2020年湖南省长沙市长郡中学高考数学模拟试卷(理科) (解析版)

2020年长沙市长郡中学高考数学模拟试卷（理科）（一）一、选择题（共12小题）.

1．在复平面内与复数z=

2i

1+i所对应的点关于实轴对称的点为A，则A对应的复数为（）

A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i

2．设集合A＝{y|y＝﹣e x+4}，B＝{x|y＝lg[（x+2）（3﹣x）]}，则下列关系正确的是（）A．A⊆B B．A∩B＝∅C．∁R A⊆∁R B D．∁R B⊆A

3．设x为区间[﹣2，2]内的均匀随机函数，则计算机执行下列程序后，输出的y值落在区

间[1

2，3]内的概率为（）

A．3

4

B．

5

8

C．

1

2

D．

3

8

4．“ln（a﹣2）﹣ln（b﹣1）＞0”是“a

b

＞1”成立的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

5．已知数列{a n}的首项a1＝21，且满足（2n﹣5）a n+1＝（2n﹣3）a n+4n2﹣16n+15，则{a n}的最小的一项是（）

A．a5B．a6C．a7D．a8

6．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为（）

A ．40

B ．43

C ．46

D ．47

7．2019年成都世界警察与消防员运动会期间，需安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去A ，B ，C 三个场馆参与服务工作，要求每个场馆至少一人，则甲乙被安排到同一个场馆的概率为（ ） A ．

112

B ．1

8

C ．1

6

D ．1

4

8．已知f （x ）为R 上的奇函数，g （x ）＝xf （x ），g （x ）在（﹣∞，0）为减函数．若a ＝g （﹣log 25.1），b ＝g （20.8），c ＝g （3），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜c

B ．c ＜b ＜a

C ．b ＜a ＜c

D ．b ＜c ＜a

9．已知△SAB 是边长为2的等边三角形，∠ACB ＝45°，当三棱锥S ﹣ABC 体积最大时，其外接球的表面积为（ ） A ．

14π3

B ．

28π3

C ．

10π3

D ．

20π3

10．已知锐角△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝1，三角形ABC 的面积S

△ABC

＝1，则a 2+b 2的取值范围为（ ）

A ．[172

，+∞） B ．（9，+∞） C ．[

172

，9] D ．[

172

，9）

11．过抛物线C ：x 2＝4y 的准线上任意一点P 作抛物线的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，则A 点到准线的距离与B 点到准线的距离之和的最小值是（ ） A ．7

B ．6

C ．5

D ．4

12．不等式x ﹣3e x ﹣alnx ≥x +1对任意x ∈（1，+∞）恒成立，则实数a 的取值范围（ ） A ．（﹣∞，1﹣e ]

B ．（﹣∞，2﹣e 2]

C ．（﹣∞，﹣2]

D ．（﹣∞，﹣3]

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）

13．已知 （2﹣x 2）（1+ax ）3的展开式的所有项系数之和为27，则实数a ＝ ，展开式中含x 2的项的系数是 ．

14．根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题．现有△ABC满足“勾3股4弦5”，其中“股”AB＝4，D为“弦”BC上一点（不含端点），且△ABD满足勾股定理，则(CB→−CA→)⋅AD→=．15．在数列{a n}中，a1＝1，a n≠0，曲线y＝x3在点(a n，a n3)处的切线经过点（a n+1，0），下列四个结论：

①a2=2

3；②a3

=13；③∑4i=1a i=6527；④数列{a n}是等比数列．

其中所有正确结论的编号是．

16．已知一簇双曲线E n：x2﹣y2＝（n

2020

）2（n∈N*，且n≤2020），设双曲线E n的左、

右焦点分别为F n

1、F n

2

，P n是双曲线E n右支上一动点，三角形P n F n

1

F n

2

的内

切圆G n与x轴切于点A n（a n，0），则a1+a2+…a2020＝．

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．已知△ABC内接于单位圆，且（1+tan A）（1+tan B）＝2，

（1）求角C

（2）求△ABC面积的最大值．

18．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD中点，以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．

（Ⅰ）证明：AE⊥PB；

（Ⅱ）若直线PB与平面ABCE所成的角为π

4

，求二面角A﹣PE﹣C的余弦值．

19．某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗A、B、C，经引种试验后发现，引种树苗A 的自然成活率为0.8，引种树苗B、C的自然成活率均为p（0.7≤p≤0.9）．

（1）任取树苗A、B、C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及E（X）；

（2）将（1）中的E（X）取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技