定积分习题及讲解
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第四部分 定积分
[选择题]
容易题1—36，中等题37—86，难题87—117。
1．积分中值定理⎰-=b
a a
b f dx x f ))(()(ξ，其中（ ）
。 (A) ξ是],[b a 内任一点；
(B). ξ是],[b a 内必定存在的某一点； (C). ξ是],[b a 内唯一的某一点； (D). ξ是],[b a 的中点。
答B
2．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠⎰=0
,0,)()(2
x c
x x dt t tf x F x
,其中)(x f 在0=x 处连续，且0)0(=f 若)(x F 在 0=x 处连续，则=c （ ）
。 (A).0=c ; (B).1=c ; (C).c 不存在； (D).1-=c . 答A
3．a dx x
x I a
n n
n (,1sin lim ⎰=+∞→为常数）由积分中值定理得⎰=+a
n n
a dx x x ξ
ξ1
sin 1sin ，则
=I （ ）。
(A)a
a a a a
n 1sin
1
sin
lim 1
sin
lim 2==→∞
→ξ
ξξ
ξξ; (B).01
sin
lim 0
=→ξ
ξa ; (C).a a =∞
→ξ
ξξ1
sin
lim ;
(D).∞=∞
→ξ
ξξ1
sin
lim a .
答C
4．设)(x f 在],[b a 连续，⎰=x
a dt t f x )()(ϕ，则（ ）
。 (A).)(x ϕ是)(x f 在],[b a 上的一个原函数； (B). )(x f 是)(x ϕ的一个原函数;
(C). )(x ϕ是)(x f 在],[b a 上唯一的原函数; (D).)(x f 是)(x ϕ在],[b a 上唯一的原函数.
答A
5．设0)(=⎰b a dx x f 且)(x f 在],[b a 连续，则（ ）
。 (A).0)(≡x f ;
(B).必存在x 使0)(=x f ；
(C).存在唯一的一点x 使0)(=x f ； (D).不一定存在点x 使 0)(=x f 。
答B
6．设⎰=a dx x f x I 023)( (0.>a ), 则（ ）。 (A).⎰=2
0)(a dx x xf I ;
(B).⎰=a dx x xf I 0)(;
(C).⎰=2
0)(21a dx x xf I ;
(D).⎰=a
dx x xf I 0)(21.
答 C
7．=-+⎰-11
21)1(dx x x ( ) （A ）π
（B ）
2
π （C ）π2 （D ）
4
π
答（A ）
8．设⎪⎩⎪⎨⎧
<≤=其余0
3sin )(ππx x
x f ，则=⎰π0
2cos )(xdx x f ( ) （A ）4
3 （B ）4
3-
（C ）1 （D ）－1
答（B ）
9．设]1,0[C f ∈，且2)(1
=⎰dx x f ，则=⎰
20
22sin )(cos π
xdx x f ( )
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）1
答（A ）
10．定积分的值与哪些因素无关？( )
(A) 积分变量。 (B) 被积函数。 (C) 积分区间的长度。 (D) 积分区间的位置。 答 A
11．闭区间上的连续函数当然是可积的。假如在该区间的某个点上改变该函数的值，即出现 一个有限的间断点，问结果如何？( )
(A) 必将破坏可积性。 (B) 可能破坏可积性。
(C) 不会破坏可积性，但必将改变积分值。 (D) 既不破坏可积性，也不影响积分值。 答 D
12．定积分的定义为∑⎰=→∆=n
i i i b
a x f dx x f 1
)(lim )(ξλ，以下哪些任意性是错误的？( )
(A) 随然要求当0max →∆=i i
x λ时，i i
i x f ∆∑)(ξ的极限存在且有限，
但极限值仍是任意的。
(B) 积分区间],[b a 所分成的分数n 是任意的。
(C) 对给定的份数n ，如何将],[b a 分成n 份的分法也是任意的，即除区间端点n x b x a ==,0外，各个分点121-<< (D) 对指定的一组分点，各个],[1i i i x x -∈ξ的取法也是任意的。 答 A 13．⎰20 2sin π dx x dx d 等于( ) （A ） 0 （B ） 1 （C ） 1- （D ） 2 π 答 A 14．定积分 dx x x ⎰-π0 3sin sin 等于( ) （A ） 34 （B ） 0 （C ） 32 （D ） 23 答 A 15．定积分 dx x x ⎰ -π0 3cos cos 等于( ) （A ） 0 （B ） 2 3 （C ） 34 （D ） 34 -