九年级二次函数综合复习

．如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12轴建立直角坐标系。

）直接写出点M及抛物线顶点P（2）求这条抛物线的解析式；

）若要搭建一个矩形“支撑架”AD，使C、D点在抛物线上，A，“支撑架”总长的最大值是多少？

知识点一 二次函数的概念

一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数。

)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

注意：（1）二次项系数a ≠0；（2）ax 2＋bx ＋c 必须是整式；（3）一次项可以为零，常数项也可以为零，一次项和常数项可以同时为零；（4）自变量x 的取值范围是全体实数。

知识点二 二次函数的图象 1、二次函数的图象是一条关于a

b

x 2-

=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 2、抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图象的画法（五点法）

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴。 （2）求抛物线c bx ax y ++=2

与坐标轴的交点：

当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象。

当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图象。

我来画一画

开口向上开口向下

直线x＝－b

2a直线x＝－

b

2a

，，

2．ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的解是抛物线与 交点的 。 知识点七 二次函数图象的平移

抛物线y ＝ax 2与y ＝a (x －h )2，y ＝ax 2＋k ，y ＝a (x －h )2＋k 中|a |相同，则图象的形状和大小都相同，只是位置的不同．它们之间的平移关系如下表：

三、基础自测

1．当m ＝__________时，函数y ＝()27

34m m x

－－＋是二次函数。

2．二次函数y ＝1

2(x －4)2＋5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（ ）

A ．向上，直线x ＝4，(4,5)

B ．向上，直线x ＝－4，(－4,5)

C ．向上，直线x ＝4，(4，－5)

D ．向下，直线x ＝－4，(－4,5)

3．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图1所示，则下列结论正确的是（ ） A ．a ＞0 B ．c ＜0

C ．b 2－4ac ＜0

D ．a ＋b ＋c ＞0

（图1）

（图2）

4．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图2所示，那么abc ，b 2－4ac ，2a ＋b ，4a －2b ＋c 这四个代数式中，值为正的有（ ）

A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

一、专题精讲

1、二次函数的图象及性质

【例1】（1）二次函数y ＝－3x 2－6x ＋5的图象的顶点坐标是（ ） A ．(－1，8) B ．(1，8)

C ．(－1，2)

D ．(1，－4)

（2）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的对称轴为直线x ＝1，且经过点(－1，y 1)，(2，y 2)，试比较y 1和y 2的大小：y 1________y 2（填“＞”“＜”或“＝”)

总结：1．将抛物线解析式写成y ＝a (x －h )2＋k 的形式，则顶点坐标为(h ，k )，对称轴为直线x ＝h ，也可应用

对称轴公式x ＝－b

2a ，顶点坐标（a

b 2-，a b a

c 442

-）来求顶点坐标及对称轴。

2．比较两个二次函数值大小的方法： （1）直接代入自变量求值法；

（2）当自变量在对称轴两侧时，根据两个自变量到对称轴的距离及函数值的增减性判断； （3）当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断。 2、利用二次函数图象判断a ，b ，c 的符号

【例2】 如图所示，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，图象经过点(－1,2)和(1,0)，且与y 轴交于负半轴。

（1）给出四个结论：①a ＞0；②b ＞0；③c ＞0；④a ＋b ＋c ＝0，其中正确结论的序号是__________； （2）给出四个结论：①abc ＜0；②2a ＋b ＞0；③a ＋c ＝1；④a ＞1，其中正确结论的序号是__________。 总结：根据二次函数的图象确定有关代数式的符号，是二次函数中的一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性．解题时应注意开口方向与a 的关系，抛物线与y 轴的交点与c 的关系，对称轴与a ，b 的关系，抛物线与x 轴交点数目与b 2

－4ac 的符号的关系；当x ＝1时，决定a ＋b ＋c 的符号，当x ＝﹣1时，决定a ﹣b ＋c 的符号。在此基础上，还可推出其他代数式的符号。运用数形结合的思想更直观、更简捷。

变式训练：已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：

①b2－4ac＞0；②abc＞0；③8a＋c＞0；④9a＋3b＋c＜0。其中，正确结论的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

3、二次函数图象的平移

【例3】二次函数y＝－2x2＋4x＋1的图象怎样平移得到y＝－2x2的图象（）

A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位

C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位

总结：二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式，确定其顶点坐标，然后按照“左加右减、上加下减”的规律进行操作。

4、确定二次函数的解析式

【例4】已知一抛物线与x轴的交点是A(－2，0)，B(1，0)，且经过点C(2，8)。

（1）求该抛物线的表达式；（2）求该抛物线的顶点坐标。

总结：用待定系数法求二次函数解析式，需根据已知条件，选取合适的解析式求解，尽量达到计算最简化的效果。

5、二次函数的实际应用

【例5】某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元。

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？