拉格朗日配方法的具体步骤

得标准形
2 f = z1 − z 2 − z 2 , 2 3
所用可逆线性变换为 ⎧ x1 = z1 − z 2 − z 3 , ⎪ ⎨ x 2 = z1 + z 2 − z 3 , ⎪ x3 = z3 . ⎩
2 2 2 2 − x2 − x3 − 2x2 x3 + 2x2 + 5x3 + 6x2 x3
2 2 = ( x1 + x2 + x3 ) + x2 + 4x3 + 4x2 x3 2
= ( x1 + x2 + x3 ) + ( x2 + 2x3 ) .
2 2
⎧ y1 = x1 + x2 + x3 ⎪ 令 ⎨ y2 = x 2 + 2 x 3 ⎪y =x ⎩ 3 3
⎧ x1 = y1 − y2 + y3 ⎪ ⇒ ⎨ x 2 = y2 − 2 y3 ⎪x = y ⎩ 3 3
⎛ x1 ⎞ ⎛ 1 − 1 1 ⎞⎛ y1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⇔ ⎜ x 2 ⎟ = ⎜ 0 1 − 2 ⎟ ⎜ y2 ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜0 0 1 ⎠ ⎜ y3 ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎝
得
⎛ ⎛ y1 ⎞ ⎛ 1 0 1 ⎞⎛ z1 ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 即⎜ y 2 ⎟ = ⎜ 0 1 2 ⎟⎜ z 2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ y ⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟⎜ z ⎟ ⎟ ⎠⎝ 3 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 3⎠ ⎝
2 2 2 f = 2 z1 − 2 z 2 + 6 z 3 .
所用变换矩阵为
代入 f = 2 x1 x2 + 2 x1 x3 − 6 x2 x3 ,
得
2 2 f = 2 y 1 − 2 y 2 − 4 y1 y 3 + 8 y 2 y 3 .
再配方，得
2 f = 2( y1 − y3 ) − 2( y2 − 2 y3 ) + 6 y3 . 2 2
⎧ z1 = y1 − y3 ⎪ 令 ⎨ z 2 = y2 − 2 y 3 ⎪z = y ⎩ 3 3 ⎧ y1 = z1 + z3 ⎪ ⇒ ⎨ y2 = z2 + 2z3 , ⎪y =z ⎩ 3 3
2 2 2 ∴ f = x1 + 2 x2 + 5 x3 + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 6 x2 x3
= y +y .
2 1 2 2
所用变换矩阵为
⎛1 −1 1 ⎞ ⎟ ⎜ C = ⎜ 0 1 − 2 ⎟, ⎜0 0 1 ⎟ ⎠ ⎝
(C
= 1 ≠ 0 ).
例2 化二次型 f = 2 x1 x2 + 2 x1 x3 − 6 x2 x3
成标准形, 并求所用的变换矩阵 .
解 由于所给二次型中无平方项，所以 ⎧ x1 = y1 + y 2 ⎛ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 1 1 0 ⎞⎛ y1 ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎪ 令 ⎨ x 2 = y1 − y 2 , ⎜ 即⎜ x 2 ⎟ = ⎜ 1 − 1 0 ⎟⎜ y 2 ⎟ ⎟ ⎪x = y ⎜ ⎜ x ⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟⎜ y ⎟ ⎟ ⎩ 3 3 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 3⎠ ⎝
例1 化二次型
2 2 2 f = x1 + 2 x 2 + 5 x 3 + 2 x1 x 2 + 2 x1 x 3 + 6 x 2 x 3
为标准形 , 并求所用的变换矩阵 .
解
பைடு நூலகம்
含有 x1的项配方 含有平方项 2 2 2 f = x1 + 2 x2 + 5 x3 + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 6 x2 x3 2 2 2 = x1 + 2 x1 x 2 + 2 x1 x 3 + 2 x 2 + 5 x 3 + 6 x 2 x 3 2 = ( x1 + x2 + x3 ) 去掉配方后多出来的项
⎛ 1 1 0 ⎞⎛ 1 0 1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ C = ⎜ 1 − 1 0 ⎟⎜ 0 1 2 ⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟⎜ 0 0 1 ⎟ ⎠⎝ ⎠ ⎝ 3 ⎞ ⎛1 1 ⎟ ⎜ = ⎜ 1 − 1 − 1⎟. ⎜0 0 1 ⎟ ⎠ ⎝
(C
= −2 ≠ 0 ).
二、小结
将一个二次型化为标准形，可以用正交变换 法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法， 这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩 阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一 个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用． 正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就 班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二 次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而 比较简单．需要注意的是，使用不同的方法，所 得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项 数必定相同，项数等于所给二次型的秩．
思考题
化二次型 f ( x1 , x 2 , x 3 ) = x1 x 2 + x1 x 3 + x 2 x 3 为标准形 , 并写出所作的可逆线性 变换 .
思考题解答
解 由于所给二次型不含平 方项, 故令 ⎧ x1 = y1 − y 2 , ⎪ ⎨ x 2 = y1 + y 2 , ⎪ x =y , 3 ⎩ 3 2 2 2 有 f = ( y 1+ y 3) − y 2 − y 3 , ⎧ z1 = y1 + y 2 , ⎧ y1 = z1 − z 3 , ⎪ ⎪ 再令 ⎨ z 2 = y 2 , 或 ⎨ y2 = z2 , ⎪ z =y , ⎪ y =z , 3 ⎩ 3 ⎩ 3 3
一、拉格朗日配方法的具体步骤
用正交变换化二次型为标准形，其特点是保 持几何形状不变． 问题 有没有其它方法，也可以把二次型化 为标准形？ 问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法——拉格朗日配方法．
拉格朗日配方法的步骤 1. 若二次型含有 xi 的平方项，则先把含有 x i 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形; 2. 若二次型中不含有平方项，但是 a ij ≠ 0 ( i ≠ j ),则先作可逆线性变换 ⎧ x i = yi − y j ⎪ (k = 1,2, , n且k ≠ i , j ) ⎨ x j = yi + y j ⎪ x = y ⎩ k k 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方.