湖北省荆门龙泉中学、宜昌一中2020-2021学年高三2月联考数学试题含参考答案
湖北省荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校2020届高三数学联考试题文
湖北省荆州中学、宜昌⼀中、龙泉中学三校2020届⾼三数学联考试题⽂届⾼三数学联考试题宜昌⼀中、龙泉中学三校2020湖北省荆州中学、⽂分钟。
150分，考试⽤时120本试卷共 2 页，共 22 题。
满分⼀、选择题：（本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分。
在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的。
请将正确的答案填涂在答题卡上。
）z2a的虚部为 1．已知为纯虚数，则复数为实数，若复数3)i9)?(az?(a??i?3D．66 C．A．3B．22?3y?}x{3?0},B?x|A?{x|x?2x?A?B? 2．已知，则[?3,?3][3,3][2,[1,2]3]．． D． C B．A ln x y?e的定义域和值域相同的是3．下列函数中，其定义域和值域与函数1x?yy?10xy?x?ln y D． B．A． C．x0.20.4,log40.5,3的⼤⼩顺序是 4．三个数0.40.20.40.20.434?log0.5?0.53<4log?A．． B0.40.40.40.20.40.23DC．．0.40.4*a10a??S N?na?a??aa则5．数列,且,满⾜815nn??11n?2nn A．95 B．190 C．380 D．150x f(x)?e?ln|x|的⼤致图象为 6．函数A B C Dlog x,x?1?2?f(x)?fxxf）≤2的解集为 =，则不等式（．已知函数7（）?1,x?1?1?x?- 1 -1141,4??,1,??,．A ． B．C??22,4,01． Da225?64?a?aa??a}{a?)tan(?．已知数列8为等⽐数列，且，则7243n333?33??． B C A．．． D 312?xx cos f(x)?sin x?3sin，则下列结论正确的是．函数92,?)xff(x)(上单调递增 BA．的最⼤值为1．在??6377??,0)xy)?f(fy?(x?x的图象关于点C．．的图象关于直线对称 D??1212??对称．下列判断正确的是10?1sin”的充分不必要条件A．“”是“62x?0,则xy?0”的逆否命题为真B．命题“若xx R??x R??x?020?2”，”的否定是“，C．命题“00p??q”为真命题 p为真命题，命题q为假命题，则命题“D．若命题a2(1,2)1a ln x?f(x)?x? 11．已知函数在的取值范围是内不是单调函数，则实数2,8??,28,2,8?2,8??．．． BDA． C2ca0??B)42?2a(sin B?cos a bCBA ABC?、、，．，12在满⾜中，⾓、、的对边长分别b?2?ABC 的⾯积为，则22232 C A． B．．3 D．分，共54⼆、填空题（本⼤题共⼩题，每⼩题分）20- 2 -ba ebe,,e3a3e2e⽅向上的投影为，则为单位向量且夹⾓为13．已知，设在221124 __ ___．1tan??),sincos?(0,．已知14，则．5n1log(S?2)?n?}}{a{aS 的通项公式项和，且．已知的前为数列，则数列15n2nnn 为．x?e?a,x?1?f(x)?a的取值范围为有最⼩值，则实数． 16．若函数?23?x?3x,x?1 ??三、解答题：（本⼤题共6⼩题，共70分，解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤）17．（本⼩题满分12分）a,a}a{2a?a32a?a?的等差中项．已知等⽐数列是，且满⾜342231n{a}（Ⅰ）求数列的通项公式；n1{b}S log b?a?．（Ⅱ）若，求的前n项和为n n2nn a n分）．（本⼩题满分12182b?3c cos C ca?CbABC?BA. ，，且的对边分别为，在，中，⾓，cos A3a A的值；（Ⅰ）求⾓πAM? 7?ABC BC?B的⾯积，求，. 边上的中线（Ⅱ）若⾓6- 3 -19．（本⼩题满分12分）ABCDBCBCDCBC EADABBD边的⊥//是，⊥, ，1如图，在直⾓梯形点中，BCDAC DEAEABDBDABD, 沿,折起，使平⾯,⊥平⾯得到，连接中点, 将△如图2所⽰的⼏何体．ADC AB；（Ⅰ）求证：⊥平⾯1?AD BADE的距离．到平⾯，求点,（Ⅱ）若2AB?AD DCBEECB图12图分）．（本⼩题满分122022yx??1(m?1)ABBlx=-M,于点,过点作直线交椭交直线2椭圆的左、右顶点分别为,m?2m P．圆于另⼀点（Ⅰ）求该椭圆的离⼼率的取值范围；- 4 -OM?OP是否为定值，若是，求出该定值，若不是，说，判断（Ⅱ）若该椭圆的长轴长为4明理由．21．（本⼩题满分12分）12x?m cos x1,g(x)??(fx)?x?2sin x．已知函数20,)xf(上的单调区间；在（Ⅰ）求0,)g(x m上存在最⼩值．（Ⅱ）当1＞时，证明：在（⼆）选考题：共10分．请考⽣在第22,23题中任选⼀题作答．如果多做，按所做的第⼀题记分．22．（本⼩题满分10分）选修4—4：极坐标与参数⽅程cosxxOyP(x,y):C经过上任意⼀点(在平⾯直⾓坐标系中，将曲线为参数) ?1?sin?y?- 5 -?x3x'??C O x轴的⾮负半轴为极后得到曲线伸缩变换为极点，的图形．以坐标原点2y2'y8(2cos)l:sin轴，取相同的单位长度建⽴极坐标系，已知直线．C l的普通⽅程；（Ⅰ）求曲线和直线2C lPPP的距离的最⼤值及取得最⼤值时点到直线（Ⅱ）点上的任意⼀点，为曲线求点2的坐标．：不等式选讲4—5)．(本⼩题满分10分选修234x??g(x)k?3x1|?|3x?|?f(x)|已知函数．,4?)f(x3k??求不等式的解集；时（Ⅰ）当,1k??,?x?)(x)f(x?gk1?k??求且当（Ⅱ）设,的取值范围．,时，都有?33??- 6 -宜昌⼀中、荆州中学、龙泉中学三校联盟⾼三11⽉联考⽂科数学参考答案⼀、选择题1-5 DBABD 6-10 BBCBD 11-12 AB⼆填空题324n2?2?a a?e?n不给分,若只写2 15 16． 13 14．．（．）n23三．解答题17．解：设公⽐为q…………………………………………………………………………1分222a?a?3a2a?aq?3aq2?q?3q，解得得q=1或2………由 3，∴213111分a?2a?2a,a a?a是（⼜=）的等差中项即2334242aa，⽅程⽆解，舍去； (4)分 +2）=2若q=1，则2（11aaaa=2+8+2）=2若q=2，则2（4，解得1111n-1n a?aq?2∴………………………………………………………………6分n11n2-n log a? b?（2）∵=2nn a nn?1n(n?1)2-2n(n?1)n?1-S?-2-?2n1-222∴………………………………12分）因为1， 18.解析：（Ca cos A3c)cos?3(2b?由正弦定理得，CA cos A?3sin C(2sin B?3sin)cos??CA?3sin?． (4)A2sin B3sin A cos CC cos?cos A?3sin??Csin?AsinB??C－A－B＝，因为，所以所以．B3sin2sin B cos A??)，(0B?sinB?0，，所以因为?3AA0．……………6，所以所以，因为分?cos A62?π2C?A?B?BCAC?）知2（ .8，所以，．……………分）由（136- 7 -1xMC?x?AC，⼜，则设7.AM?2AMC中，由余弦定理在222得,?ACAM?MC2?AC?MC cos Cxx22o2,7)?x?()?2x??cos120(2即解得2?x22?2123.x?sin?S ...................................................... 1 2故分ABC?32BCDBCD BD?ABDABD，平⾯平⾯Ⅰ19． () 因为平⾯，⊥平⾯DCDC ABDBD分⊥平⾯⼜……………………⊥1，所以DC ABAB?ABD因为⊥分平⾯………………………2，所以DC DADAB?AD⊥⼜∩ADC AB 6所以分⊥平⾯．…………………………………………1?AD3BD?? (Ⅱ)．，2?ABBDC ABD～△，依题意△A CDAB CD2??6?CD?所以，即．分…………7BDAD13D3BC?故……………………………6分．CBE BCADCAC EABAB, , 由于⊥平⾯为，的中点⊥3BCBC32DEAE?S得，所以，同理ADE2222231DC ABD?CD?V? S．，所以⊥平⾯因为ABDBCDA?33dADEB, 的距离为到平⾯设点311??V??dS?VV, 则BCD??ADEBDEB?ADEAA6236?d所以…………………… 11分，26ADEB分12即点到平⾯的距离为．……………………2- 8 -=∵=e==．, (2)分)解:20 (Ⅰ=∴,1,⼜0．∴e...................................................................... 5(0,)分∈=∴m=∵2, .......................................... 椭圆的长轴长为62分4, (2)证明:A-BM-yPxy), 设),(易知((2,2,0),,(2,0),Ⅰ0Ⅰ=-xyy=),,((2,则),0ⅠⅠx+yy=-BMx-y=-, 即直线(的⽅程为2),022=+yx4,代⼊椭圆⽅程22=x-+x-=x+ 4......................................... 得(10,由韦达定理得)28分Ⅰ=∴∴xy=, .............................................................. 9,分ⅠⅠ==+=-x+yy．=-∴ ........................................ 212分4·ⅠⅠ0xfx，π），得0，即，21．（1）令′（）=0∈（xfxfx）变化如下：），当变化时，（′（xxf0 ） - +′（xf最⼩值减）增（fx）的单调递减区间为所以函数分）…………………（，单调递增区间为5 （- 9 -。
2021年宜昌市二月联考高三数学试题
闯关成功.若某位参赛者回答前两个问题正确的概率都是 2 ，回答第三个问题正确的概率是 1 ，且
3
2
各题回答正确与否相互之间没有影响.
（1）求这位参赛者仅回答正确两个问题的概率；
（2）求这位参赛者回答这三个问题的总得分 的分布列和期望；
（3）求这位参赛者闯关成功的概率.
21.(12 分）已知点 A 、 B 坐标分别是 (2 2，0) 、(2 2，0) ，直线 AP 、 BP 相交于点 P ，且它们斜
（1）求数列{an}的通项公式 an ；
（2）若 bn
1 an an 1
(n N *) ，求数列{bn} 的前 n
项和 Tn .
数学试题第 3 页 共 4 页
18.(12 分 ） 在 △ ABC 中 ， 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 是 a 、 b 、 c ， 且 a 41 ，
2b sin B C 5a sin B . 2
P（91 95) 0.25 .若该校有 700 人参加此次检测，估计该校此次检测数学成绩不低于 99 分
的人数为（ ）
A. 100
B. 125
C. 150
D. 175
3.已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0，b
0) 的一条渐近线过点（3，4），则该双曲线的离心率为（
）
5
A.
4
5
B.
3
4
C.
1.设全集U R ，集合 M {x x 0}，集合 N {x x2 1}，则（CU M） N （ ）
A. (0，1]
B. [1，0]
C. [1， )
D. (,1]
2. 某 校 一 次 高 三 年 级 数 学 检 测 ， 经 抽 样 分 析 ， 成 绩 近 似 服 从 正 态 分 布 N（95， 2 ) ， 且
湖北剩州中学宜昌一中龙泉中学三校2020届高三数学联考试题文【含答案】
，x∈（0，π），得
当 x 变化时，f′（x），f（x）变化如下：
x
f′（x -
）
f（x） 减
0
+
最小值 增
所以函数 f（x）的单调递减区间为
，单调递增区间为
…………………（5 分）
（2）因为
，所以 g′（x）=x-msinx
令 h（x）=g′（x）=x-msinx，则 h′（x）=1-mcosx……………（6 分）
3 sin Acos C
3 sin C cos A
3sin A C
．
因为 B＝－－A
C
，所以
sinB
sin
A
C
，
……………4 分
所以 2sin B cos A 3 sin B ．
因为 B (0， ) ，所以 sinB 0，
cos A 3
A
所以
2 ，因为 0 A ，所以 6 ．
……………6 分
（Ⅰ）求数列{an} 的通项公式；
（Ⅱ）若 bn
an
log2
1 an
，求{bn }的前
n
项和为 Sn
．
18．（本小题满分 12 分）
在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 2b 3c cos C . 3a cos A
（Ⅰ）求角 A 的值； （Ⅱ）若角 B π ， BC 边上的中线 AM 7 ，求 ABC 的面积.
（Ⅱ）设 k
1 ,且当
x
k 3
,
1 3
时，都有
f
(x)
g(x)
,求
k
的取值范围．
一、选择题 1-5 DBABD 二 填空题
湖北剩州中学宜昌一中龙泉中学三校高三数学联考试题理
湖北省荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校2020届高三数学联考试题理本试卷共 2 页，共 23 题。
满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名.准考证号填在答题卡上.2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效.3. 填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请将正确的答案填涂在答题卡上。
）1．已知U R =，函数)1ln(x y -=的定义域为M ，}0|{2<-=x x x N ，则下列结论正确的是 A ．MN N = B ．()U MC N φ= C ．M N U =D ．)(N C M U ⊆2．复数z 满足：(2)i z z -⋅=（i 为虚数单位），z 为复数z 的共轭复数，则下列说法正确的是A ．22i z = B ．2z z ⋅= C ．||2z = D ．0z z += 3．下列函数中，其定义域和值域与函数ln xy e =的定义域和值域相同的是A ．y=B ．ln y x =C ．y x =D ．10xy =4．三个数0.20.40.44,3,log 0.5的大小顺序是A ．0.40.20.43<4log 0.5<B ．0.20.40.4log 0.543<<C ．0.40.20.4log 0.534<<D ．0.40.20.43<log 0.5<45．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“20190S >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.在边长为2的等边三角形ABC 中，若1,3AE AC BF FC ==，则BE AF ⋅=A ．23-B ．43-C ．83- D ．2-7.《九章算术·均输》中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为 A ．43钱 B ．73钱 C ．83钱 D ．103钱 8．2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：(1)个税起征点为5000元；(2)每月应纳税所得额(含税)=收入-个税起征点-专项附加扣除；(3)专项附加扣除包括①赡养老人费用 ②子女教育费用 ③继续教育费用 ④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月共扣除2000元 ②子女教育费用：每个子女 每月扣除1000元．新个税政策的税率表部分内容如下：现有李某月收入18000元，膝下有两名子女，需要赡养老人，(除此之外，无其它专项附 加扣除，专项附加扣除均按标准的100%扣除)，则李某月应缴纳的个税金额为 A ．590元 B ．690元 C ．790元 D ．890元 9．已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是A ．()2,8B ．[]2,8C ．(][),28,-∞+∞D ．[)2,810.已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若方程()23f x =的解为12,x x (120x x π<<<)，则()21sin x x -=A ．23 B ．49C11.若函数32,1()3,1xe a xf x x x x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩有最小值，则实数a 的取值范围为 A ．(],1-∞ B ．(],e -∞ C ．(]0,1 D ．(]0,e 12.{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2k a k Z π≠∈，223557sin 2sin cos sin a a a a +⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调且存在020,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是 A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．24,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．33,42⎛⎤⎥⎝⎦ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知1(0,),sin cos 5απαα∈+=，则tan α=_______． 14．已知命题200:,10p x R mx ∃∈+≤；命题2:,10q x R x mx ∀∈++>．若p q ∨为假命题，则 实数m 的取值范围为_________．15．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别,,a b c ，满足2(sin cos )40,2a B B b -++==，则ABC ∆的面积为_________．16．函数21y x =-和ln 1y a x =-有相同的公切线，则实数a 的取值范围为_________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos b c b A =-． （Ⅰ）求证：2A B =；（Ⅱ）若53b c =，a =BC 边上的高．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且当2n ≥时，满足21nn n S a S =-．（Ⅰ）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （Ⅱ）证明：2221274n S S S +++<．19．（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，//,2AB CD CD AB =．（Ⅰ）设AC 与BD 相交于点M ，()0AN mAP m =>，且//MN 平面PCD ，求实数m 的值； （Ⅱ）若,60,AB AD DP BAD PB ︒==∠=，且PD AD ⊥，求二面角A PC B --的余弦值．20．（本小题满分12分）已知抛物线2:2C x y =和直线:2l y x =-，过直线l 上任意一点P 作抛物线的两条切线， 切点分别为,A B ．（Ⅰ）判断直线AB 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由； （Ⅱ）求PAB ∆的面积的最小值．21．（本小题满分12分）已知2()cos 1(0)f x x mx x =+-≥．（Ⅰ）若()0f x ≥在[)0,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）证明：当0x ≥时，2sin cos x e x x -≥-．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．（本小题满分10分）22．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系下，方程2sin 2ρθ=的图形为如图所示的“幸运四叶草”，又称为玫瑰线．（Ⅰ）当玫瑰线的0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求以极点为圆心的单位圆与玫瑰线的交点的极坐标；（Ⅱ）求曲线sin 4ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭上的点M 与玫瑰线上的点N 距离的最小值及取得最小值时的 点M 、N 的极坐标．23．选修4-5：不等式选讲已知函数()223f x x a x a =-+-+，()24,g x x ax a R =++∈． （Ⅰ）当1a =时，解关于x 的不等式()4f x ≤；（Ⅱ）若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得不等式()()12f x g x >成立，求实数a 的取值范围．“宜昌一中、荆州中学、龙泉中学三校联盟”高三11月联考理科数学参考答案一、选择题： 1-4 ABAB 5-8 CDCB 9-12 ACBD 二、填空题 13．43- 14．2m ≥ 15．2 16．(]0,2e 三．解答题17．解：（Ⅰ）因为2cos b c b A =-，所以sin sin 2sin cos B C B A =-，因为()C B A π=-+， 所以sin sin(())2sin sin B B A B A π=-+-．……………………2分所以sin sin cos cos sin 2sin cos B B A B A B A =+-，即sin cos sin sin cos B B A B A =-，即sin sin()B A B =-，………………………………4分 因为0B π<<，0A π<<，所以A B ππ-<-<，所以B A B =-或()B A B π=--(舍去)，故2A B =．……………………………………6分 （Ⅱ）由53b c =及2cos b c b A =-得，1cos 3A =， 由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-得222551()2333b b b b =+-⨯⨯， 解得：6,10b c ==，……………………………………………………………………………9分由1cos 3A =得，sin A =BC 边上的高为h ，则11sin 22bc A ah ⨯=⨯，即610⨯=，所以h =．…………………………………………………12分18．解：（Ⅰ）当2n ≥时，211nn n n S S S S --=-，………………………………………………2分11n n n n S S S S ---=，即1111n n S S --=，……………………………………………………………4分 从而⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1构成以1为首项，1为公差的等差数列．……………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，111(1)1n n n S S =+-⨯=，1n S n∴=．………………………………7分则当2n ≥时222111111211n S n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭．…………………………………………9分 故当2n ≥时22212111111111123224211n S S S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111137111221224n n ⎛⎫=++--<+⋅= ⎪+⎝⎭．……………………………………11分 又当1n =时，21714S =<满足题意，故2221274n S S S +++<．……………………………12分 法二：则当2n ≥时22211111n S n n n n n=<=---， 那么222121111111717142334144n S S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<++-+-+-=-< ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 又当1n =时，21714S =<，当时，21714S =<满足题意， 19． 解：（Ⅰ）因为//AB CD ,所以11,23AM AB AM MC CD AC ===即．…………………………1分因为//MN PCD 平面，MN ⊂平面PAC ，平面PAC平面PCD PC =，所以//MN PC ． ……………………………………………………………………………………3分 所以13AN AM AP AC ==，即13m =．…………………………………………………………………5分（Ⅱ）因为,60AB AD BAD =∠=︒,可知ABD ∆为等边三角形，所以BD AD PD ==，又BP ，故222BP PD DB =+，所有PD DB ⊥． 由已知,PD AD ADBD D ⊥=，所以PD ⊥平面ABCD ，如图，以D 为坐标原点，DA DP ,的方向为,x y 轴的正方向建立空间直角坐标系，…………6分设1AB =，则1,2AB AD DP CD ====，所以(1,0,0)A ,)3,0,1(),0,1,0(),23,0,21(-C P B ，则13(,1,),(1,2PB PC =-=--，(1,1,0)PA =- 设平面PBC 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则有1100n PB nPC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即11111120,0.x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩ 令11x =，则112,y z =1n =，…8分设平面APC 的一个法向量为2222(,,)n x y z =,则有2200nPA n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2222200x yx y -=⎧⎪⎨--=⎪⎩令22xy =，则22z =，即2(3,n =．…10分所以121212cos ,422n n n n nn <>===⋅11分设二面角A PC B --的平面角为θ，则cos θ=．………………………………………12分20．解：（Ⅰ）设点()00,P x y ，()()1122,,,A x y B x y ，由22x y =两边同时对x 求导，y x '=，则抛物线在点A 处的切线方程为11111()y x x x y x x y =-+=-，……………………1分又该切线方程经过点()00,P x y ，则0101y xx y =-，……………………………………………2分同理有0202y x x y =-，故()()1122,,,A x y B x y 均在直线00y x x y =-上，又002y x =-，则直线AB 的方程为0020x x y x --+=，……………………………………4分整理得()0120x x y --+=，恒过定点()1,2．…………………………………………………5分说明：第一问若设点()00,P x y ，然后直接写出切点线方程0022y y x x +=⋅，没有给出证明 即0020x x y x --+=，得出定点()1,2．给3分，扣2分．（Ⅱ）由题联立方程20022x y y x x x ⎧=⎨=-+⎩得2002240x x x x -+-=，120120224x x x x x x +=⎧⎨⋅=-⎩， (7)分12AB x =-==， ………………………………………………………………………………………………8分点()00,2P x x -到直线AB ：0020x x y x --+=的距离为d =， (9)分则PAB ∆的面积12S AB d =⨯⨯==11分当01x =时，即()1,1P -时，PAB ∆的面积最小值为12分21．解：（Ⅰ）法一：由题意()sin 2f x x mx '=-+，()cos 2f x x m ''=-+………………1分 ① 若21m ≥，即12m ≥时，()0f x ''≥，则()f x '在[)0,+∞单调递增， 则()(0)0f x f ''≥=，则()f x 在[)0,+∞单调递增，故()(0)0f x f ≥=，满足题意；……3分② 若121m -<<，即1122m -<<时，存在00x >，使得0()0f x ''=，且当()00,x x ∈时，()0f x ''<，则()f x '在()00,x 上单调递减，则()(0)0f x f ''<=，则()f x 在()00,x 单调递减，此时()(0)0f x f <=，舍去；…………………………………………………………………4分 ③ 若21m ≤-，即12m ≤-时，()0f x ''<，则()f x '在[)0,+∞上单调递减，则()(0)0f x f ''<=，则()f x 在[)0,+∞单调递减， ()(0)0f x f <=，舍去；故12m ≥．……………………………………………………………………………………………5分法二：由题知(0)0f =，且()sin 2f x x mx '=-+，(0)0f '=，()cos 2f x x m ''=-+……1分要使得()0f x ≥在[)0,+∞上恒成立，则必须满足(0)0f ''≥，即210m -≥，12m ≥．……2分 ① 若12m ≥时，()0f x ''≥，则()f x '在[)0,+∞单调递增，则()(0)0f x f ''≥=， 则()f x 在[)0,+∞单调递增，故()(0)0f x f ≥=，满足题意；……………………………3分 ② 若12m <时，存在()00,x x ∈时，()0f x ''<，则()f x '在()00,x 上单调递减，则()(0)0f x f ''<=，则()f x 在()00,x 单调递减，此时()(0)0f x f <=，舍去；故12m ≥．……………………………………………………………………………………………5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当12m ≥时，2()cos 10f x x mx =+-≥．取12m =， 则211cos 2x x -≥-，………………………………………………………………………………6分由（Ⅰ）()sin 0f x x x '=-+≥，则sin x x ≥，故211sin cos 2x x x x +-≥-， 要证2sin cos x e x x -≥-，只需证21212x e x x -≥+-．………………………………………8分令()2112x g x e x x =---，则()1x g x e x '=--，()1x g x e ''=-， 当0x ≥时，()0g x ''≥，则()g x '在[)0,+∞上单调递增，有()()00g x g ''≥=， 故()g x 在[)0,+∞单调递增，故()()00g x g ≥=， 故21102x e x x ---≥，即有21212x e x x -≥+-，得证． (12)分22. 解：（Ⅰ）以极点为圆心的单位圆为1ρ=与2sin 2ρθ=联立，得2sin21θ=，……2分所以1sin 22θ=，因为0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以12πθ=或512π，则极坐标为1,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭和51,12π⎛⎫⎪⎝⎭……5分（Ⅱ）曲线sin 4ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭的直角坐标方程为4x+y=，……………………………………7分玫瑰线2sin 2ρθ=极径的最大值为2，且可于2,4N π⎛⎫⎪⎝⎭取得， 连接O ，2,4N π⎛⎫⎪⎝⎭，与4x y +=垂直且交于点4M π⎛⎫⎪⎝⎭．所以距离的最小值为2-，此时4M π⎛⎫⎪⎝⎭，2,4N π⎛⎫⎪⎝⎭．……………………………10分23.解：（Ⅰ）当1a =时，()11f x x x =-++，则()2 ,1,2, 11,2, 1.x x f x x x x -<-⎧⎪=-<⎨⎪⎩≤≥…………………2分当1x <-时，由()f x ≤4得，22x --≤4，解得21x -<-≤； 当11x -<≤时，()f x ≤4恒成立；当1x ≥时，由()f x ≤4得，2x ≤4，解得12x ≤≤．所以()f x ≤4的解集为{}22x x -≤≤．……………………………………………………5分 （Ⅱ）对任意1x ∈R ，都存在2x ∈R ，得()()12f x g x >成立，所以()()min min f x g x >．……6分因为()2223120a a a -+=-+>，所以223a a >-，且()()222223232323x a x a x a x a a a a a -+-+---+=-+=-+≥， ① 当223a x a -≤≤时，①式等号成立，即()2min 23f x a a =-+．…………………………8分又因为2222444244a a a x ax x ⎛⎫++=++-- ⎪⎝⎭≥， ②当2ax =-时，②式等号成立，即()2min 44a g x =-．………………………………………9分所以222344a a a -+>-，即a 的取值范围为()2,2,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭．……………………10分。
2021“荆、荆、襄、宜”四地七校高三联考数学试题及参考答案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.
1.若集合 A {2, 1,0,1, 2} ，集合 B {x | y log2(1 x)} ，则 A B （ ）
围是
．
15.
若函数
f
x
2x
1 20
x2
x
ห้องสมุดไป่ตู้
0
的零点为
x0
，且
x0
a,a
1，
a
Z
，则 a 的值为______．
16. 已知等差数列 an 的公差 d 不为 0，等比数列bn 的公比 q 是小于 1 的正有理数，若 a1＝b1＝d，且
a1 b1
a2 b2
a4 b3
是正整数，则
q
=______．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
轴于点 P，试判断
PF1 AB
是否为定值?
若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
21.（本题满分 12 分）某款游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么 不出现音乐；每盘游戏击鼓三次，若出现一次音乐获得 1 分，若出现两次音乐获得 2 分，若出现三次 音乐获得 5 分，若没有出现音乐则扣 15 分(即获得－15 分)．设每次击鼓出现音乐的概率为1，且各次 2 击鼓出现音乐相互独立．
D.若正实数
x，y
满足
x
2
y
1 ，则
2 x
湖北省荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校2020届高三数学联考试题理(含解析)
湖北省荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校2020届高三数学联考试题 理（含解析）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名.准考证号填在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效.3.填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请将正确的答案填涂在答题卡上。
） 1.已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是 A. M N N =B. ()UMN =∅C. MN U =D. ()UM N ⊆【答案】A 【解析】 【分析】求函数定义域得集合M ，N 后，再判断．【详解】由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =．故选A ．【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．2.复数z 满足：(2)i z z -⋅=（i 为虚数单位），z 为复数z 的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 22i z = B. 2z z ⋅=C. ||2z =D. 0z z +=【答案】B 【解析】由已知求得z ，然后逐一核对四个选项得答案． 【详解】由（z ﹣2）•i ＝z ，得zi ﹣2i ＝z ，∴z ()()()2121111i i i i i i i -+-===---+，∴z 2＝（1﹣i ）2＝﹣2i ，2||2z z z ⋅==，z =，2z z +=．故选：B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3.下列函数中，其定义域和值域与函数ln xy e =的定义域和值域相同的是（ ）A. y x =B. ln y x =C. y=D. 10xy =【答案】C 【解析】 函数ln xy e=的定义域和值域均为0,，y x =定义域值域都是R ，不合题意；函数ln y x =的定义域为0,，值域为R ，不满足要求；函数10xy =的定义域为R ，值域为0,，不满足要求；函数y=的定义域和值域均为0,，满足要求，故选C.4.三个数0.20.40.44,3,log 0.5的大小顺序是 （ ） A. 0.40.20.43<4log 0.5<B. 0.40.20.43<log 0.5<4C. 0.40.20.4log 0.534<<D. 0.20.40.4log 0.543<<【答案】D 【解析】由题意得，120.20.4550.40log0.514433<<<==<== D.5.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“20190S >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的前n项和公式进行判断即可．【详解】若公比q＝1，则当a1＞0时，则S2019＞0成立，若q≠1，则S2019()2019111a qq-=-，∵1﹣q与1﹣q2019符号相同，∴a1与S2019的符号相同，则“a1＞0”⇔“S2019＞0”，即“a1＞0”是“S2019＞0”充要条件，故选：C．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列前n项和公式是解决本题的关键．6.在边长为2的等边三角形ABC中，若1,3AE AC BF FC==，则BE AF⋅=（）A.23- B.43- C.83- D. 2-【答案】D【解析】【分析】运用向量的加减运算和向量数量积的定义计算可得所求值．【详解】在边长为2的等边三角形ABC中，若13AE AC=，则BE AF⋅=（AE AB-）•12（AC AB+）＝（13AC AB-）•12（AC AB+）11 23AC=（2AB-223AB-•AC=）142142222332⎛⎫--⨯⨯⨯=-⎪⎝⎭故选：D【点睛】本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．7.《九章算术·均输》中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A. 43钱 B.73钱 C.83钱 D.103钱【答案】C【解析】【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a＝﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝10求得a＝2，则答案可求．【详解】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d＝a+a+d+a+2d，即a＝﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝10，∴a＝2，则a﹣2d＝a48 333aa+==．故选：C．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查实际应用，正确设出等差数列是计算关键，是基础的计算题．8.2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：(1)个税起征点为5000元；(2)每月应纳税所得额(含税)=收入-个税起征点-专项附加扣除；(3)专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育费用④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月共扣除2000元②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元．新个税政策的税率表部分内容如下：级数全月应纳税所得额税率1 不超过3000元的部分3%2 超过3000元至12000元的部分10%3 超过12000元至25000元的部分20%现有李某月收入18000元，膝下有两名子女，需要赡养老人，(除此之外，无其它专项附加扣除，专项附加扣除均按标准的100%扣除)，则李某月应缴纳的个税金额为（ ） A. 590元 B. 690元C. 790元D. 890元【答案】B 【解析】 【分析】由题意分段计算李某的个人所得税额；【详解】李某月应纳税所得额（含税）为：18000﹣5000﹣2000﹣2000＝9000元， 不超过3000的部分税额为3000×3%＝90元，超过3000元至12000元的部分税额为6000×10%＝600元， 所以李某月应缴纳的个税金额为90+600＝690元． 故选：B ．【点睛】本题考查了分段函数的应用与函数值计算，准确理解题意是关键，属于中档题． 9.已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()2,8B. []2,8C. (][),28,-∞+∞ D. [)2,8【答案】A 【解析】 【分析】求导f ′（x ）＝2x a x -，转化为f ′（x ）＝2x 0ax-=在()1,2有变号零点，再分离参数求值域即可求解【详解】∵f ′（x ）＝2x a x-，()2ln 1f x x a x =-+在()1,2内不是单调函数， 故2x 0ax-=在()1,2存在变号零点，即22a x =在()1,2存在有变号零点， ∴2<a 8＜， 故选：A【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，依题转化为导函数存在变号零点是关键，也是难点所在，属于中档题．10.已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若方程()23f x =的解为12,x x (120x x π<<<)，则()21sin x x -=（ ）A.23B.49C.5 D.45【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得2123x x π=-，结合x 1＜x 2求出x 1的范围，再由()121122236sin x x sin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求解即可．【详解】因为0＜x π＜，∴112666x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，， 又因为方程()23f x =的解为x 1，x 2（0＜x 1＜x 2＜π）， ∴1223x x π+=，∴2123x x π=-， ∴()121122236sin x x sin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为122123x x x x π=-＜，，∴0＜x 13π＜，∴12662x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，， ∴由()112263f x sin x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得15263cos x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴()125sin x x -=-，故()21sin x x -=5故选：C ．【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值和三角函数的图象与性质，属中档题．11.若函数32,1()3,1x e a x f x x x x ⎧->=⎨-+≤⎩有最小值，则实数的取值范围为（ ）A. (],1-∞B. (],e -∞C. (]0,1D. (]0,e【答案】B 【解析】 【分析】利用分段函数的表达式，分别求出x >1和x ≤1时，对应的函数的值域，结合最小值之间的关系进行求解即可．【详解】当x >1时，函数f （x ）为增函数，则f （x ）＝e x ﹣a ∈（e ﹣a,+∞）当x ≤1时，f （x ）＝323,x x -+则f ′（x ）＝-3x 2+6x ＝-3x （x ﹣2），则由f ′（x ）<0得或x ＜0或x ＞2（舍去），此时函数为减函数，由f ′（x ）>0 得0＜x ＜2，此时0<x ＜1，函数为增函数，即当x ＝0时，函数取得极小值同时也是在x ≤1时的最小值，最小值为f （0）＝0 要使函数f （x ）有最小值，则e ﹣a ≥0， 即a ≤e ，即实数a 的取值范围是（﹣∞，e]， 故选：B【点睛】本题主要考查函数最值的应用，利用分段函数的解析式分别求出对应的取值范围是解决本题的关键．12.{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2k a k Z π≠∈，223557sin 2sin cos sin a a a a +⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调且存在020,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是（ ） A. 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 24,33⎛⎤⎥⎝⎦D. 33,42⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】推导出sin4d ＝1，由此能求出d ，可得函数解析式，利用在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调且存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，即可得出结论． 【详解】∵{a n }为等差数列，公差为d ，且0＜d ＜1，a 52k π≠（k ∈Z ）， sin 2a 3+2sin a 5•cos a 5＝sin 2a 7， ∴2sin a 5cos a 5＝sin 2a 7﹣sin 2a 3＝2sin372a a +cos 732a a -•2cos 372a a +sin 732a a -=2sin a 5cos2d •2cos a 5sin2d ， ∴sin4d ＝1， ∴d 8π=．∴f （x ）8π=cos ωx ，∵在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调 ∴23ππω≥， ∴ω32≤； 又存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，所以f （x ）在（0，23π）上存在零点， 即223ππω＜，得到ω34＞． 故答案为 33,42⎛⎤⎥⎝⎦故选：D【点睛】本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是本题关键，考查推理能力，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知1(0,π),sin cos ,5ααα∈+=则tan α=_______. 【答案】43- 【解析】因为1sin cos 5αα+=， 所以12434sin cos (0,)sin ,cos tan 25553αααπααα=-∈∴==-∴=- 14.已知命题0:p x ∃∈R ，2010mx +≤，命题:q x ∀∈R ，210x mx ++>，若p q ∨为假命题，则实数m 的取值范围为_______________． 【答案】2m ≥ 【解析】【详解】若p q ∨为假命题，则p 、q 均为假命题，则:p x ⌝∀∈R ，210mx +>与:q x ⌝∃∈R ，210x mx ++≤均为真命题．根据:p x ⌝∀∈R ，210mx +>为真命题可得0m ≥，根据:q x ⌝∃∈R ，210x mx ++≤为真命题可得240m ∆=-≥， 解得2m ≥或2m ≤-． 综上，2m ≥．15.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别,,a b c ，满足2(sin cos )40,2a B B b -++==，则ABC ∆的面积为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】由二次方程有解的条件，结合辅助角公式和正弦函数的值域可求B ，进而可求a ，然后结合余弦定理可求c ，代入S △ABC 12=ac sin B ，计算可得所求．【详解】把a 2﹣（sin B +cos B ）+4＝0看成关于a 的二次方程， 则△≥0，即8（sin B +cos B ）2﹣16≥0，即为8（B 4π+））2﹣16≥0， 化为sin 2（B 4π+）≥1，而sin 2（B 4π+）≤1，则sin 2（B 4π+）＝1，由于0＜B ＜π，可得4π＜B 544ππ+＜，可得B 42ππ+=，即B 4π=，代入方程可得，a 2﹣4a +4＝0， ∴a ＝2，由余弦定理可得，cos 244422c c π+-==⨯ 解可得，c ＝∴S △ABC 12=ac sin B 12=⨯2×2=． 故答案为： 2．【点睛】本题主要考查一元二次方程的根的存在条件及辅助角公式及余弦定理和三角形的面积公式的应用，属于中档题．16.若两曲线21y x =-与ln 1y a x =-存在公切线，则正实数a 的取值范围是__________．【答案】(0,2]e 【解析】设两个切点分别为1122(,),(,)A x y B x y ,两个切线方程分别为2111(1)2()y x x x x --=-,222(ln 1)()ay a x x x x --=-,化简得2112221,ln 1ay x x x y x a x a x =--=+--两条切线为同一条.可得122212{ln a x x a x a x =-=-, ,2224(ln 1)a x x =--,令22()44ln (0)g x x x x x =->，()4(12ln )g x x x =-'，所以g(x)在递增，)+∞递减，max ()2g x g e ==。
2020-2021学年湖北省恩施市荆门龙泉中学高三数学理联考试题含解析
2020-2021学年湖北省恩施市荆门龙泉中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 使复数为实数的充分而不必要条件是由 ( )A． B． C．为实数D．为实数参考答案：B 解析：；，反之不行，例如；为实数不能推出，例如；对于任何，都是实数2. 已知直线过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直。
与C交于A,B两点，=12，P 为C的准线上一点，则ABP的面积为（A）18 （B）24 （C）36 （D）48参考答案：C3. 已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，下列命题正确的是A.若，，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则参考答案：B4. 在△ABC中，∠C=，AB=2，AC=，则cosB的值为（）A．B．C．或 D．或参考答案：D【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理和内角和定理可得答案：【解答】解：由题意：，c=AB=2，b=，由正弦定理=，则有：sinB==．∵0＜B＜π∴B=或．当B=时，则cosB=当B=时，则cosB=．故选D5. 已知函数（，，），则“是奇函数”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B考点：1、充分条件与必要条件；2、三角函数性质.6. 如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则A．BM=EN，且直线BM、EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM、EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线参考答案：B，为中点为中点，，共面相交，选项C，D为错．作于，连接，过作于．连，平面平面．平面，平面，平面，与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知，．，故选B．7. 已知，则（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】将角表示为，再利用诱导公式可得出结果.【详解】，故选C.【点睛】本题考查利用诱导公式求值，解题的关键就是弄清所求角与已知角之间的关系，考查计算能力，属于中等题.8. 已知Ｐ为空间中任意一点，Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：A9. 网格纸的各小格都是边长为1的正方形，图中粗实线画出的是一个几何体的三视图，其中正视图是正三角形，则该几何体的外接球表面积为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体是有一个侧面PAC垂直于底面，高为，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心，由此能求出这个几何体的外接球的半径R，从而能求出这个几何体的外接球的表面积．【解答】解：由已知中正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，可得该几何体是有一个侧面PAC垂直于底面，高为，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图．则这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心，这个几何体的外接球的半径R=PD=．则这个几何体的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=．故选：D．10. 将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若，则实数t的最小值为（）A．B．C．D．参考答案：B 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为，则该直四棱柱的侧面积为．参考答案：16【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】根据题意画出图形，结合图形求出侧棱长，再计算四棱柱的侧面积．【解答】解：如图所示，直四棱柱底面ABCD 是边长为2的菱形，侧面对角线的长为，∴侧棱长为CC1==2；∴该直四棱柱的侧面积为S=4×2×2=16．故答案为：16．12. （几何证明选讲选做题）如图，为⊙的直径，，弦交于点．若，，则的长为．参考答案：【知识点】相交弦定理的应用.N1【答案解析】1 解析：由已知得:,根据相交弦定理得：,【思路点拨】先有已知条件求得线段的长，再根据相交弦定理得：,.13. 如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点．则第11行的实心圆点的个数是．参考答案：5514. （5分）定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）=，则称函数y=f（x）是上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．例如y=|x|是上的“平均值函数”，0就是它的均值点．给出以下命题：①函数f（x）=cosx﹣1是上的“平均值函数”；②若y=f（x）是上的“平均值函数”，则它的均值点x0≥；③若函数f（x）=x2﹣mx﹣1是上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是m∈（0，2）；④若f（x）=lnx是区间（b＞a≥1）上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，则lnx0＜．其中的真命题有．（写出所有真命题的序号）参考答案：①③④【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：简易逻辑．【分析】：直接利用定义判断①的正误；利用反例判断②的正误；利用定义推出m的范围判断③的正误；利用分析法直接证明结合函数的导数即可证明④的正误．解：①容易证明正确．函数f（x）=cosx﹣1是上的“平均值函数”；﹣1就是它的均值点．②不正确．反例：f（x）=x在区间上．③正确．由定义：得，又x0∈（﹣1，1）所以实数m的取值范围是m∈（0，2）．④正确．理由如下：由题知．要证明，即证明：，令，原式等价于．令，则，所以得证．故答案为：①③④．【点评】：本题考查新定义的应用，函数的导数以及分析法的应用，考查分析问题解决问题的能力．15. 已知方程x2+（1+a）x+4+a=0的两根为x1，x2，且0＜x1＜1＜x2，则a的取值范围是．参考答案：（﹣4，﹣3）【考点】7H：一元二次方程的根的分布与系数的关系；3W：二次函数的性质．【分析】根据方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x1＜1＜x2，结合对应二次函数性质得到，得到关于a的不等式组，解不等式组即可．【解答】解：由程x2+（1+a）x+4+a=0，知对应的函数f（x）=x2+（1+a）x+4+a图象开口方向朝上又∵方程x2+（1+a）x+4+a=0的两根满足0＜x1＜1＜x2，则即即，∴﹣4＜a＜﹣3故答案为（﹣4，﹣3）【点评】本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，三个二次之间的关系，本题解题的关键是由方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x1＜1＜x2，结合二次函数图象得到．16. 函数的定义域为▲．参考答案：由，得，函数的定义域为.故答案为：.17. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．参考答案：4+1【考点】由三视图求面积、体积．【分析】首先根据三视图把平面图转换成立体图形，进一步利用几何体的体积公式求出结果．【解答】解：根据几何体的三视图可知，该几何体是一个三棱柱和一个三棱锥所组成的，如图所示，且其底面均为高为的等边三角形，其面积为×2×=，三棱柱的高为4，三棱锥的高为，故几何体的体积为×4+××=4+1，故答案为：4+1三、解答题：本大题共5小题，共72分。
湖北省荆门龙泉中学、宜昌一中2020-2021学年高三2月联考数学试题
龙泉中学、宜昌一中2021届高三年级2月联合考试数 学 试 题命题学校：龙泉中学 命题人：崔冬林 审题人：张建军本试卷共 2 页，共 22 题。
满分150分，考试用时120分钟。
注意事项： 1...2.2B.3..一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}11,2,3,4,|2,x A B y y x A -===∈，则A B =A ．{1,2}B ．{2,4}C ．{1,2,4}D ．∅ 2．若复数z 同时满足2i z z -=，i z z =，则z =A ．1i -B ．iC ．1i --D ．1i -+ 3．关于直线:10l ax by ++=，有下列四个命题：甲：直线l 经过点()1,0； 乙：直线l 经过点()0,1-； 丙：直线l 经过点()1,1-； 丁：0ab <．若只有一个假命题，则该命题是A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 4．若8x ⎛⎝的展开式中4x 的系数为7，则展开式的常数项为 A ．716 B ．12 C ．716- D ．12-5．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问小满日影长为 （1丈=10尺=100寸）A ．四尺五寸B ．三尺五寸C ．二尺五寸D ．一尺五寸 6．函数()||mf x x x=-（其中m R ∈）的图像不可能．．．是 A ． B ． C ． D ．7．已知O 为ABC ∆的外心，3450OA OB OC ++=，则cos ABC 的值为 A．5 B．10 C．10 D．58．已知函数()()ln xae f x x x a R x=+-∈，若[)1,x ∈+∞时，()2f x ≥-，则实数a 的取值范围为 A ．22,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．31,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知数列{}na 的前n 项和为n S ，且1a p =，122n n S S p --=（2n ≥，p 为常数），则下列结论正确的有A ．{}n a 一定是等比数列B ．当1p =时，4158S = C ．当12p =时，m n m n a a a +⋅= D ．3856a a a a +=+ 10．已知函数()2sin sin 2f x x x -，则下列结论正确的有A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 在[],ππ-上有2个零点C ．函数()f x的图象关于(,π对称 D ．函数()f x的最小值为11．如图，在某城市中，,M N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中1234,,,A A A A 是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网,M N 处的甲、乙两人分别要到,N M 处， 他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达,N M 处为止，则下列说法正确的有A ．甲从M 到达N 处的方法有120种B ．甲从M 必须经过3A 到达N 处的方法有9种C ．甲、乙两人在3A 处相遇的概率为9100D ．甲、乙两人相遇的概率为4110012．已知12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点，过点1F 作渐近线b y x a=的垂线交双曲线右支于点P ，直线2PF 与y 轴交于点Q （P ，Q 在x 轴同侧），连接1QF ，若1PQ F ∆ 内切圆圆心I 恰好落在以12F F 为直径的圆上，则下列结论正确的有 A ．122F PF π∠=B ．1PQF ∆内切圆的半径为a b -C ．5OQ OI = D三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知α是三角形的一个内角，tan 43α=，则2sin 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 14．已知,a b 都为正实数，则25b a++的最小值为． 15ABC16．如图，长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别83，E F 、分别为上底面、下底面（含边界）内的动点，当1AE EF FC ++最小时，以A 为球心，AE 的长为半径的球面与上底面1111A B C D 的交线长为 ．四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，222sin sin sin sin sin A C B A C +=+． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆为锐角三角形，b =2a c -的取值范围． 18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足14a =，21=b ，1222-=b a ，332a b =+． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）数列{}n a 和{}n b 中的所有项分别构成集合,A B ，将A B 的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 的前60项和60S ． 19．（本小题满分12分）在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC，PA PB AB ====． （Ⅰ）证明：PC ⊥平面ABC ；（Ⅱ）已知Q ，M ，N 分别为线段PB 、P A 、BC 的中点，求直线MN 与平面QAC 所成角的正弦值． 20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行乒乓球挑战赛（其中两人比赛，另一人当裁判，每局结束时，负方在下一局当裁判），设在情况对等中各局比赛双方获胜的概率均为12，但每局比赛结束时，胜的一方在下一局比赛时受体力影响，胜的概率均变为25，第一局甲当裁判． （Ⅰ）求第三局甲当裁判的概率；（Ⅱ）设X 表示前四局乙当裁判的次数，求X 的分布列和数学期望．21．（本小题满分12分）已知抛物线2:2E x y =，过抛物线上第一象限的点A 作抛物线的切线，与x 轴交于点M ．过M 作OA的垂线，交抛物线于B ，C 两点，交OA 于点D ． （Ⅰ）求证：直线BC 过定点；（Ⅱ）若5MB MC ⋅≥，求||||AD AO ⋅的最小值． 22．（本小题满分12分） 已知函数()ln 1af x x x=-+有两个不同的零点()1212,x x x x <． （Ⅰ）求实数a 的取值范围； （Ⅱ）记()f x 的极值点为0x ，求证：()012112ef x x x +>．2月月考数学第3页 共2页龙泉中学、宜昌一中2021届高三年级2月数学试题参考答案一、单项选择题： 1-4 CDCA 5-8 BCAB一、多项选择题：9．BC 10．BC 11．BD 12．ABD三、填空题 1314． 1516．2π 四．解答题17．解：（Ⅰ）由已知222sin sin sin sin sin A C B A C +=+，结合正弦定理，得222a c b ac +=+．再由余弦定理，得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，又(0,)B π∈，则3B π=．………………4分（Ⅱ）由,3B b π=224sin 2sin 4sin 2sin 3a c A C C C C π⎛⎫-=-=--= ⎪⎝⎭．……………………………7分因为ABC ∆为锐角三角形，则62C ππ<<，则0cos C <………………………………9分所以2a c -的取值范围为()0,3．…………………………………………………………………10分18．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由2242214542221d q d q d q d q +=⋅-=-⎧⎧⇒⎨⎨+=⋅+=-⎩⎩………………………………………………………………2分 2,3q d ∴==…………………………………………………………………………………………4分 31,2n n n a n b ∴=+=．……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）当{}n c 的前60项中含有{}n b 的前6项时，令71273121283n n +<=⇒<此时至多有41748+=项（不符）…………………………………………………………………7分当{}n c 的前60项中含有{}n b 的前7项时，令831225685n n +<=⇒<且2462,2,2是{}n a 和{}n b 的公共项，则{}n c 的前60项中含有{}n b 的前7项且含有{}n a 的前56项，再减去公共的三项………………………………………………………………………………9分35760565556432222484417050142S ⨯⎛⎫∴=⨯+⨯++++=+= ⎪⎝⎭．……………………12分19．解：（Ⅰ）证明：取AB 中点D ，连接PD ，DC∵PA PB =，AC BC =，则AB PD ⊥，AB DC ⊥．又PD DC D =，∴AB ⊥平面PDC ，故AB PC ⊥．……….…………………….………………….……….….2分 在ABC △中，AB ，∴BC AC ⊥．………….………………….………3分 又∵平面PAC ⊥平面ABC ，且交线为AC ，∴BC ⊥平面ABC ，故BC PC ⊥． ……….4分 又AB PC ⊥，AB BC B =∴PC ⊥平面ABC ．………………………………………….5分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，设1AC =，则(0,1,0)A ，(1,0,0)B ，(0,0,1)P ，11,0,22Q ⎛⎫⎪⎝⎭，110,,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,0,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭．……………………….……….………………..6分 设平面QAC 的一个法向量为(,,)n x y z =，∵(0,1,0)CA =，11,0,22CQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由00n CA n CQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得(1,0,1)n =-，…………….……….…….…….8分又111,,222MN ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴16cos ,3||||324n MN n MN n MN⋅〈〉===⋅⋅….………….…….11分 所以直线MN 与平面QAC ………………………………………………12分20．解：（Ⅰ）第三局甲当裁判则前两局有两种情形：前两场都是乙胜，前两场都是丙胜，故所求概率为1212225255P =⨯+⨯=．………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）由于不能连续两局都当裁判，第一局由甲当裁判，故X 的可能取值为0，1，2，………6分当0X =时，则前三局乙均胜，故()212202525P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，………………………………7分当2X =时，乙只能在第2、4局中当裁判，故乙在第一局中输掉，在第三局中也输掉，则第一局丙胜乙败；第二局无论甲丙谁胜，在第三局中甲或丙是连胜概率变为25，故()1212255P X ==⨯=，……………………………………………………………………………9分()21181125525P X ==--=，………………………………………………………………………10分 其分布列为2181280122525525EX =⨯+⨯+⨯=．………………………………………………………………12分21．解：（Ⅰ）y x '=，设点()22,2(0)A t tt >，则2AMx t ky t ='==，………………………2分∴直线AM 的方程为：222(2)y t t x t -=-，即222y tx t =-，∴(),0M t ，又OA k t =，∴1BC k t=-，……………………………………………………………4分∴直线BC 的方程：()111y x t x t t=--=-+经过定点()0,1．…………………………………5分 （Ⅱ）直线BC 与抛物线22x y =联立得2220x x t +-=，………………………………………6分设()()1122,,,B x y C x y ，则122x x t+=-，122x x ⋅=-，()()()22121212121215MB MC x t x t y y x x t x x t y y t ⋅=--+=-+++=+≥解得2t ，…………………………………………………………………………………………8分∵||AD t ==，………………………………………………………9分||2AO ==…………………………………………………………………10分∴()22||||222172AD AO t t t ⋅==+，当2t =时，min (||||)72AD AO ⋅=．…………………………………………………………12分22.解：（Ⅰ）由()ln 1a f x x x =-+得x x a x f 1)(2--='2xxa +-=()0>x …………………1分函数()ln 1af x x x=-+有两个不同的零点12,x x ∴)(x f 在()∞+，0上不单调， 0a ∴<，…………………………………………………………………………………………2分 令0)(>'x f 得a x -<<0， 0)(<'x f 得a x ->， 故)(x f 在()a -，0上单调递增，在()∞+-，a 上单调递减，…………………………………3分 则()f x 的极大值为ln (())0f a a -=-->，10<-<∴a 01<<-∴a ． +→0x 时0)(<x f ，+∞→x 时0)(<x f ，∴a 的取值范围是01<<-a ．………………………………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()0()ln f x a =--，)()(21x f x f = 1ln 11+-∴x x a 1ln 22+-=x x a212111ln ln x x x x a --=∴2112111ln 1ln x x x x --=．…………………………………………………………6分令121211,t t x x ==，则2112ln ln a t t t t --=，且22112121t t x x +=+，……………………………7分 要证012112()ef x x x +>，只需证()12ln()2t t e a +>--．下面先证明112221ln ln 2t t t t t t ->-+，……………………………………………………………8分这只要证明1121222(1)ln 1t t t t t t -<+，设1201tm t <=<，所以只要证明2(1)ln 01m m m --<+，设2(1)()ln 1m g m m m -=-+， 则22214(1)()0(1)(1)m g m m m m m -'=-=≥++，所以()g m 递增， 则()(1)0g m g <=成立．于是得到1122211l 2n ln t t t t at t ->=--+，……………………………10分因此只要证明1ln()e a a -≥--(10)a -<< ，构造函数1()ln()h a e a a =-+-，则2211()e ea h a a a a +'=+=，故()h a 在1(1,)e --上递减，在1(,0)e -上递增， 则1()()0h a h e ≥-=，即1ln()e a a-≥--成立．……………………………………………12分。
湖北省龙泉中学、宜昌一中2021届高三数学2月联合考试试题答案
Q
1 2
,
0,
1 2
，
M
0,
1 2
,
1 2
，
N
1 2
,
0,
0
．……………………….……….………………..6
分
设平面 QAC
由 n CA
的一个法向量为
n
(
x,
y,
z)
，∵
CA
(0,1,
0)
，
CQ
1 2
0，可得nFra bibliotek(1,
0,
1)
，…………….……….…….…….8
分
,
0,
1 2
25 5 25
其分布列为
则cn 的前 60 项中含有bn 的前 7 项且含有an 的前 53 项…………………………………9 分
S60
53
4
53
52 2
3
2
1 27 12
4346 254 4600 ．…………………………12 分
19．解：（Ⅰ）证明：取 AB 中点 D，连接 PD，DC
因为 ABC 为锐角三角形，则 C ，则 0 cos C 3 ．………………………………9 分
6
2
2
所以 2a c 的取值范围为 0, 3 ．…………………………………………………………………10 分
18．解：（Ⅰ）设等差数列an 的公差为 d ，等比数列bn的公比为 q ，
4 d 22q 1 d 4q 5
当cn 的前 60 项中含有bn 的前 7 项时，令 3n 1 28 256 n 85
故 P X 2 1 2 1 ，……………………………………………………………………………9 分
2020届湖北省荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校高三联考数学(文)试题(解析版)
2020届湖北省荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校高三联考数学（文）试题一、单选题1．已知a 为实数，若复数()29(3)z a a i =-++为纯虚数，则复数z 的虚部为（ ） A ．3 B ．6iC ．3±D ．6【答案】D【解析】根据复数z 为纯虚数，列方程求出a 的值，进而可得复数z 的虚部. 【详解】解：由已知29030a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得3a =，故6z i =，其虚部为6，故选：D. 【点睛】本题考查复数的概念，注意纯虚数为实部为0，虚部不为0，是基础题.2．已知{}2|230,{|A x x x B x y =+-≤==，则A B =（ ）A ．⎡⎣B ． 3,⎡-⎣C ．⎤⎦D ．⎡⎣【答案】B【解析】求出集合,A B 中元素的具体范围，然后求交集即可. 【详解】解：{}{}2|230|31A x x x x x =+-≤=-≤≤，{{||B x y x x x ===≤≥，{|3A B x x ∴=-≤≤，故选：B. 【点睛】本题考查集合的交集运算，关键是要确定集合中的元素的范围，注意集合B 是求函数的定义域，不是值域，是基础题.3．下列函数中，其定义域和值域与函数ln x y e =的定义域和值域相同的是（ ） A ．y x =B ．ln y x =C ．y=D ．10x y =【答案】C【解析】函数ln x y e =的定义域和值域均为()0,+?，y x =定义域值域都是R ，不合题意；函数ln y x =的定义域为()0,+?，值域为R ，不满足要求；函数10xy =的定义域为R ，值域为()0,+?，不满足要求；函数y=的定义域和值域均为()0,+?，满足要求，故选C.4．三个数0.20.40.44,3,log 0.5的大小顺序是 （ ） A ．0.40.20.43<4log 0.5<B ．0.40.20.43<log 0.5<4C ．0.40.20.4log 0.534<<D ．0.20.40.4log 0.543<<【答案】D【解析】由题意得，120.20.4550.40log0.514433<<<==<== D.5．数列{}n a 满足()*211n n n n a a a a n N +++-=-∈,且810a=，则15S =（ ）A ．95B ．190C ．380D ．150【答案】D【解析】由条件可得数列{}n a 是等差数列，利用等差数列的性质和前n 项和公式即可求15S . 【详解】解：211n n n n a a a a +++-=-，即为122n n n a a a ++=+， 故数列{}n a 是等差数列，11581515()152151015022a a a S +⨯∴===⨯=，故选：D. 【点睛】本题考查等差数列的判断以及等差数列的前n 项和公式，灵活运用等差数列的性质是关键，是基础题.6．函数()·ln xf x e x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可 【详解】解：函数()·ln xf x e x =，()--?ln -xf x e x =，()()f x f x ≠-，()()f x f x -≠-，则函数()f x 为非奇非偶函数，图象不关于y 轴对称，排除C ，D ，当(),x f x →+∞→+∞，排除B ，故选：A 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键7．已知函数2log ,1()1,11x x f x x x≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩，则不等式()2f x ≤的解集为（ ）A ．(,2]-∞B ．[]1,1,42⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦C ．[]1,1,42⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦D ．(][],01,4-∞【答案】B【解析】分类讨论，分段解不等式，然后求并集. 【详解】解：当1x ≥时，222log log 4x ≤=，解得14x ≤≤； 当1x <时，121x≤-，解得12x ≤，综上所述不等式()2f x ≤的解集为[]1,1,42⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦，故选：B. 【点睛】本题考查分段函数不等式，注意每段中x 的范围，是基础题.8．已知数列{}n a 为等比数列，且2234764a a a a =-=-，则5)3π⋅=（ ）A ．BC ．D ．【答案】B【解析】依题意，得3234364a a a a ==-，所以34a =-. 由2764a =,得78a =-，或78a =（由于7a 与3a 同号，故舍去）.所以463732a a a a ==.4632ππtan tan tan 11tan 3333a a πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选A.9．函数21()sin cos 2f x x x x =++，则下列结论正确的是（ ） A ．()y f x =的最大值为1B ．()y f x =在,63ππ⎛⎤-⎥⎝⎦上单调递增 C ．()y f x =的图像关于直线712x π=对称 D ．()y f x =的图像关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】B【解析】先将()y f x =变形为sin()y A x B ωϕ=++的形式，然后根据三角函数的性质逐个判断选项的对错. 【详解】 解：21111()sin cos 2cos 22sin(2)162222f x x x x x x x π=+=+-+=-+， 对A ：max ()112f x =+=，故A 错误；对B ：令222()262πππππ-+≤-≤+∈k x k k Z ，解得()63ππππ-+≤≤+∈k x k k Z ，因为,63ππ⎛⎤-⎥⎝⎦,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，故B 正确； 对C ：sin(277()1)262111f πππ⨯-+==，1不是()y f x =最值，故C 错误； 对D ：sin(277()1)262111f πππ⨯-+==，()y f x =的图像关于点7,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 错误， 故选：B. 【点睛】本题考查函数sin()y A x B ωϕ=++的性质，是基础题. 10．下列判断正确的是（ ） A ．“1sin 2α=”是“6πα=”的充分不必要条件 B ．命题“若0,x ≠则0xy ≠”的逆否命题为真C ．命题“x R ∀∈，20x >”的否定是“0x R ∃∈，020x >”D ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p q ∧⌝”为真命题 【答案】D【解析】对A 利用任意角的三角函数的概念进行判断；对B 直接就判断原命题的真假即可；对C 利用全称命题的否定是特称命题，按照书写规律来判断；对D 根据复合命题的真假规律来判断. 【详解】 对A ：当6πα=时，1sin 2α=，但当1sin 2α=时，α不一定等于6π，则“1sin 2α=”是“6πα=”的必要不充分条件，故A 错；对B ：当0x ≠时，若0y =，则有0xy =，则命“题若0,x ≠则0xy ≠”是假命题，所以它的逆否命题也是假命题，故B 错；对C ：命题“x R ∀∈，20x >”的否定是“0x R ∃∈，020x ≤”，故C 错；对D ：若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题q ⌝为真命题，则命题“p q ∧⌝”为真命题，故D 正确. 故选: D.【点睛】本题考查充分性必要性的判断，互为逆否命题的真假判断，全称命题的否定以及复合命题的真假判断，是基础题.11．已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,8 B ．[]2,8C ．(][),28,-∞+∞ D ．[)2,8【答案】A【解析】求导f ′（x ）＝2x a x -，转化为f ′（x ）＝2x 0ax-=在()1,2有变号零点，再分离参数求值域即可求解 【详解】 ∵f ′（x ）＝2x a x-，()2ln 1f x x a x =-+在()1,2内不是单调函数， 故2x 0ax-=在()1,2存在变号零点，即22a x =在()1,2存在有变号零点， ∴2<a 8＜， 故选：A 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，依题转化为导函数存在变号零点是关键，也是难点所在，属于中档题．12．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边长分别a 、b 、c ，满足2(sin cos )40a B B -++=，2b =，则ABC ∆的面积为（ ）A ．B ．2C ．D【答案】B【解析】由二次方程有解，结合三角函数性质可得只有0∆=，此时可求B ，进而可求a ，然后结合余弦定理可求c ，代入1sin 2ABC S ac B ∆=可求． 【详解】解：把2(sin cos )40a B B -++=看成关于a 的二次方程， 则()2228(sin cos )168sin cos 2sin cos 2B B B B B B ∆=+-=++-()8sin 21B =-，又sin 210B -≤，所以0∆≤， 又若使得方程有解，则只有0∆≥，此时必有0∆=，sin 210,4B B π∴-=∴=，代入方程可得，2440a a -+=， 2a ∴= ，由余弦定理可得，244cos 422c cπ+-=⨯，解可得，c =11sin 22222ABC S ac B ∆∴==⨯⨯=． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的存在条件的灵活应用及同角平方关系，二倍角公式，辅助角公式及余弦定理的综合应用，属于中档试题．二、填空题13．已知12,e e 为单位向量且夹角为4π，设12232,3a e e b e =+=，则a 在b 方向上的投影为_____．2+ 【解析】可知12||||1e e ==，且124,e e π<>=，这样即可求出a b ⋅及||b 的值，从而得出a 在b 方向上的投影的值. 【详解】解：根据题意得，1212222(32)396966a e e e b e e e ⋅=+⋅=⋅+=+=； 又∵||3b =，∴a 在b 方向上的投影为32||cos ,||+22||||||a b a b a a b a a b b ⋅⋅<>=⋅==；2+．本题考查向量的夹角，投影的概念，要求投影先求数量积和模，是基础题． 14．已知1(0,π),sin cos ,5ααα∈+=则tan α=_______. 【答案】43-【解析】因为1sin cos 5αα+=， 所以12434sin cos (0,)sin ,cos tan 25553αααπααα=-∈∴==-∴=- 15．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且2log (2)1n S n +=+，则数列{}n a 的通项公式为______．【答案】2nn a =【解析】由对数的运算化简2log (2)1n S n +=+得到122n n S +=-，由11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出n a .【详解】解：因为2log (2)1n S n +=+，所以122n n S ++=得122n n S +=-，则当1n =时，112a S ==； 当2n ≥时，()1122222n n n n n n a S S +-=-=---=，而12a =符合2nn a =， 则2nn a =. 故答案为：2nn a =.【点睛】本题主要考查数列通项n a 与前n 项和n S 的关系，解题时注意讨论1n =时是否满足，以及对数的运算．16．若函数32,1()3,1x e a x f x x x x ⎧->=⎨-+≤⎩有最小值，则实数a 的取值范围为______． 【答案】a e ≤【解析】作出函数()f x 的图像，观察当a 变化导致图像发生怎样的变化时，函数()f x 有【详解】如图，1x >部分，是()x f x e a =-的图像，1x ≤部分，是32()3f x x x =-+的图像，，当图中点A 不在x 下方时，函数()f x 有最小值，即10e a -≥，得a e ≤. 下面说明32()3f x x x =-+，1x ≤的图像画法：2'()36f x x x =-+，令'()0f x =，得0x =或2x =，当(),0x ∈-∞，()f x 单调递减，当(]0,1x ∈，()f x 单调递增， 又(0)0f =，根据单调性和极值，可画出()f x 在(],1-∞上的草图. 故答案为：a e ≤. 【点睛】本题考查分段函数最小值的存在性问题，利用数形结合，观察图像可快速得出结果，是中档题.三、解答题17．已知等比数列{}n a 满足13223a a a +=，且32a +是2a ，4a 的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若21log n n nb a a =+，求{}n b 的前n 项和为n S ． 【答案】（1）2n n a =；（2）1(1)222n n n n S ++=--【解析】（1）根据等比数列的性质和等差中项的性质即可求解数列{}n a 的通项公式； （2）根据21log n n n b a a =+，可得21log 2nn n b a n a=+=-，利用分组求和法可求出n S ．【详解】（1）设公比为q ，由13223a a a +=得211123a a q a q +=，223q q ∴+=，解得1q =或2，又32a +是2a ，4a 的等差中项即()32422a a a +=+ 若1q =，则()11222a a +=，方程无解，舍去； 若2q =，则()11124228a a a +=+，解得12a =112n n n a a q -∴==.（2）21log 2n n n nb a n a =+=-， 1122(1)(1)221222n n n n n n n S ++-++∴=-=--- 【点睛】本题主要考查数列通项公式和前n 项和的求解，利用分组求和法是解决本题的关键．18．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c cos cos CA =。
湖北剩州中学宜昌一中龙泉中学三校2020届高三数学联考试题理【含答案】
，使得
f
(x)
关于 (x0, 0) 对称，则 w 的取值范围是
A．
0,
2 3
B．
0,
3 2
C．
2 3
,
4 3
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．已知
(0,
), sin
cos
1 5
，则
tan
_______．
D．
3 4
,
3 2
14．已知命题 p : x0 R, mx02 1 0 ；命题 q : x R, x2 mx 1 0 ．若 p q 为假命题，则 实数 m 的取值范围为_________．
1
a
的取值范围为
A． ,1
B． , e
C． 0,1
D． 0, e12.an为等差数
列，公差为 d
，且 0
d
1， a5
k 2
(k Z ) ， sin2 a3 2sin a5 cos a5
sin2 a7 ，函数
f
(x)
d
sin(wx
4d )
(w
0)
在
0,
2 3
上单调且存在
x0
0,
2 3
A． y 1 x
B． y lnx
C． y x
D． y 10x
4．三个数 40.2, 30.4, log0.4 0.5 的大小顺序是
A． 30.4 <40.2 log0.4 0.5
B． log0.4 0.5 40.2 30.4
C． log0.4 0.5 30.4 40.2
D． 30.4 <log0.4 0.5<40.2
湖北省宜昌市2021届高三上学期二月联考数学试题答案
1（ （ )宜昌市高三1 13.114.15. 8x 2 + ( y - 2)2 = 4 ， x + 2 y - 2 = 016. (-∞，- 4]17.⑴ 2a n = a n -1 + a n +1（n ≥ 2），∴ a n +1 - a n = a n - a n -1 (n ≥ 2)∴{a n }是等差数列，设{a n }的公差为 d ，……………………………………………………………………2 分⎧⎪ a 1+ d = 3 ⎧a 1 = 1 a 2 = 3 ， S 5 = 25 ，∴ ⎨5a + 5⨯ 4 d = 25 ，解得⎨d = 2 ，……………………………………4 分⎩⎪ 1 2⎩∴ a n = 2n -1.……………………………………………………………………………………………5 分⑵ b n = (2n -1)(2n +1) = ∴T n = b 1 + b 2 + + b n1 (1 -2 2n -1 1 ) ,……………………………………………………………7 分 2n +1 = 1 (1- 1）+ 1 1 - 1）+ + 1 1 - 1 )2 3 2 3 5 2 2n -1 2n +1 = 1 (1- 21 ) = 2n +1 n 2n +1 .……………………………………………………………………………………10 分18.⑴ 2b s in B + C= 25a sin B ，∴ 2b s in π- A = 2 5a sin B ， ∴ 2 s in B cos A= 2而sin B ≠ 0 ，5 sin A sin B ，………………………………………………………………………………2 分∴ 2 cos A = 2 5 sin A cos A ，又cos A≠ 0 ，2 2 2 2∴sin A = 5 ，∴cos A = 25 ，……………………………………………………………………………5 分2 5 2 5∴sin A = 2 sin A cos A = 4. ………………………………………………………………………………………6 分2 2 5⑵由⑴可得： cos ∠BMC = cos( A + π = - s in A = - 4 ， sin ∠BMC = 3, 2 5 5在△ BMC 中， BC 2= MB 2+ MC 2- 2MB ⋅ MC ⋅ cos ∠BMC10 ⎩⎩ 即 41 = MB 2 + 4MB 2- 2MB ⋅ 2MB ⋅ (- 4) =41MB 2 ,55∴ MB =.……………………………………………………………………………………………………………………9 分sin A = 4 ，∴ tan A = MB= 4 ，∴ AB = 3 5，5 AB 3 4 ∴ S = 1 AB ⋅ MB = 15 , S = 1MB ⋅ MC ⋅ s in ∠BMC = 3,∆ABM2 8 ∆BMC 2△ ABC 的面积为15 + 3 = 39.……………………………………………………………………………………12 分8 819.⑴由题意得 DE ⊥ AC ，又 PA ⊥ 平面 ABCD ，∴ PA ⊥ DE .又 PA ⋂ AC = A ，∴ DE ⊥ 平面 PAC ，∴ DE ⊥ PC .………………………………………………4 分⑵设 AC ⋂ DE = O ，连接OQ ，由⑴得： DE ⊥平面 PAC ，∴∠EQO 为 EQ 与平面 PAC 所成的角,∴ tan ∠EQO = OE= OQ ， EO = 2，∴OQ = 2 ，∴Q 为 PC 的中点.……………………………………………………………………………………………………………6 分以 A 为原点， AE ， AD ， AP 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，∴ A (0，0，0) ， E (2，0，0) ， C (2，2，0)， P (0，0，4) ， Q (1，1，2) ， D (0，2，0) ，……………………7 分设平面 AEQ 的一个法向量为n = (x ，y ，z ) ，∴ ⎧⎪n ⋅ AE = 0 ，∴ ⎧ 2x = 0 ，⎨⎪n ⋅ AQ = 0⎨x + y + 2z = 0令 z = -1，∴ y = 2 ， x = 0 ，∴ n = (0，2，-1) .………………………………………………………………9 分易得平面 ACQ 的一个法向量为 DE = (2，- 2，0) ，…………………………………………………………10 分DE ⋅ n∴cos 〈DE ，n 〉 == - ，∴二面角 E - AQ - C 的余弦值为 5 5 .………………12 分20.⑴设事件 A i ：这位参赛者回答对第i 个问题（ i = 1，2，3）∴ P = P （A 1 A 2 A 3 ) + P ( A 1 A 2 A 3 ) + P ( A 1 A 2 A 3 )= 2 ⋅ 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 ⋅ 1 = 4………………………………………………………………3 分 3 3 2 3 3 2 3 3 2 95 2 2 102 2⑵ξ= -30，- 20，0，10，20，30，50，60 ,……………………………………………………………………………………4 分P （ξ= -30）= P （A A A ) = 1 ， P （ξ= -20）= P （A A A ) = 1 ,1 2 3 18 1 2 39 P （ξ= 0）= P （A A A ) = 1 , P （ξ= 10）= P （A A A ) = 2,1 2 3 9 1 2 39 P （ξ= 20）= P （A A A ) = 1 , P （ξ= 30）= P （A A A ) = 1,1 2 3 18 1 2 39 P （ξ= 50）= P （A A A ) = 1 , P （ξ= 60）= P （A A A ) = 2,…………………………8 分∴ξ的分布列为：1 2 3 9 1 2 39………………………………………………………………………………………………………………………………………………9 分E （ξ）=195 .……………………………………………………………………………………………………………………10 分9⑶由⑵得这位参赛者闯关成功的概率为P = P (ξ= 30) + P (ξ= 50) + P (ξ= 60) = 4.…………………………………………………………………12 分9 21.⑴设 P (x ，y ) ，由题意得： k PA ⋅ k PB= - 1 2 y y 1 x 2 y 2 - ，化简得 + = 1.2 8 4 又 x ≠ ±2 ，∴x 2 y 2点 P 的轨迹方程为： +84= 1 (x ≠ ±2 2) . …………………………5 分（未挖点的扣 1 分）⑵方法一：由椭圆的对称性知，直线 ND 过的定点必在 x 轴上， 由题意得直线 MN 的斜率不为0 ，设 MN ： x = my - 2 ，与 x + y 8 4= 1联立消去 x 得： (m 2 + 2) y 2 - 4my - 4 = 0 ，∆ = 32(m 2 +1) > 0 恒成立，设 M (x 1，y 1 ) ， N (x 2，y 2 )，则 D (-4，y 1 ) ，y 1 + y 2 = 4m m 2 + 2， y 1 y 2 = - 4 m 2 + 2，………………………………………………………………………………7 分22∴ my 1 y 2 = -( y 1 + y 2 ) ，……………………………………………………………………………………………………8 分 ND : y =y 2 - y 1(x + 4) + y ，令 y = 0，x 2 + 4∴ x + 4 = - y 1 (x 2 + 4) = - y 1 (my 2 + 2) = - my 1 y 2 + 2 y 1 = - - ( y 1 + y 2 ) + 2 y 1 = 1∴ x = -3 ，y 2 - y 1 y 2 - y 1 y 2 - y 1 y 2 - y 1∴直线 ND 过定点(-3，0) .………………………………………………………………………………………………12 分方法二：由题意可得直线 MN 的斜率不为0 ，设 MN ： x = my - 2 ，与 x + y 8 4 = 1联立消去 x 得： (m 2 + 2) y 2 - 4my - 4 = 0 ，∆ = 32(m 2 +1) > 0 恒成立，设 M (x 1，y 1 ) ， N (x 2，y 2 )，则 D (-4，y 1 ) ，y 1 + y 2 = 4mm 2+ 2， y 1 y 2 = - 4 m 2 + 2，………………………………………………………………………………7 分y 1 = 2(m 2 + 2) ， y 2 = 2(m 2 + 2) ……………………………………………………8 分 ND : y = y 2 - y1 (x + 4) + y = ( y2 - y 1 )(x + 4) + my 1 y 2 + 2 y 1x 2 + 4 1- 4mmy 2 + 2=m 2 + 2 (x + 4) + m 2 + 2 + my 2 + 2m 2+ 2= m 2+ 2 (x + 4) -my 2 + 2m 2 + 2=m 2 + 2 my 2 + 2∴ x = -3 时 y = 0，∴直线 ND 过定点(-3，0) .…………………………………………………………………………………………………12 分22.⑴当 a = 1时， f (x ) = 1+ ln x + x - x 2，∴ f '(x ) = 1 +1- 2x = - (x -1)(2x +1) ，…………………………………………………………………………1 分x x令 f '(x ) > 0 ，得0 < x < 1；令 f '(x ) < 0 ，得 x > 1，……………………………………………………3 分4m - 4 2 ⋅ m 2 +1 4m + 4 2 ⋅ m 2 +1 4 2 m 2 +1 4m - 4 2 m 2 +14 2 m 2 +14 2 m 2 +14 2 m 2+1(x + 3)12∴f(x)的单调递增区间为(0，1]，单调递减区间为[1，+∞）.……………………………………………4分⑵当a = 0 时，f (x) = 1+ ln x ，∴f (x) - 2 ln x+ 2x2 -1< 2 ⇔1- ln x+ 2x2 -1< 2 ，e x x e x x即x(1- ln x) <e x (-2x3 + 2x +1)(0 <x <1) ，……………………………………………………………………5 分令g(x) =x(1- ln x)(0 <x <1) ，∴g'(x) =-ln x > 0 ，∴g(x)在(0，1)上单调递增，∴g(x)<g(1)=1.………………………………………………………………7分令h(x) =e x (-2x3 + 2x +1) ，∴h'(x) =e x (-2x3 - 6x2 + 2x + 3) ，令ϕ(x)=-2x3-6x2+2x+3，∴ϕ'(x)=-6x2-12x+2在(0，1)上递减，又ϕ'(0) = 2 > 0，ϕ'(1) =-16 < 0 ，∴∃x∈(0，1)使ϕ'(x0)=0，且x∈(0，x0)时，ϕ'(x)>0，ϕ(x)递增，x∈(x，1)时，ϕ'(x)<0，ϕ(x)递减，………………………………………………………………………………9分而ϕ(0) = 3 > 0，ϕ(1) =-3 < 0 ，∴∃x1∈(0，1)使ϕ(x1)=0，即h'(x1)=0，x∈(0，x1)时h'(x)>0，h(x)单调递增，x∈(x1，1)时h'(x)<0，h(x)单调递减，而h(0) = 1，h(1) =e ，∴h(x) > 1恒成立，……………………………………………………………………11 分∴g(x) <h(x) ，即x(1- ln x) <e x (-2x3 + 2x +1)(0 <x < 1) ，即f (x) - 2 ln x+ 2x2 -1< 2 .…………………………………………………………………………………………12 分e x x。
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1．已知集合 A 1, 2,3, 4, B y | y 2x1, x A ，则 A B
A．{1, 2}
B．{2, 4}
C． {1, 2, 4}
D．
2．若复数 z 同时满足 z z 2i ， z iz ，则 z
A．1 i
B． i
C． 1 i
3．关于直线 l : ax by 1 0 ，有下列四个命题：
（含边界）内的动点，当 AE EF FC1 最小时，以 A 为球心， AE 的长为半径的球面与上底
面 A1B1C1D1 的交线长为
．
四、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 10 分）
在 ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边， sin2 A sin2 C sin2 B sin Asin C ．
6．函数
f
(x)
|
x
|
m x
（其中
m
R
）的图像不．可．能．是
y y
8．已知函数 f x aex ln x xa R ，若 x 1, 时， f (x) 2 ，则实数 a 的取
x
值范围为
A．
2 e2
,
B．
1 e3
,
C．
1 e2
,
D．
1 e
,
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项
（Ⅰ）求角 B 的大小；
（Ⅱ）若 ABC 为锐角三角形， b 3 ，求 2a c 的取值范围．
18．（本小题满分 12 分）
已知等差数列an 和等比数列bn 满足 a1 4 ， b1 2 ， a2 2b2 1， a3 b3 2 ． （Ⅰ）求an 和bn 的通项公式； （Ⅱ）数列 an和 bn中的所有项分别构成集合 A, B ，将 A B 的所有元素按从小到大依次排列 构成一个新数列cn，求数列cn的前 60 项和 S60 ．
an
amn
D． a3 a8 a5 a6
10．已知函数 f (x) 3 2sin x sin 2x ，则下列结论正确的有
A．函数 f (x) 的最小正周期为
B．函数 f (x) 在 , 上有 2 个零点
C．函数 f (x) 的图象关于 , 3 对称
D．函数 f (x) 的最小值为 3
龙泉中学、宜昌一中 2021 届高三年级 2 月联合考试
数学试题
命题学校：龙泉中学
本试卷共 2 页，共 22 题。满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1.
.
.
2.
2B
.
3.
.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的．
19．（本小题满分 12 分）
在三棱锥 P ABC 中，平面 PAC 平面 ABC， PA PB AB 2AC 2BC ． （Ⅰ）证明： PC 平面 ABC；
（Ⅱ）已知 Q，M，N 分别为线段 PB、PA、BC 的中点，求直线 MN 与平面 QAC 所成角的正弦值．
21．（本小题满分 12 分）
甲：直线 l 经过点 1, 0 ；
乙：直线 l 经过点 0, 1 ；
D． 1 i
丙：直线 l 经过点 1, 1 ；
丁： ab 0 ．
若只有一个假命题，则该命题是
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
4．若
x
a 3x
8
的展开式中
x4
的系数为
7，则展开式的常数项为
A． 7 16
B． 1 2
C． 7 16
D． 1 2
．
14．已知 a,b 都为正实数，则 a b 25 的最小值为
．
a ab
15．已知 A ， B 两点分别为椭圆 x2 y2 1的左焦点和上顶点， C 为椭圆上的动点，则 ABC
32
面积的最大值为
．
2 月月考数学第 1 页 共 2 页
16．如图，长方体 ABCD A1B1C1D1 的长、宽、高分别 4 5、8、3 ， E、F 分别为上底面、下底面
11．如图，在某城市中， M , N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中 A1, A2, A3, A4 是道路网 中位于一条对角线上的 4 个交汇处．今在道路网 M , N 处的甲、乙两人分别要到 N, M 处，
他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达 N, M 处为止，
符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 a1 p ， 2Sn Sn1 2 p （ n 2 ， p 为常数），则下列
结论正确的有
A．an 一定是等比数列
B．当
ห้องสมุดไป่ตู้
p
1时，
S4
15 8
C．当
p
1 2
时，
am
则下列说法正确的有
A．甲从 M 到达 N 处的方法有 120 种
B．甲从 M 必须经过 A3 到达 N 处的方法有 9 种
C．甲、乙两人在
A3
处相遇的概率为
9 100
D．甲、乙两人相遇的概率为 41 100
12．已知 F1, F2 为双曲线 C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的左右焦点，过点 F1 作渐近线
5．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、
谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，
前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问小满日影长为 （1 丈=10 尺=100 寸）
A．四尺五寸
B．三尺五寸
C．二尺五寸
D．一尺五寸
y
b a
x的
垂线交双曲线右支于点 P，直线 PF2 与 y 轴交于点 Q（P，Q 在 x 轴同侧），连接 QF1 ，若 PQF 1
内切圆圆心 I 恰好落在以 F1F2 为直径的圆上，则下列结论正确的有
A． F1PF2
2
B． PQF1 内切圆的半径为 a b
C． OQ 5 OI
D．双曲线的离心率为 5
Ox
Ox
A．
B．
C．
D．
7．已知 O 为 ABC 的外心， 3OA 4OB 5OC 0 ，则 cos ABC 的值为
A． 5 5
B． 10 10
C． 5 10
D． 10 5
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．已知
是三角形的一个内角，
tan
4 3
，则 sin
2 3