相位拼接闭合条纹干涉图处理技术
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傅里叶变换法受成像器件分辨率的限制， 线性载 频不能无限提高。 在被测波面含有较大像差或高度非 球面的情况下， 需要引入很高的线性载频才能使条纹 开放， 难以实现， 此时必须处理包含闭合条纹的干涉 图。 目前，针对单幅闭合条纹干涉图的技术主要有：规 则 化 相 位 追 踪 法 [4]、 希 尔 伯 特 变 换 法 [5]、 坐 标 变 换 法 [6] 等，这些方法各有优缺点。
面的相位取反号 ，就可得到原始 波面[1]，如图 1(d)所示。
w
w
这可以视为将 φv 和-φv 各一半相位进行拼接，即：
≥w
w
φ≥
≥≥ e
（x,y)=φv
（x,y),
y≥0
≥
(4)
φ≥
≥
w
≥
≥e
（x
,
y)=-φ
w v
（
x,y),
y＜0
图 1 相位恢复过程 Fig.1 Phases retrieving
而一幅带有圆载频的干涉图可以写成如下形式：
2
I（x,y)=a+bcosk[Dr -W（x,y)]=
a+ b
2
exp{ik[Dr -W（x,y)]}+
2
b
2
exp{-ik[Dr -W（x,y)]}
(1)
2
式 中 ：a、b 分 别 为 干 涉 图 背 景 和 对 比 度 ；k=2π/λ；W（x,y)
为被测波面。 对公式(1)进行傅里叶变换和 y 方向的
676
红外与激光工程
w
拼接后的相位 φe (图 1(e))是原始相位的包裹，相 位解包后即得到原始相位。
但 是 ，采 用 参 考 文 献 [1] 中 方 法 重 构 的 波 面 ， 存 在 很 大的局部误差。 将解包后的相位与原始相位 面 φ0（x,y) 相减得到残差分布，其结果如图 2 所示，可以看出，误 差分布主要集中在 y=0 附近区域， 这是半侧滤波时产 生的吉伯斯效应造成的。 吉伯斯效应使信号在截止频 率附近产生振荡， 相位的符号突变位于相位面驻点(0 频)处，而 0 频正是半侧滤波的截止频率，因此，这一区 域的相位值失真，使相位拼接处附近存在较大误差。
Abstract: When the closed fringe interferogram was demodulated by 2D Fourier transform method, there was sign discontinuity in the retrieved phase. An algorithm was proposed to correct the signs, in which four phases with sign discontinuity were obtained by a pair of orthogonal low pass filters and the parts with right signs were stitched to achieve the right phase. By using this strategy, the phase distortion zone where the sign discontinuity happened was avoided. To achieve more accurate result, a suitable filter window was chosen and the phase around the central zone of the circular fringes was processed by an extra low pass filtering. Three teams of typical simulated interferograms which contained spherical aberration, astigmatism and coma were processed by this method with the demodulated accuracy better than λ/50. It is also applied to analyze a real interferogram, and the result is in good agreement with that tested by the Zygo phase -shift interferometer. Key words: phase retrieval; optical testing; closed fringe; Fourier transform; phase stitching
低通滤波后，其频谱如图 1(b)所示。 对频谱进行逆变
换，得到：
Z軈 Re （ x , y ) + i Z軈 Im（ x , y ) =
b 2
2
cosk[Dr -W（x,y)]-
ib
2
sink[Dr -W（x,y)]
(2)
2
再进行波面重构，有：
w
φv
2
=k[Dr
-W（x,y)]=-arctan
Z軈軈
文中在通过傅里叶变换法和一对正交低通滤波 器得到 4 个包含符号突变的相位的基础上，根据此类 干涉图单调性变化的特点，从 4 个相位面上选择符号 连续、无失真的部分进行拼接，直接得到完整的相位
1 原理和算法
闭合条纹干涉图可以通过引入一定离焦量，即加入
圆载频，使其成为相 位 单 极 值 的 状 态 ，如 图 1(a)所 示[1]。
≥w
来自百度文库
w
φ≥
≥≥ e
（x,y)=φh
（x,y),
x≥0
≥
(5)
φ≥
≥
w
≥
≥e
w
（x,y)=-φh
（x,y),
x＜0
其符号突变位置发生在附近区域，显然这里有相位
w
w
失真。 现在使用 4 个含突变的相位面 φv （x,y)、φh （x,y)、
w
w
-φv （x,y)、-φh （x,y)进行相位拼接：
≥w
w
φ≥
≥ ≥
e
（x,y)=φv
（x,y),
{y-y0 ≥x-x0 }∩{y-y0 ≥-x+x0 }
≥
≥w
w
φ≥
≥≥ e
（x,y)=-φv
（x,y),
{y-y0 ＜x-x0 }∩{y-y0 ＜-x+x0 }
∩
(6)
≥w
w
φ≥
≥ ≥
e
（x,y)=φh
（x,y),
{y-y0 ＞x-x0 }∩{y-y0 ＜-x+x0 }
≥
≥w
w
φ≥≥
≥
e
（x,y)=-φh
（x,y),
{y-y0 ＜x-x0 }∩{y-y0 ＞-x+x0 }
式 中 ：（x0,y0)为 相 位 拼 接 中 心 ，它 应 与 条 纹 圆 心 重 合 ， 这 里 x0=y0=0。 公 式(6)所 示 的 相 位 拼 接 方 法 如 图 3 所 示， 由于避开了相位符号突变的 x=0 和 y=0 区域，因 此 ， 相 对 于 参 考 文 献 [1] 的 方 法 ， 改 进 后 的 方 法 计 算 误 差明显减小。
摘 要： 二维傅里叶变换法处理闭合条纹干涉图时，解调的相位含有符号突变。 为矫正符号偏差，提出 一种算法，通过一对正交的半侧低通滤波器得到 4 个含有符号突变的相位面，将其中符号正确的部分进 行拼接以得到正确的相位分布。 该方法计算量小，并且能有效避开符号突变位置的相位失真区域；选择 了合适的滤波窗，并对干涉条纹圆心附近区域的相位进行单独低通滤波处理，使计算精度进一步提高。 在 算 法 的 仿 真 实 验 中 ，处 理 了 球 差 、像 散 、彗 差 3 组 典 型 的 仿 真 干 涉 图 ，解 调 精 度 可 优 于 λ/50；对 实 际 干 涉图进行了分析处理，并与 Zygo 移相干涉仪测试结果进行了比对，结果吻合较好。 关键词： 相位恢复； 光学测量； 闭合条纹； 傅里叶变换； 相位拼接 中 图 分 类 号 ： O436.1 文 献 标 志 码 ： A 文 章 编 号 ： 1007-2276(2011)04-0674-06
收 稿 日 期 ：2010-07-15 ； 修 订 日 期 ：2010-09-05 基 金 项 目 ： 江 苏 省 “ 六 大 人 才 高 峰 ” 项 目 (06-E-030) ； 教 育 部 博 士 点 基 金 (20070288010) ； 兵 器 预 研 支 撑 基 金 (62301110116) 作 者 简 介 ： 李 博 (1985-) ， 男 ， 博 士 生 ， 主 要 研 究 方 向 为 光 学 测 试 技 术 。 Email:libonjust@hotmail.com 导 师 简 介 ： 陈 磊 (1964-) ， 男 ， 研 究 员 ， 博 士 生 导 师 ， 主 要 研 究 方 向 为 光 学 测 试 技 术 。 Email:chenleiy@126.com
軈 軈 軈 軈
Z軈軈
軈軈 軈
Re（x,y) Im（x,y)
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(3)
w
此时得到的重构相位 φv 如图 1(c)所示，其仅在+y
半平面内等于原始相位面， 而在-y 半平面内则为其共
轭。 而共轭波面与原始波面的幅值相等， 只是符号相
反。 因此，重构的相位含有符号突变，但只要令-y 半平
Processing technology for closed fringe interferogram using phase stitching
Li Bo1, Chen Lei1, Bian Jiang2, Wang Jun1
(1. School of Electronic Engineering and Photoelectric Technology, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China; 2. The Institute of Optics and Electronics, The Chinese Academy of Sciences, Chengdu 610209, China)
第4期
李 博等：相位拼接闭合条纹干涉图处理技术
675
0引言
分布。 采用该方法处理仿真干涉图和实际干涉图的结 果表明，其具有较高的相位求解精度和计算速度。
在干涉测量中，为从单幅干涉图中求取被测波面 相位，可以引入线性载频使干涉条纹开放，之后采用 傅 里 叶 变 换 法 进 行 处 理[1]。 如 果 干 涉 条 纹 的 数 据 分 布 是 非 矩 形 的 ，还 需 要 进 行 数 据 延 拓 的 预 处 理[2-3]。
第 40 卷
图 2 误差分布 Fig.2 Diagram of error distribution
文中对此做出了改进，即在图 1(b)所示垂直方向的
半侧滤波以外， 再对频谱进行水平方向的半侧滤波，
w
并 按公式(3)计算得到含有符号突变的包裹相位 φh （x,y)
w
及其相反相位-φh （x,y)。 与公式(4)相似：
此外，还有一种方法是对被测波面引入一定离焦 量，得到含有圆载频的干涉图，并通过傅里叶变换法 解调相位。 由于解调相位含有符号突变，必须使用各 种 策 略 来 识 别 并 矫 正 符 号 偏 差 [1]，主 要 有 ：(1) 使 用 一 对移相干涉图粗略地计算出移相值，并根据移相值的 正 负 来 矫 正 相 位 符 号[7]。 (2) 根 据 相 位 变 化 的 连 续 性 ， 通 过 比 较 局 部 波 面 微 分 值 识 别 相 位 符 号[8]。 (3) 通 过 判 定 局 部 开 放 条 纹 的 方 向 角 来 矫 正 相 位 符 号[9]。 这 些 策略中，第一种无法从单幅干涉图中求解相位，实用 性受到限制；后两种方法的特点是能够求解相位有多 个极值（峰值或谷值）的复杂闭合条纹干涉图，然而光 学测量中遇到的闭合条纹干涉图，其包含的相位有相 当一部分只有单个极值，或者容易通过引入圆载频成 为单极值的状态，对于此类闭合条纹图，可以使用更 加简捷的方法求解相位。
第 40 卷第 4 期 Vol.40 No.4
红外与激光工程 Infrared and Laser Engineering
2011 年 4 月 Apr. 2011
相位拼接闭合条纹干涉图处理技术
李 博 1，陈 磊 1，边 疆 2，王 军 1
（1. 南 京 理 工 大 学 电 子 工 程 与 光 电 技 术 学 院 ，江 苏 南 京 210094； 2. 中 国 科 学 院 光 电 技 术 研 究 所 ，四 川 成 都 610209）
面的相位取反号 ，就可得到原始 波面[1]，如图 1(d)所示。
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这可以视为将 φv 和-φv 各一半相位进行拼接，即：
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φ≥
≥≥ e
（x,y)=φv
（x,y),
y≥0
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(4)
φ≥
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（x
,
y)=-φ
w v
（
x,y),
y＜0
图 1 相位恢复过程 Fig.1 Phases retrieving
而一幅带有圆载频的干涉图可以写成如下形式：
2
I（x,y)=a+bcosk[Dr -W（x,y)]=
a+ b
2
exp{ik[Dr -W（x,y)]}+
2
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exp{-ik[Dr -W（x,y)]}
(1)
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式 中 ：a、b 分 别 为 干 涉 图 背 景 和 对 比 度 ；k=2π/λ；W（x,y)
为被测波面。 对公式(1)进行傅里叶变换和 y 方向的
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红外与激光工程
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拼接后的相位 φe (图 1(e))是原始相位的包裹，相 位解包后即得到原始相位。
但 是 ，采 用 参 考 文 献 [1] 中 方 法 重 构 的 波 面 ， 存 在 很 大的局部误差。 将解包后的相位与原始相位 面 φ0（x,y) 相减得到残差分布，其结果如图 2 所示，可以看出，误 差分布主要集中在 y=0 附近区域， 这是半侧滤波时产 生的吉伯斯效应造成的。 吉伯斯效应使信号在截止频 率附近产生振荡， 相位的符号突变位于相位面驻点(0 频)处，而 0 频正是半侧滤波的截止频率，因此，这一区 域的相位值失真，使相位拼接处附近存在较大误差。
Abstract: When the closed fringe interferogram was demodulated by 2D Fourier transform method, there was sign discontinuity in the retrieved phase. An algorithm was proposed to correct the signs, in which four phases with sign discontinuity were obtained by a pair of orthogonal low pass filters and the parts with right signs were stitched to achieve the right phase. By using this strategy, the phase distortion zone where the sign discontinuity happened was avoided. To achieve more accurate result, a suitable filter window was chosen and the phase around the central zone of the circular fringes was processed by an extra low pass filtering. Three teams of typical simulated interferograms which contained spherical aberration, astigmatism and coma were processed by this method with the demodulated accuracy better than λ/50. It is also applied to analyze a real interferogram, and the result is in good agreement with that tested by the Zygo phase -shift interferometer. Key words: phase retrieval; optical testing; closed fringe; Fourier transform; phase stitching
低通滤波后，其频谱如图 1(b)所示。 对频谱进行逆变
换，得到：
Z軈 Re （ x , y ) + i Z軈 Im（ x , y ) =
b 2
2
cosk[Dr -W（x,y)]-
ib
2
sink[Dr -W（x,y)]
(2)
2
再进行波面重构，有：
w
φv
2
=k[Dr
-W（x,y)]=-arctan
Z軈軈
文中在通过傅里叶变换法和一对正交低通滤波 器得到 4 个包含符号突变的相位的基础上，根据此类 干涉图单调性变化的特点，从 4 个相位面上选择符号 连续、无失真的部分进行拼接，直接得到完整的相位
1 原理和算法
闭合条纹干涉图可以通过引入一定离焦量，即加入
圆载频，使其成为相 位 单 极 值 的 状 态 ，如 图 1(a)所 示[1]。
≥w
来自百度文库
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φ≥
≥≥ e
（x,y)=φh
（x,y),
x≥0
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（x,y)=-φh
（x,y),
x＜0
其符号突变位置发生在附近区域，显然这里有相位
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失真。 现在使用 4 个含突变的相位面 φv （x,y)、φh （x,y)、
w
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-φv （x,y)、-φh （x,y)进行相位拼接：
≥w
w
φ≥
≥ ≥
e
（x,y)=φv
（x,y),
{y-y0 ≥x-x0 }∩{y-y0 ≥-x+x0 }
≥
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≥≥ e
（x,y)=-φv
（x,y),
{y-y0 ＜x-x0 }∩{y-y0 ＜-x+x0 }
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(6)
≥w
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φ≥
≥ ≥
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（x,y)=φh
（x,y),
{y-y0 ＞x-x0 }∩{y-y0 ＜-x+x0 }
≥
≥w
w
φ≥≥
≥
e
（x,y)=-φh
（x,y),
{y-y0 ＜x-x0 }∩{y-y0 ＞-x+x0 }
式 中 ：（x0,y0)为 相 位 拼 接 中 心 ，它 应 与 条 纹 圆 心 重 合 ， 这 里 x0=y0=0。 公 式(6)所 示 的 相 位 拼 接 方 法 如 图 3 所 示， 由于避开了相位符号突变的 x=0 和 y=0 区域，因 此 ， 相 对 于 参 考 文 献 [1] 的 方 法 ， 改 进 后 的 方 法 计 算 误 差明显减小。
摘 要： 二维傅里叶变换法处理闭合条纹干涉图时，解调的相位含有符号突变。 为矫正符号偏差，提出 一种算法，通过一对正交的半侧低通滤波器得到 4 个含有符号突变的相位面，将其中符号正确的部分进 行拼接以得到正确的相位分布。 该方法计算量小，并且能有效避开符号突变位置的相位失真区域；选择 了合适的滤波窗，并对干涉条纹圆心附近区域的相位进行单独低通滤波处理，使计算精度进一步提高。 在 算 法 的 仿 真 实 验 中 ，处 理 了 球 差 、像 散 、彗 差 3 组 典 型 的 仿 真 干 涉 图 ，解 调 精 度 可 优 于 λ/50；对 实 际 干 涉图进行了分析处理，并与 Zygo 移相干涉仪测试结果进行了比对，结果吻合较好。 关键词： 相位恢复； 光学测量； 闭合条纹； 傅里叶变换； 相位拼接 中 图 分 类 号 ： O436.1 文 献 标 志 码 ： A 文 章 编 号 ： 1007-2276(2011)04-0674-06
收 稿 日 期 ：2010-07-15 ； 修 订 日 期 ：2010-09-05 基 金 项 目 ： 江 苏 省 “ 六 大 人 才 高 峰 ” 项 目 (06-E-030) ； 教 育 部 博 士 点 基 金 (20070288010) ； 兵 器 预 研 支 撑 基 金 (62301110116) 作 者 简 介 ： 李 博 (1985-) ， 男 ， 博 士 生 ， 主 要 研 究 方 向 为 光 学 测 试 技 术 。 Email:libonjust@hotmail.com 导 师 简 介 ： 陈 磊 (1964-) ， 男 ， 研 究 员 ， 博 士 生 导 师 ， 主 要 研 究 方 向 为 光 学 测 试 技 术 。 Email:chenleiy@126.com
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軈 軈 軈 軈 軈 軈 軈軈 軈
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此时得到的重构相位 φv 如图 1(c)所示，其仅在+y
半平面内等于原始相位面， 而在-y 半平面内则为其共
轭。 而共轭波面与原始波面的幅值相等， 只是符号相
反。 因此，重构的相位含有符号突变，但只要令-y 半平
Processing technology for closed fringe interferogram using phase stitching
Li Bo1, Chen Lei1, Bian Jiang2, Wang Jun1
(1. School of Electronic Engineering and Photoelectric Technology, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China; 2. The Institute of Optics and Electronics, The Chinese Academy of Sciences, Chengdu 610209, China)
第4期
李 博等：相位拼接闭合条纹干涉图处理技术
675
0引言
分布。 采用该方法处理仿真干涉图和实际干涉图的结 果表明，其具有较高的相位求解精度和计算速度。
在干涉测量中，为从单幅干涉图中求取被测波面 相位，可以引入线性载频使干涉条纹开放，之后采用 傅 里 叶 变 换 法 进 行 处 理[1]。 如 果 干 涉 条 纹 的 数 据 分 布 是 非 矩 形 的 ，还 需 要 进 行 数 据 延 拓 的 预 处 理[2-3]。
第 40 卷
图 2 误差分布 Fig.2 Diagram of error distribution
文中对此做出了改进，即在图 1(b)所示垂直方向的
半侧滤波以外， 再对频谱进行水平方向的半侧滤波，
w
并 按公式(3)计算得到含有符号突变的包裹相位 φh （x,y)
w
及其相反相位-φh （x,y)。 与公式(4)相似：
此外，还有一种方法是对被测波面引入一定离焦 量，得到含有圆载频的干涉图，并通过傅里叶变换法 解调相位。 由于解调相位含有符号突变，必须使用各 种 策 略 来 识 别 并 矫 正 符 号 偏 差 [1]，主 要 有 ：(1) 使 用 一 对移相干涉图粗略地计算出移相值，并根据移相值的 正 负 来 矫 正 相 位 符 号[7]。 (2) 根 据 相 位 变 化 的 连 续 性 ， 通 过 比 较 局 部 波 面 微 分 值 识 别 相 位 符 号[8]。 (3) 通 过 判 定 局 部 开 放 条 纹 的 方 向 角 来 矫 正 相 位 符 号[9]。 这 些 策略中，第一种无法从单幅干涉图中求解相位，实用 性受到限制；后两种方法的特点是能够求解相位有多 个极值（峰值或谷值）的复杂闭合条纹干涉图，然而光 学测量中遇到的闭合条纹干涉图，其包含的相位有相 当一部分只有单个极值，或者容易通过引入圆载频成 为单极值的状态，对于此类闭合条纹图，可以使用更 加简捷的方法求解相位。
第 40 卷第 4 期 Vol.40 No.4
红外与激光工程 Infrared and Laser Engineering
2011 年 4 月 Apr. 2011
相位拼接闭合条纹干涉图处理技术
李 博 1，陈 磊 1，边 疆 2，王 军 1
（1. 南 京 理 工 大 学 电 子 工 程 与 光 电 技 术 学 院 ，江 苏 南 京 210094； 2. 中 国 科 学 院 光 电 技 术 研 究 所 ，四 川 成 都 610209）