2.3.1离散型随机变量的均值(教学设计)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解：令取取黄球个数 (=0、1、2)则 的要布列为
0
1
2
p
于是 E（ ）=0× +1× +2× =
故知红球个数的数学期望为
例3（课本P63例3）根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为,有大洪水的概率为0. 01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3 种方案：
2、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…，
ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为 ，则称表
ξ
x1
x2
…
xi
…
P
P1
P2
…
Pi
…
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列
3、离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是
3. 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令 … ，则有 … ， … ，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值
4.均值或期望的一个性质:若 (a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为
ξ
x1
x2
…
xn
…
η
…
…
P
p1
p2
…
pn
…
于是 … …
＝ … …) … …)
＝ ，
由此，我们得到了期望的一个性质:
5．若X服从两点分布，则E(X) =p
6.若ξ B（n,p）（二项分布），则Eξ=np
证明如下：
∵ ，
∴ 0× ＋1× ＋2× ＋…＋k× ＋…＋n× ．
又∵ ，
∴ ＋ ＋…＋ ＋…＋ ．
故 若ξ～B(n，p)，则 np．
例题选讲：
例1（课本P61例1）篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为，求他罚球一次得分 的期望
，（k＝0,1,2,…，n， ）．
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ
0
1
…
k
…
n
P
…
…
称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记 ＝b(k；n，p)．
*4、离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整 数的离散型随机变量．“ ”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k次试验时事件A发生记为 、事件A不发生记为 ，P( )=p，P( )=q(q=1-p)，那么
2．3离散型随机变量的均值与方差
2．3．1离散型随机变量的均值（教学设计）
教学目标：
知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望．
过程与方法：理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξ B（n,p），则Eξ=np”.能熟
练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。
X
1
2
3
4
P
问题2：某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理
解：
1、均值或数学期望:
一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ
x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
则称 … … 为ξ的均值或数学期望，简称期望．
2.均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
= 60 000×+ 10000×=3100 .
采取方案2的平均损失Hale Waihona Puke Baidu小，所以可以选择方案2 .
值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的．一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案 2 将会使损失减到最小．由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案 2 也不一定是最好的．
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文
价值。
教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概念
教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望
教学过程：
一、复习回顾：
1、离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量
（k＝0,1,2,…， ）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ
1
2
3
…
k
…
P
…
…
称这样的随机变量ξ服从几何分布
记作g(k，p)= ，其中k＝0,1,2,…， ．
二、师生互动，新课讲解：
问题1：某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少
解一：
解二：把环数看成随机变量的概率分布列：
同样，采用第 3 种方案，有
于是，
EX1＝3 800 ,
EX2＝62 000×P (X2= 62 000 ) + 2 00000×P (X2= 2 000 )
= 62000×0. 01 + 2000×= 2 600 ,
EX3= 60000×P (X3= 60000) + 10 000×P(X3=10 000 ) + 0×P (X3=0)
解：因为 ，
所以
变式训练1：.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望．
解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为
ξ
1
2
3
4
5
6
P
所以
1× ＋2× ＋3× ＋4× ＋5× ＋6×
＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)× ＝．
抛掷骰子所得点数ξ 的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．
例2（课本P62例2）一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对任一题的概率为，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望
解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分 别是 ，则 ~B（20,）, ,
由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5 和5 所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：
变式训练2：一袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是（用数字作答）
方案1：运走设备，搬运费为3 800 元．
方案2：建保护围墙，建设费为2 000 元．但围墙只能防小洪水．
方案3：不采取措施，希望不发生洪水．
试比较哪一种方案好．
解：用X1、X2和X3分别表示三种方案的损失．
采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3 800 元，即
X1= 3 800 .
采用第2 种方案，遇到大洪水时，损失2 000 + 60 000=62 000 元；没有大洪水时，损失2 000 元，即
0
1
2
p
于是 E（ ）=0× +1× +2× =
故知红球个数的数学期望为
例3（课本P63例3）根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为,有大洪水的概率为0. 01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3 种方案：
2、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…，
ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为 ，则称表
ξ
x1
x2
…
xi
…
P
P1
P2
…
Pi
…
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列
3、离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是
3. 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令 … ，则有 … ， … ，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值
4.均值或期望的一个性质:若 (a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为
ξ
x1
x2
…
xn
…
η
…
…
P
p1
p2
…
pn
…
于是 … …
＝ … …) … …)
＝ ，
由此，我们得到了期望的一个性质:
5．若X服从两点分布，则E(X) =p
6.若ξ B（n,p）（二项分布），则Eξ=np
证明如下：
∵ ，
∴ 0× ＋1× ＋2× ＋…＋k× ＋…＋n× ．
又∵ ，
∴ ＋ ＋…＋ ＋…＋ ．
故 若ξ～B(n，p)，则 np．
例题选讲：
例1（课本P61例1）篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为，求他罚球一次得分 的期望
，（k＝0,1,2,…，n， ）．
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ
0
1
…
k
…
n
P
…
…
称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记 ＝b(k；n，p)．
*4、离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整 数的离散型随机变量．“ ”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k次试验时事件A发生记为 、事件A不发生记为 ，P( )=p，P( )=q(q=1-p)，那么
2．3离散型随机变量的均值与方差
2．3．1离散型随机变量的均值（教学设计）
教学目标：
知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望．
过程与方法：理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξ B（n,p），则Eξ=np”.能熟
练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。
X
1
2
3
4
P
问题2：某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理
解：
1、均值或数学期望:
一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ
x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
则称 … … 为ξ的均值或数学期望，简称期望．
2.均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
= 60 000×+ 10000×=3100 .
采取方案2的平均损失Hale Waihona Puke Baidu小，所以可以选择方案2 .
值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的．一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案 2 将会使损失减到最小．由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案 2 也不一定是最好的．
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文
价值。
教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概念
教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望
教学过程：
一、复习回顾：
1、离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量
（k＝0,1,2,…， ）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ
1
2
3
…
k
…
P
…
…
称这样的随机变量ξ服从几何分布
记作g(k，p)= ，其中k＝0,1,2,…， ．
二、师生互动，新课讲解：
问题1：某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少
解一：
解二：把环数看成随机变量的概率分布列：
同样，采用第 3 种方案，有
于是，
EX1＝3 800 ,
EX2＝62 000×P (X2= 62 000 ) + 2 00000×P (X2= 2 000 )
= 62000×0. 01 + 2000×= 2 600 ,
EX3= 60000×P (X3= 60000) + 10 000×P(X3=10 000 ) + 0×P (X3=0)
解：因为 ，
所以
变式训练1：.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望．
解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为
ξ
1
2
3
4
5
6
P
所以
1× ＋2× ＋3× ＋4× ＋5× ＋6×
＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)× ＝．
抛掷骰子所得点数ξ 的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．
例2（课本P62例2）一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对任一题的概率为，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望
解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分 别是 ，则 ~B（20,）, ,
由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5 和5 所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：
变式训练2：一袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是（用数字作答）
方案1：运走设备，搬运费为3 800 元．
方案2：建保护围墙，建设费为2 000 元．但围墙只能防小洪水．
方案3：不采取措施，希望不发生洪水．
试比较哪一种方案好．
解：用X1、X2和X3分别表示三种方案的损失．
采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3 800 元，即
X1= 3 800 .
采用第2 种方案，遇到大洪水时，损失2 000 + 60 000=62 000 元；没有大洪水时，损失2 000 元，即