多元函数微分学习题课

第七章多元函数的微分学本章知识结构导图

§7.1 数学家的故事：笛卡尔

勒奈·笛卡尔（Rene Descartes）,1596年3月31日生于法国都兰城．笛卡尔是伟大的哲学家、物理学家、数学家、生理学家，解析几何的创始人，是欧洲近代资产阶级哲学的奠基人之一，黑格尔称他为“现代哲学之父”．笛卡儿堪称17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠

之一，被誉为“近代科学的始祖”．

笛卡尔最杰出的成就是在数学发展上

创立了解析

几何学．在笛卡儿时代，代数还是一个比较新的学科，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位．笛卡儿致力于代数和几何联系起来的研究，于1637年，在创立了坐标系后，成功地创立了解析几何学．他的这一成就为微积分的创立奠定了基础．解析几何直到现在仍是重要的数学方法之一．笛卡尔不仅提出了解析几何学的主要思想方法，还指明了其发展方向．他在《几何学》中，将逻辑，几何，代数方法结合起来，通过讨论作图问题，勾勒出解析几何的新方法，从此，数和形就走到了一起，数轴是数和形的第一次接触．解析几何的创立是数学史上一次划时代的转折．而平面直角坐标系的建立正是解析几何得以创立的基础．直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁，它使几何概念可以用代数形式来表示，几何图形也可以用代数形式来表示，于是代数和几何就这样合为一家人了．

轶事:蜘蛛织网和平面直角坐标系的创立

据说有一天，笛卡尔生病卧床，病情很重，尽管如此他还反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能把几何图形和代数方程结合起来，也就是说能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思

索，拼命琢磨，通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来．突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来．一会功夫，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝．蜘蛛的“表演”使笛卡尔的思路豁然开朗．他想，可以把蜘蛛看作一个点．他在屋子里可以上，下，左，右运动，能不能把蜘蛛的每一个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置就可以在这三根数轴上找到有顺序的三个数．反过来，任意给一组三个有顺序的数也可以在空间中找到一点P 与之对应，同样道理，用一组数(,)x y 可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组两个有顺序的数来表示，这就是坐标系的雏形．

§7.2 空间直角坐标系与向量的概念

一、空间直角坐标系

1.坐标系和坐标

坐标系：以O 为公共原点，作三条互相垂直的数轴Ox 轴(横轴)，Oy 轴（纵轴），

Oz 轴（竖轴）

，其中三条数轴符合右手规则．我们把点O 叫做坐标原点，数轴Ox ，Oy ，Oz 统称为坐标轴. xOy ，yOz ，zOx 三个坐标面．三个坐标面将空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限（如图7-2-1）

),,0(2z y ),0,(3z x y

点的坐标：设M 为空间中一点，过M 点作三个平面分别垂直于三条坐标轴，

它们与x 轴，y 轴，z 轴的交点依次为P ，Q ，R （图7-2-2），设P ，Q ，R 三点在三个坐标轴的坐标依次为x ,y ,z . 空间一点M 就唯一地确定了一个有序数组(,,)x y z ，称为M 的直角坐标，x 、y 、z 分别称为点M 的横坐标，纵坐标和竖坐标，记为(,,)M x y z .

2. 两点间的距离

设1111(,,)M x y z 、2222(,,)M x y z 为空间两点，可以证明:这两点间的距离为

12M M =.

特别地,点),,(z y x M 与原点)0,0,0(O 的距离为

222z y x OM ++=.

不难看出,上述两个公式是平面直角坐标系中两点间距离公式的推广.

二、向量的基本概念及坐标表示

1． 向量的概念

在日常生活中，我们经常会遇到两类不同的量，一类像距离、温度、体积、质量等，这一类量的共性是给出大小便可确定，我们称这种量为数量；而另一类如力、位移、速度、加速度等，这类量不仅要给出大小，还要给出它们的方向，才能确定下来，这种具有大小和方向的量称为向量．

图7.2

向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量（或称矢量）.

向量的表示：我们用有向线段来表示一个向量，其中，线段的方向表示向量的

方向；线段的长度表示向量的大小．若向量起点为A ，终点为B ，则记为AB .也可以用黑体字母表示向量，如a 、b 等．向量的大小又叫做向量的模，向量AB 的模用AB 来表示，而向量a 的模为a ．

模为1的向量称为单位向量．模为0的向量称为零向量,记作0．0的方向是任意

的．

与向量a 的模相等、方向相反的向量叫做a 的反向量(负向量),记作-a ．如果两个向量长度相等且方向也相同，就说这两个向量相等．于是一向量平行移动后仍与原向量相等．

注意，两个向量不能比较大小．

在坐标系中，以坐标原点O 为起点，向已知点M 引向量OM ，称之为点M 对于

点O 的向径．

2．向量的坐标表示

取坐标轴,,Ox Oy Oz 上以O 为起点的三个单位向量，分别记为,,i j k ，叫做基本单

位向量．设向量OM 的起点是坐标原点，而终点M 的坐标为(,,)x y z ，则OM x y z =++i j k , ,,x y z 是OM 在坐标轴上的投影.一般地，如果向量a 在x 轴，y 轴，z 轴上的投影依次为,,x y z ，则其在x 轴，y 轴，z 轴上的分向量为,,x y z i j k ，故有 x y z =++a i j k ，,,x y z 叫做a 的坐标，记为{},,x y z =a ．此时要注意向量与点的坐标区别．

习题7.2

1.在空间直角坐标系中，指出下列各点所在的卦限