递推数列通项公式求法(教案设计)

递推数列通项公式的求法

彭山一中 郑昌建

一、课题：常见递推数列通项公式的求法

二、教学目标

1、知识与技能：

会根据递推公式求出数列中的项，并能运用累加、累乘、待定系数等方法求数列的通项公式。

2、过程与方法：

①复习回顾所学过的通项公式的求法，对比递推公式与通项公式区别认识到由递推公式求通项公式的重要性，引出课题。

②对比等差数列的推导总结出累加法的试用题型。

③学生分组讨论完成累乘法及待定系数法的相关题型。

3、情感态度与价值观：

①通过对数列的递推公式的分析和探究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；

②通过对数列递推公式问题的分析和探究，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯；

③通过互助合作、自主探究等课堂教学方式培养学生认真参与、积极交流的主体意识。

三、教学重点：根据数列的递推关系式求通项公式。

四、教学难点：解题过程中方法的正确选择。

五、教学课型，课时：复习课 1课时

六、教学手段：多媒体课件，黑板，粉笔

七、教学方法： 激励——讨论——发现——归纳——总结

八、教学过程

（一）复习回顾：

1、通项公式的定义及其重要作用

2、学过的通项公式的几种求法

3、区别递推公式与通项公式，从而引入课题

（二）新知探究：

问题1:已知数列}{n a ，1a =1，1n a +=n a +2，求n a ?

变式： 已知数列}{n a ，1a =1，1n a +=n a +2n ，求n a ?

活动：通过分析发现形式类似等差数列，故想到用累加法去求解。教师引导学生细致讲解整个解题过程。

解：由条件知：n a a n n 21=-+

分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，

即)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a

)1(2)2(232222-⨯+-⨯+⨯+⨯+=n n

所以[]2)1(22)1(1-⨯+-=-n n a a n 由

1a =1，12+-=∴n n a n 练习： 已知数列}{n a ，1a =1，n n n a a 2

11=-+，求n a ? 总结：类型1：)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

问题2： 已知数列{a n }满足)(,2,111*+∈==N n a a a n n ，求{a n }的通项公式。 变式：若条件变为)(,21*+∈=N n a a n n n

方法归纳：利用累乘法求数列通项

活动：类比类型1推导过程，让学生分组讨论研究相关解题方案。

解：1342312-•⋅⋅⋅⋅⋅⋅•••n n

a a a a a a a a 1

2212222--⋅⋅=n n

即)1()2(2112-+-+++=n n n a a

练习： 已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 总结：类型2型如 用累乘法求解

问题3： 已知数列{a n }满足)(,12,111*+∈+==N n a a a n n ，求{a n }的通项公式。

发现：)1(21,112111+=+++=+++n n n n a a a a 即

令b n =a n +1,则b n+1=a n+1+1 即21=+n n b b )

(1n f a a n n ⋅=+222n

n n a -=∴2=++∴

+11n 1n a a

故{b n }是以b 1=2为首项,2为公比的等比数列, 变式：)(,64,311*+∈-==N n a a a n n ，求{a n }的通项公式。

总结：类型3型如a 1+n =p a n +q （p ≠1，pq ≠0）递推式均可通过待定系数法对常数q 分解法：设a 1+n +k=p （a n +k ）与原式比较系数可得pk －k =q ，即k=1-p q ，从而得等比数列{a n +k }。

问题4： 已知数列{a n }满足111,

111=-=-n n a a a ，求{a n }的通项公式

总结：类型4 型如

变式：

思考： 九、课堂小结： （1）定义法： （2）累加（乘）法：

（3）构造法： 十、作业布置：试卷

十一、板书设计：

问题1 问题3 小结 问题2 问题4 作业

1

22-==∴n n n n a b 即114:2,4n n n a a a a +==+变式n

n a a a n 441:1++＝取倒数41a 1a 1:n 1n ++＝即41a 1a 1:n 1n =-+即43+n =∴n a 13

4+=∴n a n ),,(1均不为零r q p r qa pa a n n n +=

+.3,,,:求通项则化为类型若则化为等差数列求通项若倒数法求法r p r p ≠=.}{,12,1,}{111的通项公式求中已知数列n n n n n a S S S a a +==--.}{),(,22,1}{)1(11的通项公式求数列中在数列n n n n n a N n a a a a *+∈+=={}求数列的通项公式。

且中在数列)2(24,2)2(11≥+==-n a a a a n n n n 常数常数如==---1n 1n a a :n n a ；a )(a )(a :1n 1n n f a ；n f a n n ==---如）q p p 0,1,0(≠≠≠）q pa n 通常用待定系数法构造形如(a :1n +=-