一般周期的傅里叶级数

展开成
(1) 正弦级数;
(2)
解: 余(1弦) 级将数f. (x) 作奇周期延拓,
则有
在 x = 2 k 处级 数收敛于何值?
y
bn 2202xsinn2xdx
o2
x
2x cn ox s22 sn in x2
n 2 n
20
4 cosn n
f(x)4n 1 (1n)n1sinn2x 精品课件
f(x ) x 1 8 2k 1 (2 k1 1 )2c( o 2 k s 2 1 )x(0x2)
说明: 此式
也成立,
对 据此有
1
k1(2k 1)2
2
8
由此还可导出
y
o2
x
x0是 F (x)的 连 续 点
1
n1 n 2
1 n1n2
2
6
精品课件
2 8
机动 目录 上页 下页 返回 结束
令
即 z x a
F ( z ) f( x ) f( z a ) , z 0,ba
奇或偶式周期延拓 周期为2(ba)
来自百度文库
F(z) 在 0,ba上展成正弦或余弦级数
将 z x a 代入展开式
在
上的正弦或余弦级数
精品课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 将函数
解: 令
设
展成傅里叶级数.
当函数定义在任意有限区间上时, 其傅里叶展开方法
方法1
:
令 xzba, 即 z xba
2
2
F (z)f(x)f(zba ),z ba,ba
2
22
周期延拓 T2lba
F(z) 在 ba,ba上展成傅里叶级数
22
将 z xba 代入展开式 2
在
上的傅里叶级数
精品课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
方法2
2E
(1 4k 2 )
,
精品课件
n2k
机动 目录 上页 下页 返回 结束
0Esintsinntdt
E 20 cn o 1 )s t ( cn o 1 )s td ( t
b 1 0 E sin tsin tdt
E 2tsi22 nt0
n>1
时bnE 2si(nnn(11) )t si(nnn(11))t00
2l 4
(0x2)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2) 将
作偶周期延拓, 则有
a0 2202xdx
y
o2
x
an
2 2
2x cosn xdx
0
2
n 2 x sn i 2 n x n 2 2 cn o 2 x s 0 2
4
n22
(1)n
1
f(x)x18 2k 1(2k1 1 )2co (2ks 2 1)(x0x2) 精品课件 机动 目录 上页 下页 返回 结束
其中
an 1 F(z)co nzd sz bn1 F(z)sinn zdz
(n0,1,2, ) (n1,2,3, )
令z x
l
an
1 l
l
l
f(x)consxdx
l
(n0,1,2, )
bn1 l llf(x)sinnlxdx (n1,2,3, )
( 在 f (x) 的 连续点 证毕
处精品课)件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
精品课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
0sin2 tdt
0
0
n 1时
an
E 2
0 sin n 1 ) (tsin n 1 ) (tdt
E 2
(n11)cons(1)t(n11)cons(1)t
0
2 E (n 1 )1 nn1 1( n 1 )n 1 1n 1 1
((1n)2n11)1E
ex6, P239, SCU
F ( z ) f ( x ) f ( z 1 ) z 0 ( 5 z 5 )
将F(z) 延拓成周期为 10 的周期函数则,它满足收敛定
理条件.由于F(z) 是奇函数,
F(z)
故
bn
5205
z
sinn
5
z
dz
(1)n 10
n
5
5z
(n1,2, )
F(z)10 n 1(n 1)nsin n5z (5z5)
收敛于
bn1 l ll叶f(级x精)s数品课i件nnlxdx (n1,2, )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 交流电压
失,试求半波整流函数的
傅里叶级数.
解: 这个半波整流函数
的周期是
2l
2
,它在
经半波整流后负压消
f (t)
2 o 2 t
上的表达式为
an
1 l
l l
f (t)c0 oss nl itn dn t1 ) (t s0 E in sn i1 ) n (ttcd otnstdt
说明: 如果 f (x) 为奇函数, 则有
(在 f (x) 的连续点
处)
其如中果b n f (x)为f 偶(x 函)s 数,n iln x d x(n 1 ,2 , )
则有
(在 f (x) 的连续点
处)
其中
注:
a 无n 论 哪an种情1f l ( 况x l) lc 在f,(xn f)o cl(x xod )ns sx l的x间d( n x断 (点n 0 , 1 x0 ,2 ,处1 , ,,2) ,傅 里)
精品课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
由于半波整流函数 f
(t)
由收
f (t)
敛定理可得
2 o 2 t
f (t) E
E sin t
2
2Ek 1114k2co2skt
直流部分
交流部分
说明: 上述级数可分解为直流部分与交流部分的和.
精品课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 把
第八节
第十一章 Section 7.3.3,
一般周期函数的SCU傅里叶级数
一、以2 l 为周期的函数的
傅里叶展开
精品课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、以2 l 为周期的函数的傅里叶展
开
周期为 2l 函数 f
(x)
变量代换 z x
l
周期为 2 函数 F(z)f(x)
将F(z) 作傅氏展开
精品课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
证明: 令z x , 则
l
令
f (x) f ( lz) , 则
F(z2)f(l(z 2))
f
( lz
2l)
f ( lz)
所以
是以 2 为周期的周期函数 且, 它满足收敛
定理条件, 将它展成傅里叶级数:
( 在 F(z) 的连续点
处 精品课件 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
f (x) 的傅氏展开
式
精品课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理. 设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条
则它的傅件里,叶展开式为
(在 f (x) 的连续点
其中
处)
an
1 l
l f(x)consxdx (n0,1,2, )
l
l
bn1 l llf(x)sinnlxdx (n1,2, )