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第九讲比和比例.doc (

第九讲比和比例两个数相除又叫做两个数的比．一、比和比例的性质性质1：若a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d；性质2：若a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d；性质3：若a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数)性质4：若a: b=c：d，则a×d = b×c；(即外项积等于内项积)正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比；反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比．二、比和比例在行程问题中的体现在行程问题中，因为有速度=路程时间，所以：当一组物体行走速度相等，那么行走的路程比等于对应时间的反比；当一组物体行走路程相等，那么行走的速度比等于对应时间的反比；当一组物体行走时间相等，那么行走的速度比等于对应路程的正比．1．A和B两个数的比是8：5，每一数都减少34后，A是B的2倍，试求这两个数．【分析与解】方法一：设A为8x，则B为5x，于是有(8x-34):(5x-34)=2：1，x=17，所以A为136，B为85．方法二：因为减少的数相同，所以前后A 、B的差不变，开始时差占3份，后来差占1份且与B 一样多，也就是说减少的34，占开始的3-1=2份，所以开始的1份为34÷2=17，所以A为17×8=136，B为17×5=85．2．近年来火车大提速，1427次火车自北京西站开往安庆西站，行驶至全程的511再向前56千米处所用时间比提速前减少了60分钟，而到达安庆西站比提速前早了2小时．问北京西站、安庆西站两地相距多少千米?【分析与解】设北京西站、安庆西站相距多少千米？(511x+56)：x=60：120，即(511x+56)：x=1：2，即x=1011x+112，解得x=1232．即北京西站、安庆西站两地相距1232千米，3．两座房屋A和B各被分成两个单元．若干只猫和狗住在其中．已知：A房第一单元内猫的比率(即住在该单元内猫的数目与住在该单元内猫狗总数之比)大于B房第一单元内猫的比率；并且A房第二单元内猫的比率也大于B房第二单元内猫的比率．试问是否整座房屋A内猫的比率必定大于整座房屋B内猫的比率?【分析与解】如下表给出的反例指出：对所提出问题的回答应该是否定的．表中具体写出了各个单元及整座房屋中的宠物情况和猫占宠物总数的比率．4．家禽场里鸡、鸭、鹅三种家禽中公篱与母篱数量之比是2：3，已知鸡、鸭、鹅数量之比是8：7：5，公鸡、母鸡数量之比是1：3，公鸭、母鸭数量之比是3：4．试求公鹅、母鹅的数量比．【分析与解】公鸡占家禽场家禽总数的=21124615:(3544)45:46:(3544)46:47.333345⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=8118751310⨯=+++，母鸡占总数的3 10；公鸭占总数的8338753420⨯=+++，母鸭占总数的420；公鹅占总数的213332102020-+=+（），母鹅占总数的234232102020-+=+（），公鹅、母鹅数量之比为322020：：3：2．5．在古巴比伦的金字塔旁，其朝西下降的阶梯旁6m的地方树立有1根走子，其影子的前端正好到达阶梯的第3阶(箭头)．另外，此时树立l根长70cm自杆子，其影子的长度为175cm，设阶梯各阶的高度与深度都是50cm，求柱子的高度为多少？【分析与解】70cm的杆子产生影子的长度为175cm;所以影子的长度与杆子的长度比为：175：70=2.5倍．于是，影子的长度为6+1.5+1.5×2.5=11.25，所以杆子的长度为11.25÷2.5=4.5m．6．已知三种混合物由三种成分A 、B 、C 组成，第一种仅含成分A 和B ，重量比为3：5；第二种只含成分B 和C ，重量比为I ：2；第三种只含成分A 和C ，重量之比为2：3．以什么比例取这些混合物，才能使所得的混合物中A ，B 和C ，这三种成分的重量比为3：5：2 ?【分析与解】注意到第一种混合物种A 、B 重量比与最终混合物的A 、B 重量比相同，均为3：5.所以，先将第二种、第三种混合物的A 、B 重量比调整到 3：5，再将第二种、第三种混合物中A 、B 与第一种混合物中A 、B 视为单一物质.第二种混合物不含A ，第三种混合物不含B ，所以1.5倍第三种混合物含A 为3，5倍第二种混合物含B 为5，即第二种、第三种混合物的重量比为5：1.5．于是此时含有C 为5×2+1.5×3=14.5，在最终混合物中C 的含量为3A ／5B 含量的2倍．有14.5÷2-1=6.25，所以含有第一种混合物6.25．即第一、二、三这三种混合物的比例为6.25：5：1.5=25：20：6．7．现有男、女职工共1100人，其中全体男工和全体女工可用同样天数完成同样的工作；若将男工人数和女工人数对调一下，则全体男25天完成的工作，全体女工需36天才能完成，问：男、女工各多少人?【分析与解】直接设出男、女工人数，然后在通过方程求解，过程会比较繁琐．设开始男工为“1”，此时女工为“k ”，有1名男工相当k 名女工．男工、女工人数对调以后，则男工为“k ”，相当于女工“k 2”，女工为“I”．有k 2：1=36：25，所以k=65．于是，开始有男工数为11k+×1100=500人，女工600人．8．有甲乙两个钟，甲每天比标准时间慢5分钟，而乙每天比标准时间快5分钟，在3月15日的零点零分的时候两钟正好对准．若已知在某一时刻，乙钟和甲钟时针与分针都分别重合，且在从3月15日开始到这个时候，乙钟时针与分针重合的次数比甲钟多10次，那么这个时候的标准时间是多少?【分析与解】标准的时钟每隔56511分钟重合一次．假设经历了x 分钟．于是，甲钟每隔52460651124605⨯⨯⨯-分钟重合一次，甲钟重合了246052460⨯-⨯×x 次；同理，乙钟重合了246052460⨯+⨯×x 次；于是，需要乙钟比甲钟多重合246052460⨯+⨯×x-246052460⨯-⨯×x=102460⨯×x=10;所以，x=24×60；所以要经历24×60×65511分钟，则为524606551165246011⨯⨯=⨯天.于是为65天510(24)10()1111⨯=小时106(60)541111⨯=分钟．9．一队和二队两个施工队的人数之比为3：4，每人工作效率之比为5：4，两队同时分别接受两项工作量与条件完全相同的工程，结果二队比一队早完工9天．后来，由一队工人23与二队工人13组成新一队，其余的工人组成新二队．两支新队又同时分别接受两项工作量与条件完全相同的工程，结果新二队比新一队早完工6天．试求前后两次工程的工作量之比?【分析与解】一队与二队的工作效率之比为：(3×5)：(4×4)=15：16．一队干前一个工程需9÷116=144天．新一队与新二队的工作效率之比为：2112(3544):(3544)46:47.3333⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=新一队干后一个工程需6÷147=282天．一队与新一队的工作效率之比为2115:(3544)45:46 33⨯⨯+⨯⨯=所以一队干后一个工程需282×4645天．前后两次工程的工作量之比是144：(282×4645)=(144×45)：(282×46)=540：1081.。

奥数：比和比例关系

第九讲比的比例的关系比和比例，是小学数学中的最后一个内容，也是学习更多数学知识的重要基础。

有了“比”这个概念和表达方式，处理倍数、分数等问题，要方便灵活得多。

我们希望，小学同学学完这一讲，对“除法、分数、比例实质上是一回事，但各有用处”有所理解。

这一讲分三个内容：一、比和比的分配；二、倍数的变化；三、有比例关系的其他问题。

一、比和比的分配最基本的比例问题是求比或比值。

从已知一些比或者其他数量关系，求出新的比。

例1 甲、乙两个长方形，它们的周长相等。

甲的长与宽之比是3∶2，乙的长与宽之比是7∶5。

求甲与乙的面积之比。

例2 如右图，ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是10∶7。

求上底AB与下底CD的长度。

例3 大、中、小三钟杯子，2大杯相当于5中杯，3中杯相当于4小杯。

如果记2大杯、3中杯、4之比。

例4 甲、乙、丙三人同去商场购物，甲花钱数的21等于乙花钱数的31，乙花钱数的43等于丙花钱数的74，结果丙比甲多花钱93元，问他们三人共花了多少钱？例5 有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙长度之比是6∶5，甲钉子的32钉入墙内，甲与丙钉入墙内的部分之比5∶4，而它们留在墙外的部分一样长。

问：甲、乙、丙的长度之比是多少？例6 甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元。

某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这三种糖果每千克的平均价是多少元？例7 一个分数，分子与分母之和是100。

如果分子加23，分母加32，新的分数约分后是32，原来的分数是多少？例8 加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟，现有1825个零件要加工，为尽早完成任务，甲、乙、丙应各加工多少个？所需时间是多少？例9 某团体有100名会员，男会员与女会员的人数之比是14∶11，会员分成三组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多。

各组男会员与女会员人数之比是：甲：12∶13，乙：5∶3，丙：2∶1，那么丙有多少名男会员？例10 一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是1∶2∶3。

六年级奥数-第二讲.比和比例.教师版

比和比例（二）例题精讲：模块一、比例转化【例1】某团体有100名会员，男女会员人数之比是14:11，会员分成三组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多，各组男女会员人数之比依次为12:13、5:3、2:1，那么丙组有多少名男会员？【例2】 (2007年华杯赛总决赛)A、B、C三项工程的工作量之比为1:2:3，由甲、乙、丙三队分别承担．三个工程队同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙队的工作效率的比是多少？【巩固】某次数学竞赛设一、二、三等奖．已知：①甲、乙两校获一等奖的人数相等；②甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5:6；③甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的20%；④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的50%；⑤甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的4.5倍．那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少？【例3】①某校毕业生共有9个班，每班人数相等．②已知一班的男生人数比二、三班两个班的女生总数多1；③四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多1．那么该校毕业生中男、女生人数比是多少？模块二、按比例分配与和差关系（一）量倍对应【例4】一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到16个，而甲、乙两班的人数比为13:11，求一共有多少个苹果？【巩固】小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为3:4:6，三人一共藏书52本，求他们三人各自的藏书数量.【巩固】在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了80元．已知甲比丙多捐18元，甲、乙所捐资的和与乙、丙所捐资的和之比是10:7，则甲捐元，乙捐元，丙捐元．【巩固】有120个皮球，分给两个班使用，一班分到的13与二班分到的12相等，求两个班各分到多少皮球？【例5】一班和二班的人数之比是8:7，如果将一班的8名同学调到二班去，则一班和二班的人数比变为4:5．求原来两班的人数．【例6】幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生．已知大班男生数与女生数的比为5:3，中班男生数与女生数的比为2:1，那么大班有女生多少名？【巩固】参加植树的同学共有720人，已知六年级与五年级人数的比是3:2，六年级比四年级多80人，三个年级参加植树的各有多少人?【巩固】圆珠笔和铅笔的价格比是4：3，20支圆珠笔和21支铅笔共用71．5元．问圆珠笔的单价是每支多少元?【例7】甲乙两车分别从A，B两地出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度比是5∶4，相遇后，甲的速度减少20％，乙的速度增加20％，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米．问：A，B两地相距多少千米？【例8】师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工100个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件？【巩固】师徒二人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？【例9】A、B、C三个水桶的总容积是1440公升，如果A、B两桶装满水，C桶是空的；若将A桶水的全部和B桶水的15，或将B桶水的全部和A桶水的13倒入C桶，C桶都恰好装满．求A、B、C三个水桶容积各是多少公升？【巩固】学而思学校四五六年级共有615名学生，已知六年级学生的12，等于五年级学生的25，等于四年级学生的37。

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六年级奥数比和比例六年奥数综合练习题十二答案（比和比例关系）比和比例，是小学数学中的最后一个内容，也是学习更多数学知识的重要基础.有了“比”这个概念和表达方式，处理倍数、分数等问题，要方便灵活得多.我们希望，小学同学学完这一讲，对“除法、分数、比例实质上是一回事，但各有用处”有所理解. 这一讲分三个内容一、比和比的分配；二、倍数的变化；三、有比例关系的其他问题.一、比和比的分配最基本的比例问题是求比或比值.从已知一些比或者其他数量关系，求出新的比. 例1 甲、乙两个长方形，它们的周长相等.甲的长与宽之比是3∶2，乙的长与宽之比是7∶5.求甲与乙的面积之比. 解设甲的周长是2. 甲与乙的面积之比是答甲与乙的面积之比是864∶875. 作为答数，求出的比最好都写成整数. 例2 如右图，ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是10∶7. 求上底AB与下底CD的长度之比. 解因为E是中点，三角形CDE与三角形CEA面积相等. 三角形ADC与三角形ABC高相等，它们的底边的比AB∶CD三角形ABC的面积∶三角形ADC的面积（10-7）∶（72）3∶14. 答AB∶CD3∶14. 两数之比，可以看作一个分数，处理时与分数计算几乎一样.三数之比，却与分数不一样，因此是这一节讲述的重点. 例3 大、中、小三种杯子，2大杯相当于5中杯，3中杯相当于4小杯.如果记号表示2大杯、3中杯、4小杯容量之和，求与之比. 解大杯与中杯容量之比是5∶210∶4，中杯与小杯容量之比是4∶3，大杯、中杯与小杯容量之比是10∶4∶3. ∶（1024334）∶（1054433）44∶75. 答两者容量之比是44∶75. 把5∶2与4∶3这两个比合在一起，成为三样东西之比10∶4∶3，称为连比.例3中已告诉你连比的方法，再举一个更一般的例子. 甲∶乙3∶5，乙∶丙7∶4，3∶537∶5721∶35，7∶475∶4535∶20，甲∶乙∶丙21∶35∶20. 花了多少钱解根据比例与乘法的关系，连比后是甲∶乙∶丙216∶316∶32 32∶48∶63. 答甲、乙、丙三人共花了429元. 例5 有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙，而它们留在墙外的部分一样长.问甲、乙、丙的长度之比是多少解设甲的长度是6份. ∶x5∶4. 乙与丙的长度之比是而甲与乙的长度之比是6∶530∶25. 甲∶乙∶丙30∶25∶26. 答甲、乙、丙的长度之比是30∶25∶26. 于利用已知条件6∶5，使大部分计算都整数化.这是解比例和分数问题的常用手段. 例 6 甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元解一设每种糖果所花钱数为1，因此平均价是答这些糖果每千克平均价是27.5元. 上面解法中，算式很容易列出，但计算却使人感到不易.最好的计算方法是，用22，30，33的最小公倍数330，乘这个繁分数的分子与分母，就有事实上，有稍简捷的解题思路. 解二先求出这三种糖果所买数量之比. 不妨设，所花钱数是330，立即可求出，所买数量之比是甲∶乙∶丙15∶11∶10. 平均数是（151110）÷312. 单价33元的可买10份，要买12份，单价是下面我们转向求比的另一问题，即“比的分配”问题，当一个数量被分成若干个数量，如果知道这些数量之比，我们就能求出这些数量. 例7 一个分数，分子与分母之和是100.如果分子加23，分母加32，解新的分数，分子与分母之和是（102332），而分子与分母之比2∶3.因此例8 加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟，现有1825个零件要加工，为尽早完成任务，甲、乙、丙应各加工多少个所需时间是多少解三人同时加工，并且同一时间完成任务，所用时间最少，要同时完成，应根据工作效率之比，按比例分配工作量. 三人工作效率之比是他们分别需要完成的工作量是所需时间是70032100分钟）35小时. 答甲、乙、丙分别完成700个，600个，525个零件，需要35小时. 这是三个数量按比例分配的典型例题. 例9 某团体有100名会员，男会员与女会员的人数之比是14∶11，会员分成三个组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多.各组男会员与女会员人数之比是甲12∶13，乙5∶3，丙2∶1，那么丙有多少名男会员解甲组的人数是100÷250（人）. 乙、丙两组男会员人数是56-2432 （人）. 答丙组有12名男会员. 上面解题的最后一段，实质上与“鸡兔同笼”解法一致，可以设想，“兔例10 一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是1∶2∶3.小龙走各段路程所用时间之比依次是4∶5∶6.已知他上坡时速度为每小时3千米，路程全长50千米.问小龙走完全程用了多少时间解一通常我们要求出小龙走平路与下坡的速度，先求出走各段路程的速度比. 上坡、平路、下坡的速度之比是走完全程所用时间答小龙走完全程用了10小时25分. 上面是通常思路下解题.1∶2∶3计算中用了两次，似乎重复计算，最后算式也颇费事.事实上，灵活运用比例有简捷解法. 解二全程长是上坡这一段长的（123）6（倍）.如果上坡用的时设小龙走完全程用x小时.可列出比例式二、比的变化已知两个数量的比，当这两个数量发生增减变化后，当然比也发生变化.通过变化的描述，如何求出原来的两个数量呢这就是这一节的内容. 例11 甲、乙两同学的分数比是5∶4.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，则他们的分数比是5∶7.甲、乙原来各得多少分解一甲、乙两人的分数之和没有变化.原来要分成549份，变化后要分成5712份.如何把这两种分法统一起来这是解题的关键.9与12的最小公倍数是36，我们让变化前后都按36份来算. 5∶4（54）∶（44）20∶16. 5∶7（53）∶（73）15∶21. 甲少得22.5分，乙多得22.5分，相当于20-155份.因此原来甲得22.5÷52090（分），乙得22.5÷51672（分）. 答原来甲得90分，乙得72分. 我们再介绍一种能解本节所有问题的解法，也就是通过比例式来列方程. 解二设原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x.根据得分变化，可列出比例式. （5x-22.5）∶（4x22.5）5∶7 即5（4x22.5）7（5x-22.5）15x1222.5 x18. 甲原先得分18590（分），乙得18472（分）. 解其他球的数量没有改变. 增加8个红球后，红球与其他球数量之比是5∶（14-5）5∶9. 在没有球增加时，红球与其他球数量之比是1∶（3-1）1∶24.5∶9. 因此8个红球是5-4.50.5（份）. 现在总球数是答现在共有球224个. 本题的特点是两个数量中，有一个数量没有变.把1∶2写成4.5∶9，就是充分利用这一特点.本题也可以列出如下方程求解（x8）∶2x5∶9. 例13 张家与李家的收入钱数之比是8∶5，开支的钱数之比是8∶3，结果张家结余240元，李家结余270元.问每家各收入多少元解一我们采用“假设”方法求解. 如果他们开支的钱数之比也是8∶5，那么结余的钱数之比也应是8∶5.张家结余240元，李家应结余x元.有240∶x8∶5，x150（元）. 实际上李家结余270元，比150元多120元.这就是8∶5中5份与8∶3中3份的差，每份是120÷（5-3）60.（元）.因此可求出答张家收入720元，李家收入450元. 解二设张家收入是8份，李家收入是5份.张家开支的3倍与李家开支的8倍的钱一样多. 我们画出一个示意图张家开支的3倍是（8份-240）3. 李家开支的8倍是（5份-270）8. 从图上可以看出58-8316份，相当于2708-24031440（元）. 因此每份是1440÷1690（元）. 张家收入是908720（元），李家收入是905450（元）. 本题也可以列出比例式（8x-240）∶（5x-270）8∶3. 然后求出x.事实上，解方程求x的计算，与解二中图解所示是同一回事，图解有算术味道，而且一些数量关系也直观些. 例14 A和B两个数的比是8∶5，每一数都减少34后，A是B的2倍，求这两个数. 解减少相同的数34，因此未减时，与减了以后，A与B两数之差并没有变，解题时要充分利用这一点. 8∶5，就是8份与5份，两者相差3份.减去34后，A是B的2倍，就是2∶1，两者相差1.将前项与后项都乘以3，即2∶16∶3，使两者也相差3份.现在就知道34是8-62（份）或5-32（份）.因此，每份是34∶217. A数是178136，B数是17585. 答A，B两数分别是136与85. 本题也可以用例13解一“假设”方法求解，不过要把减少后的2∶1，改写成8∶4. 例15 小明和小强原有的图画纸之比是4∶3，小明又买来15张.小强用掉了8张，现有的图画纸之比是5∶2.问原来两人各有多少张图画纸解一充分利用已知数据的特殊性. 437，527，15-87.原来总数分成7份，变化后总数仍分成7份，总数多了7张，因此，新的1份原来1份1 原来4份，新的5份，5-41，因此新的1份有15-1411（张）. 小明原有图画纸115-1540（张），小强原有图画纸112830（张）. 答原来小明有40张，小强有30张图画纸. 解二我们也可采用例13解一的“假设”方法.先要将两个比中的前项化成同一个数（实际上就是通分）4∶320∶15 5∶220∶8. 但现在是20∶8，因此这个比的每一份是当然，也可以采用实质上与解方程完全相同的图解法. 解三设原来小明有4“份”，小强有3“份”图画纸. 把小明现有的图画纸张数乘2，小强现有的图画纸张数乘5，所得到的两个结果相等.我们可以画出如下示意图从图上可以看出，35-427（份）相当于图画纸1528570（张）. 因此每份是10张，原来小明有40张，小强有30张. 例11至15这五个例题是同一类型的问题.用比例式的方程求解没有多大差别.用算术方法，却可以充分利用已知数据的特殊性，找到较简捷的解法，也启示一些随机应变的解题思路.另外，解方程的代数运算，对小学生说来是超前的，不容易熟练掌握.例13的解一，也是一种通用的方法.“假设”这一思路是很有用的，希望读者能很好掌握，灵活运用.从课外的角度，我们更应启发小同学善于思考，去找灵巧的解法，这就要充分利用数据的特殊性.因此我们总是先讲述灵巧的解法，利于心算，促进思维. 例16 粗蜡烛和细蜡烛长短一样.粗蜡烛可以点5小时，细蜡烛可以点4小时.同时点燃这两支蜡烛，点了一段时间后，粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍.问这两支蜡烛点了多少时间我们把问题改变一下设细蜡烛长度是2，每小时点等需要时间是答这两支蜡烛点了3小时20分. 把细蜡烛的长度和每小时烧掉的长度都乘以2，使原来要考虑的“2倍”变成“相等”，思考就简捷了.解这类问题这是常用的技巧.再请看一个稍复杂的例子. 例17 箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只.每次从箱子里取出7只白球，15只红球，经过若干次后，箱子里剩下3只白球，53只红球，那么，箱子里原来红球数比白球数多多少只解因为红球是白球的3倍多2只，每次取15只，最后剩下53只，所以对3倍的白球，每次取15只，最后应剩51只. 因为白球每次取7只，最后剩下3只，所以对3倍的白球，每次取73＝21只，最后应剩33＝9只.因此.共取了（51- 33）÷（73-15）＝7（次）. 红球有157＋53＝158（只）. 白球有77＋3＝52（只）. 原来红球比白球多158-52＝106（只）. 答箱子里原有红球数比白球数多106只.三、比例的其他问题，这里必须用分数来说，而不能用比.实际上它还是隐含着比例关系（甲-7）∶乙2∶3. 因此，有些分数问题，就是比例问题. 加33张，他们两人取的画片一样多.问这些画片有多少张答这些画片有261张. 解设最初的水量是1，因此最后剩下的水是样重，就有因此原有水的重量是答容器中原来有8.4千克水. 例18和例19，通常在小学数学中，叫做分数应用题.“比”有前项和后项，当两项合在一起写成一个分数后，才便于与其他数进行加、减运算.这就是把比（或除法）写成分数的好处.下面一个例题却是要把分数写成比，计算就方便些. 例20 有两堆棋子，A堆有黑子350个和白子500个，B堆有黑子堆中拿到A堆黑子、白子各多少个子100个，使余下黑子与白子之比是（40-100）∶100＝3∶1.再要从B堆拿出黑子与白子到A堆，拿出的黑子与白子数目也要保持3∶1的比. 现在A堆已有黑子350＋100＝450个），与已有白子500个，相差从B堆再拿出黑子与白子，要相差50个，又要符合3∶1这个比，要拿出白子数是50÷（3-1）＝25（个）. 再要拿出黑子数是253＝75（个）. 答从B堆拿出黑子175个，白子25个. 人，问高、初中毕业生共有多少人解一先画出如下示意图6-5＝1，相当于图中相差17-12＝5（份），初中总人数是56＝30份，因此，每份人数是520÷（30-17）40（人）. 因此，高、初中毕业生共有40（17＋12）＝1160（人）. 答高、初中毕业生共1160人. 计算出每份是例21与例14是完全一样的问题，解一与例14的解法也是一样的.（你是否发现）解二是通常分数应用题的解法，显然计算不如解一简便. 例18，19，20，21四个例题说明分数与比例各有好处，你是否从中有所心得当然关键还是在于灵活运用. 下的钱共有多少元解设钢笔的价格是 1. 这样就可以求出，钢笔价格是张剩下的钱数是李剩下的钱数答张、李两人剩下的钱共28元. 题中有三个分数，但它们比的基准是不一样的.为了统一计算单位，设定钢笔的价格为 1.每个人原有的钱和剩下的钱都可以通过“1”统一地折算.解分数应用题中，设定统一的计算单位是常用的解题技巧. 作为这一讲最后的内容，我们通过两个例题，介绍一下“混合比”. 用100个银币买了100头牲畜，问猪、山羊、绵羊各几头这是十八世纪瑞士大数学家欧拉（1707～1783）提出的问题. 们设1头猪和5头绵羊为A 组，3头山羊和2头羊绵为B组.A表示A组的数，B表示B 组的数，要使（1＋5）A＋（3＋2）B＝100，或简写成6A＋5B＝100. 就恰好符合均价是 1. 类似于第三讲鸡兔同笼中例17，很明显，A必定是5的整数倍.A＝5，B＝4，65＋54＝50，50是100的约数，符合要求. A＝5，猪5头，绵羊25头，B4，山羊12头，绵羊8头. 猪∶山羊∶绵羊5∶12∶（25＋8）. 现在已把1∶5和3∶2两种比，组合在一起通常称为混合比. 要注意，这样的问题常常有多种解答. A 5，B＝14或A＝15，B＝2才能产生解答，相应的猪、山羊、绵羊混合比是5∶42∶53或15∶6∶79. 答有三组解答.买猪、山羊、绵羊的头数是10，24，66；或者5，42，53；或者15，6，79. 求混合比是一种很实用的方法，对数学有兴趣的小学同学，学会这种方法是有好处的，会增加灵活运用比例的技巧. 通常求混合比可列下表下面例题与例23是同一类型，但由于题目的条件，解法上稍有变化. 例24 某商品76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买三件，买1件按定价，买2件降价10％，买3件降价20％.最后结算，平均每件恰好按原定价的85％出售，那么买3件的顾客有多少人解题目已给出平均数85％，可作比较的基准. 1人买3件少5％3；1人买2件多5％2；1人买1件多15％1. 1人买3件与1人买1件成A组，即按1∶1比例，2人买3件与3人买2件成B组，即按2∶3的比例. A组是2人买4件，每人平均买2件. B组是5人买12件，每人平均买2.4件. 现在已建立了一个鸡兔同笼型问题总脚数76，总头数33，兔脚数2.4，鸡脚数2. B组人数是（76-233）÷（24-2）＝25（人），A组人数是33-25＝8（人），其中买3件4人，买1件4人. 10＋4＝14（人）. 答买3件的顾客有14位. 建立两种比的A组和B组，与例23的解题思路完全一致，只是后面解法稍有不同.因为对A组和B组，不仅要从人数考虑满足2A5B＝33，还要从买的件数考虑满足4A＋12B＝76.这已完全确定了A组和B组的数，不必再求混合比.。

小五数学第4讲：比和比例(教师版)

第4讲比和比例1比的意义和性质(1) 比的意义两个数相除又叫做两个数的比。

“：”是比号，读作“比”。

比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。

比的前项除以后项所得的商，叫做比值。

同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。

比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。

比的后项不能是零。

根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。

(2)比的性质比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数(0除外)，比值不变，这叫做比的基本性质。

(3) 求比值和化简比求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。

根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。

它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。

(4)比例尺图上距离：实际距离=比例尺要求会求比例尺;已知图上距离和比例尺求实际距离;已知实际距离和比例尺求图上距离。

线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。

(5)按比例分配在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。

这种分配的方法通常叫做按比例分配。

方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。

2 比例的意义和性质 (1) 比例的意义表示两个比相等的式子叫做比例。

组成比例的四个数，叫做比例的项。

两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。

(2)比例的性质在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。

这叫做比例的基本性质。

(3)解比例根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。

求比例中的未知项，叫做解比例。

3 正比例和反比例 (1) 成正比例的量两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。

六年级奥数比和比例讲座【DOC范文整理】

六年级奥数比和比例讲座比和比例两个数相除又叫做两个数的比．一、比和比例的性质性质1：若a:b=c：d，则：=a：b=c：d；性质2：若a:b=c：d，则：=a：b=c：d；性质3：若a:b=c：d，则：=a：b=c：d；性质4：若a:b=c：d，则a×d=b×c；正比例：如果a÷b=，则称a、b成正比；反比例：如果a×b=，则称a、b成反比．二、比和比例在行程问题中的体现在行程问题中，因为有速度=，所以：当一组物体行走速度相等，那么行走的路程比等于对应时间的反比；当一组物体行走路程相等，那么行走的速度比等于对应时间的反比；当一组物体行走时间相等，那么行走的速度比等于对应路程的正比．．A和B两个数的比是8：5，每一数都减少34后，A是B的2倍，试求这两个数．【分析与解】方法一：设A为8x，则B为5x，于是有:=2：1，x=17，所以A为136，B为85．方法二：因为减少的数相同，所以前后A、B的差不变，开始时差占3份，后来差占1份且与B一样多，也就是说减少的34，占开始的3-1=2份，所以开始的1份为34÷2=17，所以A为17×8=136，B为17×5=85．．近年来火车大提速，1427次火车自北京西站开往安庆西站，行驶至全程的再向前56千米处所用时间比提速前减少了60分钟，而到达安庆西站比提速前早了2小时．问北京西站、安庆西站两地相距多少千米?【分析与解】设北京西站、安庆西站相距多少千米？x=60：120，即：x=1：2，即x=x+112，解得x=1232．即北京西站、安庆西站两地相距1232千米，．两座房屋A和B各被分成两个单元．若干只猫和狗住在其中．已知：A房单元内猫的比率大于B房单元内猫的比率；并且A房第二单元内猫的比率也大于B房第二单元内猫的比率．试问是否整座房屋A内猫的比率必定大于整座房屋B内猫的比率?【分析与解】如下表给出的反例指出：对所提出问题的回答应该是否定的．表中具体写出了各个单元及整座房屋中的宠物情况和猫占宠物总数的比率．4．家禽场里鸡、鸭、鹅三种家禽中公篱与母篱数量之比是2：3，已知鸡、鸭、鹅数量之比是8：7：5，公鸡、母鸡数量之比是1：3，公鸭、母鸭数量之比是3：4．试求公鹅、母鹅的数量比．【分析与解】公鸡占家禽场家禽总数的=，母鸡占总数的；公鸭占总数的，母鸭占总数的；公鹅占总数的，母鹅占总数的，公鹅、母鹅数量之比为：3：2．．在古巴比伦的金字塔旁，其朝西下降的阶梯旁6的地方树立有1根走子，其影子的前端正好到达阶梯的第3阶．另外，此时树立l根长70c自杆子，其影子的长度为175c，设阶梯各阶的高度与深度都是50c，求柱子的高度为多少？【分析与解】70c的杆子产生影子的长度为175c;所以影子的长度与杆子的长度比为：175：70=2.5倍．于是，影子的长度为6+1.5+1.5×2.5=11.25，所以杆子的长度为11.25÷2.5=4.5．．已知三种混合物由三种成分A、B、c组成，种仅含成分A和B，重量比为3：5；第二种只含成分B和c，重量比为I：2；第三种只含成分A和c，重量之比为2：3．以什么比例取这些混合物，才能使所得的混合物中A，B和c，这三种成分的重量比为3：5：2?【分析与解】注意到种混合物种A、B重量比与最终混合物的A、B重量比相同，均为3：5.所以，先将第二种、第三种混合物的A、B重量比调整到3：5，再将第二种、第三种混合物中A、B与种混合物中A、B视为单一物质.第二种混合物不含A，第三种混合物不含B，所以1.5倍第三种混合物含A为3，5倍第二种混合物含B为5，即第二种、第三种混合物的重量比为5：1.5．于是此时含有c为5×2+1.5×3=14.5，在最终混合物中c的含量为3A／5B含量的2倍．有14.5÷2-1=6.25，所以含有种混合物6.25．即、二、三这三种混合物的比例为6.25：5：1.5=25：20：6．7．现有男、女职工共1100人，其中全体男工和全体女工可用同样天数完成同样的工作；若将男工人数和女工人数对调一下，则全体男25天完成的工作，全体女工需36天才能完成，问：男、女工各多少人?【分析与解】直接设出男、女工人数，然后在通过方程求解，过程会比较繁琐．设开始男工为“1”，此时女工为“”，有1名男工相当名女工．男工、女工人数对调以后，则男工为“”，相当于女工“2”，女工为“I”．有2：1=36：25，所以=．于是，开始有男工数为×1100=500人，女工600人．．有甲乙两个钟，甲每天比标准时间慢5分钟，而乙每天比标准时间快5分钟，在3月15日的零点零分的时候两钟正好对准．若已知在某一时刻，乙钟和甲钟时针与分针都分别重合，且在从3月15日开始到这个时候，乙钟时针与分针重合的次数比甲钟多10次，那么这个时候的标准时间是多少?【分析与解】标准的时钟每隔分钟重合一次．假设经历了x分钟．于是，甲钟每隔分钟重合一次，甲钟重合了×x次；同理，乙钟重合了×x次；于是，需要乙钟比甲钟多重合×x-×x=×x=10;所以，x=24×60；所以要经历24×60×65分钟，则为天.于是为65天小时分钟．．一队和二队两个施工队的人数之比为3：4，每人工作效率之比为5：4，两队同时分别接受两项工作量与条件完全相同的工程，结果二队比一队早完工9天．后来，由一队工人与二队工人组成新一队，其余的工人组成新二队．两支新队又同时分别接受两项工作量与条件完全相同的工程，结果新二队比新一队早完工6天．试求前后两次工程的工作量之比?【分析与解】一队与二队的工作效率之比为：：=15：16．一队干前一个工程需9÷=144天．新一队与新二队的工作效率之比为：新一队干后一个工程需6÷=282天．一队与新一队的工作效率之比为所以一队干后一个工程需282×天．前后两次工程的工作量之比是144：=：=540：1081.。

小学奥数-比和比例(教师版)教学内容

小学奥数-比和比例（教师版）比和比例特色讲解〕【例1】★已知3 : （x-1 ）=7:9，求x.【解析】x 467【小试牛刀】某班的男、女生之比为3:2，又来了4名女生后，全班共有44人。

求现在的男、女生人数之比。

【解析】原有40人，男生有40X 3-5=24人，女生40-24=16人，现在男女人数之比24:20=6:5【例2】★甲、乙两个长方形，它们的周长相等。

甲的长与宽之比是3:2，乙的长与宽之比是7:3，那么甲与乙的面积之比是多少？【解析】长+宽相等。

甲的长：宽=6:4，乙的长：宽=7:3.所以甲乙的面积比为（6 4）:（7 3） 8:7【例3】★★两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶中酒精与水的体积之比是3:1，而另一个瓶中酒精与水的体积之比是4:1，若把两瓶酒精溶液混合，则混合后的酒精和水的体积之比是多少？【解析】两个瓶子体积相同。

第一个瓶子酒精：水=3:仁15:5，第二个瓶子酒精：水=4:1=16:4，于是混合后酒精:水=（15+16）:（5+4）=31:9【小试牛刀】水果店运来的西瓜个数与白兰瓜个数的比为7:5.如果每天卖白兰瓜40 个，西瓜50个，若干天后卖完白兰瓜时，西瓜还剩36个。

问:水果店运来的西瓜有多少个？【解析】卖的瓜的总数比为西瓜：白兰瓜=5:4=25:20,原有西瓜：白兰瓜=7:5=28:20,西瓜剩3份36个,每份12个，所以原有西瓜28X 12=336个。

【例4】★★商店购进甲乙两种不同糖果，所用费用之比为2:1，甲种糖果每千克6元，乙种每千克2元。

如果把这两种糖果混在一起成为什锦糖，那么，这种什锦糖每千克多少元？2 1 6 2 2 3【解析】费用比2:1，单价比3:1，重量比-:2：，平均价格为 3.6（元/3 1 2 3千克）【例5】★★甲乙二人共加工零件400个，甲加工一个零件用9分钟，乙加工一个零件用15分钟。

完成任务时，甲比乙多加工多少个零件？5 3400 ——100【解析】工效之比15:9=5:3，甲比乙多加工 5 3（个）【小试牛刀】甲乙走完同一段路分别用40分和30分，甲先走5分后乙再追，乙几分钟才能追上甲？【解析】甲乙速度之比3:4，设乙x分追上甲，则甲用（5+x）分，3（5+x）=4x，x=15【例6】★★甲走的路比乙多1，乙用的时间却比甲多1,则甲乙两人的速度比是多34少？【解析】甲乙路程之比是4:3，甲乙时间之比是4:5，所以甲乙速度之比是5:3 【例7】★★从A 地到B 地，甲、乙两人骑自行车行完全程所用的时间的比是 4:5，如果甲、乙两人同时分别从 A 、B 两地相对骑出，40分钟相遇。

(完整版)六年级奥数题：比和比例一

比例问题一、填空题1.4:( )=2016=( )÷10=( )% 2.在3:5里,如果前项加上6,要使比值不变,后项应加 .3.12:1的图纸上,精密零件的长度为6厘米,它的实际长度是毫米.4.某生产队有一块正方形菜地,边长120米,在总面积中种植西红柿、南瓜、茄子面积的比是25:1:21,三种蔬菜各种了亩.5.买甲、乙两种铅笔共210支,甲种铅笔每支价值3分,乙种铅笔每支价值4分,两种铅笔用去的钱相同,甲种铅笔买了支.6.车库中停放若干辆双轮摩托车和四轮小卧车,车的辆数与车的轮子数的比是2:5.问:摩托车的辆数与小卧车的辆数的比是 .7.自然数A 、B 满足182111=-B A ,且A :B =7:13.那么,A +B = . 8.光明小学有三个年级,一年级学生占全校学生人数的25%,二年级与三年级学生人数的比是3:4,已知一年级比三年级学生少40人,一年级有学生人.9.水泥、石子、黄砂各有5吨,用水泥、石子、黄砂按5:3:2拌制某种混凝土,若用完石子,水泥缺吨.黄砂多吨.10.甲、乙两人步行的速度比是13:11.如果甲、乙分别由A 、B 两地同时出发相向而行,0.5小时后相遇,如果它们同向而行,那么甲追上乙需要小时.11.已知甲、乙两数的比为5:3,并且它们最大公约数与最小公倍数的和是1040,那么甲数是多少,乙数是多少.12.有一块铜锌合金,其中铜与锌的比是2:3.现在加入锌6克,共得新合金36克,求在新合金内铜与锌的比.13.一段路程分成上坡、平路、下坡三段,各段路程长之比依次是1:2:3.某人走各段路所用时间之比依次是4:5:6.已知他上坡时速度为每小时3千米.路程全长50千米.问:此人走完全程用了多少时间?14.一个圆柱体的容器中,放有一个长方形铁块.现在打开一个水龙头往容器中注水,3分钟时,水恰好没过长方体的顶面,又过了18分钟,水灌满容器.已知容器的高度是50厘米.长方体的高度是20厘米,那么长方体底面积:容器底面面积等于多少?练习题1 有一个长方体，长与宽的比是2：1，宽与高的比是3：2，已知这个长方体的全部棱长之和是220cm。

五年级下册讲义 13讲比和比例(含答案、奥数板块)--北师大版

比和比例【知识讲述】学习比和比例关系是提高小学数学综合能力的一个重要方面，深刻理解相关联的量是学习的基本要求。

比和比例的学习,也是为中学学习函数打下基础。

用比和比例解答的应用题有：1．按比例分配应用题。

把一个数量按一定的比进行分配，解答这类应用题的关键是根据题中所给的比，转化成求一个数的几分之几来做。

2．正、反比例应用题。

解答这类应用题，首先要找出相关联的量，然后判断成什么比例关系，建立比例式。

【例题精讲】例1 、一个长方体的棱长总和是180厘米，它的长、宽、高之比是4:3:2。

这个长方形的体积是多少立方厘米？练习、一个长方体长与宽的比是4:3，宽与高之比是5:4，长方形的长是100厘米，求长方体的体积。

例2 、兄弟俩共有85元，他们都买了一支价格相同的钢笔，哥哥花掉了自己钱数的34，弟弟花掉了自己钱数的23，哥哥还剩多少元？练习、甲乙两数的和是99，甲数的45 等于乙数的23，那么甲数与乙数各是多少？例3 、甲、乙、丙三人一起去商场购物，甲花钱数的12 等于乙花钱数的13 ，乙花钱数的34等于丙花钱数的47，结果丙比甲多花钱93元。

问他们三人共花了多少钱？练习、周、吴、张3人共有810元，周用了自己钱数的23 ，吴用了自己钱数的35，张用了自己钱数的34，都买了一件价格相同的衣服，那么周和吴剩下的钱共有多少元？例4、饲养场里有鸡、鸭、鹅共860只，鸡、鸭的只数比是3:4，鸡、鹅的只数比是4:5，鸡、鸭、鹅各有多少只？练习、商店运进香蕉、梨、苹果共775千克，其中香蕉、梨的重量比是3:5，梨、苹果的重量比是2：3。

商店运进苹果、梨、香蕉各多少千克？例5、一批货物共值171万元。

如果第一、二、三批货物的质量比为2：4：3，单位质量的价格之比为6：5：2，这三批货物各值多少万元？练习、一段路程分成上坡、平路、下坡三段,各段路程长之比依次是1:2:3.某人走各段路所用时间之比依次是4:5:6.已知他上坡时速度为每小时3千米.路程全长50千米.问:此人走完全程用了多少时间?例6、有两杯体积相同的酒精溶液，第一杯中酒精与水的比是3：5，第二杯酒精与水的比是1：4。

(完整版)小学奥数-比和比例(教师版)

比和比例xx.=7:9（，求-1）【例1】★已知3 :6【解析】4x?7人。

求现在的男、女生444名女生后，全班共有【小试牛刀】某班的男、女生之比为3:2，又来了人数之比。

40-24=16人，40人，男生有40×3÷5=24人，女生【解析】原有24:20=6:5现在男女人数之比，，乙的长与宽之比是7:3】★甲、乙两个长方形，它们的周长相等。

甲的长与宽之比是3:2【例2 那么甲与乙的面积之比是多少？=7:3. :宽:宽=6:4，乙的长【解析】长+宽相等。

甲的长7?8:(7?3)(6?4):所以甲乙的面积比为而另一个瓶中酒3:1，★★两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶中酒精与水的体积之比是【例3】 4:1，若把两瓶酒精溶液混合，则混合后的酒精和水的体积之比是多少？精与水的体积之比是，于是水=4:1=16:4=3:1=15:5，第二个瓶子酒精:【解析】两个瓶子体积相同。

第一个瓶子酒精:水=(15+16):(5+4)=31:9水混合后酒精:个，5040个，西瓜【小试牛刀】水果店运来的西瓜个数与白兰瓜个数的比为7:5.如果每天卖白兰瓜水果店运来的西瓜有多少个？36个。

问:若干天后卖完白兰瓜时，西瓜还剩,个3份36原有西瓜:白兰瓜=7:5=28:20,西瓜剩【解析】卖的瓜的总数比为西瓜:白兰瓜=5:4=25:20, 个。

个，所以原有西瓜28×12=336每份12乙种每千克元，甲种糖果每千克6★★商店购进甲乙两种不同糖果，所用费用之比为2:1，【例4】元。

如果把这两种糖果混在一起成为什锦糖，那么，这种什锦糖每千克多少元？232?6?2?213.6?：3?2：)，平均价格为【解析】费用比2:1，单价比3:1/千克(，重量比元32?31分钟。

15个，甲加工一个零件用9分钟，乙加工一个零件用甲乙二人共加工零件【例5】★★400 完成任务时，甲比乙多加工多少个零件？3?5100?400?3?515:9=5:3（个），甲比乙多加工【解析】工效之比? 分后乙再追，乙几分钟才能追上甲5分和30分，甲先走【小试牛刀】甲乙走完同一段路分别用40xxxxx=15 )=4，设乙分追上甲，则甲用(5+，)分，3(5+【解析】甲乙速度之比3:411? ，则甲乙两人的速度比是多少甲走的路比乙多【例6】★★，乙用的时间却比甲多435:34:5，所以甲乙速度之比是【解析】甲乙路程之比是4:3，甲乙时间之比是，如果甲、乙两人地，甲、乙两人骑自行车行完全程所用的时间的比是B4:5从【例7】★★A地到地晚多少BA40BA同时分别从、两地相对骑出，分钟相遇。

六年级上册奥数试题：第12讲比和比例全国通用(含答案)

第12讲比和比例知识网络比和比例问题是一类与数量之间的正反比例关系相关的应用题。

它包括以下几个主要内容：（1）两个数的比实际就是这两上数的商。

表示两个比相等的式子叫做比例。

组成比例的四个数叫做比例的项，比例中两个外项的积等于两个内项的积。

（2）如果两种相关量x、y，可以写成，其中k是一个定值，那么称x、y为成正比例的量。

（3）如果两种相关联的量x、y，可以写成x×y=k，其中k是一个定值，那么称x、y 为成反比例的量。

（4）两上以上的数的比叫做连比。

连比满足比例的基本性质，也就是a∶b∶c=na∶nd∶nc(n≠0)。

重点·难点比和比例问题的重点在于正确找出两种相关的量，并明确二者之间的比例关系。

例如：1．常见的正比例关系（1）亩产量一定时，播种面积和总产量成正比例的关系，即（2）工作效率一定时，工作总量与工作时间成正比例的关系，即（3）速度一定时，路程与时间成正比例的关系，即2．常见的反比例关系（1）平行四边形的面积一定时，它的底和高成反比例的关系，即底×高=平行四边形的面积（一定）（2）总时间一定时，制造成零件个数和制造每个零件所用的时间成反比例的关系，即制造每个零件所用的时间×零件个数=总时间（一定）（3）两上互相啮合的齿轮，当齿轮转过的齿数一定时，齿数与转数成反比例的关系，即齿轮的齿数×转数=齿轮转过的齿数（一定）学法指导解答正、反比例的应用题时，首先要找出题中相关联的量，即两个变量，再确定题中隐含着的定量，判断两个变量间的比例关系，建立正确的比例式。

经典例题[例1]猎犬发现在离它10米远的前方有一只狂跑着的野兔，立刻追赶。

猎犬的步子大，它跑2步的路程，兔子要跑3步；但是兔子的动作快，猎犬跑3步的时间，兔子能跑4步。

问猎犬至少要跑多少米方能追上野兔？思路剖析从猎犬开始追兔子到追上兔子，猎犬和兔子所用的时间相等，即时间一定，因此，它们跑的速度与距离成正比例的关系。

六年级的奥数比和比例.doc

六年级奥数比和比例23 4分析依据题意有3 A= 4B=5C,则六年级奥数比和比例例题 2 六年级奥数比和比例是7：5;如果甲校给乙校650 本 ;甲、乙两校的图书本数的比就是3：4;原来甲校友图书多少本？随堂练习（1）有一个长方体 ;长和宽的比是 2： 1;宽与高的比是 3:2。

已知这个长方体的全部棱长之和是 220cm; 求这个长方体的体积。

11（2）小明和小方各走一段路;小明走的路程比小方多5;小方用的时间比小明多8。

小明和小方的速度之比是多少？（ 3）甲、乙两仓库存货吨数比为 4：3;如果由甲库中提取 8 吨放到乙库中 ;则甲、乙两仓库存货吨数比为 4：5。

两仓库原存货总吨数是多少吨？例题 3 如图（见黑板） ;正方形 ABCD 的边 AB 与正方形 MNPQ 的边 PQ 平行且相等。

试求阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积之比。

例题 4 如图 ;三个同心圆 ;他们的半径之比是 3：4：5;如果大圆的面积是 100 平方厘米 ;那么中圆和小圆之间的圆环面积是多少？练习(1)如图在四边形ABCD 中;AC 和 BD 相交于 O 点。

三个小三角形的面积分别是20、 16、32。

那么阴影三角形BOC 的面积是多少？ABO DC(2)如图所示梯形ABCD 的上底 AD 长 12 厘米 ; 高 BD 长 18 厘米 ;BE=2DE, 则下底 BC 长多少厘米？A DB C1、六年级一班的男、女生比例是3：2;又来了 4 名女生后 ;全班共有 44 人 ;求现在的男、女生人数之比。

2、师徒二人共加工零件 400 个;师傅加工一个零件用 9 分钟 ;徒弟加工一个零件用 15 分钟。

完成任务时 ; 师傅比徒弟多加工多少个零件？3、甲、乙两人的钱数之比是3：1;如果甲给乙 0.6 元;则两人的钱数之比变为2：1.两人共有多少钱？4、一条路全长是60 千米 ;分成上坡、平路、下坡三段;各段路程的长度之比是1：2：3;某人走各段路程所用的时间之比是3：4：5。

第五课六年级比和比例奥数.

第五课比与比例一、知识总结1、比： k ba b a b a ==÷=:；比的性质：(0::≠=c bc ac b a 2、比例式： d c b a ::= (外项、内项比例性质：bc ad d c b a =⇔= 比例改写： a b c d a c b d d b c a d c b a ::::::::=⇔=⇔=⇔=(比例性质的应用3、比例中项： ac b c b b a =⇔=2::4、比例方程：含有未知项的比例叫做比例方程。

5、正比例、反比例①正比例：若两个量之间的比值固定不变，则这两个量成正比例。

若k b a =:（k 一定），则a 、b 成正比例②反比例：若两个量的乘积固定不变，则这两个量成反比例。

若k ab =（k 一定），则a 、b 成反比例。

6、比例的应用：①图形缩放：将图形按照给定比放大或缩小，对应边长、高之比等于给定比。

面积比等于给定比的平方。

②比例尺：比例尺=图上距离÷实际距离；图上距离=实际距离×比例尺；实际距离=图上距离÷比例尺。

缩小，比例尺＜1；放大，比例尺＞1③比例应用题：整理题中的数量组成比例，求出比例中的未知项。

二、巩固练习比的计算1、化成最简整数比：211:1. 2:57= 2、求比值：602cm ：602dm =3、解比例 8:x =3224、若整数x 能与2、6、15这三个数组成比例，求x 的值。

5、若5:2:=b a 且ac b =2，则c b :=6、已知y x 32=，①求：y x : ②求yx y x +-22的值③若x 比y 大4，求x 和y 的值比例的应用7、比例尺通常写成前项是（）的比。

除数值比例尺之外，还有（）比例尺。

8、学校操场长800米，宽500米，如果画在比例尺是1：1000的图纸上，长应画（）厘米，宽应画（）厘米，图形面积是实际面积的（）。

9、一张设计图的比例尺是20：1，在图纸上量得一个零件长40厘米，这个零件实际长（）。

比和比例专题讲义全.docx

比和比例讲义比和比例知识点比比例意义两个数相除 ,又叫做两个数的比 .表示两个比相等的式子叫做比例。

如， 90÷60=90:60(90比 60)如，90：60=3:290：60= 1.590：60内项=3:2前项比号后项比值外项各部分名称（共有 2 个项）（共有4个项）基本比的前项和后项都乘上或除以相同在比例中，两个外项的积等于两个内项的性质的数（0 除外），比值不变。

积。

如， 90:60= （ 90 ×5 ） : （ 60 ×5 ）如， 90：60=3:=1.5290:60= （90 ÷15） :（60 ÷15）=1.590× 2=60 ×3两个外项的积两个内项的积化简比的依据解比例的依据如， 90:60= （ 90 ÷15） :（ 60 ÷15 ）如，5：x=1.6 ：3.2=6:4 1.6x=5 ×3.21.6x=16x=10化比的方法整数比比的前和后同除以它最大公因数（也可以一步一步的除）如， 18:6= （18 ÷6）：（ 6÷6）=3:1或18:6=（18÷2）：（6÷2）=9:3= （9÷3）：（ 3÷3）=3:1小数比先把比的前和后同乘以10、 100 ⋯⋯，成整数比；再把整数比化成最比如， 0.25:1.5= （ 0.25 ×100 ）：（ 1.5×100 ） =25:150=1:6分数比先把比的前和后同乘以它分母的最小公倍数，成整数比；再把整数比化成最比如，5：3= （5×24 ）：（3×24） =20:9 6 868混合比先把混合比成小数比或分数比（如果比中的分数不能化成有限小数的，一般化分数比），再成整数比，最后把整数比化成最比如，5：0.2=5：1=25:2 或5：0.2=2.5:0.2=25:2 2252判断两个比成不成比例的方法方法一. 。

(完整版)六年级奥数-第二讲.比和比例.教师版

比和比例（二）例题精讲：模块一、比例转化【例 1】某团体有100名会员，男女会员人数之比是14:11，会员分成三组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多，各组男女会员人数之比依次为12:13、5:3、2:1，那么丙组有多少名男会员？【例 2】 (2007年华杯赛总决赛)A、B、C三项工程的工作量之比为1:2:3，由甲、乙、丙三队分别承担．三个工程队同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙队的工作效率的比是多少？【巩固】某次数学竞赛设一、二、三等奖．已知：①甲、乙两校获一等奖的人数相等；②甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5:6；③甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的20%；④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的50%；⑤甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的4.5倍．那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少？【例 3】①某校毕业生共有9个班，每班人数相等．②已知一班的男生人数比二、三班两个班的女生总数多1；③四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多1．那么该校毕业生中男、女生人数比是多少？模块二、按比例分配与和差关系（一）量倍对应【例 4】一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到16个，而甲、乙两班的人数比为13:11，求一共有多少个苹果？【巩固】小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为3:4:6，三人一共藏书52本，求他们三人各自的藏书数量.【巩固】在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了80元．已知甲比丙多捐18元，甲、乙所捐资的和与乙、丙所捐资的和之比是10:7，则甲捐元，乙捐元，丙捐元．【巩固】有120个皮球，分给两个班使用，一班分到的13与二班分到的12相等，求两个班各分到多少皮球？【例 5】一班和二班的人数之比是8:7，如果将一班的8名同学调到二班去，则一班和二班的人数比变为4:5．求原来两班的人数．【例 6】幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生．已知大班男生数与女生数的比为5:3，中班男生数与女生数的比为2:1，那么大班有女生多少名？【巩固】参加植树的同学共有720人，已知六年级与五年级人数的比是3:2，六年级比四年级多80人，三个年级参加植树的各有多少人?【巩固】圆珠笔和铅笔的价格比是4：3，20支圆珠笔和21支铅笔共用71．5元．问圆珠笔的单价是每支多少元?【例 7】甲乙两车分别从A，B两地出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度比是5∶4，相遇后，甲的速度减少20％，乙的速度增加20％，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米．问：A，B两地相距多少千米？【例 8】师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工100个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件？【巩固】师徒二人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？【例 9】A、B、C三个水桶的总容积是1440公升，如果A、B两桶装满水，C桶是空的；若将A桶水的全部和B桶水的15，或将B桶水的全部和A桶水的13倒入C桶，C桶都恰好装满．求A、B、C三个水桶容积各是多少公升？【巩固】学而思学校四五六年级共有615名学生，已知六年级学生的12，等于五年级学生的25，等于四年级学生的37。