数值计算方法第3章3-04范数

2 范数的性质 已知 x (x1, x2, , xn )T x x ， x 0, x 1 ，
x x y xy 证 x xyy xy y
3 三种范数 给定Rn 中的 x (x1, x2 , , xn )T
n
x 1 x1 x2 xn xi i 1
由矩阵范数的定义
有相容性条件
Ax A max
x0 x x R n ，A Rnn ， Ax A x
矩阵范数的性质
（1）A Rnn ，A 0 ，当且仅当A 0 ，A 0 （非负性）。
（2） R ，有 A A （齐次性）。 （3） A, B R nn ，有 A B A B （三角不等 式）。 （4）A, B R nn ，AB A B （乘积不等式）。 （5） I 1 ，其中I 为单位阵。
3.4 向量和矩阵的范数 3.4.1 向量范数
向量范数用来度量向量长度。
定义 满足
向量x R n 的范数 x 是一个实数，且
（1） x 0 ，当且仅当 x 0 时，x 0（非负性）。 （2） R ，有 x x （齐次性）。
（3）x, y R n ，有 x y x y （三角不等式），
其中 max ( AT A) 表示AT A 的最大特征值。
例
矩阵的收敛
Rnn 上的任意两种矩阵范数 ， 是等价的。


定义 5： A(k) 为 Rnn 上的矩阵序列，若存在 Rnn 上的
矩阵 A ，使得：lim A(k) A 0 成立，则称矩阵序列 A(k) k
径。
谱半径的性质
对于 Rnn 上的矩阵 A ，有 ( A) A 。
若对于 Rnn 上的矩阵 A 有 A 1，则 I A 为
非奇异阵，且
I A 1 1
1 A
。
给定
A Rnn
，则
lim Ak
k
0
的 充 要条 件 是
(A) 1，其中 Ak （k 1, 2, ）表示 A 的 k 次幂。
是收敛的，称 A 为矩阵序列 A(k) 的收敛极限。
矩阵的收敛
记矩阵序列 A(k) 是收敛于 A 为： lim A(k) A 。 k
Rnn 上 的 矩 阵序 列 A(k) 是 收 敛 于 A 的 充 要 条件 为
lim
k
a(k ij
)
aij
。
其中
a(k ij
矩阵范数的另一个定义 设A Rnn ，矩阵A
A sup Ax
x 1 xR n
的范数
4 常用的矩阵范数
设 A [aij ]nn常用的矩阵范数有行（无穷）范数和列（一）范数。
n
A max aij 1in j1
n
A 1 max aij 1 jn i 1
x 2
x12 x22
1
xn2


n

i 1
xi2

2
x max{ x1 , x2 ,
,
xn
}
max{
1 i n
xi
}
例求 x (1, 0, 1, 2)T 的三种范数。
4 收敛性
定义 称Rn 中的向量序列 x(k ) 在范数 意义下收敛R于n 中的
)
和 aij
分别表示
A( k )
和
A
的第 i 行第
j
列的元素。
定义 设 A Rnn ，如果存在 R 使
Ax x
则称 为A 的一个特征值。x 就是特征值 对应的特征向量。
谱半径
定义 6：对于 Rnn 上的矩阵 A ，设 A 的特
征值为 1, 2 , , n ，称 ( A) max{1, 2 , ,n} 为 矩 阵 A 的 谱 半
m x x M x



上的任意两种范数 ，使关系式
3．4．2 矩阵范数
定义 矩阵 A Rnn 的范数 Ax
A max x0 x
m ax 的含义是取遍所有不为 0 的 x,比值为最大的。
说明
1 2
A 0
1

1 x 0
1 Ax 0
但在各种范数下，考虑向量序列收敛性时结论时一致的，一致的含义
是收敛都收敛，且有相同的极限。
提出各种范数是为解不同问题时用的，即对某一个问题可能是某一种
范数方便，而另一种范数不方便。
向量范数的等价定理 给定 x Rn ，对于Rn

，


，总存在与x 无关的正常数m

，M
对一切 x Rn 成立。
3 2
例如
A 0
4

A max{3 2,0 4 } 5
A max{3 0, 2 4 } 6 1
4 常用的矩阵范数
n
A


max
1in
j 1
aij
（行范数）
n
A
1

max
1 jn
i 1
Hale Waihona Puke Baidu
aij
（列范数）
A 2
max ( AT A) （谱范数）
向量 x ，如果 lim x(k) x 0 。这里 是向量的任一种范数。 k 在Rn 中，若在某一种范数意义下向量序列 x(k) 收敛，则在任何范
数意义下该向量序列仍收敛，即 lim x(k ) x* lim x(k ) x* 0 。
k
k
按不同方式规定的范数，其值一般不同。