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磁场中的“最小面积”问题

河南省信阳高级中学 陈庆威 2016.12.27

带电粒子在磁场中运动类题目本身就是磁场中的重难点问题,而求粒子在磁场中运动时的“最小面积”问题,又是这类问题中比较典型的难题。很多时候面对这种题目,同学们的大脑都是一片空白,没有思路、没有方法、也没有模型。那么,如何突破这一难题呢？以下是我精心整理的几道相关试题。相信,我们通过该种模型题的训练,能学会举一反三、活学活用、准确把握模型、深刻理解模型,形成自己独立解决该类问题的思维和方法,从而全面提升我们的解题能力。

例题1：如图所示,一质量为m 、电荷量为q 的带电粒子,从y 轴上的P 1点以速度v 射入第一象限所示的区域,入射方向与x 轴正方向成α角．为了使该粒子能从x 轴上的P 2点射出该区域,且射出方向与x 轴正方向也成α角,可在第一象限适当的地方加一个垂直于xoy 平面、磁感应强度为B 的匀强磁场．若磁场分布为一个圆形区域,求这一圆形区域的最小面积为（不计粒子的重力） 解析：粒子在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹

力提供向心力,

由牛顿第二定律得：

R v m

qvB 2

= 则粒子在磁场中做圆周的半径：

qB mv

R =

由题意可知,粒子在磁场区域中的轨道为半径等于r 的圆上的一段圆周,这段圆弧应与入射

方向的速度、出射方向的速度相切,如图所示：

则到入射方向所在直线和出射方向所在直线相距为R 的O ′点就是圆周的圆心．粒子在磁场区域中的轨道就是以O ′为圆心、R 为半径的圆上的圆弧ef,而e 点和f 点应在所求圆形磁场区域的边界上,在通过e 、f 两点的不同的圆周中,最小的一个是以ef 连线为直径的圆周． 即得圆形区域的最小半径

qB mv R r ααsin sin =

=

则这个圆形区域磁场的最小面积

2

22222

min sin B q v m r S α

ππ=

=

例题2：如图所示,一带电质点,质量为m,电量为q,以平行于ox 轴的速度v 从y 轴上的a 点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x 轴上的b 点以垂直于ox 轴的速度v 射出,可在适当的地方加一个垂直于xoy 平面、磁感应强度为B 的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内,试求这圆形磁场区域的最小半径.重力忽略不计。

解析：质点在磁场中作半径为R 的圆周运动,

R mv qvB 2

=

,得

qB mv R = 根据题意,质点在磁场区域中的轨道是半径等于R 的圆上的1/4圆周,这段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的速度相切。过a 点作平行于x 轴的直线,过b 点作平行于y 轴的直线,则与这两直线均相距R 的O ′点就是圆周的圆心。质点在磁场区域中的轨道就是以O ′为圆心、R 为半径的圆(图中虚线圆)上的圆弧 MN,M 点和N 点应在所求圆形磁场区域的边界

上。

所求圆形磁场最小半径为

qB mv R r 2222min ==

例题3：一匀强磁场,磁场方向垂直于xoy 平面,在xoy 平面上,磁场分布在以O 为中心的一个圆形区域内。一个质量为m 、电荷量为q 的电带粒子,由原点O 开始运动,初速度为v,方向沿x 正方向。后来,粒子经过y 轴上的P 点,此时速度方向与y 轴的夹角为30°,P 到O 的距离为L,如图所示。不计重力的影响。求磁场的磁感应强度B 的大小和xoy 平面上磁场区域的半径R 。

解析：粒子在磁场中受到洛伦兹力作用,做匀速圆周运动,则有

据此并由题意可得,粒子在磁场中的轨迹的圆心C 必在y 轴上,且P 点在磁场区之外．过P 沿速度方向作延长线,它与x 轴相交于Q 点．作圆弧过O 点与x 轴相切,并且与PQ 相切,切点A 即粒子离开磁场区的地点．这样也求得圆弧轨迹的圆心C,

如图所示

由图中几何关系得：L=3r

由以上两式可得：

图中OA 的长度即圆形磁场区的半径R,

由图中几何关系可得

L R 33=

例题4：如图所示,在纸平面内建立如图所示的直角坐标系xoy ,在第一象限的区域存在沿y 轴正方向的匀强电场。现有一质量为m 、电量为e 的电子从第一象限的某点

)83

,

(L L P 以初速度v 0沿x 轴的负方向开始运动,经过轴上的点Q （L/4、0 ）进入第

四象限,先做匀速直线运动然后进入垂直纸面的矩形匀强磁场区域,其左边界和上边界分别与y 轴、x 轴重合,电子经磁场偏转后恰好经过坐标原点O 并沿y 轴的正方向运动,不计电子的重力。求 （1）电子经过Q 点的速度 ； （2）该匀强磁场的磁感应强度 ； （3）该匀强磁场的最小面积S 。 解析:（1）电子类平抛运动,

解得

所以经过Q 点的速度

方向与水平方向夹角为 （2）速度偏转角为

,则圆弧所对的圆心角为

。

由几何关系得

解得

由向心力公式

解得

方向垂直纸面向里。

（3）矩形磁场的右边界距y 轴的距离为

矩形磁场的下边界距x 轴的距离为

故磁场的最小面积为

例题5：一个质量为m,带+q 电量的粒子在BC 边上的M 点以速度v 垂直于BC 边飞入正三角形ABC 。为了使该粒子能在AC 边上的N 点垂直于AC 边飞出该三角形,可在适当的位置加一个垂直于纸面向里,磁感应强度为B 的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内,且不计粒子的重力。试求： （1）该粒子在磁场里运动的时间t ； （2）该正三角形区域磁场的最小边长； （3）画出磁场区域及粒子运动的轨迹。 分析：根据题意,画出粒子运动的轨迹,根据几何关系可求解粒子在磁场里运动的时间以及正三角形区

域的最小边长．

解析：（1）由洛伦兹力提供向心力

得：

r mv qvB 2

=

且周期

qB m

v r T ππ22==

得轨道半径

qB mv r =