八年级数学下册 2.3.1 运用公式法(一)示范教案1 北师大版
北师大版八年级数学下册 公式法 教案
《3 公式法》教案第1课时一、教学目标1、知识与技能：（1）使学生了解运用公式法分解因式的意义；（2）会用平方差公式进行因式分解；（3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式．2、过程与方法：（1）发展学生的观察能力和逆向思维能力；（2）培养学生对平方差公式的运用能力．3、情感、态度与价值观：在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法．二、教学重难点1、重点：运用平方差公式分解因式．2、难点：将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；正确判断因式分解的彻底性．三、教学过程第一环节：练一练活动内容：填空：（1）（x+3）（x–3）=____________________；（2）（4x+y）（4x–y）=____________________；（3）（1+2x）（1–2x）=____________________；（4）（3m+2n）（3m–2n）=____________________．根据上面式子填空：（1）9m2–4n2=____________________；；（2）16x2–y2=____________________；（3）x2–9=____________________；（4）1–4x2=____________________．活动目的：学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力．注意事项：由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，学生通过观察与对比，能很快得出第一组式子与第二组式子之间的对应关系．第二环节：想一想活动内容：观察上述第二组式子的左边有什么共同特征？把它们写成乘积形式以后又有什么共同特征？结论：a 2–b 2=（a+b ）（a –b ）．活动目的：引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，通过自己的归纳能找到因式分解中平方差公式的特征．注意事项：学生对平方差公式的正确使用掌握的比较快，但用语言叙述第二组式子的左右两边的共同特征有一定的困难，必须在老师的指导下才能完成．第三环节：做一做活动内容：把下列各式因式分解：（1）25–16x 2 （2）9a 2–241b 活动目的：培养学生对平方差公式的应用能力．注意事项：学生对含有分数的平方差公式应用起来有一定的困难，有的学生由于受解方程的影响，习惯首先去分母，再因式分解，这是很多学生经常犯的一个错误．第四环节：议一议活动内容：将下列各式因式分解：（1）9（x –y ）2–（x +y ）2 （2）2x 3–8x活动目的：（1）让学生理解在平方差公式a 2–b 2=（a+b ）（a –b ）中的a 与b 不仅可以表示单项式，也可以表示多项式，向学生渗透换元的思想方法；（2）使学生清楚地知道提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式．注意事项：在教师的引导下，学生能逐步理解平方差公式中的a 与b 不仅可以表示单项式，也可以表示多项式．第五环节：反馈练习活动内容：1、判断正误：（1）x 2+y 2=（x+y ）（x –y ） （ ）（2）–x 2+y 2=–（x +y ）（x –y ） （ ）（3）x 2–y 2=（x+y ）（x –y ） （ ）（4）–x 2–y 2=–（x+y ）（x –y ） （ ）2、把下列各式因式分解：（1）4–m2（2）9m2–4n2（3）a2b2－m2（4）（m－a）2－（n＋b）2（5）–16x4＋81y4（6）3x3y–12xy3、如图，在一块边长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b的正方形．用a与b 表示剩余部分的面积，并求当a=3.6，b=0.8时的面积．活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对平方差公式的特征是否清楚，对平方差公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏．注意事项：在实际应用中，部分学生对于第3题因式分解的实际应用不能理解，他们没有采用因式分解的方法，而是利用计算器硬生生地计算出来．第六环节：学生反思活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？活动目的：通过学生的回顾与反思，强化学生对整式乘法的平方差公式的与因式分解的平方差公式的互逆关系的理解，发展学生的观察能力和逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解．注意事项：学生认识到了以下事实：（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；（3）平方差公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式．第2课时一、教学目标：1、知识与技能：（1）使学生了解运用公式法分解因式的意义；（2）会用完全平方公式进行因式分解；（3）使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．2、过程与方法：（1）发展学生的观察能力和逆向思维能力；（2）培养学生对完全平方公式的运用能力．3、情感、态度与价值观：通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生感受事物间的因果联系．二、教学重难点：1、重点：掌握运用完全平方公式进行因式分解．2、难点：灵活运用公式法或已学过的提公因式法进行因式分解，及正确判断因式分解的彻底性问题．三、教学过程：第一环节：做一做活动内容：填空：（1）（a+b）（a-b）=____________________；（2）（a+b）2=____________________；（3）（a–b）2=____________________．根据上面式子填空：（1）a2–b2=____________________；（2）a2–2ab+b2=____________________；（3）a2+2ab+b2=____________________．结论：形如a2+2ab+b2与a2–2ab+b2的式子称为完全平方式．活动目的：学生通过观察，把整式乘法中的完全平方公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力，第（1）组a2–b2是起提示作用．注意事项：学生通过观察能找到第一组式子与第二组式子之间的对应关系．第二环节：辨一辨活动内容：观察下列哪些式子是完全平方式？如果是，请将它们进行因式分解．（1）x2–4y2（2）x2+4xy–4y2（3）4m2–6mn+9n2（4）m2+6mn+9n2结论：找完全平方式可以紧扣下列口诀：首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中央；完全平方式可以进行因式分解，a2–2ab+b2=（a–b）2；a2+2ab+b2=（a+b）2．活动目的：加深学生对完全平方式特征的理解，并由此得出因式分解的完全平方公式．第三环节：试一试活动内容：把下列各式因式分解：（1）x 2–4x +4 （2）9a 2+6ab +b 2（3）m 2–9132+m （4）()()1682++++n m n m 活动目的：（1）培养学生对平方差公式的应用能力；（2）让学生理解在完全平方公式中的a 与b 不仅可以表示单项式，也可以表示多项式． 注意事项：学生对第（3）小题含有分数的完全平方公式应用起来有一定的困难，有的学生由于受解方程的影响，习惯首先去分母，再因式分解，这是很多学生经常犯的一个错误． 第四环节：想一想活动内容：将下列各式因式分解：（1）3ax 2+6axy +3ay 2 （2）–x 2–4y 2+4xy活动目的：使学生清楚地了解提公因式法（包括提取负号）是分解因式首先考虑的方法，再考虑用完全平方公式分解因式．注意事项：在综合应用提公因式法和公式法分解因式时，一般按以下两步完成：（1）有公因式，先提公因式；（2）再用公式法进行因式分解．第五环节：反馈练习活动内容：1、判断正误：（1）x 2+y 2=（x+y ）2 （ ）（2）x 2–y 2=（x –y ）2 （ ）（3）x 2–2xy –y 2=（x –y ）2 （ ）（4）–x 2–2xy –y 2=–（x+y ）2 （ ）2、下列多项式中，哪些是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式：（1）x 2–x +41 （2）9a 2b 2–3ab +1 （3）229341n mn m ++ （4）251056+-x x 3、把下列各式因式分解：（1）m 2–12mn +36n 2 （2）16a 4+24a 2b 2+9b 4（3）–2xy –x 2–y 2 （4）4–12（x –y ）+9（x –y ）2活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对完全平方公式的特征是否清楚，对完全平方公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏．注意事项：当完全平方公式中的a 与b 表示两个或两个以上字母时，学生运用起来有一定的困难，此时，教师应结合完全平方公式的特征给学生以有效的学法指导．第六环节：学生反思活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？你认为分解因式中的平方差公式以及完全平方公式与乘法公式有什么关系？结论：由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．活动目的：通过学生的回顾与反思，强化学生对整式乘法的完全平方公式与因式分解的完全平方公式的互逆关系的理解，发展学生的观察能力和逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解．注意事项：学生认识到了以下事实：（1）有公因式则先提取公因式；（2）整式乘法的完全平方公式与因式分解的完全平方公式是互逆关系；（3）完全平方公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式．。
3公式法第1课时-初中八年级下册数学(教案)(北师大版)
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《公式法》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在解一元二次方程时，是否遇到过不知道如何求解的情况？”比如方程x²+6x+9=0。这个问题与我们将要学习的完全平方公式密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索完全平方公式的奥秘。
1.讨论主题：学生将围绕“完全平方公式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
在讲解过程中，我尝试用生活中的例子来解释公式，比如用正方形面积的变化来说明（a+b）²和a²+2ab+b²之间的关系。这种方法似乎帮助学生更好地理解了公式的含义，但我感觉还可以做得更好，比如通过动画或实物模型来更直观地展示。
我还注意到，在实践活动和小组讨论中，学生们对于将理论应用到实际问题中感到有些困难。他们在讨论时提出了很多问题，这表明他们在积极思考，但也反映出我在教学中可能没有足够地强调公式的应用场景。在未来的教学中，我需要设计更多的实际问题，让学生在解决问题的过程中深入理解公式的用途。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个应用完全平方公式的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，通过实际操作来演示完全平方公式的应用。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
八年级数学下册 2.3.1运用公式法(一)教案 北师大版
§2.3.1 运用公式法（一）●教学目标教学知识点 1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；2.使学生掌握用平方差公式分解因式.能力训练要求 1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力.2.训练学生对平方差公式的运用能力.情感与价值观要求在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法.●教学重点让学生掌握运用平方差公式分解因式.●教学难点将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力.●教学方法引导自学法●教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法.Ⅱ.新课讲解1.请看乘法公式（a+b）（a－b）=a2－b2 （1）反过来a2－b2=（a+b）（a－b）（2）2.公式讲解a2－b2的特点：是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差如：x2－16=（x）2－42=（x+4）（x－4）.9 m 2－4n2=（3 m）2－（2n）2=（3 m +2n）（3 m－2n）3.例题讲解例1、把下列各式分解因式：（1）25－16x2;（2）9a2－b2.例2、把下列各式分解因式:（1）9（m+n）2－（m－n）2; （2）2x3－8x.补充例题判断下列分解因式是否正确.（1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2.（2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）•（a2－1）.Ⅲ.课堂练习1、P49随堂练习2、补充练习分解因式（1）36（x+y）2－49（x－y）2; （2）（x－1）+b2（1－x）;（3）（x2+x+1）2－1.Ⅳ.课时小结①分解时先看是否有公因式，再考虑平方差公式②分解时一定要分解完整彻底。
Ⅴ.课后作业Ⅵ.活动与探究把（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc分解因式●备课资料把下列各式分解因式：（1）49x2－121y2; （2）－25a2+16b2; （3）144a2b2－0.81c2; （4）－36x2+y2; （5）（a－b）2－1; （6）9x2－（2y+z）2; （7）（2m－n）2－（m－2n）2; （8）49（2a－3b）2－9（a+b）2.。
北师大版八年级数学下册运用公式法(一)课件
1、提出问题 问题：什么样的多项式能用平方差公式分解因式呢？
整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。 这种分解因式的方法称为运用公式法。
说一说 找特征
（１）公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）
被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并 且能写成（ ）２－（ ）２的情势。
(2) 公式右边: （是分解因式的结果）
分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的 差的情势。
(二)探究新知 问题２：对照平方差公式分解因式:
m²- 16= m²- 4²=( m + 4)( m - 4) a²- b²= ( a + b)( a - b )
4x²- 9y²=(2x)²-(3y)²=(2x+3y)(2x-3y)
试一试 写一写
下列多项式能转化成（ ）２－（ ）２的情势吗？如果 能，请将其转化成（ ）２－（ ）２的情势。
(1) m2 －81 = m2 －92 (2) 1 －16b2 = 12－(4b)2 (3) 4m2+9 不能转化为平方差情势
(4) a2x2 －25y 2 ＝ (ax)2 －(5y)2 (5) －x2 －25y2 不能转化为平方差情势
哪种方法好？
提示： 第一提取公因式， 然后考虑用公式， 最终必是连乘式。
巩固练习 A
巩固练习 C
拓展练习
把下列各式分解因式：
（四）课堂小结 能说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？
1、因式分解的一个重要工具—平方差公式 2、我们在进行因式分解时应注意的问题
第一提取公因式 然后考虑用公式 最终必是连乘式
第二章 因式分解
3 运用公式法（一）
(一)引入新课 1.如果一个多项式的各
八年级数学下册 第二章 2.3运用公式法学案(1)(无答案) 北师大版
§2.3运用公式法 （1）【学习目标】能运用平方差公式进行分解因式，充分了解平方差公式的特征。
【学习重点】掌握运用平方差公式分解因式【学前准备】1.写出分解因式的定义：2.什么叫提取公因式法3.提公因式法与单项式乘多项式有什么关系？4.运用提公因式法分解因式：（1） ab a 842+ （2） 23212x x +-（3） ()()y x b y x a +++343 （4） ()()x y n y x m 222---（5） )(3)(22x y y x -+- （6） 32)(2)(5m n n m ---【师生探究合作交流】1.在多项式的乘法运算中()()__________=-+b a b a ，左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过就是： ____=()()b a b a -+，左边是一个多项式，右边是整式的乘积．大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？_____________2.公式()()b a b a b a -+=-22的特点是： ①等号的左边是一个多项式，②这个多项式的每一项都能写成平方的形式，如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.特别提醒：公式中的字母a 和b 既可以代表一个单项式，也可以表示一个多项式。
3．例题例1、分解因式：（1） 9-4x 2解：9-4x 2 =( 3 2)-( 2)=(3+ )(3- ) (2) 2291x a -解：2291x a -=( 2)-( x 312)=( +x 31)( -x 31)(3) 12+-x解：12+-x =1-2x =( 2)-( 2) =( )( )(4)b m b a 22-解：例2、分解因式：(1) ()()229b a b a --+ (2) a a 823-解： 解：(3) ()()22c b a b a +--+ (4) ()222y x x --解： 解：【议一议】判断下列分解因式是否正确，若错误请改正．（1）222222)(c b ab a c b a -++=-+（2）)1)(1(1)(122224-+=-=-a a a a你用了______分钟（真棒！）【小试牛刀】1.课本第1题写在书上2.把下列各式分解因式：① 222m b a - ② 241x +-③ ()()221--+x y x ④ 14-a⑤ ()()22c b a c b +--+ ⑥ 4416a x +-★3.如图，在一块边长为acm 的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为bcm 的正方形，求剩余部分的面积。
《公式法 第1课时》 示范公开课教学设计【部编北师大版八年级数学下册
《公式法第1课时》示范公开课教学设计【部编北师大版八年级数学下册公式法第1课时示范公开课教学设计【部编北师大版八年级数学下册】今天我们将进行一堂关于公式法的数学课，这是数学下册的第一节课，我们将通过本节课的学习，掌握公式的定义、运用以及解决实际问题的能力。
在课程结束时，我们将能够熟练地运用公式法解决各种数学问题。
一、引入（Introduction）在开始学习公式法之前，我们先思考一个问题：当给你一个正方形的边长，你能否快速地计算出该正方形的面积？或者，当给你一个矩形的长和宽，你能否迅速计算出该矩形的面积？在学习公式法之后，我们将能够通过简单的公式来快速解决这些问题。
二、公式的定义和运用（Definition and Application of Formulas）2.1 公式的定义公式是数学中广泛使用的一种工具，它通过代数表达式的形式来表示数学关系。
使用公式可以帮助我们更加方便地计算各种数学问题。
公式通常包括一些已知量和一些待定量，并通过运算符号进行计算。
2.2 公式的运用我们在数学问题中经常会遇到需要使用公式进行计算的情况。
例如，计算一个三角形的面积时，我们可以使用三角形面积公式：面积 = 底边 ×高 ÷ 2。
这样，我们只需要知道三角形的底边和高，就能快速计算出它的面积。
三、公式法的应用（Application of Formulae）3.1 三角形面积公式的运用让我们通过一个实例来展示三角形面积公式的运用。
请大家观察下图：[此处插入一幅三角形的示意图]如果我们已知这个三角形的底边长为5cm，高为4cm，我们可以使用三角形面积公式进行计算。
根据公式，我们可以得到：面积 = 5 × 4 ÷ 2 = 10cm²这样，我们就得到了这个三角形的面积。
3.2 矩形面积公式的运用接下来让我们看一个使用矩形面积公式的例子。
请大家观察下图：[此处插入一幅矩形的示意图]已知这个矩形的长为6cm，宽为3cm，我们可以使用矩形面积公式进行计算。
《公式法》第1课时示范公开课教案【八年级数学下册北师大版】
《公式法》教学设计第1课时一、教学目标1.能够理解并熟练运用平方差公式分解因式，体会转化思想.2.能够综合运用提公因式法、平方差公式法分解因式.3.经历通过整式乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2的逆向变形得出公式法因式分解的方法的过程，发展逆向思维和推理能力.4.通过对平方差公式特点的辨析过程，培养观察、理解、概括和应用能力、语言表达能力.二、教学重难点重点：理解并熟练运用平方差公式分解因式.难点：能够综合运用提公因式法、平方差公式法分解因式.三、教学用具多媒体等.四、教学过程设计【探究】教师活动：通过观察x2-25，9x2-y2入手，体验这些多项式所具有的平方差的特征，再对比乘法公式，得到因式分解的平方差公式.计算下列各式:(1)(x+5)(x-5)= ________ ,(2)(3x+y)(3x-y)= ________.预设答案：（1）x2-25；（2）9x2-y2根据上面算式填空:(1) x2-25=_____________,(2)9x2-y2=_____________.预设：（1）(x+5)(x-5)；（2）(3x+y)(3x-y).提问：你有什么发现呢？预设答案：前两个形如(a+b)(a-b)=a2-b2，是整式的乘法，后两个形如a2-b2=(a+b)(a-b)，是因式分解.而且它们是左右调换的.【归纳】平方差公式:两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.【想一想】平方差公式有什么特点？预设答案：左边：只有两项，两个数的平方差的形式；右边：两数的和与差的积追问：什么样的形式的多项式才可以套用平方差公式来进行因式分解呢？预设答案：符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成:( )2-( )2的形式. (两数是平方，减号在中央)【做一做】观察下面的拼图过程，验证平方差公式是否正确？预设答案：a2-b2=(a+b)(a-b)，是正确的.分析：(1)把9(m+n)2看成是a2,(m-n)2看成是b2，从而公式中的a为3（m+n）,b为m-n,再套用平方差公式.（2）有公因式2x需先提出来，剩下的x²-4，再套用平方差公式.解：（1）原式=[3(m+n)]²-（m-n)²=[3（m+n）+（m-n）][3（m+n）-（m-n）]=[3m+3n+m-n][3m+3n-m+n]=(4m+2n)(2m+4n)=4(2m+n)](m+2n)注意：分解要彻底！a²-b²=(a + b)(a-b)中的a，b 可以表示数、单项式，也可以是多项式.（2）原式=2x3-8x=2x（x²-4）=2x（x²-2²）=2x（x-2）(x+2)注意：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止.【随堂练习】教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.把下列各式分解因式：(1)16a2-9b2=______；(2)(a+b)2-(a-b)2=______；(3) 2x3-8=_________；(4)-a4+16=_______.答案：(1)(4a+3b)(4a-3b) ；(2)4ab；(3)2(x+2)(x-2) ；(4)(4+a2)(2+a)(2-a)．2.多项式4a-a³分解因式的结果是( )A.a(4-a²)B. a(2-a)(2+a)C. a(a-2)(a+2)D. a(2-a)²答案：B3.如图，在一块边长为a cm的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b cm的正方形，求剩余部分的面积.如果a=3.6，b=0.8呢？解：a2-4b2=(a+2b)(a-2b)所以剩余部分的面积为(a+2b)(a-2b )cm²当a=3.6，b=0.8时，(a+2b)(a-2b )=(3.6+2×0.8)(3.6-2×0.8)=(3.6+1.6)(3.6-1.6)=5.2×2=10.4(cm²)4.利用因式分解进行简便计算：(1)1012－992；(2)53.52×4－46.52×4.解：(1)1012－992=(101+99)(101－99)=400；(2)53.52×4－46.52×4.＝4×(53.52－46.52)＝ 4 ×(53.5＋46.5)(53.5－46.5)＝4×100×7＝2800.以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容:教科书第100页习题4.4第2、3题.。
北师大版八年级下数学2.3运用公式法(教案)
2.3运用公式法教学目的和要求: 经历通过整式乘法的平方差公式、完全平方公式逆向得出用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力；运用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数） 教学重点和难点：重点：发展学生的逆向思维和推理能力难点：能够理解、归纳因式分解变形的特点，同时也可以充分感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性.快速反应：1.分解因式：①x 2-y 2= ; x 2-4= ;②a 2b 2-2ab+1= ;412+-a a = ; 2. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( ) A ．16a 2-25b 3 B ．-16a 2-25b 2 C ．16a 2+25b 2 D ．-(16a 2-25b 2)3. 下列各式不能用完全平方公式分解的是( )A ．x 2+y 2+2xyB ．-x 2+y 2+2xyC ．-x 2-y 2-2xyD ．-x 2-y 2+2xy4. 把下列各式分解因式：(1)9a2m2-16b2n2; (2)22144425b a -; (3)9(a+b )2-12(a+b )+4 (4)2241ay axy ax +- 自主学习：1. (1)观察多项式x 2-25.9x-y 2,它们有什么共同特证？(2)将它们分别写成两个因式的乘积，说明你的理由，并与同伴交流。
答案：(1)多项式的各项都能写成平方的形式。
如x 2-25中：x 2本身是平方的形式，25=52也是平方的形式；9x-y 2也是如此。
(2)逆用乘法公式(a+b )(a-b )=a 2-b 2,可知x 2-25= x 2-52=(x+5)(x-5),9x 2-y 2=(3x )2-y 2=(3x+y )(3x-y ).2. 把乘法方式(a+b )2=a 2+2ab+b 2, (a-b )2=a 2-2ab+b 2,反过来，就得到 a 2+2ab+b 2=(a+b )2， a 2-2ab+b 2=(a-b )2 上面这个变化过程是分解因式吗？说明你的理由。
八年级数学下册 2.3.1 运用公式法(一)教案 北师大版
2.3.1 运用公式法（一）教案知识与技能目标：1．使学生了解运用公式法分解因式的意义。
2．使学生掌握用平方差公式分解因式。
3．使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式。
过程与方法目标：1．通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力。
2．训练学生对平方差公式的运用能力。
情感态度与价值观目标：1．在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识。
2．同时让学生了解换元的思想方法。
教学重点让学生掌握运用平方差公式分解因式．教学难点将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力．教学方法师生共同讨论法.教师引导，主要由学生分组讨论得出结果.教具准备教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式．如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法．Ⅱ.讲授新课1．请看乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2（1）左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是a2－b2＝(a＋b)(a－b)（2）左边是一个多项式，右边是整式的乘积．判断，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？2．公式讲解观察式子a2－b2，找出它的特点．是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差．如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积．如x2－16＝(x)2－42＝(x＋4)(x－4)；9m2－4n2＝(3m)2－(2n)2＝(3m＋2n)(3m－2n)。
北师大版八年级数学下册2.3_运用公式法
大埔县中学教案2012年3月2日3周星期五课题2.3运用公式法（第1教时）教学目标知识目标经历通过整式乘法的平方差、完全平方公式逆向得出公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维。
能力目标会用公式法（直接用公式不出两次）分解因式（指数是正整数）情感目标会用公式法（直接用公式不出两次）分解因式（指数是正整数）教学重点用公式法（直接用公式不出两次）分解因式（指数是正整数）教学难点用公式法（直接用公式不出两次）分解因式（指数是正整数）主要教法情景教学，多媒体法教学媒体多媒体教学过程第一课时1.创设情景，导出问题(1)观察多项式x 2-25，9x 2-y 2,它们有什么共同特征？（这是对平方差公式的再认识，通过整式乘法的逆变形得到分解因式的方法，让学生进一步感受到整式乘法与分解因式的互逆关系。
）(2)将它们分别写成两个因式的乘积，说明你的理由，并与同伴交流。
（让学生充分交流，加深对这种方法的理解。
）2.探索交流，概括概念讨论：（1）多项式的各项都能写成平方的形式。
如x 2-25中：x 2本身是平方的形式，25=52也是平方的形式；9x 2-y 2也是如此。
（2）逆用乘法公式(a+b )(a-b )=a 2-b 2,可知x 2-25=x 2-52=(x+5)(x-5),9x 2-y 2=(3x )2-y 2=(3x+y )(3x-y ).所以我们可以借助乘法公式(a+b )(a-b )=a 2-b 2的逆过程得到乘法公式a 2-b 2=(a+b )(a-b )3.巩固应用，拓展研究例1把下列各式分解因式：（直接利用平方差公式分解因式，让学生体会公式中的a，b 在此例中分别是什么）提问：a 2-b 2=(a+b )(a-b )中a ，b 都表示单项式吗？它们可以是多项式吗？例2把下列各式分解因式：(1)9(m+n )2-(m-n )2;(2)2x 3-8x;解(1)9(m+n )2-(m-n )2=4(2m+n )(m+2n )（进一步让学生理解平方差公式中的字母a，b 不仅可以表示数，而且可以表示其他代数式。
北师大版八年级数学下册2.3运用公式法教案
第四、五课时：2.3运用公式法教学目标：1、知识与技能目标：（1）使学生了解运用公式法分解因式的意义；（2）会用平方差公式、完全平方公式进行因式分解；（3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式、完全平方公式分解因式．2、过程与方法：（1）发展学生的观察能力和逆向思维能力；（2）培养学生对两个公式的运用能力．3、情感与态度目标：在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法．教学重点：会用平方差公式、完全平方公式进行因式分解教学难点：采用适当公式第四课时教学过程：第一环节创设情境引入新课填空：（1）（x+3）（x–3）= ；（2）（4x+y）（4x–y）= ；（3）（1+2x）（1–2x）= ；（4）（3m+2n）（3m–2n）= ．根据上面式子填空：（1）9m2–4n2= ；（2）16x2–y2= ；（3）x 2–9= ；（4）1–4x 2= ．第二环节 探究新知问题1：观察上述第二组式子的左边有什么共同特征？把它们写成乘积形式以后又有什么共同特征？结论：a 2–b 2=（a+b ）（a –b ）问题2：把下列各式因式分解：（1）25–16x 2 （2）9a 2–241b注意事项:学生对含有分数的平方差公式应用起来有一定的困难，有的学生由于受解方程的影响，习惯首先去分母，再因式分解，这是很多学生经常犯的一个错误．问题3：将下列各式因式分解：（1）9（x –y ）2–（x +y ）2 （2）2x 3–8x注意事项：在教师的引导下，学生能逐步理解平方差公式中的a 与b 不仅可以表示单项式，也可以表示多项式．第三环节： 随堂练习55页练习1、2、3第四环节：课堂小结问题：从今天的课程中，你学到了哪些知识？需要注意什么？注意事项：学生认识到了以下事实：（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；（3）平方差公式中的a 与b 既可以是单项式，又可以是多项式；第五环节：布置作业A 组：创新设计 教材：56页1、2、3B组：创新设计教材56页1、2C组：创新设计教材56页1板书设计：第五课时教学过程：第一环节复习提问填空：（1）（a+b）（a-b）= ；（2）（a+b）2= ；（3）（a–b）2= ；根据上面式子填空：（1）a2–b2= ；（2）a2–2ab+b2= ；（3）a2+2ab+b2= ；第二环节探究新知活动1、结论：形如a2+2ab+b2与a2–2ab+b2的式子称为完全平方式．活动2、观察下列哪些式子是完全平方式？如果是，请将它们进行因式分解．（1）x2–4y2（2）x2+4xy–4y2（3）4m2–6mn+9n2（4）m2+6mn+9n2结论：找完全平方式可以紧扣下列口诀：首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中央；完全平方式可以进行因式分解，活动3、把下列各式因式分解：（1）x 2–4x +4 （2）9a 2+6ab +b 2（3）m 2–9132+m （4）()()1682++++n m n m 活动目的：(1)培养学生对完全平方公式的应用能力；（2）让学生理解在完全平方公式中的a 与b 不仅可以表示单项式，也可以表示多项式．注意事项：学生对第（3）小题含有分数的完全平方公式应用起来有一定的困难，有的学生由于受解方程的影响，习惯首先去分母，再因式分解，这是很多学生经常犯的一个错误．活动4、将下列各式因式分解：（1）3ax 2+6axy +3ay 2 （2）–x 2–4y 2+4xy活动目的：使学生清楚地了解提公因式法（包括提取负号）是分解因式首先考虑的方法，再考虑用完全平方公式分解因式．注意事项：在综合应用提公因式法和公式法分解因式时,一般按以下两步完成：（1）有公因式，先提公因式；（2）再用公式法进行因式分解.第三环节： 随堂练习58页练习1、2、第四环节：课堂小结问题：从今天的课程中，你学到了哪些知识？需要注意什么？注意事项：1）有公因式则先提取公因式；（2）整式乘法的完全平方公式与因式分解的完全平方公式是互逆关系；（3）完全平方公式中的a 与b 既可以是单项式，又可以是多项式；第五环节：布置作业A 组：创新设计 教材：60页1、2、3 、4B组：创新设计教材60页1、2 C组：创新设计教材60页1板书设计：教学反思。
初中数学(北师大版)八年级-《运用公式法》教案(课件免费下载)
运用公式法一、教材分析：《运用公式法——平方差公式》是北师版《数学》八年级（下）第二章分解因式的第三节内容。
分解因式是整式乘法的逆运用，与整式乘法运算有着密切的联系。
分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，也为学习分式，利用因式分解解一元二次方程奠定基础，对整个教科书也起到了承上启下的作用。
探索分解因式的方法，实际上是对整式乘法的再认识，因此要借助学生已有的整式乘法运算的基础，给学生创设一个新的、具有启发性的情境，激励学生通过独立思考与讨论交流发现问题情境中的变形关系，并运用数学符号进行表示，然后再运用所学的知识去解决相关的问题。
同时也可以充分感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性。
二、教学目标：（一）知识与技能目标：会用平方差公式进行因式分解，并进一步感受整式乘法与分解因式的互逆关系。
使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式．（二）过程与方法目标：经历通过平方差公式逆向运算的推导得出用公式分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和观察能力。
培养学生对平方差公式的运用能力．（三）情感与态度目标：学生通过自己的实践去领悟、分析、总结技能技巧，树立学习的自信心；培养学生逆向思考问题的习惯与应用意识。
三、重难点分析：1、重点：掌握公式法中的平方差公式进行分解因式。
2、难点：灵活地运用公式法或已学过的提公因式法进行分解因式，正确判断因式分解的彻底性。
3、关键：把握住分解因式的方法如提公因式、公式法等，在对多项式进行分解因式时，首先应考虑提公因式，而且应该提取彻底。
四、教法分析：我以探究体验的教学法为主，为学生创造一个良好的学习情境，通过学生的自主探究，合作交流、加深对公式的理解。
创设具体的问题情境，运用电教手段进行必要的动态演示，用活动紧扣对平方差公式的感知，让学生动脑、动手、动口，积极参与教学全过程。
五、教学评价：教学评价是教学活动的重要环节，评价的目的是全面考察学生的学习状况，激励学生的学习热情，促进学生的全面发展。
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第四课时●课题§2.3.1 运用公式法（一）●教学目标（一）教学知识点1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；2.使学生掌握用平方差公式分解因式.3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式.（二）能力训练要求1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力.2.训练学生对平方差公式的运用能力.（三）情感与价值观要求在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法.●教学重点让学生掌握运用平方差公式分解因式.●教学难点将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力.●教学方法引导自学法●教具准备投影片两张第一张（记作§2.3.1 A）第二张（记作§2.3.1 B）●教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课［师］在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式.如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法.Ⅱ.新课讲解［师］1.请看乘法公式（a+b）（a－b）=a2－b2（1）左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是a2－b2=（a+b）（a－b）（2）左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？［生］符合因式分解的定义，因此是因式分解.［师］对，是利用平方差公式进行的因式分解.第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式.2.公式讲解［师］请大家观察式子a2－b2,找出它的特点.［生］是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差.［师］如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.如x 2－16=（x ）2－42=（x +4）（x －4）.9 m 2－4n 2=（3 m ）2－（2n ）2=（3 m +2n ）（3 m －2n ）3.例题讲解［例1］把下列各式分解因式：（1）25－16x 2;（2）9a 2－41b 2. 解：（1）25－16x 2=52－（4x ）2=（5+4x ）（5－4x ）;（2）9a 2－41 b 2=（3a ）2－（21b ）2 =（3a +21b ）（3a －21b ）. ［例2］把下列各式分解因式:（1）9（m +n ）2－（m －n ）2;（2）2x 3－8x .解：（1）9（m +n ）2－（m －n ）2=［3（m +n ）］2－（m －n ）2=［3（m +n ）+（m －n ）］［3（m +n ）－（m －n ）］=（3 m +3n + m －n ）（3 m +3n －m +n ）=（4 m +2n ）（2 m +4n ）=4（2 m +n ）（m +2n ）（2）2x 3－8x =2x （x 2－4）=2x （x +2）（x －2）说明：例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法.补充例题本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式，但（1）中还是多项式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进行因式分解.（2）不正确.错误原因是因式分解不到底，因为a 2－1还能继续分解成（a +1）（a －1）.应为a 4－1=（a 2+1）（a 2－1）=（a 2+1）（a +1）（a －1）.Ⅲ.课堂练习（一）随堂练习1.判断正误解：（1）x 2+y 2=（x +y ）（x －y ）;（×）（2）x 2－y 2=（x +y ）（x －y ）;（√）（3）－x 2+y 2=（－x +y ）（－x －y ）;（×）（4）－x2－y2=－（x+y）（x－y）.（×）2.把下列各式分解因式解：（1）a2b2－m2=（ab）2－m2=（ab+ m）（ab－m）;（2）（m－a）2－（n+b）2=［（m－a）+（n+b）］［（m－a）－（n+b）］=（m－a+n+b）（m－a－n－b）;（3）x2－（a+b－c）2=［x+（a+b－c）］［x－（a+b－c）］=（x+a+b－c）（x－a－b+c）;（4）－16x4+81y4=（9y2）2－（4x2）2=（9y2+4x2）（9y2－4x2）=（9y2+4x2）（3y+2x）（3y－2x）3.解：S剩余=a2－4b2.当a=3.6,b=0.8时，S剩余=3.62－4×0.82=3.62－1.62=5.2×2=10.4（cm2）答：剩余部分的面积为10.4 cm2.（二）补充练习我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法.如果多项式各项含有公因式，则第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行.第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止.Ⅴ.课后作业习题2.41.解：（1）a2－81=（a+9）（a－9）;（2）36－x2=（6+x）（6－x）;（3）1－16b2=1－（4b）2=（1+4b）（1－4b）;（4）m2－9n2=（m +3n）（m－3n）;（5）0.25q 2－121p 2=（0.5q +11p ）（0.5q －11p ）;（6）169x 2－4y 2=（13x +2y ）（13x －2y ）;（7）9a 2p 2－b 2q 2=（3ap +bq ）（3ap －bq ）;（8）449a 2－x 2y 2=（27a +xy ）（27 a －xy ）; 2.解：（1）（m +n ）2－n 2=（m +n +n ）（m +n －n ）= m （m +2n ）;（2）49（a －b ）2－16（a +b ）2=［7（a －b ）］2－［4（a +b ）］2=［7（a －b ）+4（a +b ）］［7（a －b ）－4（a +b ）］=（7a －7b +4a +4b ）（7a －7b －4a －4b ）=（11a －3b ）（3a －11b ）;（3）（2x +y ）2－（x +2y ）2=［（2x +y ）+（x +2y ）］［（2x +y ）－（x +2y ）］=（3x +3y ）（x －y ）=3（x +y ）（x －y ）;（4）（x 2+y 2）－x 2y 2=（x 2+y 2+xy ）（x 2+y 2－xy ）;（5）3ax 2－3ay 4=3a （x 2－y 4）=3a （x +y 2）（x －y 2）（6）p 4－1=（p 2+1）（p 2－1）=（p 2+1）（p +1）（p －1）.3.解：S 环形=πR 2－πr 2=π（R 2－r 2）=π（R +r ）（R －r ）当R =8.45,r =3.45，π=3.14时，S 环形=3.14×（8.45+3.45）（8.45－3.45）=3.14×11.9×5=186.83（cm 2）答：两圆所围成的环形的面积为186.83 cm 2.Ⅵ.活动与探究把（a +b +c ）（bc +ca +ab ）－abc 分解因式解：（a +b +c ）（bc +ca +ab ）－abc=［a +（b +c ）］［bc +a （b +c ）］－abc=abc +a 2（b +c ）+bc （b +c ）+a （b +c ）2－abc=a 2（b +c ）+bc （b +c ）+a （b +c ）2=（b +c ）［a 2+bc +a （b +c ）］=（b +c ）［a 2+bc +ab +ac ］=（b +c ）［a （a +b ）+c （a +b ）］=（b +c ）（a +b ）（a +c ）参考练习把下列各式分解因式：（1）49x 2－121y 2;（2）－25a 2+16b 2;（3）144a 2b 2－0.81c 2;（4）－36x 2+6449y 2;（5）（a －b ）2－1;（6）9x 2－（2y +z ）2;（7）（2m －n ）2－（m －2n ）2;（8）49（2a －3b ）2－9（a +b ）2.解：（1）49x 2－121y 2=（7x +11y ）（7x －11y ）;（2）－25a 2+16b 2=（4b ）2－（5a ）2=（4b +5a ）（4b －5a ）;（3）144a 2b 2－0.81c 2=（12ab +0.9c ）（12ab －0.9c ）;（4）－36x 2+6449y 2=（87y ）2－（6x ）2=（87y +6x ）（87y －6x ）;（5）（a －b ）2－1=（a －b +1）（a －b －1）;（6）9x 2－（2y +z ）2=［3x +（2y +z ）］［3x －（2y +z ）］=（3x +2y +z ）（3x －2y －z ）;（7）（2m －n ）2－（m －2n ）2=［（2 m －n ）+（m －2n ）］［（2 m －n ）－（m －2n ）］ =（3 m －3n ）（m +n ）=3（m －n ）（m +n ）（8）49（2a －3b ）2－9（a +b ）2=［7（2a －3b ）］2－［3（a +b ）］2=［7（2a －3b ）+3（a +b ）］［7（2a －3b ）－3（a +b ）］ =（14a －21b +3a +3b ）（14a －21b －3a －3b ） =（17a －18b ）（11a －24b ）。