数值计算方法第3章3-04范数
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数值计算方法学习指导
∗
∗
∗
x ∗ = ±10m × ( a1 × 10−1 + a2 × 10−2 + L + ak × 10− k + L + an × 10− n + L )
其中 m 是整数， a1 ≠ 0 ， a1 , a2 , L , an 是 0 到 9 中的一个数字，若 x − x ≤
∗
(1.1)
1 ×10m − n ，则 2
1 10 + 99
=
1 = 0.050125639L 10 + 9.94987
利用有效数字的多少来比较不同算法的优劣，说明了算法选取的重要性。 记x=
99, x ∗ = 9.94987 ， e( x ∗ ) = x ∗ − x ，则 e( x ∗ ) ≤
1 × 10−5 ， 2
由 e(10 − x ) ≈ − e( x ) 得
∗ ∗ ∗ ∗
∗
∗
运算得到的误差限分别为
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ε ( x1 ± x2 ) ≈ ε ( x1 ) ± ε ( x2 ) ；ε ( x1 x2 ) ≈ x1 ε ( x2 ) + x2 ε ( x1 )；
（1.2）
Hale Waihona Puke ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ x1 ε ( x2 ) + x2 ε ( x1 ) ∗ x1 ε( ∗ ) ≈ ( x2 ≠ 0) 2 x2 x∗ 2
n
x 的相对误差限。
这是一元函数的误差传播问题，只需利用传播公式计算即可。 由 x = 10 ± 5% 知近似值为 x = 10 ，绝对误差限为 ε ( x ) = 5% 。
∗ ∗
∗
1 −1 1 ∗ n (x ) = n
∗
∗
x ∗ = ±10m × ( a1 × 10−1 + a2 × 10−2 + L + ak × 10− k + L + an × 10− n + L )
其中 m 是整数， a1 ≠ 0 ， a1 , a2 , L , an 是 0 到 9 中的一个数字，若 x − x ≤
∗
(1.1)
1 ×10m − n ，则 2
1 10 + 99
=
1 = 0.050125639L 10 + 9.94987
利用有效数字的多少来比较不同算法的优劣，说明了算法选取的重要性。 记x=
99, x ∗ = 9.94987 ， e( x ∗ ) = x ∗ − x ，则 e( x ∗ ) ≤
1 × 10−5 ， 2
由 e(10 − x ) ≈ − e( x ) 得
∗ ∗ ∗ ∗
∗
∗
运算得到的误差限分别为
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ε ( x1 ± x2 ) ≈ ε ( x1 ) ± ε ( x2 ) ；ε ( x1 x2 ) ≈ x1 ε ( x2 ) + x2 ε ( x1 )；
（1.2）
Hale Waihona Puke ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ x1 ε ( x2 ) + x2 ε ( x1 ) ∗ x1 ε( ∗ ) ≈ ( x2 ≠ 0) 2 x2 x∗ 2
n
x 的相对误差限。
这是一元函数的误差传播问题，只需利用传播公式计算即可。 由 x = 10 ± 5% 知近似值为 x = 10 ，绝对误差限为 ε ( x ) = 5% 。
∗ ∗
∗
1 −1 1 ∗ n (x ) = n
3-1,2,3,4向量范数.ppt
x
∞
= max x i
1≤ i ≤ n
它们均构成范数。 它们均构成范数。 说明：在同一个向量空间，可以定义多种向量范数， 说明：在同一个向量空间，可以定义多种向量范数，而对 于同一个向量，不同定义的范数，其大小可能不同。 于同一个向量，不同定义的范数，其大小可能不同。
x = (1,2,−3)
T
x1 =6
第二节 矩阵范数
主要内容： 主要内容： 1·矩阵范数的定义、性质 矩阵范数的定义、 矩阵范数的定义 2·算子范数（由向量诱导的矩阵范数） 算子范数（由向量诱导的矩阵范数） 算子范数 3·几种常用的矩阵范数 几种常用的矩阵范数
定义
设A∈C
m×n
定义一个实值函数
⋅
C
m× n
满足： → R 满足：
（1）正定性 （2）齐次性 （3）三角不等式 (4)相容性 (4)相容性 则
Ax
Ax 是C
n
Dn = x = ( x1 , x 2 , ⋯ , x n )
知 Ax 在D n上取到最大值。 上取到最大值。
{
的连续函数，D 的连续函数，
T
n
是C n中的有界闭集， 中的有界闭集，
x =1
}
最后证明
A 成为矩阵范数
A ≥ Ax0 x0 > 0;
n 正定性: 正定性 设 A ≠ 0, 则存在 x0 ≠ 0 ∈ C , 使 Ax0 ≠ 0,
x+ y
2 2
= ( x + y , x + y ) = ( x , x ) + ( x, y ) + ( y , x ) + ( y , y )
≤ x 2 +2 x
第3章 数值计算与分析
数组间的乘、除法，也是相同位置的元素进行乘、除， 若是标量与数组进行乘（除）运算，该标量与数组的每个 元素进行乘（除）运算。
数组幂运算，采用运算符“.^”，它是对数组的每个 元素进行幂运算。数组转置采用运算符“.’”。
【例8】数组运算示例
>> a=[1 3 5;2 4 6];b=[4 5 6;7 2 4];
a_det =
-21
>> a_rank=rank(a) a_rank =
3 >> a_trace=trace(a) 角元素之和 a_trace =
11
% 求矩阵a的秩 % 求矩阵a的迹，为对
3.1.3 基本数组运算
数组运算与矩阵运算不同，它是对数组的每个元素实 施相同的运算和操作。
1. 数组四则运算、幂运算和转置 在数组的四则运算中，数组间的加减运算与矩阵的加 减运算相同，若是标量与数组进行加（减）运算，该标量 与数组的每个元素进行加（减）运算。
【例5】矩阵幂运算示例 >> a=[1 3 5;4 9 6;3 2 4]; >> b=a^2 b=
28 40 43 58 105 98 23 35 43
3. 矩阵的转置运算 矩阵的转置运算分为矩阵转置和矩阵的共轭转置，
分别采用“.’”和“’”运算符。对于实数矩阵，两者 的结果相同；但对于复数矩阵，两者的运算结果不同。
t
y
0.0
0.82
0.3
0.72
0.8
0.63
1.1
0.60
1.6
0.55
2.3
0.50
用衰减指数函数y=c1+c2e-t建立这组数据的模型。
根据实验观察记录，可列出超定线性方程组，其系数矩阵的第1列
数组幂运算，采用运算符“.^”，它是对数组的每个 元素进行幂运算。数组转置采用运算符“.’”。
【例8】数组运算示例
>> a=[1 3 5;2 4 6];b=[4 5 6;7 2 4];
a_det =
-21
>> a_rank=rank(a) a_rank =
3 >> a_trace=trace(a) 角元素之和 a_trace =
11
% 求矩阵a的秩 % 求矩阵a的迹，为对
3.1.3 基本数组运算
数组运算与矩阵运算不同，它是对数组的每个元素实 施相同的运算和操作。
1. 数组四则运算、幂运算和转置 在数组的四则运算中，数组间的加减运算与矩阵的加 减运算相同，若是标量与数组进行加（减）运算，该标量 与数组的每个元素进行加（减）运算。
【例5】矩阵幂运算示例 >> a=[1 3 5;4 9 6;3 2 4]; >> b=a^2 b=
28 40 43 58 105 98 23 35 43
3. 矩阵的转置运算 矩阵的转置运算分为矩阵转置和矩阵的共轭转置，
分别采用“.’”和“’”运算符。对于实数矩阵，两者 的结果相同；但对于复数矩阵，两者的运算结果不同。
t
y
0.0
0.82
0.3
0.72
0.8
0.63
1.1
0.60
1.6
0.55
2.3
0.50
用衰减指数函数y=c1+c2e-t建立这组数据的模型。
根据实验观察记录，可列出超定线性方程组，其系数矩阵的第1列
数值计算方法课件
数值计算方法课件
Introduction
数值分析 能够做什么？
数值计算方法课件
•
研究使用计算机求解各种数学问题的 数值方法（近似方法），对求得的解的 精度进行评估，以及如何在计算机上实 现求解等
数值计算方法课件
计算机解决实际问题的步骤
建立数学模型 选择数值方法 编写程序 上机计算
数值计算方法课件
lim||
k
xk x* 数值计算方法课件
||0
➢ 矩阵范数 ( matrix norms ) 定义3:对任意 A,B,R称m|n| ·|| 为Rmn空间的矩阵范数, 指|| ·||满足(1)-(3)：
(1 )|A || |0 ;|A || |0 A 0
(2) ||A||||||A|| 对任意 C
David Kincaid & Ward Cheney（机械工业出版社)
➢ Numerical Analysis (Seventh Edition)
数值分析 （第七版 影印版）
Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）
数值计算方法课件
数值计算方法课件
10n1 10n1
10n
0
1
102
0
10 1101 0
2。与计算机不能分离：上机实习（掌握一 门语言：C语言，会用Matlab）
数值计算方法课件
1.2 误差 ( Error )
§1 误差的背景介绍 ( Introduction ) 1. 来源与分类 ( Source & Classification ) 模型误差 ( Modeling Error ): 从实际问题中抽象出数 学模型
Introduction
数值分析 能够做什么？
数值计算方法课件
•
研究使用计算机求解各种数学问题的 数值方法（近似方法），对求得的解的 精度进行评估，以及如何在计算机上实 现求解等
数值计算方法课件
计算机解决实际问题的步骤
建立数学模型 选择数值方法 编写程序 上机计算
数值计算方法课件
lim||
k
xk x* 数值计算方法课件
||0
➢ 矩阵范数 ( matrix norms ) 定义3:对任意 A,B,R称m|n| ·|| 为Rmn空间的矩阵范数, 指|| ·||满足(1)-(3)：
(1 )|A || |0 ;|A || |0 A 0
(2) ||A||||||A|| 对任意 C
David Kincaid & Ward Cheney（机械工业出版社)
➢ Numerical Analysis (Seventh Edition)
数值分析 （第七版 影印版）
Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）
数值计算方法课件
数值计算方法课件
10n1 10n1
10n
0
1
102
0
10 1101 0
2。与计算机不能分离：上机实习（掌握一 门语言：C语言，会用Matlab）
数值计算方法课件
1.2 误差 ( Error )
§1 误差的背景介绍 ( Introduction ) 1. 来源与分类 ( Source & Classification ) 模型误差 ( Modeling Error ): 从实际问题中抽象出数 学模型
数值计算方法及算法
h
2
中心差商 f (x h) f (x h) f (x) f ( ) h2
2h
6
插值微分
(x) f (x) K (x)(x x0 )(x xn )
(xi )
f (xi )
f (n1) ( )
(n 1)!
(xi x j )
构造n-1次插值多项式φ1(x)和 φ2(x)，则有
(x)
x xn x0 xn
1(x)
x x0 xn x0
2 ( x)
对n用归纳法。
• f[x0,…,xn]与x0,…,xn的顺序无关。
误差估计：
R(x)
f (x) (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
(n 1)!
Hermite插值
给定平面上n+1个插值点(xi,yi,mi), 构造 2n+1次多项式φ(x), 满足φ(xi)=yi, φ’(xi)=mi, i=0,1,…,n.
单项式 基函数
Lagrange 基函数
(x) a0 a1x an1x2n1
1
单项式 插值
(x) a0 a1x an xn，或
(x)
a0
a1
x h
an
(
x h
)n
1 x0 x0n a0 y0
1
1
x1
xn
x1n xn n
a1
an
(x)
(x
x0 )(x
xn )
x
数值计算方法-范数
（A） = max{i } 为A的谱半径。
1 j n
推论：矩阵特征值与矩阵范数关系 若是矩阵A的特征值，即存在非零向量x使得Ax x, 则有
A
也即矩阵特征值得模不大于矩阵的任何一范数。
F 范数：（P71） A
2 a ij ， i, j n
F
在矩阵分析中，一般把上述范数称为Frobinius范数， 简称F-范数
(1) || A || || x || 5 5 10 ， 49.5 || A || || x || (2) || b || || x || 5 5 10 ， 1.99 || A || || x ||
向量序列，如果 lim xi( k ) xi , i 1,2, , n, 则称
k
向量序列{x ( k ) }收敛于向量x ( x1 , x2 , xn )T , 并记为 lim x ( k ) x
k
等式成立的充要条件是 lim x ( k ) -x
k
推论：对称矩阵范数的关系 设A为对称矩阵, 则 || A ||2 | max ( A) |, 又若A非奇异（可逆） ,
1 则 || A1 ||2 || min ( A) || 。
证明：由A A知
T T 2 2 || A ||2 ( A A ) ( A ) | ( A ) | 2 max max max
i 1 n p
max xi ;
1i n
③欧几里得(Euclid )范数： x 2=
2 x i i 1
n
例.求下列向量的各种常用范数
x (1,4,3, 1)T
解： x 1 = x1 x2 x4 9; x2 x
数值计算方法的意义内容与方法
在x = - 0.2的值。
解： K
a5-K
vK
0
0.00833
0.00833
v0 = a5
1
0.04167
0.04
v1 = v0x+a4
2
例1：一群小兔一群鸡，两群合到一群里，要数腿共48， 要数脑袋整17，多少小兔多少鸡？
算术方法 ： 若没有小兔，则鸡应是17只 总腿数 ：2＊17＝34 一只小兔增加 2条腿，
应该有
48 17 2 7 只小兔 2
10只小鸡
代数方法 ：
设有x只小鸡，y只小兔 ，
x y 17
(i)
二、绝对误差、相对误差和有效数字
1．绝对误差与绝对误差限
定义1：设x是准确值，x*为x的一个近似值，称
e(x) x x *
（1.5）
是近似值x的绝对误差,简称为误差。
例 2:若用以厘米为最小刻度的尺去量桌子的长， 大约为1.45米，求1.45米的绝对误差。
1.45米的 绝对误差=？
不知道！
多项式求值：给定的x 求下列n 次多项多的值。
P(x) a0 a1x a2x2 an xn
解：1. 用一般算法，即直接求和法； 2. 逐项求和法； 3. 秦九韶方法；
例9：用秦和韶方法求多项式 P(x) 1 x 0.5x2 0.16667x3 0.04167x4 0.00833x5
2a
在计算机内，109存为0.11010，1存为0.1101。做加法时， 两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1 的指数部分须变为1010，则：1 = 0.0000000001 1010，取 单精度时就成为：
109+1=0.100000001010+0.00000000 1010=0.10000000 1010
数值计算方法课件_xutao_update
数值计算方法只能用算数运算和逻辑运算； 数值计算方法需要速度快、精度高。
程序设计需要最简练、最快、最少存储空间。
上机计算 分析结果
检验是否与实际相符，是否可推广； 找出原因，继续研究。
二、 算法
1、算法的概念 当我们用数值计算方法求解一个比较复杂的数
学问题时，常常要事先拟定一个计算方案，规划 一下计算的步骤，所谓算法，就是指在求解数学 问题时，对求解方案和计算步骤的完整而明确的 描述。
三、误差
2） 方法误差 在计算过程中，由数学方法产生的误差，称为方法误差。
• 例如，在计算指数函数的值时，常用到如下幂级数展开式：
ex
x2 1x
xn
2! n!
这是一个无穷级数。计算时，只能取有限项。
Sn(x)1xx22!xnn!
用有限项逼近无穷级数，会产生一个误差，这个误差是由 数学方法产生的，所以是一种方法误差。
否则 D 0
x1
a22b1 a12b2 D
S4 输出计算的结果 x1, x2
x2
a11b2 a21b1 D
二、算法
2、算法的优劣 求解一个数学问题，可以采用不同的算法，比如：
线性方程组，可用克莱姆法则，高斯消元法等多 种方法求解。但是每一种方法的优劣不同，评价 一个 算法的好坏有以下几个标准： 1） 算法的计算量（时间复杂性） 2） 算法的空间复杂性 3） 算法逻辑结构的复杂性
e x x x —真值， x —近似值，
2） 误差限 在许多情况下，我们不知道某个量的真实值是多少，因
此也不知道它的近似值的误差。但是我们能估计出误差不 会超过某个确定的数值。这个数值就称为近似值的误差限。
我们能用误差限定量的衡量一个近似值的误差。
程序设计需要最简练、最快、最少存储空间。
上机计算 分析结果
检验是否与实际相符，是否可推广； 找出原因，继续研究。
二、 算法
1、算法的概念 当我们用数值计算方法求解一个比较复杂的数
学问题时，常常要事先拟定一个计算方案，规划 一下计算的步骤，所谓算法，就是指在求解数学 问题时，对求解方案和计算步骤的完整而明确的 描述。
三、误差
2） 方法误差 在计算过程中，由数学方法产生的误差，称为方法误差。
• 例如，在计算指数函数的值时，常用到如下幂级数展开式：
ex
x2 1x
xn
2! n!
这是一个无穷级数。计算时，只能取有限项。
Sn(x)1xx22!xnn!
用有限项逼近无穷级数，会产生一个误差，这个误差是由 数学方法产生的，所以是一种方法误差。
否则 D 0
x1
a22b1 a12b2 D
S4 输出计算的结果 x1, x2
x2
a11b2 a21b1 D
二、算法
2、算法的优劣 求解一个数学问题，可以采用不同的算法，比如：
线性方程组，可用克莱姆法则，高斯消元法等多 种方法求解。但是每一种方法的优劣不同，评价 一个 算法的好坏有以下几个标准： 1） 算法的计算量（时间复杂性） 2） 算法的空间复杂性 3） 算法逻辑结构的复杂性
e x x x —真值， x —近似值，
2） 误差限 在许多情况下，我们不知道某个量的真实值是多少，因
此也不知道它的近似值的误差。但是我们能估计出误差不 会超过某个确定的数值。这个数值就称为近似值的误差限。
我们能用误差限定量的衡量一个近似值的误差。
计算方法3-4
化为零； 消 元： 用a11将ai1(i = 2,L, n)化为零； ai1 1 i 把− a ×第 行，加到第 行。 11
(3.1)
a 以后各步类似。 问 题： 11 = 0或 a11 ≈ 0?以后各步类似。
用Matlab实现顺序Gauss消去法 Matlab实现顺序Gauss消去法 实现顺序Gauss 在Matlab程序编辑器中输入： Matlab程序编辑器中输入： 程序编辑器中输入 %解线形方程组ax=b， 解线形方程组ax=b function x=nagauss(a,b,flag) %解线形方程组ax=b， 为系数矩阵， 为右端列向量，flag若为 若为0 a为系数矩阵，b为右端列向量，flag若为0，则显示中间 过程，否则不显示，默认为0 过程，否则不显示，默认为0，x为解向量 if nargin<3,flag=0;end n=length(b); a=[a,b]; % 消元 k=1:(nfor k=1:(n-1) a((k+1):n,(k+1):(n+1))=a((k+1):n,(k+1):(n+1))a((k+1):n,(k+1):(n+1))=a((k+1):n,(k+1):(n+1))a((k+1):n,k)/a(k,k)*a(k,(k+1):(n+1)); a((k+1):n,k)=zeros(na((k+1):n,k)=zeros(n-k,1); if flag==0,a,end
直到(n-1) 原方程组化为 直到(n(n
a11 x1 + a12 x2 +L+ a1n xn = a1,n+1 a22 x2 +L+ a2n xn = a2,n+1
(3.1)
a 以后各步类似。 问 题： 11 = 0或 a11 ≈ 0?以后各步类似。
用Matlab实现顺序Gauss消去法 Matlab实现顺序Gauss消去法 实现顺序Gauss 在Matlab程序编辑器中输入： Matlab程序编辑器中输入： 程序编辑器中输入 %解线形方程组ax=b， 解线形方程组ax=b function x=nagauss(a,b,flag) %解线形方程组ax=b， 为系数矩阵， 为右端列向量，flag若为 若为0 a为系数矩阵，b为右端列向量，flag若为0，则显示中间 过程，否则不显示，默认为0 过程，否则不显示，默认为0，x为解向量 if nargin<3,flag=0;end n=length(b); a=[a,b]; % 消元 k=1:(nfor k=1:(n-1) a((k+1):n,(k+1):(n+1))=a((k+1):n,(k+1):(n+1))a((k+1):n,(k+1):(n+1))=a((k+1):n,(k+1):(n+1))a((k+1):n,k)/a(k,k)*a(k,(k+1):(n+1)); a((k+1):n,k)=zeros(na((k+1):n,k)=zeros(n-k,1); if flag==0,a,end
直到(n-1) 原方程组化为 直到(n(n
a11 x1 + a12 x2 +L+ a1n xn = a1,n+1 a22 x2 +L+ a2n xn = a2,n+1
现代数值计算方法(MATLAB版)第3章(1)
akk ,
(k )
(3.5)
福建师范大学
数计学院
8/15
k = 1, · · · , n − 1, mik = aik /akk , aij
(k +1) (k ) (k ) (k )
aik
(k +1) (k )
= 0, bi
(k +1)
= aij − mik akj ,
= bi − mik bk .
Back Close
(k )
(k )
(i = k + 1, · · · , n; j = k + 1, · · · , n.) 3
xn = bn /ann , k = n − 1, · · · , 1, xk =
(k ) bk n (k ) (k )
福建师范大学
(n)
(n)
−
j =k +1
akj xj
··· ··· ···
(1) a1n (2) a2n (2) a3n
(1) b1 (2) b2 (2) b3
福建师范大学
数计学院
6/15
··· ··· ··· ··· an2 an3 · · · ann bn
(2) (2) (2) (2)
Back Close
(2) aij
(1)
,
A(k) A(k) k
Dk = det Dk = 0
A11
(k −1)
A12
(k −1) (k )
(k −1) (k ) = a(1) 11 · · · ak −1,k −1 akk .
akk
akk = 0.
(k )
数值分析方法第三章
y = f (x)
分析
a
b x
方法
逐步缩小“有根区间” 原理：若 f C[a, b]，且 f (a) · f (b) < 0，则 f 在 (a, b) 上必有一根。
2014-11-14 7
执行步骤 1．计算f (x)在有解区间[a, b]端点处的值，f (a)，f (b)。 2．计算f (x)在区间中点处的值f (x0)。 3．判断若f (x0) = 0，则x0即是根，否则检验： （1）若f (x0)与f (a)异号，则知解位于区间[a, x0]， b1=x0, a1=a; （2）若f (x0)与f (a)同号，则知解位于区间[x0, b]，
2014-11-14 18
§ 迭代法 /* Fixed-Point Iteration */
对于一般形式的方程 f ( x ) 0先将方程化为
x g( x )
思 路
再从某一数 x0 出发，作序列
xk 1 g( xk ) , k 0,1, 2,
若序列 xk 有极限，即 lim xk a
计算f(xi)的值,依据函数值异号及实根的个数确定隔根 区间,通过调整步长，总可找到所有隔根长h要适当取小一些,若h过长则容易丢根(若 在区间范围内有两相邻函数值符号相同而判定无根) 若间隔h值太小,则影响计算速度。
应用二分法求解
f(x) 在[a,b]上连续 f(a)f(b)<0
将它精确到足够精度？
问题的提出
方程：y = f (x) 方程的根：x = ? y = 0 y = 3x - 2 (x = 2/3) y = - 2x + 1 ( x = 1) y = 6.7410-3 - exp(-5000/x) 非线性问题 (x 1000) x2 0 y y = f (x) x=?
数值计算方法与算法-45页PPT文档资料
条件：A 行列式非零。 运算量：O(n3)
第5章 解线性方程组的直接法
• 全主元消元法
原理：在Gauss消元过程中，先选取所有元素模最大者， 将其换行至左上角位置，再作消元。由此得到分解 A = P L U Q，P和Q为置换方阵，L中各元素的模都 ≤1， U中各元素的模都≤同行对角元素的模。
条件：A 行列式非零。 运算量：O(n3)
yix (ix 1 i 1 xix)yix 1 i (1 x xx ii)， xi xxi 1
第1章 插值
2(h0 h1 )
h1
M1 d1 d0 h1M 0
h1
2(h1 h2 )
hn2
S(x) a ixi a 3 im0 a ,(x x x (i)3)
i 0
i 1
• M关系式
Si(x)M 6i (x xii 1 1 x x)i3(xi 1xi)x (i 1x) M 6 i 1 (x x i 1 xix )i3(xi 1xi)x (xi)
R i,02i个分点的 R i,j R 梯 i,j 1R 形 i,j 1 4 j R 积 1 i 1 ,j 1， 分 1j ， i
例题 4
•
构造积分 I(f)
2h
f
(x)d
x的数值积分公式
h
I ( f ) = a0 f (-h) + a1 f (0) + a2 f (2h)。
yi (xixj)
ji
• Newton插值
n
pn(x) ai (xxj)， aii阶差 f[x0, 商 ,xi] i 0 j i
第1章 插值
• 差商
f[ x 0 ] f( x 0 ) ， f[ x 0 , ,x k ] f[ x 1 , ,x k x ] k fx [ 0 x 0 , ,x k 1 ]
第5章 解线性方程组的直接法
• 全主元消元法
原理：在Gauss消元过程中，先选取所有元素模最大者， 将其换行至左上角位置，再作消元。由此得到分解 A = P L U Q，P和Q为置换方阵，L中各元素的模都 ≤1， U中各元素的模都≤同行对角元素的模。
条件：A 行列式非零。 运算量：O(n3)
yix (ix 1 i 1 xix)yix 1 i (1 x xx ii)， xi xxi 1
第1章 插值
2(h0 h1 )
h1
M1 d1 d0 h1M 0
h1
2(h1 h2 )
hn2
S(x) a ixi a 3 im0 a ,(x x x (i)3)
i 0
i 1
• M关系式
Si(x)M 6i (x xii 1 1 x x)i3(xi 1xi)x (i 1x) M 6 i 1 (x x i 1 xix )i3(xi 1xi)x (xi)
R i,02i个分点的 R i,j R 梯 i,j 1R 形 i,j 1 4 j R 积 1 i 1 ,j 1， 分 1j ， i
例题 4
•
构造积分 I(f)
2h
f
(x)d
x的数值积分公式
h
I ( f ) = a0 f (-h) + a1 f (0) + a2 f (2h)。
yi (xixj)
ji
• Newton插值
n
pn(x) ai (xxj)， aii阶差 f[x0, 商 ,xi] i 0 j i
第1章 插值
• 差商
f[ x 0 ] f( x 0 ) ， f[ x 0 , ,x k ] f[ x 1 , ,x k x ] k fx [ 0 x 0 , ,x k 1 ]
数值分析课件第三章
2 内积 ( x , y ) xi yi；范数 || x ||2 xi i 1 i 1
n n 1/2
.
若给定 i 0( i 1, , n)，称{ i }为权系数 , 则定义
加权内积 2 ( x , y ) i xi yi；范数 ||x||2 i xi i 1 i 1
称为Gram 矩阵，则 G非奇异的充要条件是 u1 , u2 ,, un线性
在内积空间X 上可以由内积导出一种范数,即对u X , 记 || u || ( u, u)， (1.10) 易证它满足范数定义的正定性，齐次性和三角不等式 .
例1 考察R n与Cn的内积. 设x ( x1 ,, xn )T , y ( y1 ,, yn )T R n，则定义
min
pn ( x )H n
b
a
[ f ( x ) pn ( x )]2dx ,
* ( x )为f ( x )在[a , b]上的最佳平方逼近多项式 . 则称pn
2. 若f ( x ) 是[a ,b]上的一个列表函数，在 a x0 x1 xm b上 给出f ( xi )( i 0,1, , m ),要求p * ( x ) span{ 0 , , n }, 使得
n n 1/2
.
若x , y Cn，则定义加权内积
( x , y ) i xi y i .
i 1
n
定义4 设 ( x )是区间[a , b]上的非负函数 , 如果满足条件
(1)
b k a x ( x )dx存在,
k 0,1,2,;
可以有限或 无限区间
(2) 对于[a , b]上的非负连续函数 g ( x ), 若 a g ( x ) ( x )dx 0, 则在[a , b]上g ( x ) 0； 就称 ( x )为[a , b]上的权函数 .
n n 1/2
.
若给定 i 0( i 1, , n)，称{ i }为权系数 , 则定义
加权内积 2 ( x , y ) i xi yi；范数 ||x||2 i xi i 1 i 1
称为Gram 矩阵，则 G非奇异的充要条件是 u1 , u2 ,, un线性
在内积空间X 上可以由内积导出一种范数,即对u X , 记 || u || ( u, u)， (1.10) 易证它满足范数定义的正定性，齐次性和三角不等式 .
例1 考察R n与Cn的内积. 设x ( x1 ,, xn )T , y ( y1 ,, yn )T R n，则定义
min
pn ( x )H n
b
a
[ f ( x ) pn ( x )]2dx ,
* ( x )为f ( x )在[a , b]上的最佳平方逼近多项式 . 则称pn
2. 若f ( x ) 是[a ,b]上的一个列表函数，在 a x0 x1 xm b上 给出f ( xi )( i 0,1, , m ),要求p * ( x ) span{ 0 , , n }, 使得
n n 1/2
.
若x , y Cn，则定义加权内积
( x , y ) i xi y i .
i 1
n
定义4 设 ( x )是区间[a , b]上的非负函数 , 如果满足条件
(1)
b k a x ( x )dx存在,
k 0,1,2,;
可以有限或 无限区间
(2) 对于[a , b]上的非负连续函数 g ( x ), 若 a g ( x ) ( x )dx 0, 则在[a , b]上g ( x ) 0； 就称 ( x )为[a , b]上的权函数 .
数值计算5
⎡ f1 ( x) ⎤ ⎢ f ( x)⎥ ⎢ 2 ⎥ F ( x) = ⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ f n ( x)⎦
补充
非线性方程组的数值解法
非线性方程组与线性方程组的区别： 线性方程组解唯一存在，非线性方程组解是否 存在或唯一不确定 非线性方程组一般不能写成简单迭代格式：
⎧ x1 = f1 ( x2 , x3 , L xn ) ⎪ x2 = f 2 ( x1 , x3 , L xn ) ⎪ ⎨ M ⎪ ⎪ xn = f n ( x1 , x2 , L xn −1 ) ⎩
a13 y1 ( x1 , x2 , L xn ) a12 x3 + 由1得到： x1 = − x2 − a11 a11 a11
写成：
x1 = b12 x2 + b13 x3 + g1 ( x1 , x2 , L xn )
补充
非线性方程组的数值解法
⎧ x1 = b12 x2 + b13 x3 + g1 ( x1 , x2 , L xn ) ⎪ ⎨ x2 = b21 x1 + b23 x3 + g 2 ( x1 , x2 , L xn ) ⎪ x = b x + b x + g ( x , x ,L x ) n 31 1 32 2 3 1 2 ⎩ 3
补充
非线性方程组的数值解法
⎡ x (1) ⎤ ⎡1.25 ⎤ ⎢ (1) ⎥ = ⎢ 2.25⎥ ⎦ ⎣y ⎦ ⎣
⎡ ∆x ⎤ ⎡0.25⎤ 得到 ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣∆y ⎦ ⎣1.25 ⎦
y 迭代次数 x Δx Δy 0 1 1 0.25 1.25 1 1.25 2.25 -0.25 -0.22222 2 1 2.027778 0.000194 -0.02768 3 1.000194 2.000094 -0.00019 -9.4E-05 4 1 2 -2.5E-09 -1E-08 5 1 2 2.22E-16 -1.1E-16
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是收敛的，称 A 为矩阵序列 A(k) 的收敛极限。
矩阵的收敛
记矩阵序列 A(k) 是收敛于 A 为： lim A(k) A 。 k
Rnn 上 的 矩 阵序 列 A(k) 是 收 敛 于 A 的 充 要 条件 为
lim
k
a(k ij
)
aij
。
其中
a(k ij
矩阵范数的另一个定义 设A Rnn ，矩阵A
A sup Ax
x 1 xR n
的范数
4 常用的矩阵范数
设 A [aij ]nn常用的矩阵范数有行（无穷）范数和列（一）范数。
n
A max aij 1in j1
n
A 1 max aij 1 jn i 1
)
和 aij
分别表示
A( k )
和
A
的第 i 行第
j
列的元素。
定义 设 A Rnn ，如果存在 R 使
Ax x
则称 为A 的一个特征值。x 就是特征值 对应的特征向量。
谱半径
定义 6：对于 Rnn 上的矩阵 A ，设 A 的特
征值为 1, 2 , , n ，称 ( A) max{1, 2 , ,n} 为 矩 阵 A 的 谱 半
但在各种范数下，考虑向量序列收敛性时结论时一致的，一致的含义
是收敛都收敛，且有相同的极限。
提出各种范数是为解不同问题时用的，即对某一个问题可能是某一种
范数方便，而另一种范数不方便。
向量范数的等价定理 给定 x Rn ，对于Rn
，
，总存在与x 无关的正常数m
，M
对一切 x Rn 成立。
径。
谱半径的性质
对于 Rnn 上的矩阵 A ，有 ( A) A 。
若对于 Rnn 上的矩阵 A 有 A 1，则 I A 为
非奇异阵，且
I A 1 1
1 A
。
给定
A Rnn
，则
lim Ak
k
0
的 充 要条 件 是
(A) 1，其中 Ak （k 1, 2, ）表示 A 的 k 次幂。
2 范数的性质 已知 x (x1, x2, , xn )T x x ， x 0, x 1 ，
x x y xy 证 x xyy xy y
3 三种范数 给定Rn 中的 x (x1, x2 , , xn )T
x 1 x1 x2 xn xi i 1
x 2
x12 x22
1
xn2
n
i 1
xi2
2
x max{ x1 , x2 ,
,
xn
}
max{
1 i n
xi
}
例求 x (1, 0, 1, 2)T 的三种范数。
4 收敛性
定义 称Rn 中的向量序列 x(k ) 在范数 意义下收敛R于n 中的
m x x M x
上的任意两种范数 ，使关系式
3．4．2 矩阵范数
定义 矩阵 A Rnn 的范数 Ax
A max x0 x
m ax 的含义是取遍所有不为 0 的 x,比值为最大的。
说明
1 2
A 0
1
1 x 0
1 Ax 0
3 2
例如
A 0
4
A max{3 2,0 4 } 5
A max{3 0, 2 4 } 6 1
4 常用的矩阵范数
n
A
max
1in
j 1
aij
（行范数）
n
A
1
max
1 jn
i 1
aij
（列范数）
A 2
max ( AT A) （谱范数）
由矩阵范数的定义
有相容性条件
Ax A max
x0 x x R n ，A Rnn ， Ax A x
矩阵范数的性质
（1）A Rnn ，A 0 ，当且仅当A 0 ，A 0 （非负性）。
（2） R ，有 A A （齐次性）。 （3） A, B R nn ，有 A B A B （三角不等 式）。 （4）A, B R nn ，AB A B （乘积不等式）。 （5） I 1 ，其中I 为单位阵。
3.4 向量和矩阵的范数 3.4.1 向量范数
向量范数用来度量向量长度。
定义 满足
向量x R n 的范数 x 是一个实数，且
（1） x 0 ，当且仅当 x 0 时，x 0（非负性）。 （2） R ，有 x x （齐次性）。
（3）x, y R n ，有 x y x y （三角不等式），
向量 x ，如果 lim x(k) x 0 。这里 是向量的任一种范数。 k 在Rn 中，若在某一种范数意义下向量序列 x(k) 收敛，则在任何范
数意义下该向量序列仍收敛，即 lim x(k ) x* lim x(k ) x* 0 。
k
k
按不同方式规定的范数，其值一般不同。
其中 max ( AT A) 表示AT A 的最大特征值。
例
矩阵的收敛
Rnn 上的任意两种矩阵范数 ， 是等价的。
定义 5： A(k) 为 Rnn 上的矩阵序列，若存在 Rnn 上的
矩阵 A ，使得：lim A(k) A 0 成立，则称矩阵序列 A(k) k