2014年与名师对话高考数学

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(4)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为 . 有限集 、 无限集 、
空集
．
* (5)常用数集及表示：自然数集 N ；正整数集 N＋(或N )；
整数集 Z ；有理数集 Q ；实数集 R .
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考纲要求
考点
高考真题例举 2012 2011 2010
1.集合的含义与表示 (1)了解集合的含义，元素 与集合的“属于”关系． (2)能用自然语言、图形语 言、集合语言(列举法或描 述法)描述不同的具体问 题． 2．集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相 等的含义，能识别给定集 合的子集． (2)在具体情境中，了解全 集与空集的含义．
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(对应学生用书 P2)
1.掌握集合的概念，关键是把握集合中元素的特性，要特 别注意集合中元素的互异性，一方面利用集合中元素的互异性 能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕时，注意检 验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确． 2．用描述法表示集合时，首先应清楚集合的类型和元素 的性质．
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问题探究 1： 集合{Ø}是空集吗？它与{0}， 有什么区别？ Ø
提示：集合{Ø}不是空集，因为它含有元素 Ø，同理，{0} 也不是空集，因为它含有元素 0，但{Ø}与{0}不同，因为它们 的元素不同，Ø 是不含任何元素的集合．
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(对应学生用书 P1)
1．集合的概念与表示 (1)集合元素的三个特征： 确定性 、 互异性 、 无序性 ． (2)元素与集合的关系是 属于 或 不属于 关系，用符号∈. 或 ∉ 表示．
描述法 、图示法 、区间法 ． (3)集合的表示法： 列举法 、
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π 解法二：A 中的角是 的整数倍，终边全落在坐标轴上，B 2 中的角分为两部分，当 x＝kπ，k∈Z 时，角终边落在 x 轴上； π 当 x＝kπ＋ ，k∈Z 时，角终边落在 y 轴上．综上，B 表示角终 2 边落在坐标轴上．故 A＝B. (2)化简集合 A＝(－5,1)， 集合 B＝(m,2)或 B＝(2， m)(舍)． 又 A∩B＝(－1，n)．故 m＝－1，n＝1.
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2．集合间的基本关系 (1)子集、真子集及其性质 对任意的 x∈A，都有 x∈B，则 A⊆B (或 B⊇A )．
B 若 A⊆B， 且在 B 中至少有一个元素 x∈B， x∉A， A . 但 则
(或
B A
)．
Ø⊆A；A⊆A；A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.
解：当 a＋2＝1，即 a＝－1 时， (a＋1)2＝0，a2＋3a＋3＝1 与 a＋2 相同， ∴不符合题意． 当(a＋1)2＝1，即 a＝0 或 a＝－2 时， ①a＝0 符合要求． ②a＝－2 时，a2＋3a＋3＝1 与(a＋1)2 相同，不符合题意．
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集合的基 本概念
新课标 全国 卷，1
广东 卷，2
福建 卷，9
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考纲要求
3．集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与 交集的含义，会求两个简 单集合的并集与交集． (2)理解在给定集合中一个 子集的补集的含义，会求 给定子集的补集． (3)能使用韦恩图(Venn)表达 集合的关系及运算.
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韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常 用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空 心．
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设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x ＋m＝0}．若(∁UA)∩B＝Ø，则m的值是______．
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解法二：在平面直角坐标系中列出 x，y∈A 的有序数对， 其中在直线 x－y＝a(a∈A)上的点即为集合 B 中元素的个数． 如 图所示，容易计算集合 B 中的元素共有 10 个．
【答案】 D
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【思路启迪】 (1)先求出集合 P，再按 S＝Ø 和 S≠Ø 分类 讨论；(2)按 S＝Ø 和 S≠Ø 分类求解．
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【解】 (1)由题意得，P＝{－3,2}． 当 a＝0 时，S＝Ø，满足 S⊆P； 1 当 a≠0 时，方程 ax＋1＝0 的解为 x＝－ ， a 1 1 为满足 S⊆P，可使－ ＝－3，或－ ＝2， a a 1 1 即 a＝ ，或 a＝－ . 3 2 1 1 故所求集合为{0， ，－ }． 3 2
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考点
集合间 的基本 关系 集合的 基本运 算
天津卷，11 安徽卷，8
浙江卷，1
山东卷，3
湖北卷，2
安徽卷，2
2014年高考预测
1.考查集合中元素的互异性． 2．求几个集合的交、并、补集． 3．通过给的新材料考查阅读理解能力和创新解 题的能力.
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问题探究 2：若 A 含有 n 个元素，则 A 的子集有____个，A 的非空子集有____个，A 的非空真子集有____个．
提示：2n 2n－1 2n－2
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(2)集合相等 若 A⊆B 且 B⊆A，则 A＝B . 3．集合的运算及其性质 (1)集合的并、交、补运算
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加强对集合中元素的特征的理解，互异性常常容易忽略， 求解问题时要特别注意．
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(2012年新课标全国)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x ∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为 A．3 C．8 B．6 D．10 ( )
【思路启迪】 根据集合 B 中元素的特点，利用枚举法或 数形结合求解．
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【解析】 解法一：(1)x＝2，y＝1 时，x－y＝1，此时(x， y)＝(2,1)，有 1 个； x＝3，y＝1,2 时，x－y＝2,1，(x，y)有 2 个； x＝4，y＝1,2,3 时，x－y＝3,2,1，(x，y)有 3 个； x＝5，y＝1,2,3,4 时，x－y＝4,3,2,1，(x，y)有 4 个． 所以集合 B 中的元素个数为 1＋2＋3＋4＝10.
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集合是由元素构成的，构成集合的元素可以是数、字母、 点，还可以是具有其他性质的元素．明确集合中元素的性质， 从化简集合入手，可深化对集合概念的理解．
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(2012年济南质检)已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}， 且1∈A，求实数2 013a的值．
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(2)当 m＋1>2m－1，即 m<2 时，B＝Ø， 满足 B⊆A；
若 B≠Ø，且满足 B⊆A，如图所示，则 m＋1≤2m－1， m＋1≥－2， 2m－1≤5， m≥2， 即m≥－3， m≤3.
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当 a2＋3a＋3＝1，即 a＝－2 或 a＝－1. ①当 a＝－2 时，a2＋3a＋3＝(a＋1)2＝1，不符合题意． ②当 a＝－1 时，a2＋3a＋3＝a＋2＝1，不符合题意． 综上所述，a＝0. ∴2 013a＝1.
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空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在 解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可 能性．例如：A⊆B，则需考虑A＝Ø和A≠Ø两种可能的情况．
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(1)若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S⊆ P，求由a的可能取值组成的集合． (2)若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}， 且B⊆A，求由m的可能取值组成的集合．
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解析：解法一：在 A 中，因为 k∈Z， 若 k＝2n(n∈Z)，此时 x＝nπ，n∈Z， π 若 k＝2n＋1(n∈Z)，此时 x＝nπ＋ ，n∈Z， 2 显然 A 中元素与 B 中元素具有完全相同的属性．故 A＝B.
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并集：A∪B＝{x|x∈A 或 x∈B}； 交集：A∩B＝ {x|x∈A且x∈B} ； 补集：∁UA＝ {x|x∈U且x∉A} ．
U 为全集，∁UA 表示 A 相对于全集 U 的补集．
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(2)集合的运算性质 并集的性质 A∪Ø＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A； A∪B＝A⇔B⊆A. 交集的性质 A∩Ø＝Ø；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. 补集的性质 A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝Ø；∁U(∁UA)＝A； ∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)； ∁U(A∪B)＝·课标版 ·数学（理）
判断集合间关系往往转化为元素与集合间关系，对描述法 表示的集合要抓住元素及属性，可将元素列举出来或通过元素 特征，对连续数集和抽象集合，常借助数形结合的思想(借助 数轴，韦恩图及函数图象等)解决．
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答案：(1)C (2)－1 1
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在进行集合的运算时，先看清集合的元素和所满足的条 件，再把所给集合化为最简形式，并合理转化求解，必要时充 分利用数轴、韦恩图、图象等工具使问题直观化，并会运用分 类讨论、数形结合等思想方法，使运算更加直观、简洁．
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∴2≤m≤3. 故 m<2，或 2≤m≤3， 即所求集合为{m|m≤3}．
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(1)在解决两个数集关系问题时，合理运用数轴分析与求解 可避免出错．在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进 行分类讨论，分类时要遵循“不重不漏”的原则，然后对于每 一类情况都要给出问题的解答． (2)对于两集合A，B，当A⊆B时，别忘记A＝Ø的情况．
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kπ (1)已知集合A＝{x|x＝ ，k∈Z}，B＝{x|x＝kπ或x＝kπ＋ 2 π ，k∈Z}，A与B之间的关系是 2 A．A B C．A＝B B．B A D．没有包含关系 ( )
(2)(2012年天津)已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x ∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n ＝________.