(浙江专用)2020高考数学立体几何第3讲空间向量与立体几何教案
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第3讲 空间向量与立体几何
利用空间向量证明平行、垂直及求空间角
[核心提炼]
1．利用直线的方向向量与平面的法向量证明空间平行、垂直
设直线l 的方向向量为a ＝(a 1,b 1,c 1),平面α、β的法向量分别为μ＝(a 2,b 2,c 2),υ＝(a 3,b 3,c 3),则有：
(1)线面平行
l ∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.
(2)线面垂直
l ⊥α⇔a ∥μ⇔a ＝k μ⇔a 1＝ka 2,b 1＝kb 2,c 1＝kc 2.
(3)面面平行
α∥β⇔μ∥υ⇔μ＝λυ⇔a 2＝λa 3,b 2＝λb 3,c 2＝λc 3.
(4)面面垂直
α⊥β⇔μ⊥υ⇔μ·υ＝0⇔a 2a 3＋b 2b 3＋c 2c 3＝0.
2．利用直线的方向向量与平面的法向量求空间角
设直线l ,m 的方向向量分别为a ＝(a 1,b 1,c 1),b ＝(a 2,b 2,c 2)．平面α,β的法向量分别为
μ＝(a 3,b 3,c 3),υ＝(a 4,b 4,c 4)(以下相同)．
(1)线线夹角
设l ,m 的夹角为θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2,则 cos θ＝|a·b |
|a||b|
＝
|a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2|
a 21＋
b 21＋
c 21a 22＋b 22＋c 2
2
.
(2)线面夹角
设直线l 与平面α的夹角为θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2,
则sin θ＝
|a·μ|
|a||μ|
＝|cos 〈a ,μ〉|.
(3)面面夹角
设平面α、β的夹角为θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2, 则|cos θ|＝
|μ·υ|
|μ||υ|
＝|cos 〈μ,υ〉|.
[典型例题]
(1)如图,在直三棱柱ADE
BCF 中,平面ABFE 和平面ABCD 都
是正方形且互相垂直,M 为AB 的中点,O 为DF 的中点．运用向量方法证明：
①OM ∥平面BCF ； ②平面MDF ⊥平面EFCD .
(2)(2018·高考浙江卷)如图,已知多面体ABCA 1B 1C 1,A 1A ,B 1B ,C 1C 均垂直于平面ABC ,∠ABC ＝120°,A 1A ＝4,C 1C ＝1,AB ＝BC ＝B 1B ＝2.
①证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；
②求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值．
【解】 (1)证明：由题意知,AB ,AD ,AE 两两垂直,以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系．
设
正
方
形
边
长
为1,
则
A (0,0,0),
B (1,0,0),
C (1,1,0),
D (0,1,0),F (1,0,1),M ⎝
⎛⎭⎪⎫1
2，0，0,O ⎝
⎛⎭
⎪⎫12，12，1
2
. ①OM →＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，－12，－12,BA →＝(－1,0,0),
所以OM →·BA →＝0,所以OM →⊥BA →
. 因为棱柱ADE
BCF 是直三棱柱,所以AB ⊥平面BCF ,所以BA →
是平面
BCF 的一个法向量,
又OM ⊄平面BCF ,所以OM ∥平面BCF .
②设平面MDF 与平面EFCD 的法向量分别为n 1＝(x 1,y 1,z 1),n 2＝(x 2,y 2,z 2)． 因为DF →＝(1,－1,1),DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，0,DC →
＝(1,0,0),
由n 1·DF →＝n 1·DM →
＝0,
得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－y 1＋z 1＝0，12x 1－y 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝1
2x 1，z 1＝－12
x 1，
令x 1＝1,则n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1
2
，－12.
同理可得n 2＝(0,1,1)．
因为n 1·n 2＝0,所以平面MDF ⊥平面EFCD .
(2)①证明：如图,以AC 的中点O 为原点,分别以射线OB ,OC 为x ,y 轴的正半轴,建立空间直角坐标系O xyz .
由题意知各点坐标如下：
A (0,－3,0),
B (1,0,0),A 1(0,－3,4),B 1(1,0,2),
C 1(0,3,1)．
因此AB 1→＝(1,3,2),A 1B 1→
＝(1,3,－2)．
A 1C 1→
＝(0,23,－3)．
由AB 1→·A 1B 1→
＝0得AB 1⊥A 1B 1. 由AB 1→·A 1C 1→
＝0得AB 1⊥A 1C 1. 所以AB 1⊥平面A 1B 1C 1.
②设直线AC 1与平面ABB 1所成的角为θ.由①可知AC 1→＝(0,23,1),AB →＝(1,3,0),BB 1→
＝(0,0,2)．
设平面ABB 1的法向量n ＝(x ,y ,z )．
由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·BB 1→＝0，即⎩⎨⎧x ＋3y ＝0，
2z ＝0，可取n ＝(－3,1,0)．
所以sin θ＝|cos
AC 1→
,n
|＝|AC 1→
·n ||AC 1→|·|n |
＝3913.
因此,直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值是
3913
.
(1)利用空间向量证明平行与垂直的步骤
①建立空间直角坐标系,建系时,要尽可能地利用载体中的垂直关系．
②建立空间图形与空间向量之间的关系,用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素．