes 求积公式有致命的弱点。
为改善求积公式，我们使用复合求积公式。其基本思想是 把积分区间分成若干小区间，每个小区间中用次数不高的插值 多项式近似逼近。
1
1/2
xdx ( 0.51)0.4267767
0。 5
2
（2）抛物线求积公式 Cotes系数为1/6，4/6，1/6
1
1/2
xd x ( 0.540.7 51)0.4309
0。 5
6
（3）取7个点 Cotes系数为41/840，9/35，9/280，34/105，9/280， 9/35，/41/840
代替了。关于计算的精度我们可以通过 E 来估计。目前一些
数学软件如Mathematica等，可以方便地获取Cotes系数，
红色折线为拉格朗日插值 f(x2) 多项式
f(x4)
x0
x1
x2
x3
x4
l 代数精度概念
定义 3.1.1 若某个求积公式对于小于等于n 的多项式均能准确 地成立，但对n+1次多项式则不能。则称该求积公式具有n次 代数精度。
概率与统计学的主要公式及解题技巧
一、基本概率公式及分布1、概率常用公式：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB);P(A-B)=P(A)-P(AB);如A 、B 独立，则P(AB)=P(A)P(B);P(A )=1-P(A);B 发生的前提下A 发生的概率==条件概率：P(A|B)=P(AB)P(B);或记：P(AB)=P(A|B)*P(B);2、随机变量分布律、分布函数、概率密度分布律：离散型X 的取值是x k (k=1,2,3...),事件X=x k 的概率为：P{X=x k }=P k ,k=1,2,3...;---既X 的分布律；X X1X2....xn PkP1P2...pnX 的分布律也可以是上面的表格形式，二者都可以。
分布函数：F(x)=P{X ≤x},-∞ t ∞;是概率的累积！P(x1<X<x2)=F(x2)-F(x1);P{X>a}=1-P{X<a}离散型rv X;F(x)=P{X ≤x}=x k tp k ;(把X<x 的概率累加）连续型rvX ；F(x)=−∞xf x dx ,f(x)称密度函数；既分布函数F(X)是密度函数f(x)和X 轴上的(-∞,x)围成的面积！性质：F(∞)=1;F(−∞)=0;二、常用概率分布：①离散：二项分布：事件发生的概率为p,重复实验n次，发生k 次的概率（如打靶、投篮等）,记为B(n,p)P{X=k}=n k p k(1−p)n−k，k=0,1,2,...n;E(X)=np,D(X)=np(1-p);②离散：泊松分布：X～Π(λ)P{X=k}=λk e−λk!,k=0,1,2,...;E(X)=λ,D(X)=λ;③连续型：均匀分布：X在(a,b)上均匀分布，X～U(a,b),则：密度函数：f(x)=1b−a,a t0,其它=0,x x−a b−a1,x≥b,a t分布函数F(x)=−∞x f x dx④连续型：指数分布，参数为θ，f(x)=1θe−xθ,0 t0,其它F(x)=1−e−xθ0,x 0;⑤连续型：正态分布：X～N(μ,σ2),most importment!密度函数f(x),表达式不用记！一定要记住对称轴x=µ,E(X)=µ,方差D(X)=σ2;当µ=0，σ2=1时，N(0,1)称标准正态，图形为：分布函数F(x)为密度函数f(x)从(-∞,x)围成的面积。
概率论 统计量
n
1 n X Xi n i 1
2
19
n 取不同值时样本均值 X 的分布
20
2 ( n 1) S n 取不同值时 的分布
2
21
推论. 设 X1 , X 2 则
X n 是总体 N ( , 2 ) 的一个样本，
X
~ N (0,1)
n
注: ▲ 推论的实质是把服从一般正态分布的随机变 量 X 化为标准正态分布的一个方法。它类似
X ~ t (n), 所以由 t 分布的定义，即：
2
其图形如下：
8
f (x)
面积 =
2 ( n) 2 对于不同的 与 n ， (n)有表可查（见教材
P193 的附表6）
0
x
9
2. t 分布 定义. 设 X～N ( 0, 1 ) , Y ～ ( n), 且 X 与 Y 相互 独立 ，则称随机变量：
2
Y n 为服从自由度为 n 的 t 分布. 记为t ～ t ( n )
6.32 样本均值 X ~ N ( 52, ) N ( 52, 1.052 ) 36
样本的容量为 36
(1.71) (1.14) 1 0.9564 0.8729 1 0.8293
30
例2. 已知 X ~ t (n) 求证：X 2 ~ F (1, n)
证明:
25
则有：
X Y ( 1 2 ) 1 1 sW n1 n2
~ t ( n1 n2 2)
2 ( n1 1) S12 ( n2 1) S2 其中： sW n1 n2 2
0 证明: 1
X ~ N ( 1 ,
概率论第二章第四节
分布函数
密度函数
则称X为连续性随机变量，其中函数f (x)称为X的
概率密度函数, 简称概率密度.
连续型随机变量的分布函数一定是连续函数.
3
x
2. 密度函数的性质
用这两条性质判断 F( x) f (t)dt
是否为连续型随机
1
f (x) 0 ;
变量的密度函数
(非负性)
y
f (x)
2 f ( x)dx 1 ; (归一性)
0
3
2
1 2
kx2
3 0
2 x
1 4
x
2
4
3
9 2
k
1 4
,
令 9k 1 1 k 1.
24
6
9
(2)
x
求X的分布函数，F(x) f
0,
x0,
x xdx , 0 x 3
(t )dt
,
f
(
x)
206x,,2x
,
0 x3, 3 x4,
其他.
F ( x)
06
3xdx
x
x
(2 )d x ,
0
0,
o
x 0, 1 ex ,
x 0, 0,
x
x 0,
x 0.
18
(3) 指数分布的背景 电子元件的寿命； 生物的寿命； 电话的通话时间； ……
“寿命”服从指数分 布
指数分布广泛 应用于可靠性 理论和排队论
19
指数分布的重要性质 :“无记忆性”.
对于任意s, t 0 , 有 P{X s t X s} P{(X s t) ( X s)}
证明 Z X 的分布函数为
分布函数的计算
（三）下侧概率、上侧概率和分位点
下侧概率的定义：
x
F( x) P( X x) p( x)dx
上侧概率的定义：
1 F( x) P( X x) x p( x)dx
利用分布函数我们可以计算随机变量X落在某一范围的概率，或者说我们掌握了该随 机变量的规律了。例如随机变量X小于分位点的概率即下侧概率，大于分位点的概率即上 侧概率。而随机变量落入x1和x2之间的概率可用以下公式计算。
1、密度函数和分布函数
密度函数和分布函数是反映随机变量的总体规律的函数，当 一个变量X在没有抽样之前不知会有什么结果，但结果的范围是 知道的，这样的变量称为随机变量。随机变量可以分为： （1）连续型随机变量 （2）离散型随机变量
（1）连续型随机变量 随机变量的结果空间是实数，例如服从（0，1）上的均匀分布随机数、人体身高随机数 等。 例3.1.1 续型随机变量的例子：
0。5
6
（3）取7个点 Cotes系数为41/840，9/35，9/280，34/105，9/280， 9/35，/41/840
1
xdx 0.430964 0.5
• 复合求积公式
对于一个求积公式，我们要求它们的算法稳定并收敛，但不幸的是 Newton— Cotes 求积公式并不稳定，在某些情况下计算不收敛。
b
f (t)dt
a
f ( xi ) a li (t )dt a Rn (t )dt
i0
（3.1.4) (3.1.5)
从而我们可以得到积分的一般近似公式 :
b
n
f (t)dt
a
Ai f ( xi )
i0
b
其中， Ai a li (t)dt
(3.1.7)称为Newton—Cotes型积分公式， 而Ai 为Cotes系数，其误差为
概率密度分布函数和上分位点的数值计算
概率密度分布函数和上分位点的数值计算概率密度函数、分布函数和上分位点是概率论和数理统计中常用的概念和工具。
它们对于描述和解释随机变量的分布以及计算相关的概率和风险度量都起到了重要的作用。
接下来，我们将逐一介绍这些概念，并讨论如何进行数值计算。
首先，让我们从概率密度函数（Probability Density Function，PDF）开始。
概率密度函数是一种描述随机变量可能取值的概率分布的函数。
在数学上，概率密度函数是在定义域上非负且积分为1的函数。
具体来说，对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)满足以下性质：1.非负性：对于任意x，f(x)≥0；2. 归一性：∫f(x)dx = 1概率密度函数可以用来计算随机变量落在一些区间内的概率。
对于连续型随机变量X，概率密度函数f(x)在区间[a,b]内的概率可以通过积分来计算，即P(a≤X≤b) = ∫f(x)dx，其中a和b为区间的上下界。
接下来，让我们介绍分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）。
分布函数是随机变量X落在一些取值以下的概率，即F(x) =P(X≤x)。
分布函数的定义域是负无穷到正无穷的实数集合，其取值范围是从0到1的闭区间。
分布函数有以下性质：1.非减性：对于任意x1<x2，有F(x1)≤F(x2)；2. 左连续性：对于任意x，有lim[F(x)]x→x⁻ = F(x)。
分布函数可以通过概率密度函数来计算。
对于连续型随机变量X，其分布函数F(x)可以通过积分随机变量的概率密度函数f(x)来计算，即F(x) = ∫f(t)dt，其中t的积分区间为负无穷到x。
最后，让我们介绍上分位点（Upper Quantile，UQ）。
上分位点是指一个随机变量X分布的一个值，使得该值以下的概率为一个给定的数值。
通常，上分位点会被用来表示一个风险度量，例如，一个95%的上分位点表示在一次试验中，有95%的概率随机变量的取值不会超过这个数值。
标准正态分布上分位点
标准正态分布上分位点标准正态分布是统计学中非常重要的一种分布，它具有许多重要的性质和应用。
在实际应用中，我们经常需要计算标准正态分布上的分位点，以便进行统计推断和假设检验。
本文将介绍标准正态分布上分位点的计算方法和应用。
首先，我们需要了解标准正态分布的概念。
标准正态分布是均值为0，标准差为1的正态分布。
其概率密度函数为：\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\]其中，x为随机变量的取值，e为自然对数的底。
标准正态分布的分布函数通常用Φ(z)表示，即：\[Φ(z) = \int_{-∞}^{z} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\]接下来，我们将介绍如何计算标准正态分布上的分位点。
标准正态分布上的分位点通常用z表示，即对于给定的概率α，我们需要找到一个数z，使得P(Z≤z) = α。
换句话说，z就是使得标准正态分布累积分布函数值等于α的那个点。
在实际计算中，我们通常使用统计软件或标准正态分布表来查找分位点对应的数值。
例如，对于给定的概率α，我们可以通过查表或使用软件计算得到对应的z 值。
另外，一些常见的概率对应的分位点数值也可以通过经验公式来估算，例如对于α=0.05，我们有z≈1.96。
除了计算标准正态分布上的分位点外，我们还可以利用分位点进行统计推断和假设检验。
例如，在构造置信区间时，我们通常会使用标准正态分布上的分位点来确定区间的边界值。
另外，在假设检验中，我们也可以利用标准正态分布上的分位点来进行检验统计量的显著性检验。
总之，标准正态分布上的分位点是统计学中非常重要的概念，它在统计推断和假设检验中具有广泛的应用。
通过本文的介绍，相信读者已经对标准正态分布上分位点有了更深入的理解，并能够熟练地进行相关计算和应用。
希望本文能够对读者有所帮助，谢谢阅读！。
高斯分布常见的分位点的值_理论说明
高斯分布常见的分位点的值理论说明1. 引言1.1 概述高斯分布是一种常见的概率分布，也被称为正态分布。
它在统计学和概率论中有广泛的应用，并被认为是很多自然现象的模型。
高斯分布是一个对称的钟形曲线，其概率密度函数具有特定的均值和方差参数。
1.2 文章结构本文将从理论上探讨高斯分布在分位点上的表现，并通过推导得出常见的高斯分布分位点值以及其计算方法。
我们还将探讨这些分位点在实际应用中的意义和示例。
1.3 目的本文旨在提供一个详细而清晰的理论说明，以便读者能够更好地了解高斯分布在各个分位点上的特性。
通过深入研究常见的高斯分布分位点值以及其计算方法，读者可以更好地应用这些知识解决相关问题，并且对于理解其他统计学和概率论领域中涉及到高斯分布及其应用时能有更深入的认识。
2. 高斯分布与分位点2.1 高斯分布简介高斯分布，也称为正态分布或钟形曲线，是在统计学和概率论中广泛应用的一种连续概率分布。
高斯分布具有对称性，其曲线呈现出一个峰值，并且随着离峰值越远，概率密度逐渐下降。
大部分自然界的现象和许多实验结果都可以近似地用高斯分布来描述。
2.2 分位点的概念在统计学中，分位点是指将总体或样本按照一定百分比划分的数值点。
常见的分位点包括中位数、四分位数等。
对于高斯分布而言，它具有连续性和对称性，因此特定百分比内的数据可以通过计算得到相应的分位点值。
2.3 常见的高斯分布分位点值在实际应用中，常见的高斯分布常见的几个重要百分比及其对应的标准差倍数如下：- 50% 的数据落在均值附近约正负0.675 倍标准差范围内；- 68% 的数据落在均值附近约正负1 倍标准差范围内；- 95% 的数据落在均值附近约正负2 倍标准差范围内；- 99.7% 的数据落在均值附近约正负3 倍标准差范围内。
这些百分比可以帮助我们更好地理解高斯分布的性质，从而在实际应用中进行合理的数据分析和判断。
以上是关于高斯分布与分位点的基本介绍，接下来将进一步进行理论说明，深入探讨描述高斯分布的公式及参数，并推导常见的高斯分布分位点值计算方法。
f分布上分位点公式
f分布上分位点公式在统计学中，f分布是一种常见的概率分布，用于比较两个样本方差的比值。
它的形状取决于两个自由度参数，分别记为d1和d2。
f 分布的概率密度函数可以用公式表示为：f(x; d1, d2) = (1/(B(d1/2, d2/2))) * ((d1/d2)^(d1/2)) * (x^((d1/2)-1)) * ((1+(d1/d2)*x)^(-(d1+d2)/2))其中，B(a, b)是贝塔函数，x是随机变量，d1和d2是自由度参数。
在某些统计推断和假设检验问题中，我们可能需要计算f分布的上分位点，即对给定的显著性水平和自由度参数，找到一个临界值，使得f分布在该值右侧的概率等于显著性水平。
通常情况下，我们使用f分布表或统计软件来查找上分位点。
然而，我们也可以使用f分布上分位点的公式来计算。
f分布的上分位点公式如下：F(q; d1, d2) = (1/(1-q)) * (1/f(d2, d1; 1-q))其中，q是显著性水平，d1和d2是自由度参数，f(d1, d2; q)是f 分布的累积分布函数。
我们可以通过以下步骤来计算f分布的上分位点：1. 确定显著性水平q和自由度参数d1、d2的值。
2. 使用f分布的累积分布函数计算1-q对应的值：f(d2, d1; 1-q)。
3. 将计算得到的值代入上分位点公式中，计算F(q; d1, d2)。
通过这个公式，我们可以方便地计算出f分布的上分位点，从而可以在统计推断和假设检验中进行相应的分析和判断。
需要注意的是，对于不同的自由度参数和显著性水平，f分布的上分位点会有所不同。
因此，在使用f分布上分位点公式进行计算时，我们需要确保选用了正确的自由度参数和显著性水平。
f分布上分位点公式是一种计算f分布上分位点的工具，它可以帮助我们在统计分析中进行假设检验和推断。
通过理解和掌握这个公式，我们可以更好地应用f分布来解决实际问题，并得出准确可靠的统计结论。
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例5 >> p=poisspdf(0:5,3)
p = 0.0498 0.1494 0.2240 0.2240 0.1680 0.1008
例6>> p=poisscdf(6,3)
p = 0.9665
3.均匀分布
例13>> p=unifpdf(4,2,6)
p =0.2500
例14>> p=unifcdf(4,2,6)
>> fcdf([1,3,8],4,6)
ans =0.5248 0.8889 0.9861
例31>> finv(0.本次实验，学会了用MATLAB进行概率密度、分布函数和上分位点的数值计算，意识到如果想要真正掌握MATLAB的操作就必须勤练习，多上机进行训练。
大连民族学院
数学实验报告
课程：数理统计
实验题目:概率密度、分布函数和上分位点的数值计算
系别：理学院
专业：信息与计算科学
姓名：历红影
班级：信息102班
*******
完成学期：2012年11月8日
实验目的：
1.学会用MATLAB进行概率密度、分布函数和上分位点的数值计算
2.掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的分布函数、概率密度在MATLAB中的函数表达式，并利用表达式进行计算
4.指数分布
例15设随机变量X服从参数是6的指数分布,求X=6时的概率密度值.
例16设随机变量X服从参数分别为1, 2,6的指数分布,求X=2时的概率密度值.
例17设随机变量X服从参数是6的指数分布,求事件{X≤3}的概率
5.正态分布
例18设随机变量X服从均值是6,标准差是2的正态分布,求X=3时的概率密度值.
8. F分布
例28设随机变量X服从第一自由度是2,第二自由度是6的F分布,求x=3的概率密度值.
例29设随机变量X服从第一自由度是2,第二自由度是6的F分布,求随机事件{X≤3}的概率.
例30设随机变量X服从第一自由度是4,第二自由度分别是2,4,6的F分布,求事件{X≤1}, {X≤3}{X≤8}的概率.
例19>> p=normcdf(3,6,2)
p =0.0668
例20>> p=normcdf([1,3,8],6,2)
p = 0.0062 0.0668 0.8413
例21>> c=norminv(0.95,0,1)
c = 1.6449
6. t分布
例22>> tpdf(3,6)
ans =0.0155
ans = 12.5916
8. F分布
例28>> fpdf(3,2,6)
ans =0.0625
例29 >> fcdf(3,2,6)
ans =0.8750
例30>> fcdf([1,3,8],4,2)
ans =0.4444 0.7347 0.8858
>> fcdf([1,3,8],4,4)
ans =0.5000 0.8438 0.9657
7.卡方分布：p=chi2pdf(x,n) p=chi2cdf(x,n)chi2tinv(x,n)
8. F分布：p=fpdf(x,m,n) p=fpdf(x,m,n) ftinv(x,m,n)
注：~pdf：概率密度后缀~cdf：分布函数后缀~tinv：分位点后缀
实验数据和分析：
实验数据
1.二项分布
例1 >>p=binopdf(6,10,0.3)
例19设随机变量X服从均值是6,标准差是2的正态分布,求事件{X≤3}的概率
例20设随机变量X服从均值是6,标准差是2的正态分布,求三个随机事件{X≤1}, {X≤3}, {X≤8}的概率.
例21求标准正态分布的上0.05分位点
6. t分布
例22设随机变量X服从自由度是6的t分布,求x=3的概率密度值.
p = 0.5000
4.指数分布
例15>> p=exppdf(6,6)
p =0.0613
例16>> p=exppdf(2,[1,2,6])
p = 0.1353 0.1839 0.1194
例17>> p=expcdf(3,6)
p =0.3935
5.正态分布
例18>> p=normpdf(3,6,2)
p =0.0648
p =0.0368
例2 >> p=binopdf(0:4,4,0.3)
p = 0.2401 0.4116 0.2646 0.0756 0.0081
例3 >> p=binocdf(5,10,0.3)
p = 0.9527
q=1-p
q = 0.0473
2.泊松分布
例4 >> p=poisspdf(6,3)
3.掌握三大统计分布（t分布、卡方分布、F分布）,会计算上分位点
实验内容：（问题、要求、关键词）
问题
1.二项分布
例1事件A在每次试验中发生的概率是0.3,计算在10次试验中A恰好发生6次的概率.
例2事件A在每次试验中发生的概率是0.3,求在4次试验中A发生次数的概率分布.
例3事件A在每次试验中发生的概率是0.3,计算在10次试验中A至少发生6次的概率.
3.均匀分布：p=unifpdf(x,a,b) p=unifcdf(x,a,b)
4.指数分布：p=exppdf(x, ) p=expcdf(x, )
5.正态分布：p=normpdf(x, , ) p=normcdf(x, , )
6. t分布：p=tpdf(p,n)p=tcdf(p,n)tinv(p,n)
例31设随机变量X服从第一自由度是4,第二自由度是6的F分布,求上0.05分位点.
要求
用MATLAB进行概率密度、分布函数和上分位点的数值计算
关键词
MATLAB概率密度分布函数上分位点数值计算
实验方法和步骤：
试验方法：1.二项分布：p=binopdf(x,n,p) p=binocdf(x,n,p)
2.泊松分布：p=poisspdf(x, ) p=poisscdf(x, )
例23设随机变量X服从自由度是6的t分布,求事件{X≤3}的概率.
例24求自由度为6的t分布的上0.05分位点.
7.卡方分布
例25设随机变量X服从自由度分别为2, 5, 9的卡方分布,求x=3的概率密度值.
例26设随机变量X服从自由度为6的卡方分布,求事件{X≤3}的概率.
例27求自由度为6的卡方分布的上0.05分位点.
例23 >> tcdf(3,6)
ans = 0.9880
例24>> tinv(0.95,6)
ans = 1.9432
7.卡方分布
例25>> chi2pdf(3,[2,5,9])
ans = 0.1116 0.1542 0.0396
例26>> chi2cdf(3,6)
ans =0.1912
例27>> chi2inv(0.95,6)
2.泊松分布
例4设随机变量X服从参数是3的泊松分布,求概率P{X=6}.
例5写出参数为3的泊松分布的前6项的概率分布.
例6设随机变量X服从参数是3的泊松分布,计算概率P{X≤6}.
3.均匀分布
例13设随机变量X服从区间[2, 6]上的均匀分布,求X=4时的概率密度值.
例14设随机变量X服从区间(2, 6)上的均匀分布,求事件{X≤4}的概率.