2018年蚌埠市高中创新潜质特长生招生测试数学参考答案
【KS5U首发】安徽省蚌埠市2018届高三第三次质量检测+数学(文)+PDF版含答案【KS5U+高考】
Ａ （ ０ ， １ ）
Ｂ （ ０ ， ３ ）
Ｃ （ １ ， ４ ）
Ｄ （ ４ ，＋ɕ）
ｉ ２ ０ １ ８ ＋ｉ ２ 在复平面内， 复数 ｚ＝ 对应的点位于 １＋ｉ Ａ 第一象限 Ｂ 第二象限 Ｃ 第三象限 Ｄ 第四象限 １ １ ＞ ， 下列为真命题 ａ ｂ
２ ３ 已知命题 ｐ ： （ ｘ ） ＝ｘ ＋ｍ ｘ ｑ ： ， ｍ∈ Ｒ， 使ｆ 是偶函数； 若 ａ＜ｂ 则
２ ０ （ ２分） 本小题满分 １
２ ２
（ ９题图） 第１
ｘ ｙ ： ＋ ２ ＝１ （ ｂ＞０ ）的左、 ， Ｂ ， Ｐ为椭圆与 在平面直角坐标系中， 椭圆 Ｃ 右顶点分别为 Ａ ４ ｂ １ ｙ Ｐ Ａ ， Ｐ Ｂ的斜率为 ｋ ， ｋ ， ｋ 轴的交点， 且ｋ １ ２ １ ２ ＝－ ２ （ ； Ⅰ）求 ｂ ８ ０ （ ， Ｎ ， Ｂ Ｍ⊥ Ｂ Ｎ ， Ｍ Ｎ的面积为 ， Ⅱ）若斜率存在的直线 ｌ 交椭圆于点 Ｍ △Ａ 求直线 ｌ 的方程 ２ ７
７ 执行如图所示的程序框图， 输出 ｓ 的值为 Ａ － １ ７ Ｂ － ３ ２ ３ Ｄ １ １
２ ３ Ｃ － １ １ 表面积为
２ （ ） π π ＋１ Ａ ４
８ 已知一个圆柱的侧面展开图是边长为 ２ π的正方形， 则该圆柱的外接球
２ Ｂபைடு நூலகம் ４ （ ） π π ＋１
π ＋１ Ｃ ４ π
{
０ ７ ２ １ 三、 解答题： 共７ 分． 解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤． 第１ 题为必考题， 每 ２ 、 ２ ３题为选考题， 个试题考生都必须作答． 第２ 考生根据要求作答． （ ０分 一）必考题： 共６ １ ７ （ ２分） 本小题满分 １ Ｂ Ｃ ， ， Ｂ ， Ｃ所对边分别为 ａ ， ｂ ， ｃ （ ｘ ） ＝２ ｃ ｏ ｓ ｘ （ ３ ｓ ｉ ｎ ｘ－ｃ ｏ ｓ ｘ ）的最大 已知 △Ａ 角Ａ 若函数 ｆ 槡 ｆ （ Ｂ ） 值为 π （ ａ ｎ （ Ｂ＋ ） ； Ⅰ）求 ｔ ４ （ ， ｓ ｉ ｎ Ｃ ＝２ ｓ ｉ ｎ Ａ ， Ｂ Ｃ的面积 Ⅱ）若 ｂ＝４ 求 △Ａ
2018年安徽省蚌埠市第四中学高一数学理测试题含解析
2018年安徽省蚌埠市第四中学高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 三个数的大小关系为（）A BC D参考答案：D略2. 已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．m?α，n?α，m∥β，n∥β?α∥βB．α∥β，m?α，n?β?m∥nC．m⊥α，m⊥n?n∥αD．n∥m，n⊥α?m⊥α参考答案：D3. 已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}；则B中所含元素的个数为( )A．3 B．6 C．8 D．10参考答案：D略4. 函数y=的定义域是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】函数的定义域及其求法．【分析】直接求无理式的范围，解三角不等式即可．【解答】解：由2cosx+1≥0得，∴，k∈Z．故选D．5. 设，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a参考答案：A【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数、对数函数与三角函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=π0.3＞1，0＜b=logπ3＜1，＜log31=0，∴a＞b＞c，故选：A．【点评】本题考查了指数函数、对数函数与三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6. 有60件产品，编号为01至60，现从中抽取5件检验，用系统抽样的方法所确定的抽样编号是（）(A) 5,10,15,20,25 (B) 5,12,31,39,57 (C) 5,15,25,35,45 (D)5,17,29,41,53参考答案：D7. 设集合，集合B为函数的定义域，则( )A．(1，2) B．C． D．参考答案：D8. 设偶函数满足，则不等式的解集是（）A.或B. 或C. 或D. 或参考答案：B9. 本题8分)某组合体的三视图如图所示，求该组合体的体积.参考答案：解：从几何体三视图可得该几何体的直观图，如图所示：根据三视图所给数据可知该几何体的体积为.10. 函数的值域是( )A. RB.C.D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知命题“若，则” ，其逆命题为．参考答案：若x2＞1，则x＞112. 若， ___________参考答案：-2n略13. 关于x的不等式的解集为全体实数，则实数a的取值范围是_________________；参考答案：-4<a≤014. 直线l：过点，若可行域的外接圆的直径为，则实数n的值为________________参考答案：或略15. 已知实数满足方程及,则的最小值是参考答案：及,,16. 数列{a n}、{b n}满足a1=1，且a n+1、1+a n是函数f（x）=x2﹣b n x+a n的两个零点，则a2=，当b n＞时，n的最大值为．参考答案：，5【分析】利用根与系数的关系得出{a n}的递推公式，从而得出a n，b n的通项公式，在解不等式得出n的值．【解答】解：∵a n+1、1+a n是函数f（x）=x2﹣b n x+a n的两个零点，∴a n+1（1+a n）=a n，即a n+1=，∴﹣=1，又a1=1，∴{}是以1为首项，以1为公差的等差数列．∴=n，即a n=，∴a2=，又由根与系数的关系得：b n=a n+1+（1+a n）=+1，令+1＞，得n2﹣5n﹣3＜0，解得＜n＜，又n∈N，故n的最大值为5．故答案为：，5．17. 在数列{a n}中，a1=1，a n=1+（n≥2），则a5= ．参考答案：【考点】8H：数列递推式．【分析】利用数列的递推关系式，逐步求解即可．【解答】解：在数列{a n}中，a1=1，a n=1+（n≥2），可得a2=1+1=2，a3=1+=，a4=1+=，a5=1+=，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2018年XXX第二批次自主招生(实验班)考试数学学科试卷和答案
2018年XXX第二批次自主招生(实验班)考试数学学科试卷和答案2018年XXX第二批次自主招生（实验班）数学考试试卷考试时间：90分钟，满分100分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
每小题只有一个正确答案）1.化简 (2-m)/(m-2) 的结果是：A。
m-2B。
2-mC。
-m-2D。
-2/(m-2)2.表达式 abc+abc+abc 的所有可能值的个数是：A。
2个B。
3个C。
4个D。
无数个3.某班50名学生可在音乐、美术、体育三门选修课中选择，每位学生至少选择一门。
选择音乐的有21人，选择美术的有28人，选择体育的有16人，既选择音乐又选择美术的有7人，既选择美术又选择体育的有6人，既选择体育又选择音乐的有5人，则三项都参加的人数是：A。
2B。
3C。
4D。
54.已知二次函数 y=x^2-2x-6，当m≤x≤4 时，函数的最大值为2，最小值为-7，则满足条件的 m 的取值范围是：A。
m≤1B。
-2<m<1C。
-2≤m<1D。
-2≤m≤15.适合不等式 2/(3x-y) ≤ 1，且满足方程 3x+y=1 的 x 的取值范围是：A。
x≤1/3B。
-1≤x<1/3C。
x≤1D。
-1≤x≤16.已知 A、B 两点在一次函数 y=x 的图像上，过 A、B 两点分别作 y 轴的平行线交双曲线 y=1/x (x>0) 于 M、N 两点，O 为坐标原点。
若 BN=3AM，则 9OM^2-ON^2 的值为：A。
8B。
16C。
32D。
367.在直角三角形 ABC 中，∠BAC=90°，M、N 是 BC 边上的点，BM=MN=CN/2，如果 AM=8，AN=6，则 MN 的长为：A。
4√3B。
2√3C。
10D。
10/38.将正奇数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对(n,m) 表示第 n 排，从左到右第 m 个数，如 (4,2) 表示奇数 15，则表示奇数 2017 的有序实数对是：A。
蚌埠市高中创新潜质特长生招生测试数学参考答案
蚌埠市高中创新潜质特长生招生测试数学参考答案公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]2018年蚌埠市高中创新潜质特长生招生测试理科素养数学参考答案一、选择题：（每小题6分）二、填空题：（每小题6分）7. 18. 3 59. 95 2a≤<10. 111. 412. x=x=三、解答题：13.（本小题满分10分）解：22222222()()a b xy ab x y a xy b xy abx aby+++=+++2222()()a xy abxb xy aby=+++()()ax ay bx by bx ay=+++()()ax by ay bx=++，而()()6a b x y ax by bx ay++=+++=，5ax by+=，所以1bx ay+=，所以2222()()a b xy ab x y+++()()5ax by ay bx=++=.14.（本小题满分12分）解：（1）（6分）当1k=时，函数化为1133y x=-+，当2k=时，函数化为3155y x=-+，设两个函数图象的交点为(,)m n ，则11333155n m n m ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得1212m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 当12x =-时，1211212211()212214242422k k k y k k k k k --+=⨯-+=+==+++++，所以函数的图象恒过定点11(,)22-.（2）（6分）令0x =，解得121y k =+；令0y =，解得121x k =-，当1k ≥时，该函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积为1111221212(21)(21)k k k k ⨯⨯=+--+， 123201811111()213355740354037S S S S S =++++=++++⨯⨯⨯⨯111111111(1)223355740354037=⨯-+-+-++- 111009(1)440374037=⨯-=. 15.（本小题满分12分）解：（1）（4分）由根与系数的关系，知12111a x x a a++=-=--，12111a x x a a-==-， 则12121211(1)(1)()11(1)13x x x x x x aa--=-++=----+=， 即12(1)(1)x x --为定值3.（2）（8分）因为1x ，2x 均为整数，所以11x -，21x -也均为整数，不妨令12x x ≤，由（1）可知，12(1)(1)3x x --=，所以121113x x -=⎧⎨-=⎩或121311x x -=-⎧⎨-=-⎩，即1224x x =⎧⎨=⎩或1220x x =-⎧⎨=⎩，当1224x x =⎧⎨=⎩时，116a --=，17a =-；当1220x x =-⎧⎨=⎩时，112a --=-，1a =.所以a 的值为17-或1.16.（本小题满分14分）解：（1）（6分）连接CP ，AP ，BP ，因为点P 是ABC ∆的内心，所以CAP FAP ∠=∠，又AF AC =，AP AP =，所以CAP ∆≌FAP ∆，则PC PF =， 同理，可证PC PE =，所以在CEF ∆中，PC PF PE ==， 即点P 为CEF ∆的外心.AC B（2）（8分）延长AP 交CF 于M 点，延长BP 交CE 于N 点， 在等腰三角形CAF 中，AC AF =，AP 为CAF ∠的平分线， 所以AM CF ⊥，可得190902MFA MAF CAB ∠=︒-∠=︒-∠，同理，可得190902NEB NBE CBA ∠=︒-∠=︒-∠，所以在CEF ∆中，180ECF CEF CFE ∠=︒-∠-∠11180(90)(90)22CBA CAB =︒-︒-∠-︒-∠111(180)40222CBA CAB ACB =∠+∠=⨯︒-∠=︒， 由（1）知，点P 为CEF ∆的外心，280EPF ECF ∠=∠=︒.17.（本小题满分14分）解：（1）（4分）由题意，可求得点(4,0)A -，点(0,2)B ，设点(,0)C t ，由ABC ∠为直角知0t >，由射影定理，2OB OA OC =⋅，得224t =，所以1t =，点C 坐标(1,0).由抛物线过点(0,2)B ，可设解析式为22(0)y ax bx a =++≠，代入点A ，C 的坐标，得 1642020a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以抛物线的解析式为213222y x x =--+.（2）（3分）连接PA，由对称性可知，PA PC=，则PB PC PB PA+=+，当A，P，B三点共线时，PB PC+的最小值为（3）（7分）当MAB∆的面积最大时，点M到直线122y x=+的距离最大.连接MA，MB，MO，作ME垂直于x轴垂足为E，作MF垂直于y轴垂足为F，设213(,2)22M x x x--+，40x-<<，则2113114(2)2()4222222 MAB MAO MBO ABOS S S S x x x∆∆∆∆=+-=⨯⨯--++⨯⨯--⨯⨯2223444(2)4x x x x x x=--+--=--=-++，当2x=-时，MABS∆取最大值4，此时点M到直线AB5=.18.（本小题满分16分）解：（1）（6分）连接OH，OB，OC，因为60BAC∠=︒，所以120BOC∠=︒，由条件知，90CDH CEA∠=∠=︒，DCH ECA∠=∠，则DCH∆∽ECA∆，所以60CHD CAE∠=∠=︒，可得180********CHB CHD∠=︒-∠=︒-︒=︒，所以CHB BOC∠=∠，即证得B，C，H，O四点共圆.（2）（10分）ABC ∆的外接圆的圆心为O ，所以OB OC =，由（1）知，B ，C ，H ，O 四点共圆，所以OBM OCH ∠=∠, 又BM CH =，所以OBM ∆≌OCH ∆，得OM OH =，BOM COH ∠=∠,所以120MOH MOC COH MOC BOM BOC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒， 在等腰三角形MOH 中，120MOH ∠=︒，2OM OH ==， 所以2cos30MH OM =⋅︒=.（其它解法请根据解答情况酌情赋分）。
2018年蚌埠市高中创新潜质特长生招生测试英语试题
2018年蚌埠市高中创新潜质特长生招生测试文科素养英语试题◆考生注意：1．本卷满分110分，考试时间90分钟。
2．请将答案填写在答题卡的相应位置上，在试卷上作答无效，不予计分。
第I卷（共60 分）第一部分：英语知识运用（共两节，满分30分）第一节单项填空（共10小题；每小题1分，满分10分）从A、B、C和D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项。
1.——Wasn’t Alice supposed to be here by now?—— ____________. She will be here in about ten minutes.A. Enjoy yourselfB. All rightC. Don’t worryD. Gook luck2. Gradually, you will realize that the things that matter are ______ that can’t be bought by money.A. someB. onesC. theseD. those3. ——Reading is a good way to spend the time on the train.——That’s true. I never go travelling ________ a book.A. withoutB. withC. onD. from4. Few people paid full attention to their health condition_______ they were seriously ill.A. whenB. untilC. ifD. since5. Jason, now go to have a nice bath and an early night, so that you will be_________ for the journey tomorrow.A. safeB. proudC. naturalD. fresh6. She found increasingly difficult to read, for her eyesight was beginning to________.A. runB. disappearC. failD. stop7. It _________be my father at the door. He is on business in New York now.A. mustn’tB. can’tC. won’tD. needn’t8. My washing machine _________this week, so I have to wash my clothes by hand.A. is repairedB. was repairedC. has been repaired.D. is being repaired9. The goal of education is to teach young people to think for themselves and not follow others__________.A. blindlyB. closelyC. carefullyD. happily10. After studying in a teaching college for four years, Jane ______her job as a teacher in the countryside.A. set outB. set upC. took upD. took off第二节完形填空（共20小题；每小题1分，满分20分）阅读下面短文，从短文后各题所给的A、B、C和D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项。
最新-安徽省蚌埠三中2018年学年高一数学下学期第一次
蚌埠三中2018--2018学年第二学期高一第一次质量检测数学试题（必修4+解三角形）一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知sin()0,cos()0θθ-<-<，则角θ所在的象限是 （ ）A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2．下列判断正确的是 ( ) A.若向量AB 与CD 是共线向量，则A,B,C,D 四点共线；B.单位向量都相等；C.共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；D.模为0的向量的方向是不确定的。
3．如图，在菱形ABCD 中，下列式子成立的是 （ ） A ．AB CD = B.AB BC = C.AD CB = D.AD BC =4．在△ABC 中，一定成立的是 （ ）A ．sin sin a A bB = B. cos cos a A b B =C. sin sin a B b A =D. cos cos a B b A =5．在sin sin cos cos ,ABC A B A B ∆⋅<⋅中，则这个三角形的形状是 （ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形6．已知()()3,1,2,a b λ== ，若//a b ，则实数λ的值为 （ ）A ．23-B ．32-C ． 23D ．327．设向量)21,(cos α=→a 的模为22，则cos 2α= ( ) A.41- B.21- C.21 D.23 8．把函数cos y x =的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），然后把图象向左平移4π个单位，则所得图形对应的函数解析式为 （ ） A.)421cos(π+=x y B. )42cos(π+=x y C. )821cos(π+=x y D. )22cos(π+=x y 9．在△ABC 中，4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cos C 的值为 （ ） A ．41- B ．41 C ．32- D ．32 10．设向量)20cos ,20(sin ),25sin ,25(cos o o o o b a ==→→,若→→→+=b t a c (t ∈R),则||→c 的最小值为（ ）A ．2 B. 1 C.22 D.21第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．在ABC ∆中，已知222a b c +=，则C = .12．若1cos()3A B -=，则22(sin sin )(cos cos )A B A B +++= ． 13．函数2sin y x =在区间5[,]66ππ-上的值域为_______________. 14．若tan 2α=-，则4sin 2cos 5cos 3sin αααα-=+_______________. 15．下面有四个命题：（1）函数y=sin(32x ＋2π)是偶函数； （2）函数f (x )=|2cos 2x -1|的最小正周期是π；（3）函数f (x )=sin(x +4π)在]2,2[ππ-上是增函数； （4）函数()sin cos f x a x b x =-的图象的一条对称轴为直线x =4π,则0a b +=。
2020年蚌埠市高中创新潜质特长生招生模拟测试三
2020年蚌埠市高中创新潜质特长生招生模拟测试三理科素养数学试题一选择题(本大题共6小题.每小题6分共36分每小题均给出了A,B,C,D 四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,不填，多填或错填均得0分)1.如果实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，那么代数式c b a c b a a ++-++-22)(可以化简为（）b A ．223300B ．333300C ．443300D ．433300答案：B5.点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为（）A.1324S S S S < B.1324S S S S = C.1324S S S S > D.不能确定答案：C.如图所示，连接DE .423111423134211.S S S S S S S S S S S S BF EF S S S S DEF >'>⋅=⋅'==''=∆，所以，因为，从而有，则设.6.2225二7.8.9.答案：1510.如图，⊙O 的半径为20，A 是⊙O 上一点.以OA 为对角线作矩形OABC ，且OC =12.延长BC ，与⊙O 分别交于D ，E 两点，则CE -BD 的值等于.答案：528.如图所示，设DE 的中点为M ，连接OM ，则OM ⊥DE..528536564)()(56453620536)548(1254820121616122022222222=-=-=---=-∴=-=-==-=-==⨯=⋅=∴=-=-==CM BM BM DM CM EM BD CE CM BC BM OM OC CM BC OC OB OM OC OA AC OB ， 11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O (0，0)，A (0，6)，B (4，6)，C (4，4)，D (6，4)，E (6，0).若直线l 经过点M (2，3)，且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式是.答案：31131+-=x y .如图，延长BC 交x 轴于点F ；连接OB ，AF ；连接CE ，DF ，且相交于点N .由已知得点M (2，3)是OB ，AF 的中点，即点M 为矩形ABFO 的中心，所以直线l 把矩形ABFO 分成面积相等的两部分.又因为点N (5，2)是矩形CDEF 的中心，所以，过点N (5，2)的直线把矩形CDEF 分成面积相等的两部分.于是，直线MN 即为所求的直线l .设直线l 的函数表达式为y =kx +b ，则⎩⎨⎧=+=+2532b k b k .解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=31131b k .故所求直线l 的函数表达式为31131+-=x y .12.若112y x x =-+-的最大值为a ，最小值为b ，则22a b +的值为.答案：32..23)22(1.2221121114314321161)43(221212322121112102101222222222=+=+=====<<+--+=-+-+=⇒-+-=≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-b a b y x x a y x x x x y x x y x x x 所以，，则取到最大值时，或当；，则取到最大值时，，故当由于 三解答题(本大题共5小题,共78分)13.(14分)已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.解：设方程20x ax b ++=的两个根为)(βαβαβα≤为整数，且，，，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得3)2)(2(0122)1)(1(=++⇒=+++⇒⎩⎨⎧=++-=+βαβααββαβαaa.⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧-=+-=+113532121232βαβαβαβα或或又因为)]1()1[()(+++-==+-=βααββαc b a ，，.所以，a =0，b =-1，c =-2或者a =8，b =15，c =6.故a +b +c =-3或a +b +c =29.15.(14分))如图，△ABC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径，连接EF .求证：BCEFPAD =∠tan .【解】证明：如图所示，连接ED ，FD .由BE 和CF 都是直径，知ED ⊥BC ，FD ⊥BC ，因此D ，E ，F 三点共线.连接AE ，AF ，则∠AEF =∠ABC =∠ACB =∠AFD .故△ABC ∽△AEF .作AH ⊥EF ，垂足为H ，则AH =PD .由△ABC ∽△AEF 可得APAHBC EF =.从而APPDBC EF =.所以，BCEFAP PD PAD ==∠tan .15.(16分)已知关于x 的方程018)13(3)1(22=+---x m x m 有两个正整数根（m 是整数）。
2018年蚌埠市高中创新潜质特长生招生测试数学参考答案
2018年蚌埠市高中创新潜质特长生招生测试理科素养数学参考答案、填空题：（每小题6分） 7. 2.2 138. —59 9. -a 5210. 1 、、2 11. 4 12. x,3或 x .7当k 1时，该函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积为三、解答题：（本小题满分 （a 2b 2）13. 解: 10分) ab(x 2y 2)14. 而（a b ）（x 所以（a 2（本小题满分12分）y) ax b 2)xy ab(xby 22a xy(a xyax(ay (ax bx y 2)b 2xy abx 2 aby 2 abx 2) (b 2xy aby 2) bx) by(bx ay) by)(ay bx)，6， ax by 5，所以 bx ayby)(ay bx) ay (ax5.解: （1）（ 6分）当k 1时，函数化为2时，函数化为设两个函数图象的交点为 （m, n ），则当x 1时，y22k 1 2k 所以函数的图象恒过定点 （2）（6分）令x 0，解得y（丄） 2 2k 111）2,2） 1；令y 2k 11 m3 3 -m 52k，解得4k 224k 2 22k 1 4k 20,解得 1 x2k 1211ABC 的内心，所以CAP FAP ，贝U PC PF ,PC PF PE ,15. 解: 2k S 1 （本小题满分 (1) (4 分) 则(x即（X （2）（8S 2 2k 1 S 3 L12 分)2(2k S2018由根与系数的关系，知1)(2k 1)2(13 1 12(1 3 3—) 40371)(X 2 1) X 1X 2 (X 1X 2)(1X 2 由 (1) 可知， (X 11)(X 2 1) 3 ,所以X 1 2卡 X 1 2即或X 2 4 X 2 0X 1 2时1 1当时 1 6, a _ ；X 2 4a7‘4035 4037)15 5 1009 403740354037)a -) ax 1 1 1或X-] 1 3 x 2 1 3X 112»1时1 -2, a 1X 2 0aFAP ,所以 X 11）（x 2 1）为定值3. 1 所以a 的值为 1或1.71也均为整数,不妨令 ，XX116.（本小题满分14分）解：（1）（ 6分）连接CP ，AP ，BP ，因为点P 是又 AF AC , AP AP ，所以 CAP 也 同理，可证PC PE ，所以在 CEF 中， 即点P 为CEF 的外心.211（2）（8分）延长AP交CF于M点，延长BP交CE于N点，在等腰三角形CAF中，AC AF , AP为CAF的平分线，1所以AM CF，可得MFA 90 MAF 90 CAB,21同理，可得NEB 90 NBE 90 — CBA ,2所以在CEF 中，ECF 180 CEF CFE1 1180 (90 — CBA) (90 — CAB)2 2 11 1CBA CAB (180 ACB) 40 , 2 2 2由(1)知，点P 为 CEF 的外心， EPF 2 ECF 80 .17.(本小题满分14分)解: (1) (4分)由题意，可求得点 A( 4,0)，点B(0,2)，设点C(t,0), 由 ABC 为直角知t 0,由射影定理，OB 2 OA OC ，得22 4t , 所以t 1，点C 坐标(1,0). 由抛物线过点B(0,2)，可设解析式为y ax 2 bx 2(a 0)，18.(本小题满分16分)解：(1)(6分)连接OH ，OB ， OC ，因为代入点A ，C 的坐标，得1 16a 4b2 0 …a，解得2a b 2 0u3 b2所以抛物线的解析式为1 2 x 2(2)(3分) Ex 2. 2 PA PC ，则设 M(x, ^x 223 x 22)， 4SMABSMAO SMBO SABO此时点 2x2时,3x 4SMAB x 4 取最大值4，1 2 2x4x1 2x 2(x 沐2) 1 2 2 2)2 4，2 ( x) - 4 22M 到直线AB 的距离的最大值为2 4 2、5BAC 60，所以 BOC 120，PC PB PB PA，当A ，(3)( 7 分)2连接MA ，MB ，MO ，作ME 垂直于x 轴垂足为E ，作MF 垂直于y 轴垂足为F ，连接PA ，由对称性可知，由条件知，CDH CEA 90 , DCH ECA ，贝U DCH s ECA ,所以 CHD CAE 60，可得 CHB 180 CHD 180 60 120 , 所以 CHB BOC ，即证得B , C , H , O 四点共圆.（2） （10分） ABC 的外接圆的圆心为 O ，所以OB OC ,由（1）知，B ，C ，H ，O 四点共圆，所以 OBM OCH ,又 BM CH ，所以 OBM 也 OCH ，得 OM OH , BOMCOH MOC BOM BOC 120 , MOH 120 , OM OH 2 , 所以 MH 2OM cos30 2、3.（其它解法请根据解答情况酌情赋分）COH所以 MOH MOC在等腰三角形MOH 中,。
安徽省蚌埠市2017-2018学年高一上学期招生考试数学试题 Word版含答案
安徽省蚌埠市2017-2018学年高一上学期招生考试数学试题一、选择题：（每小题5分，共50分） 1、=)2015sin(π（ ）A. 1-B.1C. 0D. 232、函数32tanxy =的周期是（ ） A 、π6 B 、3π C 、32π D 、23π3、下列不等式中，正确的是（ ）A 、sin1500cos1200＞0 B 、cos1500tan1200＞0 C 、sin1500tan1200＞0 D 、tan1500tan1200＜0 4、扇形的周长为16，圆心角是2弧度，则扇形的面积是（ ） A .16 B.32π C. 16π D.32 5、下列四式不能化简为AD 的是（ ）A ．BC CD AB ）＋＋（ B ．）＋）＋（＋（CM BC MB AD C ． D ．6．设→a ，→b 为不共线向量，−→−AB ＝→a +2→b ,−→−BC ＝－4→a －→b ,−→−CD ＝－5→a －3→b ,则下列关系式中正确的是 （ ）A .−→−AD ＝−→−BC B. −→−AD ＝－2−→−BC C.−→−AD ＝－−→−BC D. −→−AD ＝2−→−BC7、要得到函数2sin 2y x =的图象，只需要将函数2cos2y x x -的图象（ ） A. 向右平移6π个单位 B. 向左平移12π个单位 C. 向左平移6π个单位 D. 向右平移12π个单位8. 函数sin 22x xy =的图像的一条对称轴方程是 （ ）A ．53x π=-B ．x =53πC ．x =113π D ．3x π=-9、已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝，则OC →等于( )A ．－OA →＋2OB → B ．2OA →－OB →C ．23OA →－13OB →D ．－13OA →＋23OB →10．函数）（]2,0[|sin |2sin )(π∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点,则k 的取值范围是( )A ．]1,1[-B ．)3,1(C ．)3,0()0,1( -D ． ]3,1[ 二、填空题：（每小题5分，共20分）11．若),4,3(=AB Ａ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为 ．12、若3)tan(=-απ, 则ααααcos sin cos sin -+=13、求值：)10tan 31(50sin 00+⋅=14．已知不等式()2cos 04442x x x f x m =--≤对于任意的 566x ππ-≤≤恒成立，则实数m 的取值范围是 三、解答题：（本大题共6小题，共80分）． 15.（本小题12分）已知α为第四象限角，53cos =α. （1）求αsin 的值； （2）求)4tan(πα+的值.16. （本小题12分）如图，在平行四边形ABCD 中，AC BD ,相交于点O ，M 为BO 中点. 设向量a AB =，b AD =.试用,表示BD和AM 。
蚌埠市高中创新潜质特长生招生测试数学参考答案(2020年整理)
蚌埠市高中创新潜质特长生招生测试数学参考答案（2020年整理）第一部分：选择题1.B2.A3.D4.C5.D6.B7.A8.C9.D10.B11.C12.A13.D14.B15.C第二部分：填空题1.4/152.1253.64.25.288第三部分：解答题1. 格雷码计算首先，格雷码是一种连续变化的编码系统，其中任意两个连续的编码只有一位之差。
下面是格雷码的计算过程：1.给定一个n位的二进制数，其中最高位为0，最低位为1。
我们将这个二进制数定义为G0。
2.给定一个n位的二进制数，其中最高位为1，最低位为0。
我们将这个二进制数定义为G1。
3.在G0和G1的基础上，我们可以计算G2。
G2是通过在G1的最高位加1得到的。
4.同样地，在G1和G2的基础上，我们可以计算G3。
G3是通过在G2的最低位加1得到的。
5.依此类推，我们可以计算出n位的格雷码。
因此，格雷码的计算步骤如下：1.给定n的值。
2.计算出G0和G1。
3.利用G0和G1计算出G2。
4.利用G2和G1计算出G3。
5.依此类推，计算出格雷码。
2. 平方数拆分平方数拆分是指将给定的正整数分解成若干个不同的平方数之和。
下面是一个例子：给定正整数12，我们可以将其拆分成2^2 + 2^2 + 2^2 = 12。
但是，平方数拆分并不是一件容易的事情。
因此，我们可以通过动态规划的方法解决这个问题。
具体步骤如下：1.首先，创建一个长度为n+1的数组dp，其中dp[i]代表正整数i的最小平方数拆分数量。
2.将dp数组的所有元素初始化为无穷大。
3.对于每个正整数i，先判断i是否为平方数，如果是，那么dp[i]的值就为1。
4.如果i不是一个平方数，那么我们需要遍历所有小于i的平方数，计算dp[i]的最小值。
5.最后，dp[n]就是我们要的结果。
通过以上步骤，我们可以求解一个正整数的最小平方数拆分数量。
动态规划代码示例：def squareCount(n):dp = [float('inf')] * (n +1)dp[0] =0for i in range(1, n +1):j =1while j * j <= i:dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] +1) j +=1return dp[n]结论本文介绍了蚌埠市高中创新潜质特长生招生测试2020年数学部分的参考答案。
最新-安徽省蚌埠市2018届高三第三次教学质量检查理科
蚌埠市2018届高三年级第三次教学质量检查考试数学试卷（理工类）试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的A 、B 、C 、D 的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卷相应位置. 1.若复数z 满足(1)22(z i i i +=-为虚数单位），则||z =（ ） A.1D.22.已知集合{}11M x x =-≤≤，|01x N x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则=⋂N M （ ） A.{}01x x ≤< B.{}0x x <≤1 C.{}11x x -≤≤ D.{}11x x -≤<3.各项均为正数的等比数列{}n a 中，且21431,9a a a a =-=-，则45a a +=（ ） A.16 B.27 C.36 D.－274.已知0a >，且0a ≠，下列函数中，在其定义域内是单调函数而且又是奇函数的是（ ）A.sin y ax =B.2log a y x =C.x x y a a -=-D.tan y ax =5.设实数x ，y 满足约束条件230,230,3x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩， 则23z x y =-+的取值范围是（ ）A.[]6,17-B.[]5,15-C.[]6,15-11 2侧视图D.[]5,17-6.已知两个非零向量a ,b 满足a ·(a -b )=0，且2|a |=|b |，则向量a ,b 的夹角为（ ）A.30B.60C.120D.1507.执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为A.6B.8C.10D.128.已知21,F F 分别是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左，右焦点，B A ,分别为椭圆的上，下顶点．过椭圆的右焦点2F 的直线交椭圆于C ，D 两点．CD F 1∆的周长为8，且直线BC AC ,的斜率之积为41-.则椭圆的方程为（ ） A.2212x y += B.22132x y += C.2214x y += D.22143x y += 9.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积 为（ ） A. B.C.4D.510.命题p ：“1≤+b a ”；命题q ：“对任意的R x ∈， 不等式1cos sin ≤+x b x a 恒成立”，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 11.如图，已知直线y kx m =+与曲线()y f x =相 切于两点，则()()F x f x kx =-有（ ） A.2个零点 B.2个极值点 C.2个极大值点 D.3个极大值点12.从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数，则其中有两个数字各用两次（例如，12332）的概率为（ ）A.25B.35C.47D.57第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卷相应横线上.13.已知双曲线1:2222=-by a x C 的渐近线为y =，则该双曲线的离心O y xy kx m=+()y f x =第11题图率是 .14.在211(1)x x -+的展开式中,3x 项的系数是 . 15.在四面体ABCD 中，3,3,4AC BD AD BC AB CD ======， 则该四面体的外接球的表面积为 .16.设,n n A B 是等差数列{}{},n n a b 的前n 项和，且满足条件522nnA nB n +=+，则20152017a b 的值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答须写出说明、证明过程和演算步骤.17．(本小题满分12分)设锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，2sin a b A = （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围.18．(本小题满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质标值落在区间[)55,65，[)65,75，[[]75,85内的频率；的这种产品中随机抽取3质量指标值位于区间[)45,75X，求X 的分布列与数学期望．19.(本小题满分12分)在四棱锥ABCD P -中，AD BC //，AD PA ⊥，平面⊥PAB 平面ABCD ，120=∠BAD ，且221====AD BC AB PA . （Ⅰ）求证：⊥PA 平面ABCD（Ⅱ）求二面角D PC B --20.(本小题满分12分)过抛物线()2:20E y px p =>的准线上的动点C 作E 的两条切线，斜率分别为12,k k ，切点为,A B .（Ⅰ）求12k k ⋅；（Ⅱ）C 在AB 上的射影H 是否为定点，若是，请求出其坐标，若不是，请说明理由.21.(本小题满分12分)设函数()()()2ln 1a f x x a R x=-+∈第19题图（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当2x >， ()()ln 12x x a x ->-恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号22. (本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲90,,ABC ACD ACB ADC BAC CAD ∆∆∠=∠=∠=∠如图，在和中，圆O 是以AB 为直径的圆，延长AB 与DC 交于E 点. （Ⅰ）求证：DC 是圆O 的切线；（Ⅱ）6,EB EC ==若，求BC 的长.23. (本小题满分10分) 选修4—4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为12x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程是2sin cos θρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴正方向建立直角坐标系，点(1,0)M -，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点．（Ⅰ）写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的普通方程； （Ⅱ）求线段MA 、MB 长度之积MA MB ⋅的值．24. (本小题满分10分)选修4-5不等式证明选讲A D BE CO设函数()2x a x b f x +-+=，（Ⅰ）当10,2a b ==-时，求使)(xf ≥x 取值范围；（Ⅱ）若1()16f x ≥恒成立，求a b -的取值范围.蚌埠市2018届高三年级第三次教学质量检查考试数学（理工类）答案及评分标准二、填空题：13.2 14. 275- 15.17π16.12.三、解答题：17.（本题满分12分） 解：（1）正弦定理可得6B π=； …………………………………………………………6分（2）化简，利用弦的有界性可得：3cos sin 2A C ⎫+∈⎪⎪⎝⎭.……………………12分18. （本题满分12分） 解：（Ⅰ）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ． 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，……………3分解得0.05x =．所以区间[]75,85内的频率为0.05． ……………………………………………5分（Ⅱ）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（Ⅰ）得，区间[)45,75内的频率为0.30.2+0.1=0.6+， 将频率视为概率得0.6p =．………………………………………………………7分因为X 的所有可能取值为0，1，2，3，且0033(0)C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，1123(1)C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=，2213(2)C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，3303(3)C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=． 所以X 的分布列为：X学期望为00.06410.28820.43230.216 1.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．（或直接根据二项分布的均值公式得到30.6 1.8EX np ==⨯=）……………………………………………12分………………………10分19. （本题满分12分） 解：（Ⅰ）证明： 作AB CE ⊥于E120=∠BAD ，∴ CE 与AD 必相交， 又 平面⊥PAB 平面ABCD ，∴⊥CE 平面PAB ， ∴PA CE ⊥ 又AD PA ⊥， ∴⊥PA 平面ABCD . …………………5分（Ⅱ）（方法一：综合法）连AC ，由已知得AC=2， 60=∠CAD ， 从而32=CD ， ∴AC CD ⊥又CD PA ⊥，∴⊥CD 平面PAC ， 从而平面PCD ⊥平面PAC作AC BG ⊥于G ，PC GH ⊥于H ，连BH ， 设则所求的二面角为+ 90BHG ∠3=BG ，1=CG ，22=GH ，所以214=BH ∴742sin )90cos(-=∠-=∠+BHG BHG .……………………………12分（法二：向量法（略））…………………………………………………………12分20. （本题满分12分）解：（Ⅰ）设,2p C t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过C 的切线l 的方程为：2p y t k x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，联立方程组：222p y t k x y px ⎧⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，消去x得：()2220ky py p t pk -++=①…………………………………………………………3分第19题图PAB C DE GHl 与E相切时，方程①由两个相等的实根，则0∆=，即220pk tk p +-= ②方程②的两根12,k k 是切线,CA CB 的斜率，由根与系数的关系知：121k k ⋅=-； ……………………………………………………………………6分（Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，CA 的斜率为k ，则1y 是方程①的相等实根，由根与系数的关系得：1p y k=，则122p x k =，由题意，CB 的斜率为1k-，同理2y pk =-，222pk x =，那么2122121AB y y k k x x k-==--，直线AB 的方程为：22212k pk y pk x k ⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭， 令0y =，得2p x =，即直线AB 经过焦点F .由方程②得()212p k t k-=，则直线AB 的一个方向向量为m ()21,2k k =-，()()221,2,122p k pFC p k k kk ⎛⎫- ⎪=-=-- ⎪⎝⎭ ， 显然FCm =0.所以，C在直线AB上的射影为定点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭………………………………12分21. （本题满分12分） 解：（Ⅰ）由题易知函数()f x 的定义域为()1,+∞，2221222()1(1)a x ax af x x x x x -+'=-=--， ……………………………O…………2分设22()22,484(2)g x x ax a a a a a =-+∆=-=-0,02,()0,()0,()(1,)a g x f x f x '∆≤≤≤≥≥+∞①当即时所以在上是增函数………………………………3分0,(),1,()(1)0()0,()(1,)a g x x a x g x g f x f x <=>>>'>+∞②当时的对称轴当时所以在是增函数………………………………4分2121212121212122,,()2201,1,()0,()(1,),(,),()0,()(,)a x x x x x ax a x a x a x x x x f x f x x x x x x f x f x x x ><-+==>=+'<<>>+∞'<<<③当时设是方程的两个根则当或时在上是增函数当时在上是减函数………………………………5分综合以上可知：当2a ≤时，()f x 的单调递增区间为()1,+∞，无单调减区间；当2a >时，()f x 的单调递增区间为(()1,,a a +∞，单调减区间为(a a ； ………………………………6分（Ⅱ）当2x >时，()()()2ln 12ln 1()0a x x a x x a f x a x->-⇔--+=->………………………………………………7分 ()()h x f x a =-令，由（Ⅰ）知2,()(1,),()(2,)2,()(2)0,a f x h x x h x h ≤+∞+∞>>=①当时在上是增函数所以在上是增函数因为当时上式成立;2,()(,()a f x a a h x >+②当时因为在上是减函数所以在(2,),a 上是减函数(2,,()(2)0,x a h x h ∈+<=所以当时上式不成立.综上，a的取值范围是(],2-∞. ………………………………………………12分22. （本题满分10分）解:（Ⅰ）,90,AB O ACB C O ︒∠=∴ 是的直径点在上, OC OCA OAC DAC ∠=∠=∠连接可得，OC AD ∴∥， ,AD DC DC OC ⊥∴⊥ 又,OC DC O∴ 为半径是的切线；……………………………………………5分（Ⅱ）2, DC O EC EB EA ∴= 是的切线6,12,6,, EB EC EA AB ECB EAC CEB AEC ECB EAC BC EC AC AC EA ====∠=∠∠=∠∴∆∆∴=== 又又∽即，22236,AC BC AB BC +==∴= 又…………………………………10分23. （本题满分10分）解:（Ⅰ）直线lcos()14πθ+=-，曲线C的普通方程为2y x =；………………………………………………………5分（Ⅱ）（方法一）将12x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2y x =得220t -+=，12||2MA MB t t ⋅==．（方法二）显然直线:10l x y -+=，联立得210x y y x-+=⎧⎨=⎩， 消去y 得210x x --=，所以112x =+，212x =13(22A -，13(22B ++则32MA =，32(2MB =，所以332(2(222MA MB ⋅=-=． (10)分24. （本题满分10分） 解:（Ⅰ）由于2x y =是增函数，)(x f ≥1122x x --≥ ① 当12x ≥时，1122x x --=，则①式恒成立， 当102x <<时，11222x x x --=-，①式化为21x ≥，此时①式无解，当0x ≤时，1122x x --=-，①式无解． 综上，x取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭……………………………………………… 5分（Ⅱ）1()||||416f x x a x b ≥⇔+-+≥- ②而由||||||||x a x b x a x b a b +-+≤+--=-⇒||||||||a b x a x b a b --≤+-+≤-∴要②恒成立，只需||4a b --≥-，即||4a b -≤， 可得a b-的取值范围是[]4,4-. …………………………………………10分（其他解法请参考以上评分标准酌情赋分）。
安徽省蚌埠市2018届高三第二次数学质量检查文科数学试卷 -含答案
安徽省蚌埠市2018届高三第二次数学质量检查文科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}2|20,1,0,1,2A x x x B =-≤=-，则AB =（ ）A ．[]0,2B ．{}0,1,2C ．()1,2-D ．{}1,0,1-2. 已知 z 满足()1i i(i -为虚数单位） ，则z = （ ）A ．2C ．2D ．1 3. 若,,R a b c ∈，且a b >，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．a c b c +≥-B ．ac bc >C ．20c a b>- D ．()20a b c -≥ 4. 函数3y =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5. 已知向量()()2,1,1,3a b =-=-，则 （ ） A ．a b B ．a b ⊥ C. ()aa b - D ．()a a b ⊥-6. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且6924,63S S ==，则4a = （ ）A ．4B ．5 C.6 D ．7 7. 如图所示的程序框图中 ，如输入4,3m t ==，则输出y = （ ）A ．61B ．62 C.183 D ．184 8. 在射击训练中 ，某战士射击了两次 ，设命题p 是“ 第一次射击击中目标”，命题q 是“ 第二次射击击中目标 ”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是 （ ）A ．()()p q ⌝∨⌝ 为真命题B ．()p q ∨⌝ 为真命题 C. ()()p q ⌝∧⌝ 为真命题 D ．p q ∨ 为真命题9. 已知双曲线()22210y x b b-=>，以原点O 为圆心 ， 双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于,,,A B C D 四点 ，四边形ABCD 的面积为b ，则双曲线的离心率为（ ）A ．2 C.3 D ．10. 已知函数()()21cos 0,R 22xf x x x ωωω=->∈.若函数 ()f x 在区间(),2ππ内没有零点 ， 则ω的取值范围是（ ）A ．50,12⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．55110,,12612⎛⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C.50,6⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．55110,,12612⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎦11. 某棱锥的三视图如图所示 ，则该棱锥的外接球的表面积为 （ ）A ．πB ．2π C.3π D ．4π12. 已知函数()1x f x x a e ⎛⎫=-⎪⎝⎭，曲线()y f x =上存在两个不同点 ，使得曲线在这两点处的切线都与 y 轴垂直 ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,e -+∞ B ．()2,0e - C.21,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某变速车厂生产变速轮盘的特种零件，该特种零件的质量均匀分布在区间()60,65（单位：g ），现随 机抽取 2个特种零件，则这两个特种零件的质量差在lg 以内的概率是 ．14.设1m >，当实数,x y 满足不等式组21y xy x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩时，目标函数z x my =+的最大值等于 3，则m 的值 是 ．15. 已知直线l ⊥平面 α，垂足为O ，三角形ABC的三边分别为1,2,BC AC AB ===若,A l C α∈∈，则BO 的最大值为 ．16. 已知数列{}n a 满足10a =，数列{}n b 为等差数列 ，且11516,15n n n a a b b b +=++=，则31a = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()2sin 2sin sin A A B C +-=，且2A π≠.（1）求ab的值 ；（2）若2,3c C π==，求ABC ∆的面积.18. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ,224AC BC CD ===，60ACB ACD ∠=∠=.（1）证明：CP BD ⊥；（2）若AP PC ==B PCD -的体积．19. 某学校高一 、高二 、高三三个年级共有 300名教师，为调查他们的备课时间情况，通过分层抽样获得了20名教师一周的备课时间 ，数据如下表（单位 ：小时）：（1）试估计该校高三年级的教师人数 ；（2）从高一年级和高二年级抽出的教师中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲 ，高二年级选出的人记为乙 ，求该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率 ； （3）再从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取一名教师，他们该周的备课时间分别是8,9,10（单位： 小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为1x ，表格中的数据平均数记为0x ，试判断0x 与1x 的大小. （结论不要求证明）20. 如图 ，已知椭圆 ()222210x y a b a b+=>>的左右顶点分别是()),A B ,设 点()(),0P a t t ≠,连接PA 交椭圆于点 C ，坐标原点是O .（1）证明：OP BC ⊥；（2）若三角形ABC 的面积不大于四边形OBPC 的面积，求t 的最小值 ．21. 已知曲线()2ln 2af x x x =-在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线斜率为0. （1）讨论函数()f x 的单调性 ； （2）()()12g x f x mx =+在区间()1,+∞上没有零点 ，求实数m 的取值范围 ． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线1:2cos C ρθ=，曲线()2:cos 4cos C ρρθθ=+.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，曲线C的参数方程为122(x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）. （1）求12,C C 的直角坐标方程 ；（2）C 与12,C C 交于不同四点，这四点在C 上的排列顺次为,,,H I J K ，求HI JK -的值.23.选修4-5：不等式选讲已知(),R,7,11x y m n f x x x ∈+==--+. （1）解不等式()()f x m n x ≥+；（2）设{}()()max ,a a b a b b a b ⎧≥=⎨<⎩，求{}22max 4,2F x y m y x n =-+-+的最小值 ．参考答案一、选择题1-5:BADAD 6-10: BCABD 11-12：CD二、填空题13.92514.41 16.225 三、解答题17. 解：(1)由()2sin 2sin sin A A B C +-=，得()()4s i n c o s s i n s i n A A A B A B +-=+，得2sin cos sin cos A A B A =，因为2A π≠，所以cos 0A ≠，得sin 2sin B A =，由正弦定理12,2a b a b ==，故12a b =. (2) 由余弦定理可知：224a b ab +-=，又由(1)知2b a =，联立2242a b ab b a⎧+-=⎨=⎩，解得a b ==1sin 2ABC S ab C ∆==. 18. 解：(1) 如图 ，连接BD 交AC 于点O ，BC CD =，即B C D ∆为等腰三角形，又AC平分BCD ∠，故AC BD ⊥，因为平面PAC ⊥底面ABCD ，平面PAC底面,ABCD AC BD =∴⊥平面PAC ，因CP ⊂平面PAC ，所以CP BD ⊥.(2)如图，记BD 交AC 于点O ，作PE AC ⊥于点E ，则PE ⊥底面ABCD ，因为4AP PC AC ===，所以90,2APC PE ∠==，由cos601OC CD ==，又sin 603OD CD ==112BCD S ∆=⨯⨯1233P BCD BCD V S PE -∆==. 19. 解：(1) 抽出的20位教师中 ，来自高三年级的有8名 ，根据分层抽样方法 ，高三年级的教师共有830012020⨯=(人). (2) 从高一 、 高二年级分别抽取一人共有35种基本结果，其中甲该周备课时间比乙长的结果有()()()()()()7,5,7,8,7,8.5,7,8.5,8,9,7,9,8共6种 ，故该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的基本结果有35629-=种 ， 所以概率为2935P =. （3）10x x <.20. 解：(1) 由已知易得:1a b = 椭圆方程为2212x y +=,设直线PA 的方程为y x=,由2212x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，整理得()22224280t xx t +++-=，解得：21224x x t ==+，则点C 的坐标是2224,44t tt ⎛⎫⎪++⎝⎭，故直线BC 的斜率为BC k =由于故直线OP 的斜率为OP k =，所以1,BC OP k k OP BC =-∴⊥. (2)由（1）知321224OBPCtS OPBC t +=⨯⨯=+，32222142,24444ABCt tS t t t t ∆+=⨯=∴≤++++，整理得2min 24,t t t +≥≥∴=21. 解：(1)()2ln 2a f x x x =-,定义域为()()0,.'22a f x x x+∞=-，因为1'102f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以 ()()()()21121211,ln ,'2222x x a f x x x f x x x -+==-=-=，令()'0f x >，得12x >，令()'0f x <，得102x <<，故函数 ()f x 的单调递增区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)()211ln 22g x x x mx =-+,由()2141'20222m x mx g x x x x+-=-+==，得8m x -=或8m x -=（舍），设08m x -=，所以()g x 在(]00,x 上是减函 数，在[)0,x +∞上为增函数 ，因为()g x 在区间()1,+∞上没有零点 ，所以()0g x >在()1,x ∈+∞上恒成 立 ，由()0g x >，得1ln 22xm x x>-，令[)ln ,1,2xy x x x =-∈+∞，则22222ln 22ln 4'144x x x y x x ---=-=，当1x >时，'0y <，所以ln 2xy x x=-在()1,+∞单调递减 ，所以当1x =时，max 1y =-，故112m ≥-，即[)2,m ∈-+∞. 22. 解：(1)因为cos ,sin x y ρθρθ==，由2c o s ρθ=，得22c o s ρρθ=，所以曲线1C 的直角坐标方程为()2211x y -+=；由()c o s 4c o sρρθθ=+，得22sin 4cos ρθρθ=，所以曲线2C 的极坐标方程为24y x =.(2) 不妨设四点在C 上的排列顺次至上而下为,,,H I J K ,它们对应的参数分别为1234,,,t t t t ，如图，连接 1,C J，则1C I J∆为正三角形 ，所以1IJ =，()141411HI JK HI IK IJ t t t t -=-+=-+=-++，把1222x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入24y x =，得：23824t t =-，即238320t t +-=，故1483t t +=-，所以113HI JK -=. 23. 解：（1）()()117f x m n x x x x ≥+⇔--+≥,当1x ≤-时，27x ⇔≥，成立；当11x -<<时，27x x ⇔-≥，即10x -<≤；当1x ≥时，27x ⇔-≥，即x ∈∅，综合以上可知：{}|0x x ≤. （2）22224,2,242F x y m F y x n F x y m y x n ≥-+≥-+∴≥-++-+()()()()2222min 1251222,1,1x y m n x y F F ≥-+-++-=-+-+≥∴≥=.。
2018年___自主招生数学试卷(含答案解析)
2018年___自主招生数学试卷(含答案解析)2018年___自主招生数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.√16的平方根是()A.4B.±4C.22.若√(1−x)2=x−1成立，则x满足()A.x≥1B.x≥C.x≤1D.±23.已知x=√5−1，则x2+2x的值是()A.2B.3C.4D.54.如图所示的四条直线a、b、c、d，直线a、b与水平线平行，以其中一条为x轴，d与水平线垂直，取向右为正方向；直线c、以其中一条为y轴，取向上为正方向．某同学在此坐标平面上画了二次函数x=xx2+2xx+2(x≠0)的图象如图，则下面结论正确的是()A.a为x轴，c为y轴B.a为x轴，d为y轴C.b为x轴，c 为y轴D.b为x轴，d为y轴5.如图，已知AB为圆的直径，C为半圆上一点，D为半圆的中点，xx⊥xx，垂足为H，HM平分∠xxx，HM交AB于x.若xx=3，xx=1，则MH长为()A.1B.1.5C.0.5D.0.76.如图，△xxx中，∠x=90°，D是BC边上一点，∠xxx=3∠xxx，xx=8，xx=7.则AB的值为()A.15B.20C.2√2+7D.2√2+√7二、填空题（本大题共10小题，共40.0分）7.已知实数x、y满足x+2x=5，则x−x=3.8.分解因式：x2+4xx+4x2+x+2x−2=(x+2x+1)2−3.9.在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(x,3)，(3x−1,3)，若线段AB与直线x=2x+1相交，则m的取值范围为(0,1)。
10.若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是9cm。
11.如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE=2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D、N处，B在同一直线上，分别落在M、F与BE交于点G.设AB=√3，那么△xxx的周长为4+4√3.12.如图，已知点x1，x2，…，xx均在直线x=x−1上，点x1，x2，…，xx均在双曲线x=−x上，x1x1⊥x并且满足：x1x2⊥x轴，x2x2⊥x轴，…，xx−1xx⊥x轴，xxxx⊥x轴，且x1x2=x2x3=…=xx−1xx，则n的最小值为2.1.由题意可知，点B在x轴负半轴，点A在x轴正半轴，且AB垂直于x轴，因此AB的斜率为0，即AB为x轴，所以B的纵坐标为0.又因为B在x轴负半轴，所以其横坐标为负数，设为-a。
2018年安徽省蚌埠市高考数学三模试卷(理科)
2018年安徽省蚌埠市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）在每小题给出的A,B,C,D,的四个选项中只有一项是符合题目要求的1. 已知全集U =R ，集合A ={x|lgx ≤0}，B ={x||x +1|>1}，则(∁U A)∩B =( ) A.(−2, 1)B.(−∞, −2]∪(1, +∞)C.[−2, 1)D.(−∞, −2)∪(1, +∞) 【答案】 D【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】根据对数函数和绝对值的性质，求出集合A 和B ，求出C U A ，再根据交集的定义进行求解； 【解答】由lgx ≤0，得{x >0x ≤1 ，即0<x ≤1，故A ={x|0<x ≤1}， 所以C U A ={x|x ≤0或x >1}；由|x +1|>1，得x +1<−1或x +1>1，解得x <−2，或x >0，所以B ={x|x <−2或x >0}， 所以(C U A)∩B ={x|x <−2或x >1}，2. 已知复数z =−3+4i 2−i，则z ⋅z =( )A.−5B.5C.−√5D.√5【答案】 B【考点】 复数的运算 【解析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 【解答】 复数z =−3+4i 2−i=(−3+4i)(2+i)(2−i)(2+i)=−10+5i 5=−2+i ，z =−2−i ．则z ⋅z =(−2+i)(−2−i)=(−2)2+12=(5)3. 命题“∃x 0∈R ，e x 0>2x 03”的否命题是（ ） A.∃x 0∉R ，e x 0>2x 03 B.∃x 0∈R ，e x 0≤2x 03 C.∀x ∉R ，e x >2x 3 D.∀x ∈R ，e x ≤2x 3 【答案】D【考点】命题的否定 【解析】根据特称命题的否命题是全称命题，写出对应的命题即可． 【解答】解：特称命题“∃x 0∈R ，e x 0>2x 03”的否命题是全称命题“∀x ∈R ，e x ≤2x 3”．故选D .4. 已知随机变量X 服从正态分布N(1, σ2)，若P(X ≤2)=0.72，则P(X ≤0)=( ) A.0.22 B.0.28 C.0.36 D.0.64 【答案】 B【考点】正态分布的密度曲线 【解析】随机变量ξ服从正态分布N(1, σ2)，得到曲线关于x =1对称，根据曲线的对称性得到小于等于0的概率和大于等于2的概率是相等的，从而做出大于2的数据的概率，根据概率的性质得到结果． 【解答】随机变量ξ服从正态分布N(1, σ2)， ∴ 曲线关于x =1对称，∴ P(x ≤0)=P(x ≥2)=1−P(x ≤2)=0.285. 已知a →=(2, 1)，b →=(−1, 1)，则a →在b →方向上的投影为（ ） A.−√22B.√22C.−√55D.√55【答案】 A【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】根据条件即可求出a →⋅b →及|b →|的值，而a →在b →方向上的投影计算公式为a →⋅b →|b →|，从而求出该投影的值． 【解答】a →⋅b →=−2+1=−1，|b →|=√2； ∴ a →在b →方向上的投影为：a →⋅b →|b →|=√2=−√22．6. 根据如下样本数据：得到回归方程y ∧=−0.7x +8.2，则（ ） A.a =5B.变量x 与y 线性正相关C.当x =11时，可以确定y =0.5D.变量x 与y 之间是函数关系 【答案】 A【考点】求解线性回归方程 【解析】计算x 、y ，代入回归方程求得a 的值． 【解答】计算x =14×(3+5+7+9)=6，y =14×(6+a +3+2)=11+a 4，回归方程y ∧=−0.7x +8.2， 则11+a 4=−0.7×6+8.2，解得a =(5)7. 若正数x ，y 满足约束条件2<x +2y <4，则y+1x+1的取值范围是（ ） A.(15, 3) B.(13, 2)C.(15, 2)D.(13, 3)【答案】 A【考点】 简单线性规划 【解析】由约束条件作出可行域，再由y+1x+1的几何意义，即可行域内的动点与点P(−1, −1)连线的斜率求解． 【解答】由约束条件{x +2y >2x +2y <4x >0y >0 作出可行域如图，y+1x+1的几何意义为可行域内的动点与点P(−1, −1)连线的斜率．∵ k PA =15，k PB =(3) ∴ y+1x+1的取值范围是(15, 3)，8. 4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（ ） A.24种 B.36种 C.48种 D.60种 【答案】 D【考点】计数原理的应用 【解析】分两类，第一类，有3名被录用，第二类，4名都被录用，则有一家录用两名，根据分类计数原理即可得到答案 【解答】解：分两类，第一类，有3名被录用，有A 43=24(种)，第二类，4名都被录用，则有一家录用两名，有C 31⋅C 42⋅A 22=36(种)， 根据分类计数原理，共有24+36=60（种）， 故选D .9. 如图，网络纸的小正方形的边长是1，粗线为某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A.23πB.πC.2πD.4π【答案】 B【考点】由三视图求体积 【解析】根据三视图可得该几何体时一个圆柱的一半，根据圆柱的体积公式计算即可， 【解答】根据三视图可得该几何体时一个圆柱的一半，该圆柱的底面半径为1，高为2， 其体积V =12×π×12×2=π，10. 点A是椭圆x24+y23=1与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一条渐近线的交点，若点A的横坐标为1，则双曲线的离心率等于（）A.4 3B.32C.√132D.53【答案】C【考点】椭圆的定义【解析】将x=1代入椭圆方程求得A点坐标，代入双曲线的渐近线方程，求得ba =32，根据双曲线的离心率公式，即可求得答案．【解答】当x=1时，代入椭圆方程：x24+y23=1，解得：y=±32，假设A在第一象限，则A(1, 32)，双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程y=±bax，则A在直线y=bax，则ba=32，双曲线的离心率e=ca =√1+b2a2=√132，∴双曲线的离心率为√132，11. 正实数x，y满足x lgy y lgx=100，则xy的取值范围是（）A.[1100, 100]B.(0, 1100]∪[100, +∞)C.(0, 110]∪[10, +∞)D.[110, 10]【答案】B【考点】对数的运算性质【解析】正实数x，y满足x lgy y lgx=100，两边取对数可得：lgxlgy=(1)则1≤(lgx+lgy2)2，即可可得lg(xy)≥2或lg(xy)≤−2，利用对数函数的单调性即可得出．【解答】正实数x，y满足x lgy y lgx=100，两边取对数可得：2lgxlgy=2，化为：lgxlgy=(1)则1=lgxlgy≤(lgx+lgy2)2，∴lg(xy)≥2或lg(xy)≤−2，解得xy ≥100，0<xy ≤1100．∴ xy 的取值范围是(0,1100brack ∪[100, +∞)．故选：B ．12. 圆C 的方程为：(x +a)2+(y −a)2=1，点A(0, 3)，O 为坐标原点，若C 上存在点P ，使得|PA|=2|PO|，则a 的取值范围是（ ） A.(−1−√172, −1)∪(0, −1+√172)B.(−1−√172, −1+√172)C.[−1−√172, −1]∪[0, −1+√172]D.[−1−√172, −1+√172]【答案】C【考点】直线与圆的位置关系 【解析】设出点C ，P 的坐标，利用|PA|=|2PO|，寻找坐标之间的关系，进一步将问题转化为圆与圆的位置关系，即可得出结论． 【解答】设点P(x, y)，因为|PA|=2|PO|，∴ (y −3)2+x 2=4(x 2+y 2)， 化简得整理得：x 2+(y +1)2=4，所以点P 既在以D(0, −1)为圆心，2为半径的圆上． 又点P(x, y)在圆C 上，即圆C 与圆D 有公共点P ， C(−a, a)，半径r =1， 则若两圆相交，则满足2−1≤|CD|≤2+1，即1≤√(−a −0)2+(a +1)2≤3， 即1≤2a 2+2a +1≤9，得{2a 2+2a +1≥12a 2+2a +1≤9 得{a 2+a ≥0a 2+a −4≤0， 即{a ≥0或a ≤−1−1−√172≤a ≤−1+√172得0≤a ≤−1+√172或−1−√172≤a ≤−1，综上实数a 的取值范围是[−1−√172, −1]∪[0, −1+√172]，二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）曲线y =e x +cosx 在(0, 2)处的切线方程为________． 【答案】 x −y +2=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求出函数的导数，切线切线的斜率，从而求出切线方程即可．【解答】y′=e x−sinx，y′|x=0=1，故切线方程是：y−2=x，即x−y+2=0，二项式(2x−1x)6的展开式中常数项为________（用数字表示）．【答案】−160【考点】二项式定理的应用【解析】利用二项式展开式的通项公式T r+1，令x的指数等于0，求出常数项．【解答】解：∵二项式的展开式的通项公式是：T r+1=C6r⋅(2x)6−r⋅(−1x)r=(−1)r⋅26−r⋅C6r⋅x6−2r，令6−2r=0，解得r=3，∴常数项为T3+1=(−1)3⋅26−3⋅C63=−8×20=−160.故答案为：−160.函数f(x)=sin(2x+φ)−2cos(2x+φ)(0≤φ≤π2)的图象关于x=π4对称，则sinφ=________【答案】2√55【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】利用辅助角公式化积，结合f(x)的图象关于x=π4对称，可得2×π4+φ+θ=π2+kπ，k∈Z，得到φ=kπ−θ，然后对k分类求解．【解答】∵f(x)=sin(2x+φ)−2cos(2x+φ)=√5sin(2x+φ−θ)，(sinθ=2√55, cosθ=√55)．且f(x)的图象关于x=π4对称，∴2×π4+φ+θ=π2+kπ，k∈Z．则φ=kπ−θ，∴ sinφ=sin(kπ−θ)． 当k 为偶数时，sinφ=−sinθ=−2√55（舍）； 当k 为奇数时，sinφ=sinθ=2√55．已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的所有顶点均在球O 的表面上，E ，F ，G 分别为AB ，AD ，AA 1的中点，则平面EFG 与平面BC 1D 截球O 所得圆的面积之比为________． 【答案】 58【考点】 球的体积和表面积 【解析】设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则球半径R =√4+4+42=√3，球心O 到平面EFG的距离为√3−√33=2√33，球心O 到平面BC 1D 的距离为√32，由此能求出平面EFG 与平面BC 1D 截球O 所得圆的面积之比． 【解答】解：设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，∵ 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的所有顶点均在球O 的表面上， ∴ 球心O 是对角线AC 1的中点，∴ 球半径R =√4+4+42=√3，∵ 点A 到平面EFG 的距离为√33，∴ 球心O 到平面EFG 的距离为√3−√33=2√33， 球心O 到平面BC 1D 的距离为√32，∴ 平面EFG 与平面BC 1D 截球O 所得圆的面积之比：π×(√(√3)2−(2√33)2)2−(√3)=58．故答案为：58.三、解答题（共5小题，满分60分）解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤数列{a n }是以2为公差的等差数列，且a 2，a 4，a 8为等比数列． (Ⅰ)数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若b n =a 2n ，求数列{b n }的前n 项之和． 【答案】(Ⅰ)数列{a n }是等差数列，a 2，a 4，a 8为等比数列．即a 42=a 2a 8，公差d =2，∴ (a 1+3d)2=(a 1+d)(a 1+7d)， 解得：a 1=2， ∴ a n =2n ．(Ⅱ)由b n=a2n，可得{b n}的通项为．b n=2⋅2n．那么b n+1=2⋅2n+1．∴b n+1=2=q．b n∴数列{b n}为等比数列，首项为4，公比为(2)=2n+2−4．数列{b n}的前n项之和S n=4(1−2n)1−2【考点】数列的求和【解析】(Ⅰ)数列{a n}是等差数列，a2，a4，a8为等比数列建立关系即可求解数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)由b n=a2n，可得{b n}的通项．可知{b n}是等比数列，即可求解数列{b n}的前n项的和．【解答】(Ⅰ)数列{a n}是等差数列，a2，a4，a8为等比数列．即a42=a2a8，公差d=2，∴(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d)，解得：a1=2，∴a n=2n．(Ⅱ)由b n=a2n，可得{b n}的通项为．b n=2⋅2n．那么b n+1=2⋅2n+1．∴b n+1=2=q．b n∴数列{b n}为等比数列，首项为4，公比为(2)=2n+2−4．数列{b n}的前n项之和S n=4(1−2n)1−2如图1，四边形ABCD中，AB=AD=DC=2，BC=2√2，∠ABC=45∘，M为AD的中点，Q为AB的中点，沿AC把△ADC折起使点D到点P（如图2），若平面PAC⊥平面PAB．(Ⅰ)证明：平面PAC⊥平面ABC；(Ⅱ)求二面角M−QC−A的正切值．【答案】证明：(Ⅰ)在△ABC中，由余弦定理得：AC=√AB2+BC2−2×AB×BC×cos45∘=√4+8−2×2×2√2×√2=2，2∴△ABC为直角三角形，△ACD是等边三角形，且AB⊥AC，CM⊥AP，∵ 面PAC ⊥面PAB ，且交线为AP ，∴ CM ⊥面PAB ，∴ CM ⊥AB ，从而AB ⊥面APC ， ∵ AB ⊂面ABC ，∴ 平面PAC ⊥平面ABC ．(Ⅱ)过M 作MH ⊥AC ，垂足为H ，过H 作HE ⊥CQ ，垂足为E ， 连结ME ，则∠MEH 是二面角M −QC −A 的平面角， 在△AMC 及△CQH 中，由面积得MH =√32，HE =3√510， ∴ tan∠MEH =MH HE=√153．∴ 二面角M −QC −A 的正切值为√153．【考点】二面角的平面角及求法 【解析】(Ⅰ)由余弦定理得AC =2，从而△ABC 为直角三角形，△ACD 是等边三角形，且AB ⊥AC ，CM ⊥AP ，进而CM ⊥面PAB ，CM ⊥AB ，从而AB ⊥面APC ，由此能证明平面PAC ⊥平面ABC ．(Ⅱ)过M 作MH ⊥AC ，垂足为H ，过H 作HE ⊥CQ ，垂足为E ，连结ME ，则∠MEH 是二面角M −QC −A 的平面角，由此能求出二面角M −QC −A 的正切值． 【解答】证明：(Ⅰ)在△ABC 中，由余弦定理得：AC =√AB 2+BC 2−2×AB ×BC ×cos45∘=√4+8−2×2×2√2×√22=2，∴ △ABC 为直角三角形，△ACD 是等边三角形，且AB ⊥AC ，CM ⊥AP ， ∵ 面PAC ⊥面PAB ，且交线为AP ，∴ CM ⊥面PAB ，∴ CM ⊥AB ，从而AB ⊥面APC ， ∵ AB ⊂面ABC ，∴ 平面PAC ⊥平面ABC ．(Ⅱ)过M 作MH ⊥AC ，垂足为H ，过H 作HE ⊥CQ ，垂足为E ， 连结ME ，则∠MEH 是二面角M −QC −A 的平面角， 在△AMC 及△CQH 中，由面积得MH =√32，HE =3√510， ∴ tan∠MEH =MH HE=√153．∴ 二面角M −QC −A 的正切值为√153．某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目，若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某学校为了了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：(Ⅱ)假设男生、女生选择选考科目是相互独立的．从选考方案确定的8位男生随机选出1人，从选考方案确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史科目的概率；(Ⅲ)从选考方案确定的8名男生随机选出2名，设随机变量ξ={1,2名男生选考方案相同2,2名男生选考方案不同求ξ的分布列及数学期望Eξ． 【答案】(Ⅰ)设该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为x ， 则x =420×8+108+6+10+6×6+48+10=420×35×59=140（人）， 所以该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为140人； (Ⅱ)该男生和该女生的选考方案中都含有历史科目的概率为 P =C 21∗C 31C 101∗C 81=340；(Ⅲ)由题意知ξ的所有可能取值为1，2， P(ξ=1)=C 42+C 22C 82=6+128=14，P(ξ=2)=C 41∗C21+C41∗C11+C41∗C11+C21∗C11+C21∗C11+C11∗C1182=8+4+4+2+2+128=34；所以ξ的分布列为：ξ的数学期望为E(ξ)=1×14+2×34=74．【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】(Ⅰ)利用分层抽样原理求得对应的学生人数；(Ⅱ)根据相互独立事件的概率公式计算所求的概率值；(Ⅲ)由题意知随机变量ξ的可能取值，计算对应的概率，写出ξ的分布列，计算数学期望值．【解答】(Ⅰ)设该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为x，则x=420×8+108+6+10+6×6+48+10=420×35×59=140（人），所以该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为140人；(Ⅱ)该男生和该女生的选考方案中都含有历史科目的概率为P=C21∗C31C101∗C81=340；(Ⅲ)由题意知ξ的所有可能取值为1，2，P(ξ=1)=C42+C22C82=6+128=14，P(ξ=2)=C41∗C21+C41∗C11+C41∗C11+C21∗C11+C21∗C11+C11∗C11C82=8+4+4+2+2+128=34；所以ξ的分布列为：ξ的数学期望为E(ξ)=1×14+2×34=74．已在F为抛物线C:x2=4y的焦点A(x1, y1)，B(x2, y2)为抛物线上两点，分别过A，B 作抛物线的切线交于点P．(Ⅰ)若直线PA交y轴于点Q，证明：|FQ|=y1+1；(Ⅱ)设PA，PB分别交x轴于M，N两点，同△PMN的外接圆是否过定点，如果是，求出定点坐标，如果不是，说明理由．【答案】(I)由x2=4y得：y=x24，故而y′=x2，∴直线PA的方程为：y−y1=x12(x−x1)，令x=0得y=y1−x122=y1−2y1=−y1，即Q(0, −y1)，又F(0, 1)，y1>0，∴|FQ|=y1+(1)(II)由(I)知：PA方程为y−y1=x12(x−x1)，令y=0可得x=2y1x1=x12，即M(x12, 0)，∴K MF=1−x12=−2x1．∴k PA⋅k MF=−1，∴MF⊥PA，同理可得NF⊥PB，∴P，F，M，N四点共圆，∴△PMN的外接圆过定点F(0, 1)．【考点】抛物线的求解【解析】(I)利用导数的几何意义求出PA方程，得出Q点坐标，从而得出结论；(II)求出M，N的坐标，得出PA⊥MF，PB⊥NF，于是P，F，M，N四点共圆，从而得出F为所求定点．【解答】(I)由x2=4y得：y=x24，故而y′=x2，∴直线PA的方程为：y−y1=x12(x−x1)，令x=0得y=y1−x122=y1−2y1=−y1，即Q(0, −y1)，又F(0, 1)，y1>0，∴|FQ|=y1+(1)(II)由(I)知：PA方程为y−y1=x12(x−x1)，令y=0可得x=2y1x1=x12，即M(x12, 0)，∴K MF=1−x12=−2x1．∴k PA⋅k MF=−1，∴MF⊥PA，同理可得NF⊥PB，∴P，F，M，N四点共圆，∴△PMN的外接圆过定点F(0, 1)．已知函数f(x)=lnxx．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)记函数g(x)=(x +1)f(x +1)．若∀x ∈(0, 1],g(x)≥xax+1恒成立，求正实数a 的最小值． 【答案】 (Ⅰ)依题意f′(x)=1−lnx x 2，令f′(x)>0，得0<x <e ， 令f′(x)<0，得x >e ，∴ f(x)的单调增区间为(0, e)，单调减区间为(e, +∞)； (Ⅱ)令H(x)=g(x)−x ax+1=ln(x +1)−xax+1，x ∈(0, 1]， ∴ H′(x)=1x+1−1(ax+1)2=x[a 2x+(2a−1)brack (x+1)(ax+1)2，①若a ≥12，则a 2x +(2a −1)≥0，H′(x)≥0，∴ H(x)在(0, 1]上单调递增，∴ H(x)≥H(0)=0，结论成立， ②√2−1<a <12，则H′(x)=0⇒x =1−2a a 2=(1a )2−2(1a )∈(0, 1)，∴ x ∈(0, 1−2a a 2)，H′(x)<0，∴ H(x)在(0, 1−2aa 2)上单调递减，∴ H(1−2aa2)<H(0)=0，不合题意，③若0<a <√2−1，则H(1)=ln2−1a+1≤ln2−√22<0，不合题意，综上所述，a 的最小值为12．【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】(Ⅰ)根据导数和函数的单调性关系即可求出，(Ⅱ)令H(x)=g(x)−xax+1=ln(x +1)−xax+1，x ∈(0, 1]，求导，分类讨论，判断函数的单调性，即可求出a 的取值范围． 【解答】 (Ⅰ)依题意f′(x)=1−lnx x 2，令f′(x)>0，得0<x <e ， 令f′(x)<0，得x >e ，∴ f(x)的单调增区间为(0, e)，单调减区间为(e, +∞)； (Ⅱ)令H(x)=g(x)−x ax+1=ln(x +1)−xax+1，x ∈(0, 1]， ∴ H′(x)=1x+1−1(ax+1)2=x[a 2x+(2a−1)brack (x+1)(ax+1)2，①若a ≥12，则a 2x +(2a −1)≥0，H′(x)≥0，∴ H(x)在(0, 1]上单调递增，∴ H(x)≥H(0)=0，结论成立， ②√2−1<a <12，则H′(x)=0⇒x =1−2a a 2=(1a )2−2(1a )∈(0, 1)，∴ x ∈(0, 1−2a a 2)，H′(x)<0，∴ H(x)在(0, 1−2aa 2)上单调递减，∴ H(1−2aa2)<H(0)=0，不合题意，③若0<a <√2−1，则H(1)=ln2−1a+1≤ln2−√22<0，不合题意，综上所述，a 的最小值为12． [选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−12ty =3√3+√32t （t 为参数），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=2cosθ射线，OM:θ=π3(ρ≥0)与圆C 交于点O ，P ，与直线l 交于点Q ．(Ⅰ)求直线l 的极坐标方程； (Ⅱ)求线段PQ 的长度． 【答案】(Ⅰ)直线l 的参数方程为{x =−12ty =3√3+√32t （t 为参数）， 转化为直角坐标方程为：√3x +y −3√3=0，转化为极坐标方程为：√3ρcosθ+ρsinθ−3√3=0．(Ⅱ)圆C 的极坐标方程为ρ=2cosθ射线，OM:θ=π3(ρ≥0)与圆C 交于点O ，P ，与直线l 交于点Q ．则：{ρ=2cosθθ=π3，解得：ρ1=(1){√3ρcosθ+ρsinθ−3√3=0θ=π3，解得：ρ2=(3) 故：|PQ|=|ρ1−ρ2|=3−1=(2) 【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化 【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转换． (Ⅱ)利用所建立的方程组求出结果． 【解答】(Ⅰ)直线l 的参数方程为{x =−12ty =3√3+√32t （t 为参数）， 转化为直角坐标方程为：√3x +y −3√3=0，转化为极坐标方程为：√3ρcosθ+ρsinθ−3√3=0．(Ⅱ)圆C 的极坐标方程为ρ=2cosθ射线，OM:θ=π3(ρ≥0)与圆C 交于点O ，P ，与直线l 交于点Q ．则：{ρ=2cosθθ=π3，解得：ρ1=(1){√3ρcosθ+ρsinθ−3√3=0θ=π3，解得：ρ2=(3) 故：|PQ|=|ρ1−ρ2|=3−1=(2) [选修4-5：不等式选讲]设f(x)=|2x −a|+|x −a|．(Ⅰ)若a =1，解关于x 的不等式f(x)>2； (Ⅱ)求证：f(t)+f(−1t )≥6．【答案】(Ⅰ)若a =1，关于x 的不等式f(x)>2即为 |2x −1|+|x −1|>2，当x ≥1时，2x −1+x −1>2，解得x >43； 当x ≤12时，1−2x +1−x >2，解得x <0； 当12<x <1时，2x −1+1−x >2，解得x ∈⌀． 综上可得f(x)>2的解集为{x|x <0或x >43}；(Ⅱ)证明：f(t)+f(−1t )=|2t −a|+|t −a|+|−2t −a|+|−1t −a| ≥|2t −a +2t +a|+|t −a +1t +a|=3|t +1t |=3(|t|+1|t|)≥3×2=6当且仅当t =±1时，取得最小值(6)【考点】绝对值不等式的解法与证明 【解析】(Ⅰ)通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；(Ⅱ)根据绝对值不等式的性质求出g(x)的最小值即可． 【解答】(Ⅰ)若a =1，关于x 的不等式f(x)>2即为 |2x −1|+|x −1|>2，当x ≥1时，2x −1+x −1>2，解得x >43；当x ≤12时，1−2x +1−x >2，解得x <0； 当12<x <1时，2x −1+1−x >2，解得x ∈⌀． 综上可得f(x)>2的解集为{x|x <0或x >43}；(Ⅱ)证明：f(t)+f(−1t )=|2t −a|+|t −a|+|−2t −a|+|−1t −a| ≥|2t −a +2t +a|+|t −a +1t +a|=3|t +1t |=3(|t|+1|t|)≥3×2=6当且仅当t =±1时，取得最小值(6)。
2018年安徽省蚌埠市高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2018年安徽省蚌埠市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的A，B，C，D的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卷相应位置．1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣1≥0}，B＝{x|﹣2≤x＜2}，则A∩B＝（）A．[1，2）B．[﹣2，1]C．（﹣2，1）D．（1，2）2．（5分）设复数Z满足等式Z＝（i为虚数单位），则||（）A．B．C．D．3．（5分）“a＝1”是“直线x+y+1＝0与直线a2x+y+a＝0平行”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知a＝21.2，b＝（）﹣0.8，c＝ln2，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a5．（5分）若cos＝，sin＝﹣，则tanθ＝（）A．﹣B．C．﹣D．6．（5分）函数f（x）＝的大致图象为（）A．B．C．D．7．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A．08B．07C．02D．018．（5分）若非零向量，满足||＝||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．B．C．D．π9．（5分）已知双曲线E：﹣＝1 （a＞0，b＞0）的左焦点为F1，点C（a，b），若D为F1C的中点，在双曲线E的渐近线上，则双曲线E的离心率为（）A．B．C．2D．10．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（）A．B．C．D．11．（5分）已知单调函数f（x），对任意的x∈R都有f[f（x）﹣2x]＝6．则f（2）＝（）A．2B．4C．6D．812．（5分）如图，已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象与坐标轴交于A （a，0），B（，0），C（0，c），若|OA|＝2|OB|，则C＝（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卷相应横线上．13．（5分）若变量x，y满足约束条件则z＝2x+y的最大值为．14．（5分）已知点A（1，0），在圆x2+y2＝9上随机取一点B，则|AB|＜的概率为．15．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体各侧面面积的最大值为．16．（5分）已知椭圆+＝1的左右焦点分别为F1，F2，且椭圆上存在点P，PF2的中点为M，以F2为圆心、|MF2|为半径的圆与直线OM相切，则△PF1F2面积的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17一21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．必考题：共60分17．（12分）已知等差数列{a n}满足a2＝2，a1+a4＝5．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若数列{b n}满足：b1＝3，b2＝6，{b n﹣a n}为等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）某读书协会共有1200人，现收集了该协会20名成员每周的课外阅读时间（分钟），其中某一周的数据记录如下：75 60 35 100 90 50 85 170 65 70 125 75 70 85 155 110 75 130 80 100对这20个数据按组距30进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：阅读时间分组统计表（设阅读时间为x分钟）（I）写出m，n的值，请估计该读书小组中人均每周的课外阅读时长，以及该读书小组中一周阅读时长不少于90分钟的人数；（II）从上述A，E两个组的4个数据中任取2个数据，求这2个数据差的绝对值大于90分钟的概率；（Ⅲ）完成下面的2x2列联表，并回答能否有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”？附：K2＝19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，∠BCD＝120°，AP＝BP（I）求证：PC⊥AB；（II）若AB＝PC＝2，cos∠PCB＝，求点D到平面PBC的距离．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，动圆M过定点F（1，0），且与直线x＝﹣1相切，曲线C为圆心M的轨迹．（I）求曲线C的方程；（II）过（2，0）的直线l与C有两个不同的交点A，B，已知点Q（﹣2，0），QA，QB与y轴分别交于M（0，m），N（0，n）两点，证明：m+n为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣ax2（a∈R）．（I）若a＝1，求函数f（x）在x＝0处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点，求实数a的范围．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|P A|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）＝x+3．（I）当a＝﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（II）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围2018年安徽省蚌埠市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的A，B，C，D的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卷相应位置．1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣1≥0}，B＝{x|﹣2≤x＜2}，则A∩B＝（）A．[1，2）B．[﹣2，1]C．（﹣2，1）D．（1，2）【解答】解：∵A＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}，B＝{x|﹣2≤x＜2}，∴A∩B＝{x|1≤x＜2}＝[1，2），故选：A．2．（5分）设复数Z满足等式Z＝（i为虚数单位），则||（）A．B．C．D．【解答】解：∵Z＝＝，∴＝．故选：B．3．（5分）“a＝1”是“直线x+y+1＝0与直线a2x+y+a＝0平行”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：根据题意，当a＝1时，直线a2x+y+a＝0即x+y+1＝0，与直线x+y+1＝0重合，则“a＝1”是“直线x+y+1＝0与直线a2x+y+a＝0平行”的不充分条件；反之，若“直线x+y+1＝0与直线a2x+y+a＝0平行”，则有a2＝1，则a＝±1，当a＝1时，直线a2x+y+a＝0即x+y+1＝0，与直线x+y+1＝0重合，不合题意，当a＝﹣1时，直线a2x+y+a＝0即x+y﹣1＝0，与直线x+y+1＝0平行，符合题意，则有a ＝﹣1，则“a＝1”是“直线x+y+1＝0与直线a2x+y+a＝0平行”的不必要条件；则“a＝1”是“直线x+y+1＝0与直线a2x+y+a＝0平行”的既不充分也不必要条件；故选：D．4．（5分）已知a＝21.2，b＝（）﹣0.8，c＝ln2，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a 【解答】解：a＝21.2＞2＞b＝（）﹣0.8，＝20.8＞1＞c＝ln2，故a＞b＞c，故选：B．5．（5分）若cos＝，sin＝﹣，则tanθ＝（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：由cos＝，sin＝﹣，得tan＝，∴tanθ＝．故选：D．6．（5分）函数f（x）＝的大致图象为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）＝，∴f（﹣x）＝＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，故排除B，D，当x＝时，f（）＝＝﹣1，故排除A，故选：C．7．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A．08B．07C．02D．01【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，故第5个数为01．故选：D．8．（5分）若非零向量，满足||＝||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．B．C．D．π【解答】解：∵（﹣）⊥（3+2），∴（﹣）•（3+2）＝0，即32﹣22﹣•＝0，即•＝32﹣22＝2，∴cos＜，＞＝＝＝，即＜，＞＝，故选：A．9．（5分）已知双曲线E：﹣＝1 （a＞0，b＞0）的左焦点为F1，点C（a，b），若D为F1C的中点，在双曲线E的渐近线上，则双曲线E的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：F1（﹣c，0），D（，），双曲线的渐近线方程为y＝﹣，∴＝﹣，即2a﹣c＝0，∴e＝＝2，故选：C．10．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（）A．B．C．D．【解答】解：由程序框图知：程序运行的S＝××…×，∵输出的k＝6，∴S＝××＝．∴判断框的条件是S＞．故选：B．11．（5分）已知单调函数f（x），对任意的x∈R都有f[f（x）﹣2x]＝6．则f（2）＝（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：设t＝f（x）﹣2x，f（t）＝6，且f（x）＝2x+t，令x＝t，则f（t）＝2t+t＝6，∵f（x）是单调函数，f（2）＝22+2＝6，∴t＝2，即f（x）＝2x+2，则f（2）＝4+2＝6，故选：C．12．（5分）如图，已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象与坐标轴交于A （a，0），B（，0），C（0，c），若|OA|＝2|OB|，则C＝（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【解答】解：由题意：|OA|＝2|OB|，B（，0），∴|AB|＝，即周期T＝3，那么ω＝函数f（x）＝sin（x+φ），把C（0，c）代入，可得sinφ＝c＜0．把B（，0）代入，可得sin（+φ）＝0；∵|φ|＜，∴φ＝．则c＝sin（）＝．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卷相应横线上．13．（5分）若变量x，y满足约束条件则z＝2x+y的最大值为9．【解答】解：依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数z＝2x+y，由得C（2，5），当直线经过C（2，5）时，z取到最大值，Z max＝9．故答案为：9．14．（5分）已知点A（1，0），在圆x2+y2＝9上随机取一点B，则|AB|＜的概率为．【解答】解：设点B的坐标为（3cosθ，3sinθ），θ≤θ＜2π∵A（1，0），∴|AB|2＝（3cosθ﹣1）2+9sin2θ＝10﹣6cosθ，∵|AB|＜，∴10﹣6cosθ＜10，∴cosθ＞0，∴0≤θ＜，或＜θ＜2π，∴|AB|＜的概率为＝，故答案为：15．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体各侧面面积的最大值为6．【解答】解：几何体是三视图可知直观图如图：几何体是长方体中的一部分，是三棱锥A ﹣BCD．则该多面体各侧面面积的最大的是ACD，由题意可知：AD＝2，CD＝2，AC＝2，S△ABD＝×＝6．故答案为：6．16．（5分）已知椭圆+＝1的左右焦点分别为F1，F2，且椭圆上存在点P，PF2的中点为M，以F2为圆心、|MF2|为半径的圆与直线OM相切，则△PF1F2面积的最大值为2．【解答】解：如图，∵以F2为圆心、|MF2|为半径的圆与直线OM相切，∴OM⊥PF2．∵OM∥PF1，PF1⊥PF2，即，⇒，则△PF1F2面积S＝b2．要使，必有c≥b，∵a2﹣b2≥b2，∴b2≤2．则△PF1F2面积的最大值为2，故答案为：2．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17一21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．必考题：共60分17．（12分）已知等差数列{a n}满足a2＝2，a1+a4＝5．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若数列{b n}满足：b1＝3，b2＝6，{b n﹣a n}为等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}满足a2＝2，a1+a4＝5，则，解得a1＝d＝1，∴a n＝1+（n﹣1）＝n，（Ⅱ）∵b1＝3，b2＝6，{b n﹣a n}为等比数列，设公比为q，∴b1﹣a1＝3﹣1＝2，b2﹣a2＝6﹣2＝4，∴q＝2，∴b n﹣a n＝2×2n﹣1＝2n，∴b n＝n+2n，∴数列{b n}的前n项和T n＝（1+2+3+…+n）+（2+22+…++2n）＝+＝+2n+1﹣2．18．（12分）某读书协会共有1200人，现收集了该协会20名成员每周的课外阅读时间（分钟），其中某一周的数据记录如下：75 60 35 100 90 50 85 170 65 70 125 75 70 85 155 110 75 130 80 100对这20个数据按组距30进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：阅读时间分组统计表（设阅读时间为x分钟）（I）写出m，n的值，请估计该读书小组中人均每周的课外阅读时长，以及该读书小组中一周阅读时长不少于90分钟的人数；（II）从上述A，E两个组的4个数据中任取2个数据，求这2个数据差的绝对值大于90分钟的概率；（Ⅲ）完成下面的2x2列联表，并回答能否有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”？附：K2＝【解答】解：（I）根据题意知，在90≤x＜120内的数据个数为m＝3，在150≤x＜180内的数据个数为n＝2，估计该读书小组中人均每周的课外阅读时长为＝×（75+60+35+100+90+50+85+170+65+70+125+75+70+85+155+110+75+130+80+100）＝90.25，该读书小组中一周阅读时长不少于90分钟的人数为8人；（II）从A（35，50），E（155，170）两个组的4个数据中任取2个数据，基本事件是（35，50），（35，155），（35，170），（50，155），（50，170），（155，170）共6种；这2个数据差的绝对值大于90分钟的基本事件是（35，155），（35，170），（50，155），（50，170）共4种；故所求的概率是P＝＝；（Ⅲ）完成下面的2x2列联表如下，计算K2＝＝≈0.808＜2.706，∴没有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，∠BCD＝120°，AP＝BP（I）求证：PC⊥AB；（II）若AB＝PC＝2，cos∠PCB＝，求点D到平面PBC的距离．【解答】（I）证明：取AB的中点M，连结PM，CM，∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝120°，∴△ABC是等边三角形，∴CM⊥AB，又P A＝PB，∴PM⊥AB，又CM∩PM＝M，CM，PM⊂平面PCM，∴AB⊥平面PCM，又PC⊂平面PCM，∴AB⊥PC．（II）解：在△PBC中，∵PC＝BC＝2，cos∠PCB＝，∴PB＝＝，∴PM＝＝1，又CM＝，∴PM2+CM2＝PC2，∴PM⊥CM，∴又PM⊥AB，AB∩CM＝M，∴PM⊥平面ABCD，∴V P﹣BCD＝＝＝．设点D到平面PBC的距离为h，则V D﹣PBC＝＝×h＝．∴＝．∴h＝．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，动圆M过定点F（1，0），且与直线x＝﹣1相切，曲线C为圆心M的轨迹．（I）求曲线C的方程；（II）过（2，0）的直线l与C有两个不同的交点A，B，已知点Q（﹣2，0），QA，QB与y轴分别交于M（0，m），N（0，n）两点，证明：m+n为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意圆心为M的动圆M过点（1，0），且与直线x＝﹣1相切，所以圆心M的轨迹是以（1，0）为焦点的抛物线，∴圆心M的轨迹方程为y2＝4x．F（1，0）故曲线H的方程为：y2＝4x．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（﹣2，t），M（0，y M），N（0，y N），直线AB：x＝my+2，①曲线C：y2＝4x，②联立①②，得y2﹣4my﹣8＝0，∴y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，直线QA：，令x＝0，y M＝．同理，y N＝，∴y M+y N＝＝0．∴m+n＝0为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣ax2（a∈R）．（I）若a＝1，求函数f（x）在x＝0处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点，求实数a的范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝e x﹣ax2（a∈R），∴a＝1时，f（x）＝e x﹣x2，f′（x）＝e x﹣2x，∴f′（0）＝1，f（0）＝1，∴函数f（x）在x＝0处的切线方程为：y﹣1＝x，即x﹣y+1＝0．（Ⅱ）∵f′（x）＝e x﹣2ax，函数f（x）有两个极值点，∴y＝a和g（x）＝，∴＝，x＞1时，g′（x）＞0，x＜1时，g′（x）＜0，∴g（x）min＝g（1）＝，∴实数a的范围是（，+∞）．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|P A|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t＝|P A|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2＝4x2+4y2+16＝32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52][选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）＝x+3．（I）当a＝﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（II）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围【解答】解：（Ⅰ）当a＝﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y＝|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则y＝，它的图象如图所示：结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）＝1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x≥a﹣2对x∈[﹣，]都成立．故﹣≥a﹣2，解得a≤，故a的取值范围为（﹣1，]．。
2018年安徽省蚌埠市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2018年安徽省蚌埠市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的A，B，C，D的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卷相应位置．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≥0}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∩B＝（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣1，2]C．[﹣1，1]D．[1，2]2．（5分）（+sin x）dx＝（）A．ln2﹣1B．ln2+1C．+1D．﹣13．（5分）“m＜1”是“函数f（x）＝x2+x+m有零点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知a＝21.2，b＝（）﹣0.8，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a5．（5分）若cos＝，sin＝﹣，则tanθ＝（）A．﹣B．C．﹣D．6．（5分）若非零向量，满足||＝||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．B．C．D．π7．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A．08B．07C．02D．018．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（）A．B．C．D．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．B．C．D．110．（5分）已知函数f（x）＝2cos（2x﹣）在[a﹣，a]（a∈R）上的最大值为y1，最小值为y2，则y1﹣y2的取值范围是（）A．[2﹣，2]B．[2，2]C．[，2]D．[2﹣，2] 11．（5分）已知A（4，3），F为椭圆+＝1的右焦点，过点A的直线与椭圆在x轴上方相切于点B，则直线BF的斜率为（）A．﹣B．﹣C．﹣1D．﹣12．（5分）已知不等式e x﹣（a+2）x≥b﹣2恒成立，则的最大值为（）A．﹣ln3B．﹣ln2C．﹣1﹣ln3D．﹣1﹣ln2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卷相应横线上．13．（5分）若变量x，y满足约束条件则z＝2x+y的最大值为．14．（5分）设复数z＝（i为虚数单位），则＝．15．（5分）已知点P（3，0），在⊙O：x2+y2＝1上随机取一点Q，则|PQ|＜的概率为．16．（5分）已知△ABC，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4a2+b2+c2＝8，则△ABC 面积的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17一21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．必考题：共60分17．（12分）设数列{a n}的前n项乘积为T n，对任意正整数n都有T n＝1﹣a n（I）求证：数列{}是等差数列；（II）求证：T12++…+18．（12分）某读书协会共有1200人，现收集了该协会20名成员每周的课外阅读时间（分钟），其中某一周的数据记录如下：75 60 35 100 90 50 85 170 65 70 125 75 70 85 155 110 75 130 80 100对这20个数据按组距30进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：阅读时间分组统计表（设阅读时间为x分钟）（I）写出m，n的值，请估计该读书小组中人均每周的课外阅读时长，以及该读书小组中一周阅读时长不少于90分钟的人数；（II）该读书协会拟发展新成员5人，记新成员中每周阅读时长在[60，90）之间的人数为ξ，以上述统计数据为参考，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）完成下面的2x2列联表，并回答能否有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”？附：K 2＝19．（12分）如图，已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面为菱形，∠BCD ＝120°，AP ＝BP ． （I ）求证：PC ⊥AB ； （II ）若AB ＝2，PD ＝2，cos ∠PCB ＝，求二面角B ﹣PC ﹣D 的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，F （1，0），动点P 满足||＝•i +1，其中i ＝（1，0），曲线C 为动点P 的轨迹． （I ）求曲线C 的方程；（II ）过（2，0）的直线l 与C 有两个不同的交点A ，B ，Q 为直线x ＝﹣2上一动点，QA ，QB 与y 轴分别交于两点M ，N ，M ，N 的中点为R ，问：直线QR 是否恒过一定点，如果是，求出该定点坐标．如果不是，说明理由．21．（12分）已知函数f （x ）＝e x﹣ax 2（a ∈R ）有两个极值点． （I ）若a 的取值范围；（Ⅱ）若函数f （x ）的两个极值点为x 1，x 2，证明：x 1•x 2＜1．选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|P A|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）＝x+3．（Ⅰ）当a＝﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．2018年安徽省蚌埠市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的A，B，C，D的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卷相应位置．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≥0}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∩B＝（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣1，2]C．[﹣1，1]D．[1，2]【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≤﹣1或x≥3，即A＝（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B＝[﹣2，2]，∴A∩B＝[﹣2，﹣1]，故选：A．2．（5分）（+sin x）dx＝（）A．ln2﹣1B．ln2+1C．+1D．﹣1【解答】解：（+sin x）dx＝（lnx﹣cos x）＝lnπ﹣cosπ﹣ln﹣cos＝lnπ+1﹣lnπ+ln2﹣0＝ln2+1．故选：B．3．（5分）“m＜1”是“函数f（x）＝x2+x+m有零点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若函数f（x）＝x2+x+m有零点，则判别式△＝1﹣4m≥0，解得m≤，则“m＜1”是“函数f（x）＝x2+x+m有零点”的必要不充分条件，故选：B．4．（5分）已知a＝21.2，b＝（）﹣0.8，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：∵a＝21.2＞2，b＝（）﹣0.8＝20.8＜21＝2，c＝log54＜log55＝1，∴c＜b＜a．故选：A．5．（5分）若cos＝，sin＝﹣，则tanθ＝（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：由cos＝，sin＝﹣，得tan＝，∴tanθ＝．故选：D．6．（5分）若非零向量，满足||＝||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．B．C．D．π【解答】解：∵（﹣）⊥（3+2），∴（﹣）•（3+2）＝0，即32﹣22﹣•＝0，即•＝32﹣22＝2，∴cos＜，＞＝＝＝，即＜，＞＝，故选：A．7．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A．08B．07C．02D．01【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，故第5个数为01．故选：D．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（）A．B．C．D．【解答】解：由程序框图知：程序运行的S＝××…×，∵输出的k＝6，∴S＝××＝．∴判断框的条件是S＞．故选：B．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．B．C．D．1【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，其直观图如下图所示：故其体积V＝×＝，故选：C．10．（5分）已知函数f（x）＝2cos（2x﹣）在[a﹣，a]（a∈R）上的最大值为y1，最小值为y2，则y1﹣y2的取值范围是（）A．[2﹣，2]B．[2，2]C．[，2]D．[2﹣，2]【解答】解：函数f（x）＝2cos（2x﹣）的周期为π，且对称轴为x＝+，k∈Z，画出f（x）的部分图象，如图所示；在[a﹣，a]（a∈R）上，正好包含函数的个周期，在[a﹣，a]（a∈R）上的最大值为y1，最小值为y2，若a﹣+a＝+2kπ，k∈Z时，f（x）的最大值是y1＝2，最小值是y2＝，此时y1﹣y2取得最小值为2﹣；若a﹣+a＝+2kπ，k∈Z时，f（x）的最大值是y1＝，最小值是y2＝﹣，此时y1﹣y2取得最大值为2；∴y1﹣y2的取值范围是[2﹣，2]．故选：D．11．（5分）已知A（4，3），F为椭圆+＝1的右焦点，过点A的直线与椭圆在x轴上方相切于点B，则直线BF的斜率为（）A．﹣B．﹣C．﹣1D．﹣【解答】解：设过A的切线方程y﹣3＝k（x﹣4），代入椭圆+＝1可得：（3+4k2）x2+8k（4k﹣3）x+4（4k﹣3）2﹣12＝0，因为直线与椭圆的切线，所以△＝[8k（4k﹣3）]2﹣4（3+4k2）[4（4k﹣3）2﹣12]＝0，解得：k＝1±，过点A的直线与椭圆在x轴上方相切于点B，所以k＝1﹣．此时切点的横坐标为：x＝﹣＝，则BF的斜率为：k＝＝＝＝﹣＝﹣1．故选：C．12．（5分）已知不等式e x﹣（a+2）x≥b﹣2恒成立，则的最大值为（）A．﹣ln3B．﹣ln2C．﹣1﹣ln3D．﹣1﹣ln2【解答】解：由题意，当a＜﹣2时，不等式e x﹣（a+2）x≥b﹣2变形可得：，令f（x）＝，则f′（x）＝，没有最值．当a＞﹣2时，由f（x）＝，可得f′（x）＝，∵a＞﹣2∴令f′（x）＝0，可得x＝ln（a+2），当x∈（0，ln（a+2））时，f（x）递减，当x∈（ln（a+2），+∞）时，f（x）递增，∴当x＝ln（a+2）时，f（x）取得最小值为1﹣ln（a+2）﹣≥，令g（a）＝1﹣ln（a+2）﹣．则g′（a）＝，当a∈（﹣2，1）时，g（a）递减，当a∈（1，+∞）时，g（a）递增，∴g（a）min＝g（1）＝﹣ln3即可得的最大值为﹣ln3．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卷相应横线上．13．（5分）若变量x，y满足约束条件则z＝2x+y的最大值为9．【解答】解：依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数z＝2x+y，由得C（2，5），当直线经过C（2，5）时，z取到最大值，Z max＝9．故答案为：9．14．（5分）设复数z＝（i为虚数单位），则＝21009i．【解答】解：z＝＝，则＝（z+1）2018＝[（z+1）2]1009＝[（i+1）2]1009＝（2i）1009＝21009i．故答案为：21009i．15．（5分）已知点P（3，0），在⊙O：x2+y2＝1上随机取一点Q，则|PQ|＜的概率为．【解答】解：如图示：，由余弦定理得：13＝1+9﹣6cos∠POQ，解得：∠POQ＝120°，故∠QOQ′＝240°，故满足条件的概率p＝＝，故答案为：．16．（5分）已知△ABC，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4a2+b2+c2＝8，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：∵4a2+b2+c2＝8，∴b2+c2﹣a2＝8﹣5a2，即2bc cos A＝8﹣5a2，又2bc sin A＝4S△ABC，∴4b2c2＝（8﹣5a2）2+16S2△ABC≤（b2+c2）2＝（8﹣4a2）2，当且仅当b＝c时取等号．∴16S2△ABC≤（8﹣4a2）2﹣（8﹣5a2）2＝（16﹣9a2）a2＝（16﹣9a2）•9a2≤．当且仅当16﹣9a2＝9a2，即a2＝，b2＝c2＝2时取等号．∴S△ABC≤．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17一21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．必考题：共60分17．（12分）设数列{a n}的前n项乘积为T n，对任意正整数n都有T n＝1﹣a n（I）求证：数列{}是等差数列；（II）求证：T12++…+【解答】证明：（I）∵T n＝1﹣a n＝1﹣，∴T n T n﹣1＝T n﹣1﹣T n，∴﹣＝1，∴{}是等差数列，即{}是等差数列．（II）由T1＝1﹣a1＝1﹣T1可得T1＝，由（I）可得＝2+（n﹣1）＝n+1，∴T n2＝＝＜＝＝2（﹣），∴T12+T22+…+T n2＜2（++…+﹣）＝2（）＜．18．（12分）某读书协会共有1200人，现收集了该协会20名成员每周的课外阅读时间（分钟），其中某一周的数据记录如下：75 60 35 100 90 50 85 170 65 70 125 75 70 85 155 110 75 130 80 100对这20个数据按组距30进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：阅读时间分组统计表（设阅读时间为x分钟）（I ）写出m ，n 的值，请估计该读书小组中人均每周的课外阅读时长，以及该读书小组中一周阅读时长不少于90分钟的人数；（II ）该读书协会拟发展新成员5人，记新成员中每周阅读时长在[60，90）之间的人数为ξ，以上述统计数据为参考，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）完成下面的2x 2列联表，并回答能否有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”？附：K 2＝【解答】解：（Ⅰ）由阅读时间分组统计表，得到m ＝4，n ＝2． 估计该读书小组中人均每周的课外阅读时长为：＝93分钟．该读书小组中一周阅读时长不少于90分钟的人数为： 1200×＝480人．（Ⅱ）估计新成员每周阅读时长在[60，90）之间的概率为， 依题意ξ～B （5，），共分布列为： P （ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝4）＝＝，P（ξ＝5）＝＝，∴ξ的分布列为：∴E（ξ）＝5×＝．（Ⅲ）完成下面的2x2列联表：k0＝≈0.808，∴没有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，∠BCD＝120°，AP＝BP．（I）求证：PC⊥AB；（II）若AB＝2，PD＝2，cos∠PCB＝，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）设AB的中点为E，连结PE，CE，依题意AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB⊥CE，又∵P A＝PB，∴AB⊥PE，又∵PE∩CE＝E，∴AB⊥平面PCE，∴AB⊥PC．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知PC⊥CD，∴PC＝2，又cos∠PCB＝，在△PCB中，由余弦定理得PB＝，从而P A＝，由（Ⅰ）知PE＝1，CE＝，∴PC2＝PE2+CE2，∴PE⊥CE，∴PE、CE、AB两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则B（0，1，0），C（，0，0），D（，﹣2，0），P（0，0，1），＝（0，1，﹣1），＝（，0，﹣1），＝（，﹣2，﹣1），设平面PBC与平面PCD的法向量分为为＝（x，y，z），＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，），，取x＝1，得＝（1，0，），设二面角B﹣PC﹣D的平面角为θ，由图形得θ为钝角，则cosθ＝﹣＝﹣，∴二面角B﹣PC﹣D的余弦值为﹣．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，F（1，0），动点P满足||＝•i+1，其中i＝（1，0），曲线C为动点P的轨迹．（I）求曲线C的方程；（II）过（2，0）的直线l与C有两个不同的交点A，B，Q为直线x＝﹣2上一动点，QA，QB与y轴分别交于两点M，N，M，N的中点为R，问：直线QR是否恒过一定点，如果是，求出该定点坐标．如果不是，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设曲线C上一点P（x，y），则＝x+1，即y2＝4x，∴曲线C的方程为y2＝4x．（Ⅱ）设A（x A，y A），B（x B，y B），Q（﹣2，t），M（0，y M），N（0，y R），直线AB：my＝x﹣2，①曲线C：y2＝4x，②联立①②，得y2﹣4my﹣8＝0，∴y A+y B＝4m，y A y B＝﹣8，QA：y＝（x+2）+t，令x＝0，，同理，，∴y M+y N＝＝2y+2•＝t，∴R（0，），∴QR：y＝﹣，∴直线QR过定点（2，0）．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣ax2（a∈R）有两个极值点．（I）若a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）的两个极值点为x1，x2，证明：x1•x2＜1．【解答】解：（Ⅰ）设g（x）＝f′（x）＝e x﹣2ax，则x1，x2是方程g（x）＝0的两个根．g′（x）＝e x﹣2a当a≤0时，g′（x）＞0恒成立，g（x）单调递增，方程g（x）＝0不可能有两个根；当a＞0时，由g′（x）＝0，得x＝ln 2a，当x∈（﹣∞，ln2a）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（ln2a，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．∴当g（x）min＜0时，方程g（x）＝0才有两个根，∴g（x）min＝g（ln2a）＝2a﹣2aln2a＜0，令h（t）＝t﹣tlnt，（t＞0），h′（t）＝﹣lnt，可得t∈（0，1）时，h（t）递增，t∈（1，+∞）时，h（t）递减，且t→0时，h（t）→0，h （e）＝0∴t＞e时，h（t）＜0∴a的取值范围：a＞．（Ⅱ）不妨设x1＜x2，由（Ⅰ）知x1，x2是方程e x﹣2ax＝0的两个根，⇒⇒，由对数均值不等式得，∴x1•x2＜1．选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|P A|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t＝|P A|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2＝4x2+4y2+16＝32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52][选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）＝x+3．（Ⅰ）当a＝﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a＝﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y＝|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则y＝，它的图象如图所示：结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）＝1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x≥a﹣2对x∈[﹣，]都成立．故﹣≥a﹣2，解得a ≤，故a的取值范围为（﹣1，]．第21页（共21页）。
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2018年蚌埠市高中创新潜质特长生招生测试
理科素养数学参考答案
一、选择题：（每小题6分）
二、填空题：（每小题6分）
7.1
8.
3
5
9.
9
5
2
a
≤<
10.1+
11. 4
12.x=x=
三、解答题：
13.（本小题满分10分）
解：22222222
()()
a b xy ab x y a xy b xy abx aby
+++=+++
2222
()()
a xy abx
b xy aby
=+++
()()
ax ay bx by bx ay
=+++
()()
ax by ay bx
=++，
而()()6
a b x y ax by bx ay
++=+++=，5
ax by
+=，所以1
bx ay
+=，所以2222
()()
a b xy ab x y
+++()()5
ax by ay bx
=++=.
14.（本小题满分12分）
解：（1）（6分）当1
k=时，函数化为
11
33
y x
=-+，当2
k=时，函数化为
31
55
y x
=-+，设两个函数图象的交点为(,)
m n，则
11
33
31
55
n m
n m
⎧
=-+
⎪⎪
⎨
⎪=-+
⎪⎩
，解得
1
2
1
2
m
n
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，当
1
2
x=-时，
1211212211
()
212214242422
k k k
y
k k k k k
--+
=⨯-+=+==
+++++
，所以函数的图象恒过定点
11
(,)
22
-.
（2）（6分）令0
x=，解得
1
21
y
k
=
+
；令0
y=，解得
1
21
x
k
=
-
，
当1
k≥时，该函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积为
1111221212(21)(21)
k k k k ⨯⨯=+--+， 123201811111
()
213355740354037S S S S S =++++=++++⨯⨯⨯⨯L L 111111111(1)223355740354037=⨯-+-+-++-L 111009
(1)440374037
=⨯-=
. 15.（本小题满分12分）
解：（1）（4分）由根与系数的关系，知12111a x x a a ++=-
=--，1211
1a x x a a -==-， 则12121211
(1)(1)()11(1)13x x x x x x a a
--=-++=----+=，
即12(1)(1)x x --为定值3.
（2）（8分）因为1x ，2x 均为整数，所以11x -，21x -也均为整数，不妨令12x x ≤，
由（1）可知，12(1)(1)3x x --=，所以121113x x -=⎧⎨-=⎩或12
1311x x -=-⎧⎨-=-⎩，
即12
24x x =⎧⎨=⎩或122
0x x =-⎧⎨=⎩，
当1224
x x =⎧⎨
=⎩时，116a --=，17a =-；当1220x x =-⎧⎨=⎩时，112a --=-，1a =.
所以a 的值为1
7
-
或1. 16.（本小题满分14分） 解：（1）（6分）连接CP ，AP ，BP ，因为点P 是ABC ∆的内心，所以CAP FAP ∠=∠，
又AF AC =，AP AP =，所以CAP ∆≌FAP ∆，则PC PF =， 同理，可证PC PE =，所以在CEF ∆中，PC PF PE ==， 即点P 为CEF ∆的外心.
A
C B
（2）（8分）延长AP 交CF 于M 点，延长BP 交CE 于N 点，
在等腰三角形CAF 中，AC AF =，AP 为CAF ∠的平分线， 所以AM CF ⊥，可得1
90902
MFA MAF CAB ∠=︒-∠=︒-
∠， 同理，可得1
90902
NEB NBE CBA ∠=︒-∠=︒-
∠， 所以在CEF ∆中，180ECF CEF CFE ∠=︒-∠-∠
11
180(90)(90)22
CBA CAB =︒-︒-
∠-︒-∠ 111
(180)40222
CBA CAB ACB =∠+∠=⨯︒-∠=︒，
由（1）知，点P 为CEF ∆的外心，280EPF ECF ∠=∠=︒.
17.（本小题满分14分） 解：（1）（4分）由题意，可求得点(4,0)A -，点(0,2)B ，设点(,0)C t ，
由ABC ∠为直角知0t >，由射影定理，2OB OA OC =⋅，得2
24t =，
所以1t =，点C 坐标(1,0).
由抛物线过点(0,2)B ，可设解析式为2
2(0)y ax bx a =++≠，
代入点A ，C 的坐标，得 1642020a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得12
32
a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，
所以抛物线的解析式为213
222
y x x =--+.
（2）（3分）连接PA ，由对称性可知，PA PC =，则PB PC PB PA +=+，
当
，，三点共线时，的最小值为=（3）（7分）当MAB ∆的面积最大时，点M 到直线22
y x =
+的距离最大. 连接MA ，MB ，MO ，作ME 垂直于x 轴垂足为E ，作MF 垂直于y 轴垂足为F ，
设213
(,2)22
M x x x --+，40x -<<，则
211311
4(2)2()4222222
MAB MAO MBO ABO S S S S x x x ∆∆∆∆=+-=⨯⨯--++⨯⨯--⨯⨯
222
3444(2)4x x x x x x =--+--=--=-++， 当2x =-时，MAB S ∆取最大值4，
此时点M 到直线AB =. 18.（本小题满分16分）
解：（1）（6分）连接OH ，OB ，OC ，因为60BAC ∠=︒，所以120BOC ∠=︒，
由条件知，90CDH CEA ∠=∠=︒，DCH ECA ∠=∠，则DCH ∆∽ECA ∆， 所以60CHD CAE ∠=∠=︒，可得180********CHB CHD ∠=︒-∠=︒-︒=︒，
所以CHB BOC ∠=∠，即证得B ，C ，H ，O 四点共圆.
（2）（10分）ABC ∆的外接圆的圆心为O ，所以OB OC =，
由（1）知，B ，C ，H ，O 四点共圆，所以OBM OCH ∠=∠,
又BM CH =，所以OBM ∆≌OCH ∆，得OM OH =，BOM COH ∠=∠,
所以120MOH MOC COH MOC BOM BOC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒， 在等腰三角形MOH 中，120
∠=︒，2OM OH ==， 所以2cos30MH OM =⋅︒=.
（其它解法请根据解答情况酌情赋分）。