2019浙江高考 抛物线专题
【数学】2019年高考真题——浙江卷(精校版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）一、选择题1．已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，则(∁U A)∩B等于() A．{－1} B．{0,1}C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,3}答案 A解析由题意可得∁U A＝{－1,3}，则(∁U A)∩B＝{－1}．2．渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是()A.B．1C.D．2答案 C解析因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝.3．若实数x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值是()A．－1 B．1 C．10 D．12答案 C解析作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，数形结合可知，当直线z＝3x＋2y过点A(2,2)时，z取得最大值，z max＝6＋4＝10.4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是()A．158 B．162 C．182 D．324答案 B解析由三视图可知，该几何体是一个直五棱柱，所以其体积V＝×(4×3＋2×3＋6×6)×6＝162.5．设a＞0，b＞0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥2，由a＋b≤4可得2≤4，解得ab≤4，所以充分性成立；当ab≤4时，取a＝8，b＝，满足ab≤4，但a＋b≥4，所以必要性不成立，所以“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．6．在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝log a(a＞0，且a≠1)的图象可能是() A. B.C. D.答案 D解析若0＜a＜1，则函数y＝是增函数，y＝log a是减函数且其图象过点，结合选项可知，选项D可能成立；若a＞1，则y＝是减函数，而y＝log a是增函数且其图象过点，结合选项可知，没有符合的图象．7．设0＜a＜1.随机变量X的分布列是()则当a在(0,1)内增大时，()A．D(X)增大B．D(X)减小C．D(X)先增大后减小D．D(X)先减小后增大答案 D解析由题意可知，E(X)＝(a＋1)，所以D(X)＝＋＋＝＝，所以当a在(0,1)内增大时，D(X)先减小后增大．8．设三棱锥V－ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含端点)．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P－AC－B 的平面角为γ，则()A．β＜γ，α＜γB．β＜α，β＜γC．β＜α，γ＜αD．α＜β，γ＜β答案 B解析由题意，不妨设该三棱锥的侧棱长与底面边长相等，因为点P是棱VA上的点(不含端点)，所以直线PB与平面ABC所成的角β小于直线VB与平面ABC所成的角，而直线VB 与平面ABC所成的角小于二面角P－AC－B的平面角γ，所以β＜γ；因为AC⊂平面ABC，所以直线PB与直线AC所成的角α大于直线PB与平面ABC所成的角β，即α＞β.9．设a，b∈R，函数f(x)＝若函数y＝f(x)－ax－b恰有3个零点，则()A．a＜－1，b＜0 B．a＜－1，b＞0C．a＞－1，b＜0 D．a＞－1，b＞0答案 C解析由题意可得，当x≥0时，f(x)－ax－b＝x3－(a＋1)x2－b，令f(x)－ax－b＝0，则b ＝x3－(a＋1)x2＝x2[2x－3(a＋1)]．因为对任意的x∈R，f(x)－ax－b＝0有3个不同的实数根，所以要使满足条件，则当x≥0时，b＝x2[2x－3(a＋1)]必须有2个零点，所以＞0，解得a＞－1.所以b＜0.10．设a，b∈R，数列{a n}满足a1＝a，a n＋1＝＋b，n∈N*，则()A．当b＝时，a10＞10B．当b＝时，a10＞10C．当b＝－2时，a10＞10D．当b＝－4时，a10＞10答案 A解析当b＝时，因为a n＋1＝＋，所以a2≥，又a n＋1＝＋≥a n，故a9≥a2×()7≥×()7＝4，a10＞≥32＞10.当b＝时，a n＋1－a n＝2，故当a1＝a＝时，a10＝，所以a10＞10不成立．同理b＝－2和b＝－4时，均存在小于10的数x0，只需a1＝a＝x0，则a10＝x0＜10，故a10＞10不成立．二、填空题11．复数z＝(i为虚数单位)，则|z|＝________.答案解析z＝＝＝－，所以|z|＝＝.12．已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.答案－2解析方法一设过点A(－2，－1)且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0，令x＝0，得m＝－2，则r＝＝.方法二因为直线2x－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以×2＝－1，所以m＝－2，r＝＝.13．在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．答案16 5解析该二项展开式的第k＋1项为T k＋1＝()9－k x k，当k＝0时，第1项为常数项，所以常数项为()9＝16；当k＝1,3,5,7,9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.14．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.答案解析在Rt△ABC中，易得AC＝5，sin C＝＝.在△BCD中，由正弦定理得BD＝×sin∠BCD＝×＝，sin∠DBC＝sin [π－(∠BCD＋∠BDC)]＝sin(∠BCD＋∠BDC)＝sin∠BCD·cos∠BDC＋cos∠BCD·sin∠BDC＝×＋×＝.又∠ABD＋∠DBC＝，所以cos∠ABD＝sin∠DBC＝.15．已知椭圆＋＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．答案解析依题意，设点P(m，n)(n＞0)，由题意知F(－2,0)，|OF|＝2，所以线段FP的中点M在圆x2＋y2＝4上，所以2＋2＝4，又点P(m，n)在椭圆＋＝1上，所以＋＝1，所以4m2－36m－63＝0，所以m＝－或m＝(舍去)，当m＝－时，n＝，所以k PF＝＝.16．已知a∈R，函数f(x)＝ax3－x.若存在t∈R，使得|f(t＋2)－f(t)|≤，则实数a的最大值是________．答案解析f(t＋2)－f(t)＝[a(t＋2)3－(t＋2)]－(at3－t)＝2a(3t2＋6t＋4)－2，因为存在t∈R，使得|f(t＋2)－f(t)|≤，所以－≤2a(3t2＋6t＋4)－2≤有解．因为3t2＋6t＋4≥1，所以≤a≤有解，所以a≤max＝，所以a的最大值为.17．已知正方形ABCD的边长为1.当每个λi(i＝1,2,3,4,5,6)取遍±1时，|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|的最小值是________，最大值是________．答案02解析以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，所以λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)，所以当时，可取λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－1，λ4＝1，此时|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|取得最小值0；取λ1＝1，λ3＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，则|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|取得最大值＝2.三、解答题18．设函数f(x)＝sin x，x∈R.(1)已知θ∈[0,2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y＝2＋2的值域．解(1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，所以，对任意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ，故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0.又θ∈[0,2π)，因此θ＝或.(2)y＝2＋2＝sin2＋sin2＝＋＝1－＝1－cos.因此，函数的值域是.19.如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．(1)证明：EF⊥BC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．方法一(1)证明如图，连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC.又因为A1F∥AB，∠ABC＝90°，故BC⊥A1F，又A1E，A1F⊂平面A1EF，A1E∩A1F＝A1，所以BC⊥平面A1EF.因此EF⊥BC.(2)解取BC的中点G，连接EG，GF，则EGF A1是平行四边形．由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四边形EGF A1为矩形．连接A1G交EF于O，由(1)得BC⊥平面EGF A1，则平面A1BC⊥平面EGF A1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上．则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角)．不妨设AC＝4，则在Rt△A1EG中，A1E＝2，EG＝.由于O为A1G的中点，故EO＝OG＝＝，所以cos∠EOG＝＝.因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是.方法二(1)证明连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以A1E⊥平面ABC.如图，以E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E－xyz. 不妨设AC＝4，则A1(0,0,2)，B(，1,0)，B1(，3,2)，F，C(0,2,0)．因此，＝，＝(－，1,0)．由·＝0得EF⊥BC.(2)解设直线EF与平面A1BC所成角为θ.由(1)可得＝(－，1,0)，＝(0,2，－2)．设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)．由得取n＝(1，，1)，故sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝.因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为.20．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝4，a4＝S3.数列{b n}满足：对每个n∈N*，S n＋b n，S n＋1＋b n，S n＋2＋b n成等比数列．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)记c n＝，n∈N*，证明：c1＋c2＋…＋c n＜2，n∈N*.(1)解设数列{a n}的公差为d，由题意得a1＋2d＝4，a1＋3d＝3a1＋3d，解得a1＝0，d＝2.从而a n＝2n－2，n∈N*.所以S n＝n2－n，n∈N*.由S n＋b n，S n＋1＋b n，S n＋2＋b n成等比数列得(S n＋1＋b n)2＝(S n＋b n)(S n＋2＋b n)．解得b n＝(－S n S n＋2)．所以b n＝n2＋n，n∈N*.(2)证明c n＝＝＝，n∈N*.我们用数学归纳法证明．①当n＝1时，c1＝0＜2，不等式成立；②假设n＝k(k∈N*，k≥1)时不等式成立，即c1＋c2＋…＋c k＜2.那么，当n＝k＋1时，c1＋c2＋…＋c k＋c k＋1＜2＋＜2＋＜2＋＝2＋2(－)＝2.即当n＝k＋1时不等式也成立．根据①和②，不等式c1＋c2＋…＋c n＜2对任意n∈N*成立．21.如图，已知点F(1,0)为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求的最小值及此时点G的坐标．解(1)由题意得＝1，即p＝2.所以，抛物线的准线方程为x＝－1.(2)设A(x A，y A)，B(x B，y B)，C(x C，y C)，重心G(x G，y G)．令y A＝2t，t≠0，则x A＝t2.由于直线AB过点F，故直线AB的方程为x＝y＋1，代入y2＝4x，得y2－y－4＝0，故2ty B＝－4，即y B＝－，所以B.又由于x G＝(x A＋x B＋x C)，y G＝(y A＋y B＋y C)及重心G在x轴上，故2t－＋y C＝0.即C，G.所以，直线AC的方程为y－2t＝2t(x－t2)，得Q(t2－1,0)．由于Q在焦点F的右侧，故t2＞2.从而＝＝＝＝2－.令m＝t2－2，则m＞0，＝2－＝2－≥2－＝1＋.当且仅当m＝时，取得最小值1＋，此时G(2,0)．22．已知实数a≠0，设函数f(x)＝a ln x＋，x＞0.(1)当a＝－时，求函数f(x)的单调区间；(2)对任意x∈均有f(x)≤，求a的取值范围．注e＝2.718 28…为自然对数的底数．解(1)当a＝－时，f(x)＝－ln x＋，x＞0.f′(x)＝－＋＝，令f′(x)＞0，得x＞3，令f′(x)＜0，得0＜x＜3，所以，函数f(x)的单调递减区间为(0,3)，单调递增区间为(3，＋∞)．(2)由f(1)≤，得0＜a≤.当0＜a≤时，f(x)≤等价于－－2ln x≥0.令t＝，则t≥2.设g(t)＝t2－2t－2ln x，t≥2，则g(t)＝2－－2ln x.(i)当x∈时，≤2，则g(t)≥g(2)＝8－4－2ln x.记p(x)＝4－2－ln x，x≥，则p′(x)＝－－＝＝.故当x变化时，p′(x)，p(x)的变化情况如下表：所以，p(x)≥p(1)＝0.因此，g(t)≥g(2)＝2p(x)≥0.(ii)当x∈时，g(t)≥g＝.令q(x)＝2ln x＋(x＋1)，x∈，则q′(x)＝＋1＞0，故q(x)在上单调递增，所以q(x)≤q.由(i)得，q＝－p＜－p(1)＝0.所以，q(x)＜0.因此，g(t)≥g＝－＞0. 由(i)(ii)知对任意x∈，t∈[2，＋∞)时，g(t)≥0，即对任意x∈，均有f(x)≤.综上所述，a的取值范围是.。
新教材高考数学第九章平面解析几何7考点3直线和抛物线的综合题2练习含解析选修2
高考真题（2019•浙江卷）如图，已知点为抛物线，点为焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧.记的面积为.（1）求的值及抛物线的准线方程；（2）求的最小值及此时点的坐标.【解析】（1）由题意可得，则，抛物线方程为，准线方程为. （2）设，设直线AB 的方程为，与抛物线方程联立可得：，故：， ，设点C 的坐标为，由重心坐标公式可得：，， 令可得：，则.即，(10)F ，22(0)y px p =>F F ,A B C ABC G x AC x Q Q F ,AFG CQG △△12,SS p 12S S G 12p=2,24p p ==24y x =1x =-()()1122,,,A x y B x y ()1,0y k x k =->24y x =()2222240k x k x k -++=2222242,1kx x x x +=+=()12121242,4y y k x x y y k+=+-==-⨯=-()33,C x y 1233G x x x x ++=321423x k ⎛⎫++ ⎝=⎪⎭1233G y y y y ++=3143y k =⎛⎫+ ⎪⎝⎭0G y =34y k =-233244y x k==222144123382G k x k k ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭=由斜率公式可得：，直线AC 的方程为：，令可得：，故， 且， 由于，代入上式可得：，由可得，则，则 .当且仅当，即，时等号成立. 此时，，则点G 的坐标为. 【答案】（1）1，；（2），.（2019•北京卷（理））已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．131322311313444AC y y y y k y y x x y y --===-+-()33134y y x x y y -=-+0y =()()231331331334444Q y y y y y y y y yx x -+-+=+=+=-()11112218121323118223G F y S x x y y k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⨯=⨯- ⎪=⨯-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝=⨯⎭⎣⎦()()32213311822423Q G y y y S x x y k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎡⎤=⨯-⨯-=---⎢⎥⎣⎦34y k=-12222833y S k k k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭12124,4y y y y k +==-1144y y k -=12144y k y =-()()()2211122121112281233222284433y y S y S y y k k k y k -==⎛⎫-+--⎛⎫⨯- ⎭⎪⎝⎭⎪⎝()212142488168y y =--++-21≥=+21214888y y -=-218y =+1y 12144y k y ==-281223G x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=()2,0G1x =-1+()2,0G【解析】（Ⅰ）将点代入抛物线方程：可得：，故抛物线方程为：，其准线方程为：.（Ⅱ）很明显直线的斜率存在，焦点坐标为，设直线方程为，与抛物线方程联立可得：.故：.设，则，直线的方程为，与联立可得：，同理可得， 易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，且：，则圆的方程为：，令整理可得：，解得：，即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）见解析.（2019•全国I 卷（理））已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若，求|AB |．【解析】（1）设直线方程为：，， ()2,1-()2221p =⨯-2p =24x y =-1y =l ()0,1-1y kx =-24x y =-2440x kx +-=12124,4x x k x x +=-=-221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12,44OM ON x x k k =-=-OM 14x y x =-1y =-14,1A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭24,1B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭1222,1x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭1222x x -()1212122222x x k x x x x ++==12222x x -==()()()2222141x k y k -++=+0x =2230y y +-=123,1y y =-=()()0,3,0,1-24x y =-1y =323AP PB =l 3y =x m 2+()11,A x y ()22,B x y由抛物线焦半径公式可知： 联立得： 则 ，解得： 直线的方程为：，即： （2）设，则可设直线方程为：联立得： 则 ，，则 【答案】（1）；（2. 12342AF BF x x +=++=1252x x ∴+=2323y x m y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩()229121240x m x m +-+=()2212121440m m ∆=-->12m ∴<121212592m x x -∴+=-=78m =-∴l 3728y x =-12870x y --=(),0P t l 23x y t =+2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩2230y y t --=4120t ∆=+>13t ∴>-122y y ∴+=123y y t =-3AP PB =123y y ∴=-21y ∴=-13y =123y y ∴=-33AB ===12870x y --=。
2019年浙江省高考数学(含解析版)
【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.
3.若实数 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ）
A. B.1
C.10D.12
【答案】C
【解析】
【分析】
本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.
【详解】方法1：由分布列得 ，则
，则当 在 内增大时， 先减小后增大.
方法2：则
故选D.
【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.
8.设三棱锥 的底面是正三角形，侧棱长均相等， 是棱 上的点（不含端点），记直线 与直线 所成角为 ，直线 与平面 所成角为 ，二面角 的平面角为 ，则（ ）
A.当 B.当
C.当 D.当
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分
11.复数 （ 为虚数单位），则 ________.
12.已知圆 的圆心坐标是 ，半径长是 .若直线 与圆相切于点 ，则 _____， ______.
13.在二项式 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.
C. 先增大后减小D. 先减小后增大
8.设三棱锥 底面是正三角形，侧棱长均相等， 是棱 上的点（不含端点），记直线 与直线 所成角为 ，直线 与平面 所成角为 ，二面角 的平面角为 ，则（ ）
A. B.
C. D.
9.已知 ，函数 ，若函数 恰有三个零点，则（ ）
2019版高考数学精选地区10.3 抛物线及其性质
.
a
答案 1+ 2
2019年8月10日
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身体健 康，学业有成，金榜题名！
9
解析 |OD|= a ,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b,
2
故C
a 2
,
a
,F
a 2
b,
b
,
又抛物线y2=2px(p>0)经过C、F两点,
从而有
15
一题多解
由抛物线C:y2=2px可知焦点F为
p 2
,
0
.设A(0,2),M(x0,y0),则 AF
=
p 2
,
2
, AM
=(x0,y0-
2)=
y02 2p
,
y0
2
.
依题意, AF
· AM
=0,即 y02
-8y0+16=0,∴y0=4,则M
2019年8月10日
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6
B组 自主命题·省(区、市)卷题组
考点一 抛物线的定义和标准方程
1.(2016浙江,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是
.
答案 9
解析 设M(x0,y0),由抛物线方程知焦点F(1,0).根据抛物线的定义得|MF|=x0+1=10,∴x0=9,即点 M到y轴的距离为9. 评析 本题主要考查抛物线的定义以及几何性质,解决本题的关键在于抛物线定义的应用.
k
2= 4 ,y1·y2=-4.
2019高考数学真题汇编 椭圆 双曲线 抛物线
2019高考数学真题汇编 椭圆 双曲线 抛物线一．选择题2019全国Ⅱ卷理8若抛物线px y 22=（p>0）是1322=+p y p x 的一个焦点，则P_______ A. 2 B. 3 C. 4 D.82019全国Ⅱ卷理11设F 为双曲线C ：12222=-by a x （a>0,b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222a y x =+交于P,Q 两点，若OF PQ =,则C 的离心率______A. 2B. 3C. 2D.52019全国Ⅲ卷理10双曲线C ：12422=-y x 的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点.若PF PO =,则△PFO 的面积为______A. 423B. 223 C. 22 D.232019全国Ⅲ卷文10已知F 为双曲线C:15422=-y x 的一个焦点,P 点在C 上，O 为坐标原点，△OPF 的面积为______ A.23 B. 25 C. 27 D.29 2019全国Ⅰ卷理10已知椭圆C 的焦点1F (-1,0) ,2F (1,0),过1F 的直线与C 交于A,B 两点.若122,2BF AB B F AF ==则C 的方程为_________A. 1222=+y xB.12322=+y xC. 13422=+y xD.14522=+y x 2019全国Ⅰ卷文10 双曲线12222=+by a x （a>0,b>0）的一条渐近线的倾斜角为0130，则C 的离心率为___A. 040sin 2B. 040cos 2C.050sin 1 D.050cos 1 2019天津理5已知抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线12222=+by a x （a>0,b>0）的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且OF AB 4=(O 为原点）则双曲线的离心率____ A. 2 B. 3 C. 4 D.52019北京理4已知椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21则___ A. 222b a = B. 2243b a = C. b a 2= D.b a 432= 2019北京文5已知双曲线1222=-y ax （a>0）的离心率是5，则a=____ A. 6 B. 4 C. 2 D.21 2019浙江理2渐近线方程为0=±y x 的双曲线的离心率是_______B. 22 B. 1 C. 2 D.2二．填空题 2019浙江理15已知椭圆15922=+y x 的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率________2019北京文11设抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程___________ 2019全国一卷理16已知双曲线左右焦点分别为1F ,2F 率过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点.若0,211=∙=F F F 则C 的离心率___________.2019全国Ⅲ卷文15设F 1,F 2为椭圆C ：1203622=+y x 的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△F MF 21为等腰三角形，则M 的坐标为（ ） ()222210,0x y C a b a b-=>>：。
文科数学2010-2019高考真题分类训练专题九 解析几何第二十七讲 抛物线
(1)求直线 AB 的斜率；
(2)设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM ⊥ BM ，求直线
AB 的方程．
22．（2017 浙江）如图，已知抛物线 x2 = y ．点 A(− 1 , 1) ， B( 3 , 9) ，抛物线上的点
24
24
P(x, y) (− 1 x 3) ，过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q ． 22
A． 7 2
B． 5 2
C．3
D．2
6．（2014 新课标 2）设 F 为抛物线 C：y2 = 3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于
A, B 两点， O 为坐标原点，则△ OAB 的面积为
A． 3 3 4
B．
9
3 8
C．
63 32
D．
9 4
7．（2014 辽宁）已知点 A(−2, 3) 在抛物线 C： y2 = 2 px 的准线上，过点 A 的直线与 C 在第
一点，过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B ，交 x 轴的正半轴于点 D ，且有 FA = FD ，
当点 A 的横坐标为 3 时， ADF 为正三角形。 （Ⅰ）求 C 的方程；
（Ⅱ）若直线 l1 // l ，且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E ， （ⅰ）证明直线 AE 过定点，并求出定点坐标； （ⅱ） ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说
26．（2015
浙江）如图，已知抛物线 C1 ：y
=
1 4
x2
，圆 C2
：x2
+
(y
−1)2
= 1，过点
P(t,0)
(t >0)
2019届高考数学(浙江版)一轮配套讲义：10.3 抛物线及其性质
§10.3 抛物线及其性质考纲解读分析解读 1.考查抛物线的定义、标准方程及简单几何性质.2.考查直线与抛物线的位置关系,以及与抛物线有关的综合问题.3.预计2019年高考中,抛物线的标准方程及简单几何性质仍将被考查.五年高考考点一抛物线的定义和标准方程1.(2013课标全国Ⅱ,11,5分)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF 为直径的圆过点(0,2),则C的方程为( )A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y 2=2x 或y2=16x答案 C2.(2016浙江,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.答案93.(2017课标全国Ⅱ理,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|= .答案 64.(2015陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p= .答案25.(2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a<b),原点O为AD的中点,抛物线y2=2px(p>0)经过C,F两点,则= .答案1+考点二抛物线的几何性质1.(2015浙江,5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是( )A. B.C.D.答案 A2.(2016课标全国Ⅰ,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为( )A.2B.4C.6D.8答案 B3.(2017山东理,14,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.答案y=±x4.(2016浙江文,19,15分)如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.(1)求p的值;(2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.解析(1)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离,由抛物线的定义得=1,即p=2.(2)由(1)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t≠0,t≠±1.因为AF不垂直于y轴,可设直线AF:x=sy+1(s≠0),由消去x得y2-4sy-4=0,故y1y2=-4,所以,B.又直线AB的斜率为,故直线FN的斜率为-.从而得直线FN:y=-(x-1),直线BN:y=-.所以N.设M(m,0),由A,M,N三点共线得=,于是m=.所以m<0或m>2.经检验,m<0或m>2满足题意.综上,点M的横坐标的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).5.(2014浙江文,22,14分)已知△ABP的三个顶点都在抛物线C:x2=4y上,F为抛物线C的焦点,点M为AB的中点,=3.(1)若||=3,求点M的坐标;(2)求△ABP面积的最大值.解析(1)由题意知焦点F(0,1),准线方程为y=-1.设P(x0,y0),由抛物线定义知|PF|=y0+1,得到y0=2,所以P(2,2)或P(-2,2).由=3,分别得M或M.(2)设直线AB的方程为y=kx+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).由得x2-4kx-4m=0,于是Δ=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,所以AB中点M的坐标为(2k,2k2+m).由=3,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1),所以由=4y0得k2=-m+.由Δ>0,k2≥0,得-<m≤.又因为|AB|=4²,点F(0,1)到直线AB的距离为d=,所以S△ABP=4S△ABF=8|m-1|=.记f(m)=3m3-5m2+m+1.令f'(m)=9m2-10m+1=0,解得m1=,m2=1.可得f(m)在上是增函数,在上是减函数,在上是增函数.又f=>f,所以,当m=时,f(m)取到最大值,此时k=±.所以,△ABP面积的最大值为.6.(2013浙江文,22,14分)已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1).(1)求抛物线C的方程;(2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点.若直线AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.解析(1)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p>0),则=1,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+1.由消去y,整理得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.从而|x1-x2|=4.由解得点M的横坐标x M===.同理点N的横坐标x N=.所以|MN|=|x M-x N|==8=.令4k-3=t,t≠0,则k=.当t>0时,|MN|=2>2.当t<0时,|MN|=2≥.综上所述,当t=-,即k=-时,|MN|的最小值是.7.(2017北京理,18,14分)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A为线段BM的中点.解析本题考查抛物线方程及性质,直线与抛物线的位置关系.(1)由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=.所以抛物线C的方程为y2=x.抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x=-.(2)由题意,设直线l的方程为y=kx+(k≠0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).由得4k2x2+(4k-4)x+1=0.则x1+x2=,x1x2=.因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1).直线ON的方程为y=x,点B的坐标为.因为y1+-2x1=====0,所以y1+=2x1.故A为线段BM的中点.8.(2014大纲全国,21,12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(1)求C的方程;(2)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l'与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.解析(1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.由题设得+=³,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程为y2=4x.(5分)(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).又l'的斜率为-m,所以l'的方程为x=-y+2m2+3.将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中点为E,|MN|=|y3-y4|=.(10分)由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,即4(m2+1)2++=.化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.(12分)教师用书专用(9—10)9.(2013安徽,13,5分)已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为.答案[1,+∞)10.(2013江西,14,5分)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF 为等边三角形,则p= .答案 6三年模拟A组2016—2018年模拟²基础题组考点一抛物线的定义和标准方程1.(2017浙江“超级全能生”联考(3月),4)设抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,若抛物线上的点A(-1,a)与焦点F的距离为2,则a=( )A.4B.4或-4C.-2D.-2或2答案 D2.(2017浙江杭州二模(4月),7)设倾斜角为α的直线经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线C交于A,B两点,设点A在x轴上方,点B在x轴下方.若=m,则cosα的值为( )A. B. C. D.答案 A3.(2018浙江名校协作体期初,15)已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若=,则||= .答案 54.(2017浙江稽阳联谊学校联考(4月),11)已知抛物线y2=-2px过点M(-2,2),则p= ,准线方程是.答案1;x=5.(2018浙江镇海中学期中,19)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C:x2=2py的焦点为F(0,1),过O作斜率为k(k≠0)的直线l交抛物线于A(异于O点),已知D(0,5),直线AD交抛物线于另一点B.(1)求抛物线C的方程;(2)若OA⊥BF,求k的值.解析(1)由题意知,=1,所以p=2,所以抛物线C:x2=4y.(6分)(2)由题意知,直线OA:y=kx,将其代入抛物线方程:x2=4y中,消去y,得x2-4kx=0,则A(4k,4k2).(8分)直线AB:y=x+5,直线BF:y=-x+1,(10分)联立可解得B.(12分)又因为B在抛物线C上,则=4³,(13分)得(4k2+3)(4k2-5)=0,得k=±.(15分)考点二抛物线的几何性质6.(2018浙江镇海中学期中,6)已知抛物线y2=4x的焦点为F,O为原点,若M是抛物线上的动点,则的最大值为( )A. B. C. D.答案 C7.(2017浙江镇海中学模拟卷(五),12)已知抛物线x2=4y,则该抛物线的焦点坐标是;过焦点斜率为1的直线与抛物线交于P,Q两点,则|PQ|= .答案(0,1);88.(2016浙江宁波二模,19)在“2016”的Logo设计中,有这样一个图案:.其由线段l、抛物线弧E及圆C三部分组成.对其进行代数化的分析,如图建系,发现:圆C方程为(x-4)2+y2=16,抛物线弧E:y2=2px(p>0,y≥0,0≤x≤8),若圆心C恰为抛物线y2=2px的焦点,线段l所在的直线恰为抛物线y2=2px 的准线.(1)求p的值及线段l所在的直线方程;(2)P为圆C上的任意一点,过P作圆的切线交抛物线弧E于A、B两点,问是否存在这样的点P,使得弦AB 在l上的投影的长度与圆C的直径之比为4∶3?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.解析(1)由题意易得p=8,线段l所在直线方程为x=-4.(5分)(2)假设存在这样的P点,设P(x0,y0)(0≤x0≤8),则切线方程为(x0-4)(x-4)+y0y=16,(7分)将其与抛物线方程y2=16x联立,显然x0≠4,y0>0.整理得y2+y0y-4x0=0,(9分)设点A、B在l上的投影分别为M,N.由题意可得|MN|=|y A-y B|==,解得x0=1(x0=16舍去).此时P(1,),则y A,B=(±2),(11分)因为抛物线弧的右上端点坐标为(8,8),且(+2)>8,故此时的P不满足条件,即这样的P点不存在.(15分)B组2016—2018年模拟²提升题组一、选择题1.(2017浙江绍兴质量调测(3月),7)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点M(p,0)的直线交抛物线于A,B两点,若=2,则=( )A.2B.C.D.与p有关答案 B二、填空题2.(2017浙江名校(镇海中学)交流卷二,13)设抛物线y2=4x的焦点为F,P,R为抛物线上的点,若|PF|=4,则点P的坐标是;若直线RF与抛物线的另一交点为Q,且△RQO(O为坐标原点)的重心在直线y=x上,则直线RF的斜率是.答案(3,±2);2或13.(2017浙江台州4月调研卷(一模),15)过抛物线y2=4x的焦点F作直线与抛物线及其准线分别交于A,B,C 三点,若=4,则||= .答案4.(2017浙江名校新高考研究联盟测试一,11)已知抛物线C:y2=2x,若C上的点M到焦点F的距离为,则△OFM的面积是.答案 1三、解答题5.(2018浙江名校协作体期初,21)如图,已知抛物线C1:x2=2py的焦点在抛物线C2:y=x2+1上,点P是抛物线C1上的动点.(1)求抛物线C1的方程及其准线方程;(2)过点P作抛物线C2的两条切线,A、B为两个切点,求△PAB面积的最小值.解析(1)C1的方程为x2=4y,(3分)其准线方程为y=-1.(5分)(2)设P(2t,t2),A(x1,y1),B(x2,y2),则切线PA的方程:y-y1=2x1(x-x1),即y=2x1x-2+y1,又y1=+1,所以y=2x1x+2-y1,同理得切线PB的方程为y=2x2x+2-y2,又切线PA和PB都过P点,所以所以直线AB的方程为4tx-y+2-t2=0.(9分)联立得x2-4tx+t2-1=0,所以所以|AB|=|x1-x2|=.(11分)点P到直线AB的距离d==.(13分)所以△PAB的面积S=|AB|d=2(3t2+1)=2(3t2+1,所以当t=0时,S取得最小值,为2.即△PAB面积的最小值为2.(15分)6.(2017浙江名校(诸暨中学)交流卷四,21)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,直线l过点F,且与C交于M,N两点.(1)当l与y轴垂直时,△OMN的面积为2(O为坐标原点),求此时抛物线C的方程;(2)过M,N分别作抛物线C的两条切线交于点P,当直线l变化时,证明:P点在一条定直线上,并且以MP为直径的圆过定点.解析(1)当直线l与y轴垂直时,|MN|=2p,S△OMN=²2p²==2,因此p=2,所以此时抛物线C的方程为x2=4y.(4分)(2)证明:由题意知,直线l的斜率必存在,设l的方程为y=kx+,M(x1,y1),N(x2,y2),P(x P,y P).由x2=2py,得y=x2,所以y'=x,所以切线PM的斜率为x1,PM的方程为y-y1=x1(x-x1),即x1x=p(y1+y).同理,PN的方程为x2x=p(y2+y).联立消去x,得y===-,故点P的纵坐标为定值,所以点P在定直线y=-,即抛物线的准线上.(12分)把y P=-代入x1x=p(y1+y),得x P==pk,所以P,又因为F,所以k PF=-.于是PF⊥MN,亦即∠PFM=90°,所以以PM为直径的圆过定点F.(15分)C组2016—2018年模拟²方法题组方法1 抛物线的定义和标准方程的解题策略1.(2017浙江名校协作体期初,9)双曲线C:-y2=1的渐近线方程是;若抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线C的一个焦点重合,则p= .答案y=±x;42.(2016浙江嘉兴第一中学能力测试,20)已知抛物线x2=2py(p>0)与直线3x-2y+1=0交于A,B两点,|AB|=,点M在抛物线上,MA⊥MB.(1)求p的值;(2)求点M的坐标.解析(1)将y=x+代入x2=2py,得x2-3px-p=0,由|AB|=及p>0得p=.(2)由(1)得A(1,2),B,抛物线方程为y=2x2.设点M(x0,y0),由MA⊥MB得²=0,即(x0-1)+(y0-2)=0,将y0=2代入得(x0-1)+4(x0-1)(x0+1)²=0,又x0≠1且x0≠-,所以1+4(x0+1)=0,解得x0=0或x0=-,所以点M的坐标为(0,0)或.方法2 抛物线的几何性质的解题策略3.(2016“江南十校”信息优化卷,13)经过抛物线y2=2px(p≠0)的顶点O作两条弦OA和OB,若弦OA、OB所在直线的斜率k1、k2恰好是方程x2+6x-4=0的两个根,则直线AB的斜率为.答案方法3 与抛物线有关的综合问题的解题策略4.(2016浙江模拟训练卷(三),19)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点M(-1,0)且斜率为k的直线l与抛物线C相交于不同的两点A、B,且∠AFB为锐角.(1)求k的取值范围;(2)求△AFB面积的取值范围.解析(1)显然k≠0,直线l的方程为y=k(x+1),由得k2x2+2(k2-2)x+k2=0.设A(x1,y1)、B(x2,y2),则有x1+x2=-,x1x2=1.显然A,F,B三点不共线,故∠AFB为锐角等价于²>0.而²=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+1)²(x2+1)=(k2+1)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+k2+1=2k2+2+,从而有2k2+2+>0,即有k2>.由Δ=4(k2-2)2-4k4>0,得k2<1.则有<k2<1,故k的取值范围为∪.(2)|AB|=|x1-x2|=²=²=,点F(1,0)到直线l:kx-y+k=0的距离为d=, ∴S△AFB =³|AB|³d==4,由(1)知<k2<1,则1<<2,∴0<S△AFB<4,故△AFB面积的取值范围是(0,4).。
2019年高考浙江卷数学真题(含答案)
2019年高考浙江卷数学真题(含答案)2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共4页，选择题部分在1至2页，非选择题部分在3至4页，满分150分，考试用时120分钟。
考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。
2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：若事件A，B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)若事件A，B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)若事件A在一次试验中发生的概率是p，则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)柱体的体积公式V=Sh，其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高锥体的体积公式V=Sh/3，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高球的表面积公式S=4πR^2台体的体积公式V=(S1+S2+√(S1S2))h/3，其中S1,S2分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高球的体积公式V=4πR^3/3，其中R表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U={-1,0,1,2,3}，集合A={0,1,2}，B={-1,0,1}，则(A∪B)的补集是A。
{1,2,3}B。
{-1,2,3}C。
{-1}D。
{0,2,3}2.渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是A。
2B。
1C。
2/√2D。
√23.若实数x，y满足约束条件3x-y-4≤0，x+y≥1，则z=3x+2y的最大值是A。
-1B。
1C。
10D。
124.XXX是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm^3）是A。
2019年高考浙江卷数学真题试题(word版,含答案与解析)
2019年高考数学真题试卷（浙江卷）原卷+解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
1.（2019•浙江）已知全集U={-1，0，1，2，3}，集合A={0，1，2}，B={-1，0，1}，则=（）A. {-1}B. {0，1}C. {-1，2，3}D. {-1，0，1，3}【答案】 A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】解：，所以={-1}.故答案为：A.【分析】根据集合的补写出即可得到.2.（2019•浙江）渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是（）A. B. 1 C. D. 2【答案】 C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：根据双曲线的渐近线方程，得，所以离心率e= .故答案为：C.【分析】根据双曲线的渐近线方程，得到，即可求出离心率e.3.（2019•浙江）若实数x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值是（）A. -1B. 1C. 10D. 12【答案】 C【考点】简单线性规划的应用【解析】【解答】作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，可知当过（2,2）时，目标函数取最大值10.故答案为：C.【分析】作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，即可求出相应的最大值.4.（2019•浙江）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=sh，其中s是柱体的底面积，h是柱体的高。
若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（）A. 158B. 162C. 182D. 32【答案】 B【考点】由三视图求面积、体积【解析】【解答】根据三视图，确定几何体为五棱柱，其底面积,所以体积V=27 .故答案为：B.【分析】根据三视图确定几何体的结构特征，根据祖暅原理，即可求出相应的体积.5.（2019•浙江）若a>0，b>0，则“a+b≤4“是“ab≤4”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】 A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】作出直线y=4-x和函数的图象，结合图象的关系，可确定“a+b≤4“是“ab≤4”的充分不必要条件.故答案为：A.【分析】作出函数的图象，结合图象确定充分必要性即可.6.（2019•浙江）在同一直角坐标系中，函数y= ，y=log a(x+ ），（a>0且a≠0）的图像可能是（）A B C D【答案】 D【考点】函数的图象【解析】【解答】当a>1时，y= 的底数大于0小于1，故过（0,1）单调递减；y=log a(x+ ）过（，0）单调递增，没有符合条件的图象；当0<a<1时，y= 的底数大于1，故过（0,1）单调递增；y=log a(x+ ）过（，0）单调递减；故答案为：D.【分析】对a的取值分类讨论，结合指数函数和对数函数的特点，确定函数的图象即可.7.（2019•浙江）设0＜a＜1随机变量X的分布列是X 0 a 1P则当a在（0，1）内增大时（）A. D（X）增大B. D（X）减小C. D（X）先增大后减小D. D（X）先减小后增大【答案】 D【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】解：E（X）= ，，根据二次函数的单调性，可知D（X）先减小后增大；故答案为：D.【分析】根据期望的公式求出E(X),结合方差的计算公式及二次函数的性质即可确定D（X）先减小后增大.8.（2019•浙江）设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点，（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为α.直线PB与平面ABC所成角为β.二面角P-AC-B的平面角为γ。
2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题40抛物线(题型专练)含解析
1．若抛物线y 2＝2px 上一点P (2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝6x C ．y 2＝8x D ．y 2＝10x 【答案】C【解析】由题意可知p >0，因为抛物线y 2＝2px ，所以其准线方程为x ＝－p2，因为点P (2，y 0)到其准线的距离为4，所以|－p2－2|＝4，所以p ＝4，故抛物线方程为y 2＝8x 。
故选C 。
2．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5。
所以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x 【答案】C3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P ，Q 是抛物线上的两个点，若△PQF 是边长为2的正三角形，则p 的值是( )A ．2±3B ．2＋ 3 C.3±1 D.3－1 【答案】A【解析】F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设P ⎝⎛⎭⎫y 212p ，y 1，Q ⎝⎛⎭⎫y 222p ，y 2(y 1≠y 2)。
由抛物线定义及|PF |＝|QF |，得y 212p ＋p 2＝y 222p＋p 2，所以y 21＝y 22，又y 1≠y 2，所以y 1＝－y 2，所以|PQ |＝2|y 1|＝2，|y 1|＝1，所以|PF |＝12p ＋p 2＝2，解得p ＝2±3。
4．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|F A |＝2|FB |，则k 的值为( )A.13B.23C.223D.23 【答案】C【解析】5．直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为3，则线段AB 的长为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】D【解析】设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l 0，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C 是AB 的中点，其坐标为(x C ，y C )，分别过点A ，B 作直线l 0的垂线，垂足分别为M ，N ，由抛物线的定义得|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AM |＋|BN |＝x A ＋1＋x B ＋1＝x A ＋x B ＋2＝2x C ＋2＝8。
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1、抛物线22(0)y px p =>焦点为F ，设1122(,),(,)Ax
y Bx y 为抛物线的焦点弦的端点，
记AB 所在直线的倾斜角为θ ，过A 做AM 垂直准线于点M ,过B 做BN 垂直准线于点N .
证明：（1）2
21p y y -= x 1x 2= 4
2
p
证明：当AB 与x 轴垂直时，即AB 为通径 AB 方程是：x =
2
p
设),(),,(2211y x B y x A 由222
y px p x ⎧=⎪⎨=
⎪⎩解得：A(),2p p B(),2p p -
则221p y y -=；x 1x 2=
4
2
p
AB 与x 轴不垂直时，AB 方程是()2p
y k x =-
⎪⎩
⎪⎨⎧-==)2(22p x k y px
y 消x 得 ky 2-2py-kp 2=0 得2
21p y y -= 由2
1122222y px y px ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得x 1x 2= 42p
（或消y 得22
2
2
2
(2)04
p k k x pk p x -++=） （2）OA OB k k ⋅为定值 证明：12
12
4OA OB y y k k x x ⋅==- （3）α
2
sin 2p
AB =
证明：AB 与x 轴垂直时，p AB 2=22sin
2
p π
=
AB 与x 轴不垂直时，
121222
p p
AB AF BF x x x x p =+=+++=++=
222222
222122(1)tan sin pk p pk p p
p p k k αα
++=+==+= （4）证明：
112
AF BF p
+=
证明：⎪⎩
⎪⎨⎧-==)2
(22p x k y px y 或消y 得22222
(2)04p k k x pk p x -++
= 22
12122
222,4pk p p p x x p x x k k
++==+= 1211
11
22p p AF BF
x x +=+=++1221212()24x x p p p x x x x +++++222
22222(2)424p
p k p p p p p p k
+==+++
（5）MF ⊥NF
证法1：221p y y -=式子的几何意义：KF p =，2
2
KF
p =KM y =1 KN y =-2
故：KN KM KF
.2
=，得MKF 与NFK 相似，由此可以推出：MF ⊥NF
证法2：M (),21y p -
N (),22y p - F ()0,2
p ∴p
y y k MF 112
20-=---=
p y
p p y k NF 222
20-=---=
所以：
12
22
21-=-=
=
∙p
p p
y y k k NF MF 因此：
MF ⊥NF
即：过抛物线的焦点弦的两端作准线的垂线，两垂足与焦点的
连线互相垂直.
注：还可证明以MN 为直径的圆与直线AB 相切。
（证MN 中点与F 的连线与AB 垂直。
）
（6）以焦点弦AB 为直径作圆与准线相切
证明：设,C H 分别为线段MN 和AB 中点，连接CH ,则
CH MN ⊥,又因为
p x x AB ++=21
21=HC （)(2
12)2121p x x p x x ++=++=21AB
所以，以焦点弦AB 为直径的圆与准线x=-
2
p
注：还可证明以AF 为直径的圆与y 轴相切；以BF 为直径的圆与y 轴相切
（7）证明：A,O,N 三点共线
证明：),(),,(2211y x B y x A ,N ),2
(2y p
-
1
1x y k OA =
, p y p y k ON 2222
-=-=
因为：12
12px y = 221p y y -=所以：
p
y y k OA
22
1
1==12y p =2p y p y p 2
222)(-=-故
OA ON k k = ， A,O,N 三点共线. (同理可证B,O,M 三点共线)
注： 此题可改为：延长AO 交抛物线准线于点N, 连接BN , 证明://BN x 轴.
证明：设直线OA 方程为11y y x x =
，令2p
x =-解得N y =21122111
2py py p y x y y p
-=-=-= 2、已知抛物线)0(22
>=p py x ，过焦点F 的动直线l 交抛物线于),(),,(2211y x B y x A 两点，抛物线在B A ,两点处的切线相交于点Q .设C 为B A ,两点的中点，点O 为坐标原点； （1）求证：OAB ∆为钝角三角形；证明：由题意直线AB 斜率存在，设直线AB 方程为
2
p y kx =+
222p y kx x py
⎧=+⎪⎨
⎪=⎩
消y 得2220x pkx p --= 得2
12x x p =-，由2
1122222x py x py ⎧=⎪⎨=⎪⎩得2124p y y = 所以2
112212123(,)(,)04
p OA OB x y x y x x y y ⋅=⋅=+=-< 故AOB ∠为钝角，得证。
（2）求证：点Q 在抛物线的准线上；
证明：22x py =即212y x p =
，1'y x p
= 以A 为切点的切线方程为1111()y x x x y p =
-+即2
11111()2y x x x x p p
=-+ 以B 为切点的切线方程为2221()y x x x y p
=
-+即222211()2y x x x x p p =-+
解得焦点Q 12(
,)22
x x p +-即Q (,)2p pk -得点Q 在抛物线的准线2p
y =-上.
（3）求证：CQ ⊥x 轴
证明：由（2）知11
2
C Q x y x pk x +=
==，所以CQ ⊥x 轴. （4）求证：QF AB ⊥
证明：QF AB ⋅ 1
2
2121(,)(,)2
x x p x x y y +=--⋅-- 22
122121(,)(,)0222x x x x p x x p p
+=--⋅--= 所以 QF AB ⊥
（5=.
证明：1
2121122(,)(,)2222
x x x x p p
QA QB x y x y ++⋅=-+⋅-+ 22212121()()()042222
x x p p x x p p =--+++= 所以Q A Q B
⊥.又因为Q F A B
⊥，所以
=。