计量经济学-第21章 时间序列计量经济学基础Ⅰ--平稳性、单位跟与协整

如果 Yt 满足 Yt Yt1 a ut
其中a是常数，ut 是平稳的，比如 E(ut ) 0,var(ut ) 2 ，
则这样的 Yt 过程叫做DSP
可见一个平稳时间序列可以用一个TS过程作为它的 模型，而一个非平稳时间序列则代表一个DS过程
对于存在随机趋势的时间序列的关系的分析需要做 协整以及非平稳性检验
在做PCE对PDI的回归时可以加进趋势变量t，消去PCE和PDI的时间趋 势。
当时我们曾经强调，只有当趋势变量是确定性的（deterministic），而不 是随机（stochastic）时，才可以这样做。
如果一个时间序列有一个单位根，则不能使用加进趋势变量t的方法来去 除趋势。
趋势平稳过程（trend-stationary process，简记为TSP），在下面的回归 中：
考虑一下模型
（21.3.4）
其中 ut 是均值为零，恒定方差且序列不相关的随 机误差项，即 ut 是white noise。
这是一个一阶自回归模型，Yt-1的系数为1，｛Yt｝ 序列存在一个单位根。也就是说,｛Yt｝是一个非 平稳序列。
有一个单位根的时间序列叫做随机游走（时间序 列）。随机游走（random walk）是非平稳时间 序列的一个例子。
其中，n—样本容量，m—滞后长度 Q近似地（即在大样本中）服从m个自由度的
分布。
则拒绝全部 同时为零的虚拟 假设。也就是说，至少有一个（或一些） 是非零的。
设。
则不拒绝全部 为零的虚拟假
杨—博克斯（Ljung Box）构造的统计量是对博克 斯—皮尔斯（Box-Pierce）Q统计量的一种改进。
LB统计量比Q统计量具有更好的小样本性质。 图21.8中的例子，基于25期滞后的Q统计量为793， LB统计量为891，两者都是高度显著的，得到 值的P值几乎为零。
第21章 时间序列计量经济学基础Ⅰ 平稳性、单位根与协整
Time Series Economics Ⅰ
Stationary, Unit Roots and Cointegration
§21.1 选看一些美国经济的时间序列
只强调一点：在做时间序列分析时，第一步的工作是 看一看数据的图形，获得一个总体上，概貌上的映像。 P794-795
因为
所以 的95%的置信区间为（-1.96*0.1066，1.96*0.11066）
即k （-0.2089，0.2089）
图21.8中左边的两条虚线就代表这个95%的置信区间。
的联合假设检验（joint hypothesis test） H0：全部 同时为零。 使用博克斯（Box）和皮尔斯（Pierce）推演出来的 Q的统计量（Q statistic）做检验。
有。
这就是所谓的“不能把孩子和洗澡水一起泼 掉”理论。
而许多经济理论都是以变量之间的水平形 式而不是一阶差分形式给出的。
21.10 不平稳时间序列的转换
为了避免伪回归,我们不能把一个不平稳时间序列对另一个 或多个不平稳时间序列回归。
如何转换一个不平稳时间序列呢？ 这取决于它是 DSP (difference stationary process) 还是 TSP(trend stationary process) 对于DSP， 比如：U.S. GDP time series
21.6 单整随机过程
上式也可以表示成
或 返回
其中 因此，现在的虚拟假设是
如果 真的为零，（21.9.2）可以写为：
这说明，一个随机游走时间序列的一阶差分是一个平 稳的时间序列。
如果一个时间序列经过一次差分就变成平稳的，我们 说原始序列是一阶求积（Integrated of order 1）（或一阶 求和，也称一阶单整），记为I(1)。
如果PEC和PDI之间存在协整关系，则PCE对PDI的回归 就不是伪回归，通常的 t 检验和 F 检验仍然是有效的。
Granger曾说过：“可以认为协整检验是避免出现‘谬误 回 归’的一个预验”。
尽管PCE和PDI都是非平稳序列，但是它们的线性组合却有可能是平稳 的。PCE对PDI回归可得：
PCEt 1 + 2PDIt + ut ut PCEt 1 2PDIt
correlogram）
P809图21.6展示了滞后30个时间的相关图。P810图21.7。 巴特利特（Bartlett）曾经表明，如果一个时间序列是纯随机的，
即它是白噪声（white noise）时，它的样本自相关系数近似 地服从均值为零，方差为1/n的正态分布，n为样本容量。 例如，图21.8中的n=88，方差=1/88， 标准误差=
Granger和Newbold曾经提出如下的检验规则：当 R2时，d 新估计的回归就有谬误回归的嫌疑。
DF检验：分别做PCEt对 PCEt1和t的回归 以及 PDIt 对 PDIt1 和 t 的回归，得
PCEt 91.7110 0.7704t 0.0432PCEt1 t= （1.6358）（1.2983）（-1.3276）
如果一个时间序列在变成平稳之前必须经过二次差 分，我们说原始序列是二阶求积（Integrated of order 1），记为I(2)。
一般地，如果一个时间序列需要经过d次差分，则 它是d阶求积的，或I(d)。也称d阶单整。
d=0， I(0)代表一个平稳的时间序列。
§21.8 平稳性检验
自相关函数（autocorrelation function，简写为ACF）是检 验时间序列是否平稳的一个简单的度量方法。滞后k的 ACF记作 k
计算的 值的绝对值 >DF临界值的绝对
值，则拒绝
，即所给时间序列是
平稳的。
计算的 值的绝对值 值，则不拒绝
<DF临界值的绝对DF检验时，也常常将回归形式 进行各种变形，比如：
Yt是随机游走
带漂移 带漂移和确定性趋势
其中后两个回归分别加进了截距和趋势变量，
PDIt 326.2089 2.8834t 0.1579PDIt1
t= （2.7368） （2.5243） （-2.5751）
这里，我们关注的是 PCEt1 和 PDIt1 的 t 值。 在1%、5%或10%的水平下， Mackinnon计算的
DF临界值分别为-4.0673、-3.4620、-3.1570。
严平稳过程：分布“平稳”
随机时间序列Yt有以下性质：
均值 方差 自协方差
其中, 即滞后k的协方差，也称为自协方差，它是Yt 和 Yt+k ，也就是相差k期的两个Y之间的协方差。 K=0，自协方差就是方差。
如果一个时间序列是平稳的，则不管在什么时间测量， 它的均值、方差和自协方差都保持不变。
非平稳随机过程：
平稳随机过程（stationary stochastic process ）: 如果一个随机过程的均值和方差在时间过程上都是常
数，并且在任何时候两时期之间的协方差值仅依赖于该两 时期间的距离或滞后，而不依赖于计算这个斜方差的实际 时间，就称之为平稳随机过程。
实际上，上述定义又被称为弱平稳随机过程（weekly stationary stochastic process）或宽平稳。
，即Y有一个单位根，或者说Y是非
例子：P818
谬误回归（ Spurious Regression）
假设做PCE对PDI的回归，得到以下的结果：
PCEt 171.4412 0.9672PDIt
t=（-7.4809）（119.8711） (*)
d=0.5316 R2 0.9940
这个回归的 R2 和t值都很大，但是d值显然没有通过 检验。
结论：并非GDP的全部 为零。 即 表21.1所给的GDP时间序列不是平稳的。
§21.9 单位根检验
能否用普通t检验的方法检验｛ Yt ｝是否平稳呢？比如检验
（21.4.1）中 是否等于1，或者检验（21.9.2）中的是
否等于0？
不能。因为存在序列相关。这样计算的 t 值即使在大样本中 也不遵从学生氏t分布。
可见，差分变化可以使之平稳。
对于TSP，比如Yt, 做它对时间t 的回归，就可以去掉 趋势：
宏观经济数据，一般都是DSP
21.11 协整 (Cointegration)
假设有两个时间序列，如P794的表21.1的PCE和PDI，它 们都是非平稳序列，如果它们表现出共同的趋势，形象的 说，就像两个在舞会上一直形影不离的舞伴，这种同步关系 就是协整（协积）时间序列（ cointegrated time series ）的直 观表现。
可见，PCE和PDI都有单位根，它们是非平稳的
因此，(*)式做的是非平稳时间序列对另一个非平 稳时间序列的回归。在这种情况下，标准的t检验和 F检验是无效的。
我们可以用DF检验证明， PCE和 PDI是平稳 的。那么，我们为什么不做 PCE对 PDI的回归 呢？
因为：尽管一阶差分后时间序列变得平稳，但如 果直接对这些时间序列做回归，就会失去一些有价 值的变量水平值给出的长期关系，因为原始序列充 分表明它们之间的经济关系，而差分平稳序列却没
假定 E(ut ) , E(ut )2 2 且各个 之间不相关。那么，序列｛Yt｝是一个随机 游走。如果 Yt Yt1 ut 令 从而有
一般地 因此
E(Yt ) E( ut ) t
var(Yt ) t 2
证明该式
证明：
21.4 单位根随机过程
如果我们做回归
样本自协方差 ˆk
(Yt Y )(Ytk Y ) n
样本方差
ˆ0
(Yt Y ) 2 n
样本自相关系数
ˆ k

ˆ k ˆ 0
（21.8.2） （21.8.3） （21.8.4）
其中n是样本容量，Y 是样本均值。