高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积汽车行驶的路程教学案新人教A版选修2

定来自百度文库
值，即为曲边梯形的面积．
3．求变速直线运动的位移 ( 路程 )
如果物体作变速直线运动，速度函数为
v＝ v( t ) ，那么也可以采 用 分割、近似代替、
求和、取极限 的方法，求出它在 a≤t ≤ b 内所作的位移 s.
1 / 14
[ 点睛 ] 当 n→＋∞时，所得梯形的面积不是近似值，而是真实值． [ 小试身手 ]
i
＝
1,2,3
，…， n) ．
③求和．
3 / 14
因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以 形面积的和就是曲边梯形 ABCD面积 S的近似值，
n 个小矩
n
n
即 S＝ Δ Si ≈
i ＝1
i ＝1
n＋ i － 1
1
n 3 ·n .
④取极限． 当分点数目越多，即
Δ x 越小时，和式的值就越接近曲边梯形
)
i ＝1
A． ( x1＋1) ＋ ( x5＋ 1)
B． x1＋x2 ＋x3＋ x4＋ x5＋ 1
C． x1＋x2 ＋x3＋ x4＋ x5＋ 5
D．( x1＋ 1)( x2＋1) …（x5＋1)
解析：选
5
C
( xi ＋ 1) ＝ ( x1＋ 1) ＋ ( x2＋ 1) ＋ ( x3＋ 1) ＋ ( x4＋ 1) ＋ ( x5＋ 1) ＝ x1＋ x2＋
＝ 1 [ n( n－ 1) 3 ＋ 3( n－ 1) 2· n
n＋ 1
＋ 3( n－1) ·
n ·（n＋
1
) ·(2
n＋ 1)
＋ 1 n2(
n＋
n4
2
6
4
1) 2 ] ，
所以 S＝
n n＋ i －1 3 1
n
·n
i ＝1
3
1 15
＝ 1＋ ＋ 1＋ ＝ .
2
44
求变速运动的路程
[ 典例 ] 一辆汽车作变速直线运动，设汽车在时间
D.
i ，i ＋1 nn
C． [ i － 1， i ]
解析：选 B 把区间 [1,2] 等分成 n 个小区间后，每个小区间的长度为
1 n，且第 i 个小
区间的左端点不小于 1，排除 A、 D； C 显然错误；故选 B.
5．函数
f ( x) ＝ x2 在区间
i －1 i ，
上(
)
nn
A．f ( x) 的值变化很小
小曲边梯形 ( 如
图② ) ；
② 近似代替：对每个小曲边梯形 “ 以直代曲 ” ，即用 矩形 的面积近似代替小曲边梯形
的面积，得到每个小曲边梯形面积的 近似值 ( 如图 ②) ；
③ 求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值
求和 ；
④ 取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个
5 i －1
5 750 i － 1 2 20
Δ si ＝ 6
n
2＋4 ·n＝
n3
＋ n.
(3) 求和
5 / 14
每个小时间段内的路程之和为
n 750 Sn＝
i ＝1
i －1 n3
2 20 ＋ n
750 ＝ [0
2＋ 12＋ 22＋…＋
(
n－ 1) 2]
＋ 20
n3
750 1 ＝ n3 · 6( n－ 1) n(2 n－ 1) ＋ 20
n＋ 1 n＋ 1 n＋2
分成 n 个小区间 1， n
，
，
n
n
，
n＋ i － 1 n＋ i
…，
n ， n ，…，
n＋ n－ 1
n＋ i n＋ i － 1 1
n
， 2 ，每个小 区间的长度为 Δ x＝ n － n ＝ n ( i ＝ 1,2,3 ，…，
n) ．过各分点作 x 轴的垂线，把曲边梯形 作 Δ S1，Δ S2，…，Δ Sn.
＝
125 (2
n2
n2－
3n＋
1)
＋
20.
(4) 取极限 当 n→∞时， Sn 的极限值就是所求质点运动的路程，
125 s＝ li n→m∞ Sn＝ li n→m∞ n2 2n2－ 3n＋ 1 ＋ 20 ＝ 270，
即质点运动的路程为 270 m.
层级一 学业水平达标
5
1．和式
( xi ＋1) 可表示为 (
1．判断 ( 正确的打“√”，错误的打“×”）
(1) 求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路程．
()
(2)
当
n
很大时，函数
f ( x) ＝ x2 在 区 间
i －1 i n ，n
上的 值，只能 用
i n
2 近似代
替． ( )
4
(3) mi ＝ i 2， mi ＝ 30.(
)
i ＝1
答案： (1) × (2) × (3) √
S.
∴①正确，②③④错误，故应选 A.
3．在 “近似代替 ” 中，函数 f ( x) 在区间 [ xi ， xi ＋ 1] 上的近似值等于 (
)
A．只能是左端点的函数值 f ( xi )
B．只能是右端点的函数值 f ( xi ＋1 ) C．可以是该区间内任一点的函数值 f ( ξi )( ξi ∈ [ xi ，xi ＋ 1])
选 D.
图形的面积时，若将区间 [0,1] 5 等分，如图所示，以小区间中点的纵
坐标为高，则所有矩形的面积之和为 __________．
1 解析： S＝ 5×
9
7
5
3
1
＝ 0.33. 2 10 ＋ 2 10 ＋2 10 ＋2 10 ＋ 2 10
7 / 14
答案： 0.33 7 ． 由 直 线 x ＝ 0 ， x ＝ 1 ， y ＝ 0 和 曲 线 y ＝ x2 ＋ 2x 围 成 的 图 形 的 面 积 为
i ＝1
x3＋ x4＋x5＋ 5.
2．在求由 x ＝ a， x＝ b( a<b) ， y＝ f ( x)( f ( x) ≥0) 及 y ＝ 0 围成的曲边梯形的面积 S
时，在区间 [ a， b] 上等间隔地插入 n－ 1 个分点，分别过这些分点作 x 轴的垂线，把曲边
梯形分成 n 个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是 ( )
① n 个小曲边梯形的面积和等于 S；
② n 个小曲边梯形的面积和小于 S；
③ n 个小曲边梯形的面积和大于 S；
④ n 个小曲边梯形的面积和与 S 之间的大小关系无法确定
6 / 14
B．2 个 D．4 个
A． 1 个
C． 3 个
解析：选 A n 个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为
ABCD分割成 n 个小曲边梯形，它们的面积分别记
②近似代替． 各小区间的左端点为
ξi ，取以点 ξi 的纵坐标 ξ3i 为一边，以小区间长
1 Δ x＝ n为其邻
边的小矩形面积，近似代替小曲边梯形面积．第
i 个小曲边梯形面积，可以近似地表示为
ΔSi ≈ ξ 3i ·Δ x＝
n＋ i － 1 n
3·
1 n(
8 n n＋ 1 2n＋ 1
4 31
＝ n3·
6
＋ 2＝ 3 2＋n＋ n2 ＋ 2.
(3) 取极限： S＝
Sn＝
4 31 3 2＋n＋ n2 ＋2
14
14
＝ 3 ，即所求曲边梯形的面积为
. 3
求曲边梯形面积
(1) 思想：以直代曲．
(2) 步骤：分割→近似代替→求和→取极限． (3) 关键：近似代替．
(4) 结果：分割越细，面积越精确．
[ 活学活用 ] 求由直线 x＝ 1， x＝ 2， y＝ 0 及曲线 y＝ x3 所围成的图形的面积．
1 提示： 13＋ 23＋…＋ n3＝ 2n n＋ 1 2
解：①分割．
n＋ 1 n＋ 2
n＋ n－ 1
如图所示，用分点 n ， n ，…，
n
，把区间 [1,2] 等
D．以上答案均不正确
解析：选 C 由求曲边梯形面积的“近似代替”知， C 正确，故应选 C.
1 4．在求由函数 y＝ x与直线 x＝ 1， x＝ 2， y＝ 0 所围成的平面图形的面积时，把区间
[1,2] 等分成 n 个小区间，则第 i 个小区间为 ( )
n＋i － 1 n＋i
B.
n ，n
i －1 i A. n ， n
________________ ．
1 解析：将区间 [0,1] n 等分，每个区间长度为 n，区间右端点函数值
y＝
i n
2＋
2·
i n＝
i2 n2
2i ＋.
n
n 作和 Sn ＝
曲”“逼近”的思想求解．求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变 速直线运动的时间区间．
[ 活学活用 ] 已知一质点的运动速度为
v(
t
)
＝6t
2
＋ 4(
单位：
m/s)
，求质点开始运动后
5 s 内通过
的路程． 解： (1) 分割
在时间区间 [0,5] 上等间隔地插入 n－ 1 个点，将区间等分成
式
12＋ 22＋…＋
n2＝
1 6n(
n＋
1)(2
n＋ 1)]
．
[ 解 ] 令 f ( x) ＝ x2＋ 1.
(1) 分割：将区间 [0,2] n 等分，分点依次为
2
4
2 n－ 1
x0＝ 0， x1＝n， x2＝ n，…， xn－1＝
n
， xn＝2.
第 i 个区间为
2i
－ n
2 ，
2i n
( i ＝ 1,2 ，…， n) ，
2i 2i － 2 2
每个区间长度为
Δx＝ n －
n
＝
. n
2i (2) 近似代替、求和：取 ξi ＝ n ( i ＝ 1,2 ，…， n) ，
n 2i
n
Sn＝ f n ·Δ x＝
2i
2
n 2＋1 ·n
i ＝1
i ＝1
2 / 14
8 ＝
n
i 2＋ 2＝
8 (1
2＋ 22＋…＋
n2) ＋2
n3
n3
i＝1
n 故路程和 sn＝ s i .
i ＝1
n＋ i －1 (2) 近似代替： ξi ＝ n ( i ＝ 1,2 ，…， n) ，
4 / 14
n＋ i － 1
Δ si ≈ v
n
·Δ t ＝6·
n n＋ i － 1
2· 1 n
6n ＝
n＋ i － 1 2
6n
≈ n＋ i － 1
n＋ i ( i ＝ 1,2,3 ，…， n) ．
间 I 上的 连续 函数．
2．曲边梯形的面积
(1) 曲边梯形：由直线 x＝ a， x＝ b( a≠ b) ， y＝0 和曲线 y＝ f ( x) 所围成的图形称为曲
边梯形 ( 如图① ) ．
(2) 求曲边梯形面积的方法与步骤：
① 分割：把区间 [ a， b] 分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些
B．f ( x) 的值变化很大
C． f ( x) 的值不变化 D．当 n 很大时， f ( x) 的值变化很小
i －1 i
1
解析：选 D 当 n 很大时，区间 n ， n 的长度 n越来越小， f ( x) 的值变化很小，故
6. 求由抛物线 f ( x) ＝ x2，直线 x＝0， x＝ 1 以及 x 轴所围成的平面
1．5.1&1.5.2 曲边梯形的面积 汽车行驶的路程
预习课本 P38～ 44，思考并完成下列问题 (1) 连续函数与曲边梯形的概念分别是什么？ (2) 曲边梯形的面积和汽车行驶路程的求解步骤是什么？
[ 新知初探 ]
1．连续函数
如果函数 y＝ f ( x) 在某个区间 I 上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区
ABCD 的面积 S. 因此
n→∞，即 Δ x→０时，和式的极限，就是所求的曲边梯形 ABCD的面积．
n 因为
n＋i － 1 1 n 3· n
i ＝1
1 ＝
n ( n＋ i － 1) 3
n4
i＝1
1 ＝
n [( n－ 1) 3＋ 3( n－ 1) 2i ＋ 3( n－ 1) i 2＋i 3]
n4
i＝1
5 n 个小区间 0，n ，
5 10
5 i － 1 5i
5n－ 5
n， n ，…，
n
， n ，…， n ， 5 ，
5 i － 1 5i
其中，第 i (1 ≤ i ≤ n) 个小区间为
n
，n ，
5i 5 i － 1 5
其区间长度为 n －
n
＝ n，
每个小时间段内的路程记为 s1， s2，…， sn.
(2) 近似代替 根据题意可得第 i (1 ≤ i ≤n) 个小时间段内的路程为
n
6n
(3) 求和： sn＝
n＋i －1 n＋i
i ＝1
11
1
1
11
＝ 6n n－ n＋ 1＋ n＋ 1－n＋ 2＋…＋ 2n－ 1－2n
11 ＝ 6n n－ 2n .
11 (4) 取极限： s＝li n→m∞ sn＝ li n→m∞ 6 n － ＝ 3.
n 2n
求变速直线运动路程的方法
求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代
6 t 的速度 v( t ) ＝ t2 ，求汽车在 t ＝
1 到 t ＝ 2 这段时间内运动的路程 s.
n＋i －1 n＋i
[ 解 ] (1) 分割：把区间 [1,2] 等分成 n 个小区间
n ， n ( i ＝ 1,2 ，…， n) ，
1 每个区间的长度 Δ t ＝ ，每个时间段行驶的路程记为
n
Δ si ( i ＝ 1,2 ，…， n) ．
2．将区间 [1,3] 进行 10 等分需插入 ________个分点，第三个区间是 __ ______． 答案： 9 [1.4,1.6]
3．做直线运动的物体的速度 v＝ 2t (m/s) ，则物体在前 3 s 内行驶的路程为 ________
m. 答案： 9
求曲边梯形的面积
[ 典例 ] 求直线 x＝ 0， x＝2， y＝ 0 与曲线 y＝ x2＋1 所围成的曲边梯形的面积 [ 参考公