概率论期末重点题
概率论期末试题及答案
概率论期末试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 随机事件A的概率为P(A)，则其对立事件的概率为：A. P(A) + 1B. 1 - P(A)C. P(A) - 1D. P(A) / 22. 某校有男女生比例为3:2，随机抽取1名学生，该学生是男生的概率为：A. 1/5B. 3/5C. 2/5D. 5/73. 抛一枚均匀硬币两次，至少出现一次正面的概率是：A. 1/2B. 1/4C. 3/4D. 5/84. 设随机变量X服从二项分布B(n, p)，若n=15，p=0.4，则P(X=7)是：A. C^7_15 * 0.4^7 * 0.6^8B. C^7_15 * 0.6^7 * 0.4^8C. C^7_15 * 0.4^15D. C^8_15 * 0.4^7 * 0.6^85. 若随机变量Y服从泊松分布，λ=2，则P(Y=1)是：A. e^(-2) * 2B. e^(-2) * 2^2C. e^(-2) * 2^1D. e^(-2) * 2^06. 设随机变量Z服从标准正态分布，则P(Z ≤ 0)是：A. 0.5B. 0.25C. 0.75D. 0.337. 若两个事件A和B相互独立，P(A)=0.6，P(B)=0.7，则P(A∩B)是：A. 0.42B. 0.35C. 0.6D. 0.78. 随机变量X服从均匀分布U(0, 4)，则E(X)是：A. 2B. 4C. 0D. 19. 设随机变量X和Y的协方差Cov(X, Y)=-2，则X和Y：A. 正相关B. 负相关C. 独立D. 不相关10. 若随机变量X服从指数分布，λ=0.5，则P(X > 1)是：A. e^(-0.5)B. e^(-1)C. 1 - e^(-0.5)D. 2 - e^(-1)二、填空题（每题3分，共30分）11. 若随机变量X服从参数为θ的概率分布，且P(X=θ)=0.3，P(X=2θ)=0.4，则P(X=3θ)=________。
概率论期末复习题集
概率论期末复习题集一、基本概念与原理1. 定义随机试验、样本空间、事件，并举例说明。
2. 解释概率的古典定义、频率定义和主观定义。
3. 描述概率的公理化定义，并列出概率的三个基本公理。
4. 举例说明条件概率的概念，并解释全概率公式和贝叶斯公式。
5. 描述随机变量、离散型随机变量和连续型随机变量的区别。
6. 定义数学期望、方差、标准差，并解释它们的意义。
二、离散型随机变量1. 给出离散型随机变量的概率分布列和概率质量函数。
2. 计算离散型随机变量的数学期望和方差。
3. 解释二项分布、泊松分布和几何分布，并给出它们的期望和方差公式。
4. 利用二项分布解决实际问题，例如药物测试的成功率问题。
三、连续型随机变量1. 描述连续型随机变量的概率密度函数和分布函数。
2. 计算连续型随机变量的数学期望和方差。
3. 解释均匀分布、指数分布和正态分布，并给出它们的概率密度函数和期望、方差的公式。
4. 利用正态分布解决实际问题，例如测量误差的分布问题。
四、多变量随机变量1. 定义联合分布函数和边缘分布函数，并解释它们之间的关系。
2. 描述协方差、相关系数和独立性的概念。
3. 计算两个随机变量的协方差和相关系数。
4. 利用联合分布解决实际问题，例如两个独立试验的联合成功概率。
五、大数定律和中心极限定理1. 解释切比雪夫不等式、马尔可夫不等式和切比雪夫大数定律。
2. 描述中心极限定理的内容，并解释为什么它在统计学中非常重要。
3. 利用中心极限定理估计样本均值的分布。
六、随机过程1. 定义随机过程和遍历理论。
2. 描述泊松过程和维纳过程，并解释它们在实际中的应用。
3. 解释随机过程的平稳性和遍历性。
七、应用题1. 一个袋子里有10个红球和20个蓝球，随机抽取5个球，计算以下事件的概率：至少有3个红球。
2. 某工厂生产的零件，每个零件合格的概率为0.95。
求生产100个零件中，至少有90个合格的概率。
3. 一个随机变量X服从正态分布N(μ, σ²)，求X的数学期望和方差。
概率论期末考试和答案
概率论期末考试和答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 随机变量X服从二项分布B(3,0.5)，则P(X=2)为（）。
A. 0.375B. 0.5C. 0.25D. 0.125答案：A2. 已知随机变量X服从标准正态分布，P(X<0)=0.5，则P(X>1)为（）。
A. 0.1587B. 0.8413C. 0.1587D. 0.8413答案：A3. 若随机变量X服从泊松分布，其参数λ=2，则E(X)为（）。
A. 2B. 4C. 0D. 1答案：A4. 已知随机变量X和Y相互独立，且P(X=1)=0.5，P(Y=1)=0.3，则P(X=1且Y=1)为（）。
A. 0.15B. 0.5C. 0.3D. 0.75答案：A5. 已知随机变量X服从正态分布N(2,4)，则P(X<0)为（）。
A. 0.0228B. 0.9772C. 0.5D. 0.1587答案：A6. 若随机变量X和Y相互独立，且P(X>1)=0.7，P(Y<2)=0.4，则P(X>1且Y<2)为（）。
A. 0.28B. 0.56C. 0.7D. 0.4答案：A7. 已知随机变量X服从均匀分布U(0,4)，则E(X)为（）。
A. 2C. 0D. 1答案：A8. 若随机变量X服从指数分布，其参数λ=0.5，则P(X>3)为（）。
A. 0.125B. 0.25C. 0.5D. 0.75答案：A9. 已知随机变量X服从正态分布N(0,1)，则P(-1<X<1)为（）。
A. 0.6827B. 0.8413C. 0.9772答案：A10. 若随机变量X和Y相互独立，且P(X=0)=0.4，P(Y=1)=0.6，则P(X=0且Y=1)为（）。
A. 0.24B. 0.4C. 0.6D. 0.16答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知随机变量X服从二项分布B(5,0.4)，则P(X=3)=_________。
概率论期末复习题库答案
概率论期末复习题库答案一、选择题1. 某随机事件的概率为0.6，那么它的对立事件的概率为：A. 0.4B. 0.5C. 0.6D. 无法确定答案：A2. 假设事件A和事件B是互斥的，且P(A) = 0.3，P(B) = 0.2，那么P(A∪B)等于：A. 0.5B. 0.4C. 0.3D. 0.2答案：B3. 如果一个骰子连续投掷两次，求至少出现一次6的概率：A. 1/6B. 5/6C. 2/3D. 1/3答案：B二、填空题1. 随机变量X服从标准正态分布，那么P(X ≤ 0) = _______。
答案：0.52. 如果随机变量X的期望值为2，方差为4，那么P(X = 4) =_______。
答案：无法直接给出，需要更多信息3. 事件A发生的概率为0.3，事件B发生的概率为0.4，且P(A∩B) = 0.1，那么事件A和B是________。
答案：既不互斥也不独立三、简答题1. 什么是条件概率？请给出条件概率的公式。
答案：条件概率是指在已知一个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率的公式为：\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]其中，\( P(A|B) \) 是在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，\( P(A \cap B) \) 是事件A和事件B同时发生的概率，\( P(B) \) 是事件B发生的概率。
2. 什么是大数定律？请简要说明其含义。
答案：大数定律是概率论中的一个基本概念，它描述了随机事件在大量重复试验中表现出的稳定性。
具体来说，大数定律指出，随着试验次数的增加，随机事件的相对频率会越来越接近其真实概率。
四、计算题1. 假设有一个装有红球和蓝球的袋子，其中红球有5个，蓝球有3个。
如果从袋子中随机抽取一个球，求抽到红球的概率。
答案：抽到红球的概率 \( P(\text{红球}) \) 可以通过以下公式计算：\[ P(\text{红球}) = \frac{\text{红球的数量}}{\text{总球数}} = \frac{5}{5+3} = \frac{5}{8} \]2. 假设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，求X=2的概率。
概率总复习 期末考试必备 考题及答案
P( A B )P( B )
j 1 j j
n
, i 1, 2, , n.
称为贝叶斯公式.
事件的相互独立性
(1)两事件相互独立
设 A, B 是两事件 , 如果满足等式 P ( AB ) P ( A) P ( B ). 则称事件 A, B 相互独立, 简称 A, B 独立.
说明 事件 A 与 B 相互独立是指事件 A 出现的 概率与事件 B 是否出现无关.
为在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.
(2) 条件概率的性质
1 非负性 : P( A B) ≥ 0;
0
2 正则性 : P( B) 1, P( B) 0;
0
30 P ( A1 A2 B) P ( A1 B) P ( A2 B) P ( A1 A2 B);
4 0 P (列可加性 : 设 B1 , B2 , 是两两不相容的事件, 则有
P Bi A P ( Bi A). i 1 i 1
乘法公式
设 P ( A) 0, 则有 P ( AB) P ( B A) P ( A).
设 A, B, C 为事件, 且 P ( AB) 0, 则有
n重伯努利概型的计算公式 设n重伯努利试验中，事件A发生的概率为 p，则A出现k次的概率为：
k P( A) Cn pk (1 p)nk
随机变量
定义 设 E 是随机试验, 其样本空间为 {e }. 若对于每一个 e , 都有一个实数 X (e ) 与之 对应 , 这样得到定义在上的一个单值实值函 数 X (e ), 称X (e )为随机变量 .
说明 全概率公式的主要用处在于它可以将 一个复杂事件的概率计算问题分解为若干个简单 事件的概率计算问题, 最后应用概率的可加性求出 最终结果.
概率论期末必考题
P57，习题10
甲袋中有3只白球，7只红球，15只黑球，乙袋中有10只
01
白球，6只红球，9只黑球，现从两袋中各取一球，求两
球颜色相同的概率。
P 解：3 分 别1 求0 出 同7 取白 、6 红 、1 黑5 球 的概9率 ，2 再0 相7加即可
P(C) 1 P(A2B3) P(A3B2) P(A3B3) 10.20.7 0.70.20.70.7 0.23
P113，习题16
P ( A) P{3B} P{1G 2B} 1 3 1 1
8 8 2 抽查一个家庭，考察两个事件，：至多有一个女孩 ；：男女
孩子都有。假设男女的出生率都是50%。试证：对3个孩子之家
解 ： 依 题 意P ， 产(品A 通)过 验 收C 可 能5 1的 情C 况 为13：5C5 0C1450.751
C2 40
C2 40
N!
N
P( Ai
Aj )
(N 2)! N!
1 N(N
1)
,
i j
P( A1A2 A3...AN )
1 N!
P( A1 A2 ... AN )
C
1 N
1 N
C
2 N
N
(
1 N
1)
...
(1)
N
1
C
N N
1 N!
解则1“：至设12少有...一个(士1)兵N拿1 到N1自! 己的枪”的概率为：
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章
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副
标事
题件
与
概率论期末试题及答案
概率论期末试题及答案在概率论的学习过程中，期末试题是评估学生对该学科知识理解和应用的重要方式。
本文将给出一份概率论的期末试题及答案，以供参考。
试题将按照适当的格式整理，确保排版整洁美观，语句通顺，全文表达流畅，同时符合阅读体验的要求。
试题一：概率基础1. 已知事件A发生的概率为0.4，事件B发生的概率为0.6，求事件A和事件B同时发生的概率。
2. 一桶中装有6个红色球和4个蓝色球，从中随机抽取2个球，求这2个球颜色相同的概率。
3. 掷一颗骰子，点数为1至6的概率各为1/6。
连续投掷两次，求两次投掷结果和为7的概率。
试题二：概率分布1. 某商品的销售量服从正态分布N(150, 25)，计算销售量在120至180之间的概率。
2. 某批产品的质量服从均匀分布U(60, 80)，求产品质量小于75的概率。
3. 甲、乙两个小组分别进行同一项任务，甲组平均完成时间为4小时，标准差为0.5小时；乙组平均完成时间为3.8小时，标准差为0.3小时。
求完成时间小于4.2小时的概率。
试题三：条件概率1. 假设事件A和事件B是相互独立的，已知P(A)=0.3，P(B)=0.4，求P(A|B)和P(B|A)。
2. 某城市的天气预报根据历史数据和气象模型给出，根据预报可以推测出降雨的概率。
已知天气预报准确率为80%，预报为有降雨的概率为30%，求实际发生降雨的概率。
3. 从一批产品中随机抽取一件进行检验，已知该批产品中次品率为5%，已检一件产品为次品，求该件产品来自次品批次的概率。
试题四：随机变量1. 设随机变量X服从指数分布Exp(λ)，已知λ=0.1，求P(X≥2)。
2. 设随机变量X服从均匀分布U(20, 40)，求X的期望值E(X)和方差Var(X)。
3. 设随机变量X服从正态分布N(60, 16)，求P(X>70)和P(50≤X≤80)。
试题五：大数定律和中心极限定理1. 设随机变量X服从参数为p的二项分布B(n,p)，当n=200，p=0.4时，根据大数定律，计算X的期望值E(X)和方差Var(X)。
概率论期末复习题库
概率论期末复习题库一、选择题1. 以下哪个事件是必然事件？A. 抛一枚硬币，正面朝上B. 抛一枚硬币，正面或反面朝上C. 抛一枚硬币，反面朝上D. 抛一枚硬币，硬币立起来2. 随机变量X服从标准正态分布，其概率密度函数为：A. f(x) = 1/π(1 + x^2)^(-1/2)B. f(x) = e^(-x^2/2)/√(2π)C. f(x) = 2πe^(-x^2/2)D. f(x) = 1/√(2π)e^(-x^2/2)3. 假设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么P(X=k)的表达式为：A. λ^k / k!B. e^(-λ) * λ^k / k!C. 1 - e^(-λ)D. λ^k * e^(-λ) / k!4. 以下哪个是二项分布的期望值？A. nλB. nC. λD. n(n-1)/25. 假设事件A和事件B是互斥的，P(A)=0.4，P(B)=0.3，那么P(A∪B)等于：A. 0.4B. 0.7C. 0.3D. 0.6二、填空题6. 假设随机变量X服从均匀分布U(a,b)，其概率密度函数为________。
7. 如果随机变量X服从指数分布，其参数为λ，那么其概率密度函数为________。
8. 事件的互斥性是指两个事件__________。
9. 假设随机变量X和Y是独立的，那么P(X∩Y)等于________。
10. 假设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，其累积分布函数为________。
三、简答题11. 什么是条件概率？请给出其数学表达式。
12. 什么是大数定律？请简要说明其含义。
13. 什么是中心极限定理？请解释其在统计学中的重要性。
14. 请解释什么是随机变量的方差，并说明其在概率论中的意义。
15. 什么是马尔可夫链？请简述其基本性质。
四、计算题16. 假设一个工厂每天生产的产品数量服从泊松分布，其平均值λ=5。
求该工厂在一天内生产少于3个产品的概率。
17. 假设随机变量X服从正态分布N(0,1)，求P(-1 < X < 1)。
概率论期末总复习必考题型
复习重点题目第一章p13例2、p14例5、习题一20、25第二章p34 例7、8；习题二15、24。
第三章p58 例2、例5、p61 例5、p63 例1、习题三5。
第四章习题四13、14、15、16。
第七章P139 例4、P148 例2、习题七P157 1、P159 13。
第八章例4、例5、习题八3、6。
例 1.5.2 设袋中装有r 只红球，t 只白球，每次自袋中任取一只球，观察其颜色然后放回，并再放入 a 只与所取出的那只球同色的球，若在袋中连续取球 4 次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。
解以A i(i 1,2,3,4)表示事件“第i次取到红球”，则A3, A4 分别表示事件“第三、四次取到白球” 。
所求概率为：P( A1 A2 A3 A4 ) P(A4 | A1 A2 A3)P( A3 | A1A2 )P( A2 |A1)P(A1)t a t r a rr t 3a r t 2a r t a r t例 1.5.4 八支枪中，有三支未经试射校正，五支已经试射校正。
校正过的枪射击时，中靶的概率为0.8，未校正的枪射击时，中靶的概率为0.3，今从8 支枪中任取一支射击中靶。
问所用这枪是校正过的概率是多少？解设事件8 8 10 45A ={射击中靶}B 1={ 任取一枪是校正过的 }, B 2 ={任取一枪是未校正过的 }, B 1, B 2构成完备事件组 ,则 P(B 1) 5/8,P(B 2) 3/8,P(A |B 1) 0.8,P(A|B 2) 0.3， 故所求概率为P(B 1 | A) P(B 1)P(A|B 1)/[P(B 1)P(A|B 1) P(B 2)P(A|B 2)] 40/49 0.816习题一、20．已知在 10 只晶体管中有 2 只次品，在其中取两次，每次任取一 只，作不放回抽样。
求下列事件的概率： （1）两只都是正品； （2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品； （4）第二次取出的是次品。
大学概率论期末复习题七套
试题（一）一、填空题1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。
试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生3）A 、B 、C 不多于一个发生2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。
则P(B )A ＝3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(AB)=0.7,则α=4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为二、选择题1. 设A,B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是 （A ）P (A+B) = P (A); （B ）()P(A);P AB =（C ）(|A)P(B);P B = （D ）(A)P B -=()P(A)P B -2. 以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为 （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销” （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。
3. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。
则第二人取到黄球的概率是（A ）1/5 （B ）2/5 （C ）3/5 （D ）4/5 4. 对于事件A ，B ，下列命题正确的是 （A ）若A ，B 互不相容，则A 与B 也互不相容。
（B ）若A ，B 相容，那么A 与B 也相容。
（C ）若A ，B 互不相容，且概率都大于零，则A ，B 也相互独立。
（D ）若A ，B 相互独立，那么A 与B 也相互独立。
5. 若()1P B A =，那么下列命题中正确的是（A ）A B ⊂ （B ）B A ⊂ （C ）A B -=∅ （D ）()0P A B -=三、计算题1． 10把钥匙中有3把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。
概率论期末试题及解析答案
概率论期末试题及解析答案1. 简答题（每题10分）1.1 什么是概率？概率是描述随机事件发生可能性的数值。
它可以用来衡量某一事件在多次重复试验中出现的频率。
1.2 什么是样本空间？样本空间是指一个随机试验中所有可能结果的集合。
1.3 什么是事件？事件是样本空间中包含的一组可能结果的子集。
1.4 什么是互斥事件？互斥事件是指两个事件不能同时发生。
1.5 什么是独立事件？独立事件是指两个事件的发生与不发生互不影响。
2. 计算题（每题20分）2.1 设一枚硬币抛掷3次，计算至少出现两次正面的概率。
解析：样本空间：{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}至少出现两次正面的事件：{HHH, HHT, HTH, THH}概率 = 事件发生的次数 / 样本空间的次数 = 4 / 8 = 1/22.2 设A、B两个事件相互独立，且P(A) = 0.4，P(B) = 0.6，计算P(A∪B)。
解析：由于A、B事件相互独立，所以P(A∩B) = P(A) * P(B) = 0.4 * 0.6 = 0.24P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 0.4 + 0.6 - 0.24 = 0.763. 应用题（每题30分）3.1 甲乙两个备胎分别拥有10个和15个备用轮胎，轮胎坏掉时甲用2个备用轮胎的概率为0.2，乙用3个备用轮胎的概率为0.15。
现在从甲、乙两个备胎中随机挑选一个备用轮胎，请计算此备用轮胎坏掉的概率。
解析：设事件A为甲备胎的备用轮胎坏掉，事件B为乙备胎的备用轮胎坏掉。
P(A) = 0.2 * 10 / (0.2 * 10 + 0.15 * 15) = 0.2 * 10 / (2 + 2.25) ≈ 0.6667 P(B) = 0.15 * 15 / (0.2 * 10 + 0.15 * 15) = 0.15 * 15 / (2 + 2.25) ≈0.3333由于只能选择甲或乙中的一个备用轮胎，所以备用轮胎坏掉的概率为P(A) + P(B) ≈ 13.2 水果篮子中有5个橙子、3个苹果和2个香蕉，现从篮子中随机挑选两个水果，请计算挑选出的两个水果中至少有一个是橙子的概率。
概率论期末考试题及答案
概率论期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 以下哪个事件是必然事件？A. 抛一枚硬币，正面朝上B. 抛一枚硬币，反面朝上C. 抛一枚硬币，正面或反面朝上D. 抛一枚硬币，硬币立起来答案：C2. 假设随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，则以下哪个选项是正确的？A. μ是X的中位数B. μ是X的众数C. μ是X的期望值D. μ是X的方差答案：C3. 假设随机变量X和Y独立，以下哪个选项是正确的？A. P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)B. P(X=x, Y=y) = P(X=x) + P(Y=y)C. P(X=x, Y=y) = P(X=x) - P(Y=y)D. P(X=x, Y=y) = P(X=x) / P(Y=y)答案：A4. 假设随机变量X服从二项分布B(n, p)，以下哪个选项是正确的？A. E(X) = npB. E(X) = n/2C. Var(X) = np(1-p)D. Var(X) = np答案：A5. 假设随机变量X服从泊松分布P(λ)，以下哪个选项是正确的？A. E(X) = λB. E(X) = λ^2C. Var(X) = λ^2D. Var(X) = λ答案：A二、填空题（每题5分，共20分）6. 如果随机变量X服从均匀分布U(a, b)，则其概率密度函数为：f(x) = ________，其中x∈(a, b)。
答案：1/(b-a)7. 假设随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，其标准正态分布的累积分布函数记为Φ(z)，则P(X ≤ x) = Φ((x - μ) / σ)。
答案：Φ((x - μ) / σ)8. 假设随机变量X服从指数分布Exp(λ)，其概率密度函数为：f(x) = ________，其中x≥0。
答案：λe^(-λx)9. 假设随机变量X服从几何分布Geo(p)，其概率质量函数为：P(X = k) = ________，其中k = 1, 2, 3, ...答案：(1-p)^(k-1)p三、计算题（每题15分，共30分）10. 假设随机变量X服从正态分布N(0, 1)，求P(-1 ≤ X ≤ 1)。
概率论期末总复习必考题型
复习重点题目第一章 p13例2、p14例5、习题一20、25 第二章 p34例7、8；习题二15、24。
第三章 p58例2、例5、p61例5、 p63 例1、习题三5。
第四章 习题四13、14、15、16。
第七章 P139 例4、 P148 例2、习题七P157 1、 P159 13。
第八章 例4、例5、习题八3、6。
例1.5.2 设袋中装有r 只红球，t 只白球，每次自袋中任取一只球，观察其颜色然后放回，并再放入a 只与所取出的那只球同色的球，若在袋中连续取球4次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。
解 以)4,3,2,1(=i A i 表示事件“第i 次取到红球”，则43,A A 分别表示事件“第三、四次取到白球”。
所求概率为：tr ra t r a r a t r t a t r a t A P A A P A A A P A A A A P A A A A P +⋅+++⋅++⋅+++==23)()|()|()|()(11221332144321例 1.5.4 八支枪中，有三支未经试射校正，五支已经试射校正。
校正过的枪射击时，中靶的概率为0.8，未校正的枪射击时，中靶的概率为0.3，今从8支枪中任取一支射击中靶。
问所用这枪是校正过的概率是多少？ 解 设事件A ={射击中靶}1B ={任取一枪是校正过的},2B ={任取一枪是未校正过的},1B ,2B 构成完备事件组,则3.0)|(,8.0)|(,8/3)(,8/5)(2121====B A P B A P B P B P ， 故所求概率为 816.049/40)]|()()|()(/[)|()()|(2211111==+=B A P B P B A P B P B A P B P A B P习题一、20．已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样。
求下列事件的概率： （1）两只都是正品； （2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品； （4）第二次取出的是次品。
概率论和数理统计期末考试题及答案
概率论与数理统计期末复习题一一、填空题（每空2分，共20分）1、设X 为连续型随机变量，则P{X=1}=( 0 ).2、袋中有50个球,其编号从01到50,从中任取一球,其编号中有数字4的概率为(14/50 或7/25 ).3、若随机变量X 的分布律为P{X=k}=C(2/3)k,k=1,2,3,4,则C=( 81/130 ). 4、设X 服从N （1，4）分布，Y 服从P(1)分布，且X 与Y 独立，则 E （XY+1-Y ）=（ 1 ） ，D （2Y-X+1）=（ 17 ）.5、已知随机变量X ～N(μ,σ2),(X-5)/4服从N(0,1),则μ=( 5 );σ=( 4 ). 6且X 与Y 相互独立。
则A=( 0.35 ),B=( 0.35 ).7、设X 1,X 2,…,X n 是取自均匀分布U[0,θ]的一个样本，其中θ>0,n x x x ,...,,21是一组观察值，则θ的极大似然估计量为( X (n) ).二、计算题（每题12分，共48分）1、钥匙掉了,落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9; 落在教室里的概率为35%,这种情况下找到的概率为0.3; 落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率;(2)若钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率.解：(1)以A 1,A 2,A 3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上，以B 记找到钥匙.则 P(A 1)=0.4,P(A 2)=0.35,P(A 3)=0.25, P(B| A 1)=0.9 ,P(B| A 2)=0.3,P(B| A 3)=0.1 所以,49.01.025.03.035.09.04.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=ii iA B P A P B P(2)21.049.0/)3.035.0()|(2=⨯=B A P 2、已知随机变量X 的概率密度为其中λ>0为已知参数.(1)求常数A; (2)求P{-1＜X ＜1/λ)}; (3)F(1).⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-000)(2x x e A x f x λλ解：（1）由归一性：λλλλλλ/1,|)(102==-===∞+--+∞+∞∞-⎰⎰A A e A dx e A dx x f x x 所以（2）⎰=-==<<--λλλλ/1036.0/11}/11{e dx e X P x（3）⎰---==11)1(λλλe dx eF x3、设随机变量X 的分布律为且X X Y 22+=，求(1)()E X ; (2)()E Y ; (3))(X D . 解：（1）14.023.012.001.01)(=⨯+⨯+⨯+⨯-=X E （2）24.043.012.001.01)(2=⨯+⨯+⨯+⨯=X E422)(2)()2()(22=+=+=+=X E X E X X E Y E（3）112)]([)()(22=-=-=X E X E X D4、若X ～N(μ,σ2),求μ, σ2的矩估计.解：（1）E(X)=μ 令μ=-X 所以μ的矩估计为-Λ=X μ（2）D(X)=E(X 2)-[E(X)]2又E(X 2)=∑=n i i X n 121D(X)= ∑=n i i X n 121--X =212)(1σ=-∑=-n i i X X n所以σ2的矩估计为∑=-Λ-=ni i X X n 122)(1σ三、解答题（12分）设某次考试的考生的成绩X 服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分? 解：提出假设检验问题：H 0: μ=70, H 1 ：μ≠70,nS X t /70-=-～t(n-1),其中n=36,-x =66.5,s=15,α=0.05,t α/2(n-1)=t 0.025(35)=2.03 (6)03.24.136/15|705.66|||<=-=t所以,接受H 0,在显著性水平0.05下,可认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分四、综合题（每小题4分，共20分） 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为：32,01,01(,)0,x ce y x y f x y ⎧≤≤≤≤=⎨⎩其它试求: )1( 常数C ；)2(()X f x , )(y f Y ；)3( X 与Y 是否相互独立？)4( )(X E ,)(Y E ,)(XY E ； )5( )(X D ,)(Y D . 附：Φ（1.96）=0.975； Φ（1）=0.84； Φ（2）=0.9772t 0.05(9)= 1.8331 ; t 0.025(9)=2.262 ; 8595.1)8(05.0=t ， 306.2)8(025.0=t t 0.05(36)= 1.6883 ; t 0.025(36)=2.0281 ; 0.05(35) 1.6896t =， 0.025(35) 2.0301t = 解：(1))1(9|31|3113103103101010102323-=⋅⋅=⋅==⎰⎰⎰⎰e c y e c dy y dx e c dxdy y ce x x x 所以,c=9/(e 3-1)(2)0)(1319)(,103323103=-=-=≤≤⎰x f x e e dy y e e x f x X xx X 为其它情况时，当当所以,333,01()10,xX e x f x e ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其它同理, 23,01()0,Y y y f y ⎧≤≤=⎨⎩其它(3)因为: 32333,01,01()()(,)10,x X Y e y x y f x f y f x y e ⎧⋅≤≤≤≤⎪==-⎨⎪⎩其它所以,X 与Y 相互独立. (4)113333013130303331111(|)1213(1)x xx x EX x e dx xde e e y e e dx e e e =⋅=--=⋅--+=-⎰⎰⎰124100333|44EY y y dx y =⋅==⎰ 3321()4(1)e E XY EX EY e +=⋅=- (5) 22()DX EX EX =-11223231303300133130303331|21112(|)13529(1)x x xx x EX x e dy x e e xdx e e e xe e dx e e e ⎡⎤=⋅=⋅-⋅⎢⎥⎣⎦--⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦-=-⎰⎰⎰ ∴3323326332521(21)9(1)9(1)1119(1)e DX e e e e e e -=-+---+=-22()DY EY EY =- 12225010333|55EY y y dy y =⋅==⎰ ∴ 2333()5480DY =-=概率论与数理统计期末复习题二一、计算题（每题10分，共70分）1、设P （A ）=1/3，P （B ）=1/4，P （A ∪B ）=1/2.求P （AB ）、P （A-B ）.解：P （AB ）= P （A ）+P （B ）- P （A ∪B ）=1/12P （A-B ）= P （A ）-P （AB ）=1/42、设有甲乙两袋，甲袋中装有3只白球、2只红球，乙袋中装有2只白球、3只红球.今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取两球，问两球都为白球的概率是多少？解：用A 表示“从甲袋中任取一球为红球”， B 表示“从乙袋中任取两球都为白球”。
概率论期末考试题型、知识点和公式复习
概率论期末复习知识点第一章(A卷20分，B卷22分)1.事件的表式2.事件的关系与运算3.概率性质及其应用4.古典概型5.条件概率6.全概率公式7.贝叶斯公式8.事件的独立性重点：条件概率，全概率公式，贝叶斯公式第二章(A卷22分，B卷20分)1.离散型随机变量的概率分布2.两点分布3.二项分布4.泊松分布5.概率密度函数及其性质6.连续型随机变量的分布函数7.均匀分布8.指数分布9.标准正态分布、正态分布10.随机变量相关的概率计算11.离散型随机变量函数的概率分布重点：○1正态分布，二项分布○2离散型随机变量及函数的概率分布第三章(A卷23分，B卷20分)1.离散型随机向量联合概率分布及分布函数2.二维连续型随机向量的联合概率密度、性质及其应用3.二维连续型随机向量的分布函数4.均匀分布5.二维正态分布6.边缘概率密度7.随机变量的独立性8.二维随机向量的相关概率计算重点：○1联合概率密度○2边缘概率密度○3随机变量的独立性第四章(A卷21分，B卷26分)1.离散型随机变量的期望2.连续型随机变量的期望3.随机变量函数的期望4.方差5.方差的性质6.协方差、协方差的性质7.相关系数重点：○1数学期望（随机变量及函数的数学期望）○2方差（离散型随机变量的方差）○3协方差和相关系数第五章(A卷14分，B卷12分)1.雪比切夫不等式的应用2.棣莫弗——拉普拉斯中心极限定理的应用重点：棣莫弗——拉普拉斯中心极限定理概率论期末公式复习对偶律: ，B A B A = ； B A AB = 概率的性质1. P (Ø)=0；2. A 1,A 2,…, A n 两两互斥时：P (A 1∪A 2∪…∪A n )=P (A 1)+…+P (A n ),3.)(1)(A P A P -=(A 是 A 不发生)(D )4.若A B , 则有: P (A )≤ P(B )，P (AB ) = P (A )，P (B -A )=P (B )-P (A )，P (A ∪B )=P (B ).5.)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃(D ), P (B -A )=P (B )-P (AB )。
概率论期末考试题及答案
概率论期末考试题及答案概率论是一门研究随机现象及其规律性的数学分支。
以下是一套概率论期末考试题及答案，供参考。
一、选择题（每题2分，共20分）1. 事件A和事件B是互斥的，P(A)=0.3，P(B)=0.4，那么P(A∪B)等于多少？A. 0.1B. 0.7C. 0.35D. 0.6答案：B2. 抛一枚均匀的硬币两次，求正面朝上的次数为1的概率。
A. 0.25B. 0.5C. 0.75D. 1答案：B3. 随机变量X服从参数为λ的泊松分布，求P(X=1)。
A. λB. λe^(-λ)C. e^(-λ)D. 1/λ答案：B4. 某工厂有5台机器，每台机器正常工作的概率都是0.9，求至少有3台机器正常工作的概率。
A. 0.999B. 0.99C. 0.95D. 0.9答案：C5. 一个骰子连续抛掷两次，求点数之和为7的概率。
A. 1/6B. 1/3C. 5/36D. 2/9答案：C二、填空题（每题2分，共10分）6. 随机变量X服从正态分布N(μ, σ²)，其密度函数的峰值出现在X=______。
答案：μ7. 假设事件A和B相互独立，P(A)=0.6，P(B)=0.5，则P(A∩B)=______。
答案：0.38. 某随机试验中，事件A发生的概率为0.2，事件B发生的概率为0.3，且P(A∪B)=0.4，则P(A∩B)=______。
答案：0.19. 连续型随机变量X的分布函数F(x)=1-e^(-λx)，其中λ>0，当x≥0时，X服从______分布。
答案：指数10. 假设随机变量X服从二项分布B(n, p)，求其期望E(X)=______。
答案：np三、简答题（每题10分，共30分）11. 简述什么是条件概率，并给出条件概率的公式。
答案：条件概率是指在某个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率的公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中 P(A|B) 表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A∩B) 是事件A和B 同时发生的概率，P(B) 是事件B发生的概率。
概率论与数理统计期末复习20题及解答
概率论与数理统计期末复习20题及解答【第一章】 随机事件与概率1、甲袋中有4个白球3个黑球，乙袋中有2个白球3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋, 再从乙袋中任取一球返还甲袋. 求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率.2、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率．3、已知将1,0两字符之一输入信道时输出的也是字符0或1，且输出结果为原字符的概率为)10(<<αα. 假设该信道传输各字符时是独立工作的. 现以等概率从“101”，“010”这两个字符串中任取一个输入信道.求输出结果恰为“000”的概率.4、试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该考生会做这道题的概率为85.0．（1）求该考生选出此题正确答案的概率；（2）已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率．【第二章】 随机变量及其分布5、设连续随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(．（1）求系数A 及B ；（2）求X 落在区间)1,1(-内的概率；（3）求X 的概率密度．6、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它,0,10,)(x ax x f ，求：（1）常数a ；（2）)5.15.0(<<X P ；（3）X 的分布函数)(x F ．7、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<+=.,0;1,1),1(),(其它y x xy A y x f 求：（1）系数A ；（2）X 的边缘概率密度)(x f X ；（3）概率)(2X Y P ≤．8、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=.,0;20,10,1),(其它x y x y x f求：（1）),(Y X 的边缘概率密度)(x f X ，)(y f Y ；（2）概率)1,21(≤≤Y X P ；（3）判断X ,Y 是否相互独立.9、设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，]2.0,0[~U X ，Y 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,5)(5y y e y f y Y（1）求X 和Y 的联合概率密度),(y x f ；（2）求概率)(X Y P ≤．【第三章】数字特征10、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤+-=,,0,21,)2(,10,)()(其它x x a x b x b a x f ，已知21)(=X E ，求：（1）b a ,的值；（2）)32(+X E ．11、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,)(2x x Ae x f x 求：（1）常数A ；（2）)(X E 和)(X D ．12、设),(Y X 的联合概率分布如下：XY1104/14/12/10（1）求Y X ,的数学期望)(X E ,)(Y E ，方差)(X D ，)(Y D ．（2）求Y X ,的协方差),cov(Y X 与相关系数),(Y X R ．【第四章】正态分布13、假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩X （百分制）近似服从正态分布，已知满分为100分平均成绩为75分，95分以上的人数占考生总数的2.3%.（1）试估计本次考试的不及格率（低于60分为不及格）；（2）试估计本次考试成绩在65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例. [已知9332.0)5.1(,8413.0)1(≈≈ΦΦ，9772.0)2(=Φ]14、两台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X （单位：mm ）表示轴的直径，随机变量Y （单位：mm ）表示轴衬的内径，已知)3.0,50(~2N X ，)4.0,52(~2N Y ，显然X 与Y 是独立的．如果轴 衬的内径与轴的直径之差在3~1mm 之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率．[已知9772.0)2(≈Φ]【第五章】 数理统计基本知识15、设总体)1,0(~N X ，521,,,X X X 是来自该总体的简单随机样本，求常数0>k 使)3(~)2(25242321t XX X X X k T +++=．16、设总体)5 ,40(~2N X ，从该总体中抽取容量为64的样本，求概率)1|40(|<-X P ．【第六章】参数估计17、设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≥=--,,0,2,);()2(其它x e x f x λλλ其中参数0>λ．设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本，n x x x ,,,21 为样本观测值.（1）求参数λ的矩估计量．（2）求参数λ的最大似然估计量．18、设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-,0,0;0,e 1);(2x x x xf x λλλ 其中参数0>λ．设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本, n x x x ,,,21 为样本观测值.（1）求参数λ的最大似然估计量.（2）你得到的估计量是不是参数λ的无偏估计，请说明理由.【第七章】假设检验19、矩形的宽与长之比为618.0（黄金分割）时将给人们视觉上的和谐美感. 某工艺品厂生产矩形裱画专用框架. 根据该厂制定的技术标准，一批合格产品的宽与长之比必须服从均值为618.00=μ的正态分布. 现从该厂某日生产的一批产品中随机抽取25个样品，测得其宽与长之比的平均值为,646.0=x 样本标准差为093.0=s . 试问在显著性水平05.0=α水平上能否认为这批产品是合格品？20、已知某种口服药存在使服用者收缩压(高压)增高的副作用. 临床统计表明，在服用此药的人群中收缩压的增高值服从均值为220=μ（单位:mmHg ,毫米汞柱）的正态分布. 现在研制了一种新的替代药品，并对一批志愿者进行了临床试验. 现从该批志愿者中随机抽取16人测量收缩压增高值，计算得到样本均值)mmHg (5.19=x ，样本标准差)mmHg (2.5=s . 试问这组临床试验的样本数据能否支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论 （取显著性水平05.0=α）.解答部分【第一章】 随机事件与概率1、甲袋中有4个白球3个黑球，乙袋中有2个白球3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋, 再从乙袋中任取一球返还甲袋. 求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率.【解】设A 表示“从甲袋移往乙袋的是白球”，B 表示“从乙袋返还甲袋的是黑球”，C 表示“经此换球过程后甲袋中黑球数增加”，则AB C =， 又2163)(,74)(===A B P A P ，于是由概率乘法定理得所求概率为 )()(AB P C P =)()(A B P A P ==722174=⋅.2、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率．【解】 设i A 表示“此人第i 次拨号能拨通所需电话” )2,1(=i ，A 表示“此人拨号不超过两次而接通所需电话”，则211A A A A +=，由概率加法定理与乘法定理得所求概率为)()()()(211211A A P A P A A A P A P +=+=)()()(1211A A P A P A P +=2.091109101=⋅+=.3、已知将1,0两字符之一输入信道时输出的也是字符0或1，且输出结果为原字符的概率为)10(<<αα. 假设该信道传输各字符时是独立工作的. 现以等概率从“101”，“010”这两个字符串中任取一个输入信道.求输出结果恰为“000”的概率.【解】设:1A 输入的是“101”，:2A 输入的是“010”，:B 输出的是“000”，则2/1)(1=A P ，2/1)(2=A P ，αα21)1()(-=A B P ，)1()(22αα-=A B P ，从而由全概率公式得)()()()()(2211A B P A P A B P A P B P +=)1(21)1(2122αααα-+-=)1(21αα-=.4、试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该考生会做这道题的概率为85.0．（1）求该考生选出此题正确答案的概率；（2）已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率．【解】设A 表示“该考生会解这道题”，B 表示“该考生选出正确答案”，则85.0)(=A P ，2.0)(=A P ，1)(=A B P ，25.0)(=A B P ．（1）由全概率公式得)()()()()(A B P A P A B P A P B P +=25.02.0185.0⨯+⨯=9.0=．（2）由贝叶斯公式得944.018179.0185.0)()()()(≈=⨯==B P A B P A P B A P ．【第二章】 随机变量及其分布5、设连续随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(．（1）求系数A 及B ；（2）求X 落在区间)1,1(-内的概率；（3）求X 的概率密度．【解】（1）由分布函数的性质可知0)2()(lim )(=-⋅+==-∞-∞→πB A x F F x ，12)(lim )(=⋅+==+∞+∞→πB A x F F x ，由此解得 π1,21==B A ． （2）X 的分布函数为)(arctan 121)(+∞<<-∞+=x x x F π， 于是所求概率为21))1arctan(121()1arctan 121()1()1()11(=-+-+=--=<<-ππF F X P ．（3）X 的概率密度为)1(1)()(2x x F x f +='=π．6、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它,0,10,)(x ax x f ，求：（1）常数a ；（2）)5.15.0(<<X P ；（3）X 的分布函数)(x F ．【解】（1）由概率密度的性质可知⎰∞+∞-dx x f )(121===⎰aaxdx ， 由此得2=a ．（2） )5.15.0(<<X P 75.000212/122/3112/1=+=+=⎰⎰x dx xdx .（3）当0<x 时，有00)(==⎰∞-xdx x F ；当10<≤x 时，有20020)(x xdx dx x F x=+=⎰⎰∞-；当1≥x 时，有1020)(1100=++=⎰⎰⎰∞-xdx xdx dx x F .所以，X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1,10,,0,0)(2x x x x x F7、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<+=.,0;1,1),1(),(其它y x xy A y x f 求：（1）系数A ；（2）X 的边缘概率密度)(x f X ；（3）概率)(2X Y P ≤．【解】（1）由联合概率密度的性质可知=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ),(14)1(1111==+⎰⎰--A dy xy A dx ，由此得41=A ． （2）当11<<-x 时，有=)(x f X =⎰+∞∞-dy y x f ),(214111=+⎰-dy xy ； 当1-≤x 或1≥x 时，显然有0)(=x f X ．所以X 的边缘概率密度⎩⎨⎧<<-=.,0;11,2/1)(其它x x f X（3）)(2X Y P ≤⎰⎰≤=2),(x y dxdy y x f dy xy dx x ⎰⎰--+=211141dx x x x )1221(412511+-+=⎰-32=．8、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=.,0;20,10,1),(其它x y x y x f求：（1）),(Y X 的边缘概率密度)(x f X ，)(y f Y ；（2）概率)1,21(≤≤Y X P ；（3）判断X ,Y 是否相互独立.【解】（1）当10<<x 时，有x dy dy y x f x f xX 2),()(20⎰⎰===+∞∞-；当0≤x 或1≥x 时，显然有0)(=x f X .于是X 的边缘概率密度为⎩⎨⎧<<=.,0;10,2)(其它x x x f X 当20<<y 时，有⎰⎰-===+∞∞-1221),()(y Y ydx dx y x f y f ； 当0≤y 或2≥y 时，显然有0)(=y f Y .于是Y 的边缘概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=.,0;20,21)(其它y y y f Y（2）⎰⎰⎰⎰===≤≤∞-∞2/12/102/11-41),()}1,21{(y dx dy dx y x f dy Y X P .（3）容易验证)()(),(y f x f y x f Y X ≠,故X 与Y 不独立.9、设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，]2.0,0[~U X ，Y 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,5)(5y y e y f y Y（2）求X 和Y 的联合概率密度),(y x f ；（2）求概率)(X Y P ≤．【解】（1）由题意知，X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=.,0;2.00,5)(其它x x f X因为X 和Y 相互独立，故X 和Y 的联合概率密度⎩⎨⎧><<==-.,0;0,2.00,25)()(),(5其它y x e y f x f y x f y Y X（2）12.005052.00)1(525),()(---≤=-===≤⎰⎰⎰⎰⎰e dx e dy e dx dxdy y x f X Y P x x y xy ．【第三章】数字特征10、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤+-=,,0,21,)2(,10,)()(其它x x a x b x b a x f ，已知21)(=X E ，求：（1）b a ,的值；（2）)32(+X E ． 【解】（1）由概率密度的性质可知=⎰∞+∞-dx x f )(12)2(])[(2110=+=-++-⎰⎰ba dx x a dxb x b a ； 又dx x xf X E ⎰∞+∞-=)()(.216)2(])[(2110=+=-++-=⎰⎰b a dx x x a xdx b x b a联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,216,12b a b a 解得41=a ，23=b ． （2） 由数学期望的性质，有432123)(2)32(=+⋅=+=+X E X E ． 11、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,)(2x x Ae x f x求：（1）常数A ；（2）)(X E 和)(X D ．【解】（1）由概率密度的性质可知=⎰∞+∞-dx x f )(122==⎰∞+-Adx Ae x ， 由此得2=A ．（2）由数学期望公式得⎰⎰∞++∞-=-=⋅=0022212)(dt te dx ex X E t tx x21)2(Γ21==. 由于⎰∞+-⋅=02222)(dx ex X E xdt e t t tx ⎰+∞-==0224121!241)3(Γ41=⋅==，故利用方差计算公式得41)21(21)]([)()(222=-=-=X E X E X D .12、设),(Y X 的联合概率分布如下：XY1104/14/12/10（1）求Y X ,的数学期望)(X E ,)(Y E ，方差)(X D ，)(Y D ．（2）求Y X ,的协方差),cov(Y X 与相 关系数),(Y X R ．【解】 由),(Y X 的联合概率分布知Y X ,服从"10"-分布：4/1)0(==X P ，4/3)1(==X P ， 2/1)0(==Y P ，2/1)1(==Y P ，由"10"-分布的期望与方差公式得16/3)4/11(4/3)(,4/3)(=-⨯==X D X E ， 4/1)2/11(2/1)(,2/1)(=-⨯==Y D Y E ，由),(Y X 的联合概率分布知2/14/1114/1010104/100)(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=XY E ,从而8/12/14/32/1)()()(),cov(=⨯-=-=Y E X E XY E Y X ，=),(Y X R 334/116/38/1)()(),cov(==Y D X D Y X ．【第四章】正态分布13、假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩X （百分制）近似服从正态分布，已知满分为100分平均成绩为75分，95分以上的人数占考生总数的2.3%.（1）试估计本次考试的不及格率（低于60分为不及格）；（2）试估计本次考试成绩在65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例. [已知9332.0)5.1(,8413.0)1(≈≈ΦΦ，9772.0)2(=Φ]【解】 由题意，可设X 近似服从正态分布),75(2σN .已知%3.2)95(=≥X P ，即%3.2)20(1)7595(1)95(1)95(=-=--=<-=≥σΦσΦX P X P ，由此得977.0)20(=σΦ，于是220≈σ，10≈σ，从而近似有)10,75(~2N X .（1）0668.09332.01)5.1(1)5.1()107560()60(=-≈-=-=-=<ΦΦΦX P ， 由此可知，本次考试的不及格率约为%68.6.（2）)107565()107585()8565(---=≤≤ΦΦX P 6826.018413.021)1(2)1()1(=-⨯≈-=--=ΦΦΦ，由此可知，成绩在65分至85分之间的考生人数约占考生总数的%26.68.14、两台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X （单位：mm ）表示轴的直径，随机变量Y （单位：mm ）表示轴衬的内径，已知)3.0,50(~2N X ，)4.0,52(~2N Y ，显然X 与Y 是独立的．如果轴 衬的内径与轴的直径之差在3~1mm 之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率．[已知9772.0)2(≈Φ]【解】 设X Y Z -=，由X 与Y 的独立性及独立正态变量的线性组合的性质可知，)4.03.0,5052(~22+--=N X Y Z ， 即)5.0,2(~2N Z ．于是所求概率为)2()2()5.021()5.023()31(--=---=≤≤ΦΦΦΦZ P .9544.019772.021)2(2=-⨯≈-=Φ【第五章】 数理统计基本知识15、设总体)1,0(~N X ，521,,,X X X 是来自该总体的简单随机样本，求常数0>k 使)3(~)2(25242321t X X X X X k T +++=．【解】 由)1,0(~N X 知)5,0(~221N X X +，于是)1,0(~5221N X X +，又由2χ分布的定义知)3(~2252423χX X X ++，所以)3(~2533/)(5/)2(2524232125242321t X X X X X X X X X X T +++⋅=+++=，比较可得53=k ．16、设总体)5 ,40(~2N X ，从该总体中抽取容量为64的样本，求概率)1|40(|<-X P ． 【解】 由题设40=μ，5=σ，64=n ，于是)1,0(~8540N X nX u -=-=σμ从而)58|8/540(|)1|40(|<-=<-X P X P .8904.019452.021)6.1(2)58|(|=-⨯≈-=<=Φu P【第六章】参数估计17、设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≥=--,,0,2,);()2(其它x e x f x λλλ其中参数0>λ．设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本，n x x x ,,,21 为样本观测值.（1）求参数λ的矩估计量．（2）求参数λ的最大似然估计量． 【解】（1）21)2(),()(02)2(2+=+===-+∞=---+∞+∞∞-⎰⎰⎰λλλλλλdt e t dx ex dx x xf X E t tx x ，令)(X E X =，即21+=λX ，解得参数λ的矩估计量为21-=∧X λ． （2）样本似然函数为∑====--=--=∏∏ni i i n x nni x n i i eex f L 1)2(1)2(1),()(λλλλλλ，上式两边取对数得∑--==ni i n X n L 1)2(ln )(ln λλλ，上式两边对λ求导并令导数为零得=λλd L d )(ln 0)2(1=∑--=n i i n x nλ， 解得2121-=∑-==x nx nni i λ，从而参数λ的最大似然估计量为 21-=∧X λ． 18、设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-,0,0;0,e 1);(2x x x xf x λλλ 其中参数0>λ．设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本, n x x x ,,,21 为样本观测值. （1）求参数λ的最大似然估计量.（2）你得到的估计量是不是参数λ的无偏估计，请说明理由. 【解】（1）样本似然函数为,e1e1),()(1121211∏∏∏=-=-=∑⋅====n i x inni x i n i i ni iixx x f L λλλλλλ上式两边取对数得∑∑==-+-=ni i ni i x x n L 111ln ln 2)(ln λλλ， 求导数得∑=+-=ni i x n L d d 1212)(ln λλλλ， 令0)(ln =λλL d d解得2211x x n n i i==∑=λ，于是参数λ的极大似然估计量为 221ˆ1X X n n i i ==∑=λ. （2）dx x X E x λλ/202e 1)(-+∞⎰=dx x x λλ/20e )(-+∞⎰=dx t t t x -∞+=⎰=e 02λλλΓλ2)3(==， λλλ=⋅====221)(21)(21)2()ˆ(X E X E X E E ， 于是221ˆ1X X n ni i ==∑=λ是λ的无偏估计.【第七章】假设检验19、矩形的宽与长之比为618.0（黄金分割）时将给人们视觉上的和谐美感. 某工艺品厂生产矩形裱画专用框架. 根据该厂制定的技术标准，一批合格产品的宽与长之比必须服从均值为618.00=μ的正态分布. 现从该厂某日生产的一批产品中随机抽取25个样品，测得其宽与长之比的平均值为,646.0=x 样本标准差为093.0=s . 试问在显著性水平05.0=α水平上能否认为这批产品是合格品？【解】由题意，待检验的假设为0H ： 618.00==μμ； 1H ： 618.0≠μ．因为σ未知，所以检验统计量为)24(~)618.0(525/618.0/0t S X S X n S X t -=-=-=μ， 关于0H 的拒绝域为 06.2)24()1(||025.02/==->t n t t α． 现在646.0=x ，093.0=s ，所以统计量t 的观测值为505.1093.0)618.0646.0(5=-=t ． 因为)24(06.2505.1||025.0t t =<=，即t 的观测值不在拒绝域内，从而接受．．原假设，即可以认为这批产品是合格品．20、已知某种口服药存在使服用者收缩压(高压)增高的副作用. 临床统计表明，在服用此药的人群中收缩压的增高值服从均值为220=μ（单位:mmHg ,毫米汞柱）的正态分布. 现在研制了一种新的替代药品，并对一批志愿者进行了临床试验. 现从该批志愿者中随机抽取16人测量收缩压增高值，计算得到样本均值)mmHg (5.19=x ，样本标准差)mmHg (2.5=s . 试问这组临床试验的样本数据能否支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论 （取显著性水平05.0=α）.【解】由题意，待检验的假设为0H ： 220==μμ； 1H ： 22<μ．因为σ未知，所以取统计量)15(~)22(4/0t S X nS X t -=-=μ， 且关于0H 的拒绝域为 753.1)15()1(05.0-=-=--<t n t t α. 现在5.19=x ，2.5=s ，所以统计量t 的观测值为923.12.5)225.19(4-≈-=t ． 因为)15(753.1923.105.0t t -=-<-≈，即t 的观测值在拒绝域内，从而拒绝．．原假设，即认为这次试验支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论.。
概率论期末试题及答案
概率论期末试题及答案### 概率论期末试题及答案#### 一、选择题（每题2分，共20分）1. 事件A和B是互斥的，P(A)=0.3，P(B)=0.5，则P(A∪B)等于：A. 0.5B. 0.8C. 0.3D. 0.22. 抛一枚均匀硬币两次，求至少出现一次正面的概率是：A. 0.5B. 0.75C. 0.25D. 13. 随机变量X服从正态分布N(μ, σ²)，其中μ=0，σ²=1，求P(X>1)：A. 0.1587B. 0.3173C. 0.6827D. 0.84134. 某工厂生产的产品中，有5%的产品是次品。
若随机抽取100件产品，求至少有3件次品的概率：A. 0.95B. 0.05C. 0.02D. 0.985. 某随机实验中，事件A发生的概率为0.6，事件B发生的概率为0.3，且P(A∩B)=0.1，则P(A∪B)等于：A. 0.8B. 0.9C. 0.7D. 0.6#### 二、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述什么是条件概率，并给出一个实际应用的例子。
条件概率是指在另一个事件已经发生的条件下，一个事件发生的概率。
例如，在医学领域，如果已知某人患有某种疾病，那么在这种情况下，他出现某种症状的条件概率可能会比一般人群要高。
2. 解释什么是大数定律，并说明它在统计学中的重要性。
大数定律是概率论中的一个重要定理，它描述了在重复进行独立随机实验时，随着实验次数的增加，实验结果的相对频率会越来越接近事件发生的概率。
在统计学中，大数定律是进行概率估计和推断的基础，它保证了样本均值的稳定性和可靠性。
#### 三、计算题（每题15分，共40分）1. 某工厂生产零件，每个零件的合格率为0.95。
求生产100个零件中，至少有90个合格的概率。
设X为100个零件中合格的数量，X服从二项分布B(100, 0.95)。
使用二项分布公式计算P(X≥90)。
2. 随机变量X服从均匀分布U(0, 4)，求P(X>2)。
概率论期末考试题及答案pdf
概率论期末考试题及答案pdf一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 随机变量X服从标准正态分布，则P(X<0)的值为（）。
A. 0.5B. 0.3C. 0.7D. 0.9答案：A2. 已知随机变量X服从二项分布B(n, p)，则E(X)的值为（）。
A. npB. n(1-p)C. pD. 1答案：A3. 两个随机变量X和Y相互独立，则P(X>1, Y>1)等于（）。
A. P(X>1)P(Y>1)B. P(X>1) + P(Y>1)C. P(X>1) - P(Y>1)D. P(X>1) / P(Y>1)答案：A4. 随机变量X服从泊松分布，其参数为λ，则P(X=k)的值为（）。
A. λ^k * e^(-λ) / k!B. λ^k * e^(-λ) * k!C. λ^k * e^(-λ) / (k-1)!D. λ^k * e^(-λ) * (k-1)!答案：A5. 随机变量X服从均匀分布U(a, b)，则其期望E(X)的值为（）。
A. (a+b)/2B. a+bC. 2a-bD. 2b-a答案：A6. 已知随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，则其方差Var(X)的值为（）。
A. μB. σ^2C. 1/σ^2D. 1/μ答案：B7. 随机变量X服从指数分布，其参数为λ，则其期望E(X)的值为（）。
A. 1/λB. λC. 1D. 0答案：A8. 随机变量X和Y相互独立，且都服从标准正态分布，则P(X+Y<0)的值为（）。
A. 0.5B. 0.25C. 0.75D. 0.9答案：A9. 随机变量X服从二项分布B(n, p)，则其方差Var(X)的值为（）。
A. npB. np(1-p)C. pD. 1-p答案：B10. 随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，若P(X<μ)=0.5，则μ的值为（）。
A. 0B. 1C. μD. σ^2答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 随机变量X服从标准正态分布，若P(X<1.96)=0.975，则P(X>1.96)=________。
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第一章
[三十九]设由以往记录的数据分析。
某船只运输某种物品损坏2%（这一事件记为A 1），10%（事件A 2），90%（事件A 3）的概率分别为P (A 1)=0.8, P (A 2)=0.15, P (A 2)=0.05，现从中随机地独立地取三件，发现这三件都是好的（这一事件记为B ），试分别求P (A 1|B ) P (A 2|B), P (A 3|B)（这里设物品件数很多，取出第一件以后不影响取第二件的概率，所以取第一、第二、第三件是互相独立地）
∵ B 表取得三件好物品。
B=A 1B+A 2B+A 3B 三种情况互斥
由全概率公式，有 ∴
P (B )= P (A 1)P (B|A 1)+P (A 2)P (B|A 2)+P (A 3)P (B|A 3)
=0.8×(0.98)3+0.15×(0.9)3+0.05×(0.1)3=0.8624
0001
.08624
.0)1.0(05.0)()|()()()()|(1268.08624.0)9.0(15.0)()|()()()()|(8731
.08624
.0)98.0(8.0)()|()()()()|(3
33333
22223
1111=⨯====⨯====⨯===B P A B P A P B P B A P B A P B P A B P A P B P B A P B A P B P A B P A P B P B A P B A P
第二章[十九] 以X 表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间（以分计），X 的分布函数是
⎩⎨⎧<≥-=-00
,1)(4.0x x e x F x X
求下述概率：
（1）P {至多3分钟}；（2）P {至少4分钟}；（3）P {3分钟至4分钟之间}； （4）P {至多3分钟或至少4分钟}；（5）P {恰好2.5分钟} 解：（1）P {至多3分钟}= P {X ≤3} =2.11)3(--=e F X （2）P {至少4分钟} P (X ≥4) =6.1)4(1-=-e F X
（3）P {3分钟至4分钟之间}= P {3<X ≤4}=6.12.1)3()4(---=-e e F F X X （4）P {至多3分钟或至少4分钟}= P {至多3分钟}+P {至少4分钟} =6.12.11--+-e e （5）P {恰好2.5分钟}= P (X =2.5)=0
[二十六] 设X ～N （3.22）
（1）求P (2<X ≤5)，P (－4)<X ≤10)，P{|X|>2}，P (X>3) ∵ 若X ～N （μ，σ2），则P (α<X ≤β)=φφ ∴
P (2<X ≤5) =φφ=φ(1)－φ(－0.5)
=0.8413－0.3085=0.5328
P (－4<X ≤10) =φφ=φ(3.5)－φ(－3.5)
=0.9998－0.0002=0.9996 P (|X|>2)=1－P (|X|<2)= 1－P (－2< P<2 ) = =1－φ(－0.5) +φ(－2.5) =1－0.3085+0.0062=0.6977
P (X>3)=1－P (X ≤3)=1－φ=1－0.5=0.5
（2）决定C 使得P (X > C )=P (X ≤C) ∵ P (X > C )=1－P (X ≤C )= P (X ≤C) 得 P (X ≤C )==0.5 又
P (X ≤C )=φ ∴ C =3
第四章[二] 某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次。
每次随机地抽取10件产品进行检验，如果发现其中的次品数多于1，就去调整设备，以X 表示一天中调整设备的次数，试求E (X)。
（设诸产品是否是次品是相互独立的。
）
解：设表示一次抽检的10件产品的次品数为ξ
P =P （调整设备）=P (ξ>1)=1－P (ξ≤1)= 1－[P (ξ=0)+ P (ξ=1)]查二项分布表
1－0.7361=0.2639.
因此X 表示一天调整设备的次数时X ～B (4, 0.2639). P (X =0)=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛04×0.26390×0.73614
=0.2936.
P (X =1)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛14×0.26391×0.73613
=0.4210, P (X =2)= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛24×0.26392×0.73612=0.2264. P (X =3)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛34×0.26393
×0.7361=0.0541, P (X =4)= ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛44×0.2639×0.73610=0.0049.从而 E (X )=np =4×0.2639=1.0556
[十二] 某车间生产的圆盘直径在区间（a, b ）服从均匀分布。
试求圆盘面积的数学期望。
解：设X 为圆盘的直径，则其概率密度为
⎪⎩
⎪⎨⎧∈-=.,0),(,1)(其它b a x a b x f
用Y 表示圆盘的面积，则从而,4
1
2X πY =
).(12
3)()(414
)(41
)(22332
2
b ab a πa b a b πdx x a b π
dx x f x πY E b a
++=-⋅-=-==
⎰
⎰
∞+∞
- 第五章[一] 据以往经验某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现在随机的抽取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率。
解：设第i 只寿命为X i ，（1≤i ≤16），故E (X i )=100，D (X i )=1002(l=1,2,…,16).依本章定理1知
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛≤-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛⨯-≤⨯-=≤∑
∑
∑
===8.0400
16001001616001920100161600
)1920(
16
16
16
1
i i i i i i X P X P X P
.7881.0)8.0(=Φ=
从而.2119.07881.01)1920(
1)1920(16
1
16
1
=-=≤-=>∑∑==i i
i i
X
P X
P
第六章1.[一] 在总体N （52，6.32）中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8到53.8之间的概率。
解：
8293
.0)7
8
()712(}
63.68
.163.65263.62.1{}8.538.50{),36
3.6,52(~2=-Φ-Φ=<-<-=<<X P X P N X
第七章[四(1)] 设总体X 具有分布律
X 1
2 3 P k
θ2
2θ(1－θ)
(1－θ) 2
其中θ(0<θ<1)为未知参数。
已知取得了样本值x 1=1，x 2=2，x 3=1，试求θ的矩估计值和最大似然估计值。
解：（1）求θ的矩估计值
θ
θθθθθθθθX E 23)]1()][1(3[)1(3)1(221)(2
2-=-+-+=-+-⋅+⨯=
X θX E =-=23)(令
则得到θ的矩估计值为6
5231
2132
3ˆ=++-
=-=X
θ
（2）求θ的最大似然估计值 似然函数}1{}2{}1{}{)(3213
1
======
∏=X P X P X P x X
P θL i i i
)
1(2)1(25
22θθθθθθ-=⋅-⋅=
ln L (θ )=ln2+5ln θ+ln(1－θ) 求导
011
65)(ln =--=θ
θd θL d 得到唯一解为6
5
ˆ=θ
[四(2)] 设X 1，X 1，…，X n 是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本，试求λ的极大似然估计量及矩估计量。
解：（1）矩估计 X ~ π (λ )，E (X )= λ，故λˆ=X 为矩估计量。
（2）极大似然估计λn n x n
i i e x x x λλx P λL n
i i
-=∑===
∏
!
!!);()(211
1
，
λn x λx λL n
i i
n
i i
--=
∑∑==1
1
!ln ln )(ln
X
λn λ
x
λ
d λL d n
i i
==-=∑=ˆ,0)
(ln 1
解得为极大似然估计量。
（其中
),1,0,!
}{);( ====-i λ
i x i i x e x λx X P λx p i。