人教版九年级数学上册 圆 几何综合专题练习(解析版)

人教版九年级数学上册 圆 几何综合专题练习（解析版）

一、初三数学 圆易错题压轴题（难）

1．如图，二次函数y=x 2-2mx+8m 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边且OA≠OB ),交y 轴于点C ，且经过点（m ，9m ）,⊙E 过A 、B 、C 三点。

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）求点E 的坐标；

（3）过抛物线上一点P （点P 不与B 、C 重合）作PQ ⊥x 轴于点Q ，是否存在这样的点P 使△PBQ 和△BOC 相似？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由

【答案】（1）y=x 2+2x-8（2）（-1，-72）（3）（-8，40），（-154，-1316），（-174，-2516

） 【解析】

分析：（1）把(),9m m 代入解析式，得：22289m m m m -+=，解这个方程可求出m 的值；

（2）分别令y =0和x =0，求出OA ，OB ，O C 及AB 的长，过点E 作EG x ⊥轴于点G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ，AE ,设OF =GE =a ,根据AE CE = ，列方过程求出a 的值，从而求出点E 的坐标；

（3）设点P (a , a 2+2a -8)， 则228,2PQ a a BQ a =+-=-，然后分PBQ ∽CBO 时

和PBQ ∽BCO 时两种情况，列比例式求出a 的值，从而求出点P 的坐标.

详解：（1）把(),9m m 代入解析式，得：22289m m m m -+=

解得：121,0m m =-=（舍去）

∴228y x x =+-

（2）由（1）可得：228y x x =+-，当0y =时，124,2x x =-=;

∵点A 在点B 的左边 ∴42OA OB ，== ，

∴6AB OA OB =+=，

当0x =时，8y =-，

∴8OC =

过点E 作EG x ⊥轴于点G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ，

, 则116322

AG AB ==⨯= ，

设，则，

在Rt AGE ∆中，，

在中， ()222218CE EF CF a =+=+-，

∵AE CE = ，

∴()2

2918a a +=+- ， 解得：72

a = ， ∴712E ⎛

⎫-- ⎪⎝

⎭， ； （3）设点()2,28a a a P +-，

则2

28,2PQ a a BQ a =+-=-，

a.当PBQ ∆∽CBO ∆时， PQ CO BQ OB =，即228822

a a a +-=-， 解得：10a =（舍去）；

22a =（舍去）；38a =- ， ∴()18,40P - ；

b.当PBQ ∆∽BCO ∆时，

PQ BO BQ CO =，即228228

a a a +-=-， 解得：12a =（舍去），2154a =-

；3174a =- ， ∴21523,416P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；31725416P ⎛⎫- ⎪⎝⎭

， ； 综上所述，点P 的坐标为：()18,40P -，21523,416P ⎛⎫--

⎪⎝⎭，31725416P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 点睛：本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与坐标轴的交点，垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质和分类讨论的数学思想，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系、相似三角形的性质是解答本题的关键.

2．如图，已知直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA ＝OB ，CA ＝CB ，

（1）求证：直线AB 是⊙O 的切线；

（2）OA ，OB 分别交⊙O 于点D ，E ，AO 的延长线交⊙O 于点F ，若AB ＝4AD ，求sin ∠CFE 的值．

【答案】（1）见解析；（25 【解析】

【分析】 （1）根据等腰三角形性质得出OC ⊥AB ，根据切线的判定得出即可；

（2）连接OC 、DC ，证△ADC ∽△ACF ，求出AF=4x ，CF=2DC ，根据勾股定理求出35x ，DF=3x ，解直角三角形求出sin ∠AFC ，即可求出答案． 【详解】

（1）证明：连接OC ，如图1，

∵OA＝OB，AC＝BC，

∴OC⊥AB，

∵OC过O，

∴直线AB是⊙O的切线；

（2）解：连接OC、DC，如图2，

∵AB＝4AD，

∴设AD＝x，则AB＝4x，AC＝BC＝2x，∵DF为直径，

∴∠DCF＝90°，

∵OC⊥AB，

∴∠ACO＝∠DCF＝90°，

∴∠OCF＝∠ACD＝90°﹣∠DCO，

∵OF＝OC，

∴∠AFC＝∠OCF，

∴∠ACD＝∠AFC，

∵∠A＝∠A，

∴△ADC∽△ACF，

∴

1

22 AC AD DC x

AF AC CF x

====，

∴AF＝2AC＝4x，FC＝2DC，

∵AD＝x，

∴DF＝4x﹣x＝3x，

在Rt△DCF中，（3x）2＝DC2+（2DC）2，

解得：DC 35

x，

∵OA＝OB，AC＝BC，∴∠AOC＝∠BOC，

∴DC EC

=

，

∴∠CFE＝∠AFC，

∴sin∠CFE＝sin∠AFC＝DC

DF

＝

35

5

5

35

x

x

=

．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，解直角三角形，圆心角、弧、弦之间的关系，相似三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，难度偏大．

3．如图，△ABC内接于⊙O，点D在AB边上，CD与OB交于点E，∠ACD＝∠OBC；

（1）如图1，求证：CD⊥AB；

（2）如图2，当∠BAC＝∠OBC+∠BCD时，求证：BO平分∠ABC；

（3）如图3，在（2）的条件下，作OF⊥BC于点F，交CD于点G，作OH⊥CD于点H，连接FH并延长，交OB于点P，交AB边于点M．若OF＝3，MH＝5，求AC边的长．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AC＝48 5

【解析】

【分析】

（1）根据直径所对的圆周角是直角，得出∠FCB=90°，再根据“同弧所对的圆周角相等”得出∠A=∠F，再根据已知条件得∠3=90°，得CD⊥AB；

（2）延长BO交AC于K，由已知可得∠A=∠5，由∠A+∠2=90°得∠5+∠2=90°，根据三角形的内角和定理及外角定理得出∠9=∠1得出BO平分∠ABC；

（3）延长BO交AC于点K，延长CD交⊙O于点N，联结BN，由条件可得CH=NH，BF=CF，从而HF是△CBN的中位线，HF∥BN，得出∠OEH=∠EHM又由

∠OEH+∠EOH=∠EHM+∠OHP=90°可得HM=OB=5，在Rt△OBF中，根据勾股定理可得

BF=4，解出BC=8，sin∠OBC=3

5

，所以可得AC=2CK，CK=BC•sin∠OBC=

24

5

得

AC=48 5

.

【详解】

解：（1）如图1，令∠OBC＝∠1，∠ACD＝∠2