第四章 抽样及抽样分布

2.抽样误差
2.1 抽样误差
抽样误差是指不包括登记性误差和系统性误差 在内的随机误差，它衡量了抽样估计的精确度。
2.2 与抽样误差有关的三个概念 （1）抽样实际误差：指某一次具体抽样中，样本指标 值与总体参数真实值之间的偏差。 （2）抽样平均误差：是指所有可能的样本指标与总体 指标之间的平均差异程度，即样本估计值的标准差。 （3）抽样极限/允许误差：又称置信区间，是指一定 概率下抽样误差的可能范围，说明样本估计量在总体参 数周围变动的范围，记作Δ。
（2）不对称。但其形态随 n1和n2的 增大而逐渐趋于对称。
• 查F表 表中横向为大方差数据的自由度；纵向为 小方差数据的自由度（横是处理自由度； 纵为误差自由度），将自己计算出来的F值 与查表得到的F表值比较，如果 F < F表 表明两组数据没有显著差异； F ≥ F表 表明两组数据存在显著差异
由表中资料可求出： 样本平均数 x 的平均数 x =36/9=4= 2 2 样本方差 s 的平均数 s 2 =6/9=0.6667= 样本标准差 s 的平均数 s =5.6568/9=0.6285

根据上述计算结果可得： • 样本平均数是总体平均数的无偏估计值； • 样本方差是总体方差的无偏估计值； • 样本标准差不是总体标准差的无偏估计值。
2 1 2 2
它服从自由度分别为 n1 1和n2 1的分布，记为Fn1 1,n2 1
定理：
s / ~ Fn1 1,n2 1 s /
2 1 2 2 2 1 2 2
F分布的取值范围是（ 0, ） .
• F分布的密度函数曲线的特点：
(1) F分布的密度曲线是受两 个 自由度df1 n1 1, df2 n2 1的 影响；自由度不同，曲 线的 形状也不同。
s/ n 而是服从自由度为 df n 1的t分布。
u
x x t sx s/ n
式中 x 为样本平均数的标准误， s x 为 X 的估计值。
s
s sx n
• t分布的密度函数曲线的特点：
(1) t分布受自由度 df的制约，每一个自 由度对应一条密度函数 曲线；
（2）关于t 0对称；
为总体方差；
N n N 1 为不重复抽样的修正因子。
5.抽样分布的概念和种类
5.1 概念
抽样分布是样本统计量的概率分布。从一个总体中 随机抽取容量相等的样本，根据样本资料计算某一统 计量所有可能的概率分布，称为这个统计量的抽样分 布。
精确分布／小样本分布：大多数是在正态 分布总体条件下得到的，但应用不广泛
4. 样本平均数的分布 将上述试验所得的9个样本平均数整理成 次数分布表：
样本平均数的分布与其它分布一样，有两个重 要参数，一个是样本平均数的平均数，记作 x 另一个是样本平均数的标准差，记作 X ，
x
X2
f x 36 4 n N 9
( f x) 2 2 2 1 1 362 n ( f x ) (147 ) 0.3333 n N N 9 9 n
6.3 两个样本方差比的分布－F分布
2 从N ( 1 , 12 )和N ( 2 , 2 )两个正态总体中，抽出 含量为n1和n2的样本， 2 分别求它们的方差 s12和s2 。
s12 / 12 s / s 是一个随机变量，在研 究它的分布前，一般先 标准化 2 2 , s2 / 2
因为从原总体中可抽出很多含 量为n的样本，由这些样本算出 的平均数有大有小
由样本平均数x 所有可能值构成的总体 称为样本平均数的抽样总体 ， 其平均数和标准差分别 记为 x 和 x。 x 是样本平均数抽样总体 的标 准差，简称为标准误差 ，它表示平均数数值之 间的离散程度。
设有一N=3的近似正态总体，具有变量3，4， 5，根据平均数，方差和标准差的计算公式可 求的 =4， 2=0.6667， =0.8165.现以 n=2作独立的有放回抽样，总共可得 N n = 32 9个样本，其抽样结果列于表：
（3）形状同标准正态曲线 类似。与标准正态曲线 相比， t分布曲线的顶部略低， 两尾部稍高而平。 df越小，这种 趋势越明显。 n 时，t分布与标准正态分布完 全一致。
(4) t分布的平均数和标准差 为t 0, t df /(df 2)
• t分布表怎么查
第一，要知道自己的实验的自由度。 第二，要确定下自己的置信度。 比如置信度在95%，自由度为6的一组数据， 查阅t分布表的时候就是查阅α=0.05（双 侧），n=6的一个数字。
由以上抽样试验，可得出样本平均数分布 有以下基本性质： • 样本平均数分布的平均数等于总体平均数， • 样本平均数分布的方差等于总体方差除以 样本容量。
实际抽样推断中采用的公式
重复简单随机抽样： ( x)
2
n
不重复简单随机抽样： ( x)
Hale Waihona Puke N nn ( N 1)
其中，
2
6.2
2分布
设 x1 , x2 ,, xn 是独立同分布的随机变量，且 每个随机变量都服从标准正态分布，即 x i ~N（0， 1），则随机变量
=
2
2 x i 的分布称为自由度为 n 的 2 分布， i 1
n
记作：
2 n （ ） 2 2 当 n ∞时， 分布趋近于正态分布，即 （ n ） ~N（ n ，2 n ）。
3. 无偏估计 在统计上，如果所有可能样本的某一统计 数的平均数等于总体的相应参数，则称该 统计数为总体相应参数的无偏估计值。
总体标准差σ已知时的平均数的分布
设有一个总体，总体平 均数为，总体标准差为 ，将此总体称为 原总体 。
现在从原总体中随机抽 取含量为n的样本，样本平均数记 为x。 很明显，样本平均数 x是一个随机变量。
5.2 种类
渐近分布／大样本分布：样本容量无限增 大时统计量的极限分布，可看作是抽样 分布的一种近似
6. 常见的抽样分布
6.1 t分布 前面在计算样本平均数分布概率时，需要总体方差为已 知，或者总体方差未知但样本容量较大，用样本方差估 计总体方差。但实际研究中，经常遇到总体方差未知且 样本容量不大的情况，如果仍用样本方差来估计，此时 x 就不正态分布了， 标准离差
第四章 抽样及抽样分布
1. 抽样及抽样估计的概念 1.1 抽样即抽样调查，是指在总体中选取部分单位组成
样本并收集样本单位的数据资料的过程。在抽样中不 可能获得全部样本，在实践中则是仅抽取一部分样本 或对小的有限总体进行有放回的抽样。
1.2 抽样估计是在抽样调查的基础上，利用样本的数据
资料计算样本指标，以样本特征值对总体特征值做出 具有一定可靠程度的估计和判断。