浙江大学级微积分期终考试试卷
浙江大学 微积分1期中试卷-08(解答)
解: 设 F ( x) e 2 x f ( x) , F ( x) 在 0, 1 上连续，可导，且
F ( x) e 2 x 2 f ( x) f ( x) , F (0) F (1) e
由罗尔定理，至少存在一点 (0, 1) ，使 F ( ) 0 ，即 2 f ( ) f ( ) 0 .
2
(7) 求
ln(1 x) dx . (2 x) 2 ln(1 x) 1 1 dx . ) 2 x (2 x)(1 x) 2x
原式 ln(1 x)d (
ln(1 x) 1 1 1 ln(1 x) 1 1 x dx ln C 2 x 3 2 x 1 x 2 x 3 2 x
(6) 求 x arctan x d x .
2
原式
x3 x 1 1 x3 x3 arctan x x dx arctan x dx 2 3 3 1 x2 3 1 x 3
x3 1 1 arctan x x 2 ln(1 x 2 ) c 6 6 3
1 y
x
y xx
2 3/ 2 t 1
1 (1)
2
2 3/ 2
1 1 ， 则 曲率半径 R t 1 k 2
2
t 1
(3) 设 y f ( x) 在 , 上具有二阶导数, 且 lim f ( x) 1 , a 为任意实数, 求 lim f ( x a ) f ( x) .
三、（每小题 6 分，共 30 分） x 1 , x 0 (1) 设 f ( x ) 1 e x 在 x 0 处可导，求 a, b. 并求 f (0) . x a b e , x 0 解: f ( x) 在 x 0 处可导因而连续， f (0 ) 0 f (0) a b , x 0 1 x a be x 0 be x 1 e f (0) lim 1 , f ( 0 ) lim lim b, a 1, b 1 x0 x0 x0 1 x x x ln 1 t 2 dy d 2 y (2) 求由参数方程 确定的函数 y y ( x) 当 t 1 时的导数 , 2 及曲率半径 R. d x dx y arctan t 1 1 2 2 1 1 t2 dy dy d2y d y t2 1 t 解: , 3 . 1 , 2. t t dx t dx t 1 dx 2 t 1 t dx 2 1 t2 1 t2 曲率 k t 1
《微积分II》(第一层次)第二学期期中练习题
《微积分II 》（第一层次）第二学期期中练习题一1. 求直线11212x y z -+==绕z 轴旋转一周的曲面的方程 .2. 求曲线22222z x yx y x⎧=+⎪⎨+=⎪⎩在点 ( 1 , -1 , 2 ) 处的切线方程 .3. 设由(,)0F y x z -= 确定(2)(,),z z x y F C=∈， 求2z x y∂∂∂ .4. 求函数sin()x u x e y z =+-在点( 1 , 1 , 1 ) 处沿(1,2,2)l =-的方向导数 . 5. 已知2u xy z =-，求u 在点(9,12,10)M -梯度()grad u M . 6. 求曲面22z x y =+的切平面，使其通过直线11112x y z -+== .7. 证明曲面3(0)xyz a a =>上任何一点处的切平面与坐标面所围成的四面体的体积等于一个常数 .8. 求函数22233z x xy y x y =++-++的极值 .9. 设∑为由22,2z x y z =+=所围曲面，求∑的内接长方体体积的最大值 . 10. 求sin(),:,0,02Dy x dxdy D x y x y π-+===⎰⎰所围区域 .11. 求222222(),:2,4.Dx y dxdy D x y x x y x ++≥+≤⎰⎰12. 计算Dxd σ⎰⎰，其中D 为第一象限内221x y +=与x 轴，y 轴所围的闭区域 .13. 计算三重积分222222x y z dxdydz abcΩ--⎰⎰⎰(1-)，其中Ω为椭球体：2222221x y z abc++≤.14. 求曲环面：(cos )cos ,(cos )sin ,sin (0)x b a y b a z a a b ψϕψϕψ=+=+=<≤所界的物体体积 .15. 计算222()Cx y z dS ++⎰，其中C 为螺旋线：cos ,sin ,(02)x a t y a t z bt t π===≤≤的部分 .16. 计算曲线积分[()][()]x xAmBy e my dx y e m dy ϕϕ'-+-⎰，式中()y ϕ与()y ϕ'为连续函数，Am B 为连接点1122(,)(,)A x y B x y 和的任意逐段光滑曲线，但与线段A B 围成的面积为A 的平面区域D Am B =.《微积分II 》（第一层次）第二学期期中练习题二1. 求以2222x y y z ⎧+=⎨=⎩为准线，以(2,0,0)为顶点的锥面的直角坐标方程.2. 设由(,)0x z F y y =确定(1)(,),z z x y F C =∈，求 x z z y x y∂∂+∂∂ 3. 求函数23u xy z =在点( 1 , 2, -1 ) 处沿22l i j k =-+的方向导数 .4. 求椭球面2222321x y z ++=上某点处的切平面π的方程，使平面π过已知直线6321:212x y z L ---==-. 5. 求椭球面2222221x y z abc++=的切平面 （,,0x y z ≥），使其与三个坐标平面所围的立体的体积最小，并求最小值.6. 求曲面21z xy -=上到原点最近的点.7. 求22,:2.Ddxdy D x y y +≤⎰⎰8. 设函数()f x 连续，满足()2Df t f dxdy =+⎰⎰，这里D 为222x y t +≤，求()f x .9. 求 401limsin()t txt dx xy dy t→+⎰⎰ .10. 计算三重积分Ω⎰⎰⎰，其中Ω是球体222x y z z ++≤.11. 计算曲线积分. 1. 222zdl x yΓ+⎰，其中Γ的参数方程是：3cos ,3sin ,3(02)x t y t z t t π===≤≤.2.(e +)(e cos 7)xxsiny 8y dx y x dy Γ+-⎰,其中Γ为由点(2,0)A 沿22(4)9x y -+=到点(6,0)B 的一段 .12. 计算曲面积分（2×10分=20分）.1. 求222()x y z dS ∑++⎰⎰，其中∑为2222(12)x y z z z ++=≤≤ .2. 设∑为上半球面z =的上侧，计算3326zx dydz zy dzdx z dxdy ∑++⎰⎰.《微积分II 》（第一层次）第二学期期中练习题三1. 求直线11:111x y z L --==-在平面π：210x y z -+-=上的投影直线0L 的方程，并求0L 绕y 轴旋转一周所成曲面的方程.2. 函数),(y x f z =由方程04)(2222=++-+z y x z y x 确定，求z 在点)1,2,2(-P 处的全微分dz .3. 设函数),(y x z z =由方程0),(=++xz y yz x F 所确定，其中F 可微，计算并化简yz yxz x ∂∂+∂∂.4. 求函数y xy y x z --+=232的极值.5. 已知 2222332u x y z x y =+++-，求u 在点(1,1,2)M 的梯度()gradu M .6. 求函数2a r c t a n (2)u x y z =++在点(0,1,0)A 处沿空间曲线22230240x y z x x y ⎧++-=⎨--=⎩在(2,0,B 的切向量的方向导数.7. 试求一平面π,使它通过空间曲线23(1)y xz y ⎧=Γ⎨=-⎩：在1y =处的切线,且与曲面22:4x y z ∑+=相切.8. 设常数0a >，平面π通过点(4,5,3)M a a a -，且在三个坐标轴上的截距相等. 在平面π位于第一卦限部分求一点000(,,)P x y z ，使得函数(,,)u x y z =在P 点处取最小值.9. 已知曲面Σ2=，设0000(,,)P x y z 为曲面Σ上的一点.1. 求曲面Σ在点0000(,,)P x y z 的切平面方程；2. 求该切平面在各个坐标轴上的截距之和.（10分） 10. 计算二重积分 1arcsin 3arcsin sin yydy xdx π-⎰⎰.11. 计算二重积分(,)Df x y d x d y ⎰⎰其中0,12,(,)0,y x x f x y ≤≤≤≤=⎩其他， 而积分区域{(,)2,02}D x y y x =≤≤≤≤12. 计算 Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由抛物线 2y x =及直线2y x =-所围成的区域.13.计算三重积分 2Vz dxdydz ⎰⎰⎰，其中V 是椭球体2222221x y z abc++≤. （10分）14. 计算 22()Cx y ds +⎰，其中C 为曲线 (cos sin ),(sin cos ),(02)x a t t t y a t t t t π=+=-≤≤.15. 判断曲线积分2222Cx y x y dx dy x yx y-++++⎰是否与路径无关？当C 为曲线2cos ,sin (02)x t y t t π==≤≤，并且沿t 增加的方向时，计算该曲线积分.（10分）16. 计算曲面积分 222()x y z dS ∑++⎰⎰，其中Σ为曲面2222x y z a ++=.。
浙江大学微积分复习资料
I = lim (x2 + 2x + sin x) - (x + 2)2 = lim
-2x + sin x + 4
x®+¥ x2 + 2x + sin x + (x + 2) x®+¥ x2 + 2x + sin x + (x + 2)
= lim
-2 + x-1 sin x + 4x-1
= -1.
x®+¥ 1 + 2x-1 + x-2 sin x + (1 + 2x-1)
x
= 1.
x®0
x®0
x2
x®0 2x(ex - x) x®0 2x(ex - x) 2
1
1
因此，lim (ex - x) x2 = e2 .
x®0
6、 求：lim sin x - tan x . x®0 tan x(ex - 1) ln(1 - x)
I
=
lim
x®0
tan
x(cos -x3
x
- 1)
若为高阶无穷小量，可考虑用 Taylor 展开，不过在应用Taylor 展开时，要求 对有关展开式比较熟悉；否则还是“慎用”.
常见的等价无穷小量：
· 当x ® 0 时，常见的等价无穷小量： (1)sin x ~ x ； (2) tan x ~ x ； (3)ln(1+ x) ~ x ； (4) ex -1 ~ x ； (5) arctan x ~ x ；(6) arcsin x ~ x ； (7) 1 - cos x ~ x2 ；(8) (1 + x)a -1 ~ a x.
浙江大学历年微积分(1)试卷解答-极限与连续
常见的等价无穷小量：
• 当x → 0 时，常见的等价无穷小量： (1)sin x ∼ x ； (2) tan x ∼ x ； (3)ln(1 + x) ∼ x ； (4) e x − 1 ∼ x ； x2 ； (8) (1 + x)α − 1 ∼ α x. 2
(5) 1 − cos x ∼
= lim
4−
u →+∞
1
9、 求： lim(cos x) sin x .
x →0
2
I = lim (1 + (cos x − 1) ) cos x −1
x →0
1
⋅
cos x −1 sin 2 x
= e 2.
−
1
1 − x2 cos x − 1 1 其中： lim = lim 22 = − . 2 x →0 x →0 sin x 2
3
浙江大学微积分（1）历年试题分类解答——极限与连续
6、 求： lim
x →0
ln(1 + x) − sin x
3
1 − x2 − 1
.
1 − cos x ln(1 + x) − sin x + 1 x = −3lim 【方法一】：I = lim x→0 x→0 1 2x − x2 3 1 − + sin x 3 (1 + x) 2 = −3lim = . x →0 2 2 1 x3 [ x − x 2 + o( x 2 )] − [ x − + o( x 3 )] 3 2 6 【方法二】：I = lim = . x→0 1 2 − x2 3
【方法二】：记 y = (e − x) ，则： lim ln y = lim
2018-2019微积分III-1期中试题答案
1 2
(xn
+
1 xn
)
≥
1.
从而
xn+1
− xn
=
11 (
2 xn
− xn)
=
1 1 − x2n 2 xn
≤
0.
故 {xn} 是一个单减序列且有下界，因此极限存在. 设 lim xn = A，则有 A =
n→∞
1 2
(A
+
1 A
)，由此解得
A
=
1.
3
(四) (共 10 分) 求出下面函数的间断点并判断其类型.
tan
x− x3
sin
x
=
1 √ 22
lim
x→0
sin x(1 − cos x) x3 cos x
=
1 √ 22
lim
x→0
x
·
x2 2
x3 cos x
=
1 √. 42
√ 2. 计算极限 lim n an + bn + cn, (a > b > c > 0).
n→∞
解.
我们有
√√ n an < n an + bn + cn <
a
=
1 2
,
b
=
1,
从而直线方程为
y
−
1
=
−8(x
−
1 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
),
即
−8x
−
y
+
5
=
0.
4
(七) (共 10 分) 设函数 f (x) 在区间 [a, +∞) 上连续，极限 lim f (x) 存在且大于零, x→a+ 而极限 lim f (x) 存在且小于零. 证明：f (x) 在 [a, +∞) 内至少有一个零点. x→+∞
浙江大学2015年微积分自测试卷
浙江大学2015–2016学年秋学期《微积分Ⅰ》期中考试模拟试卷开课学院：理学院考试形式：闭卷考试时间：2015年11月 22日所需时间：120分钟考生姓名：学号：班级：一、计算题：1.已知摆线的参数方程{x=a(θ−sinθ)y=a(1−cosθ)(a>0)，求参数为θ0的一点处曲率k.（10分）2.计算数列极限limn→∞n∙ln[(1+1n2+1)(1+1n2+2)⋯(1+1n2+n)].（10分）3.计算函数极限limx→0x−arctanxsinx−tanx.（10分）4.已知y=(x+√x2+2)1x+(arcsin2x)14，求dydx的表达式.（10分）5. 计算极限limn→∞22. （10分）6. 设函数)(x y y =的反函数为)(y x x =，且满足0,0≠≠dxdy dy dx ； 试将)(y x x =的方程：0)(33322=++dyxd dy dx y dy x d变换为)(x y y =的方程（即用'''y 和''y 和'y 表示出0)(33322=++dyxd dy dx y dy x d ）（10分）7. 设)1ln()(2x x x x f ++=，求)0()4201(f 的值（)()(x f n 为)(x f 的n 阶导数）（10分）二、证明题:8.奇函数f(x)在[−1,1]上有二阶导数，且f(1)=k(k>0)，（10分）证明：（1）存在ξ∈(0,1)，使f′(ξ)=k；（5分）（2）存在η∈(−1,1)，使f′′(η)+f′(η)=k.（5分）9.设函数f(x)在区间[0,1]上二阶可导，且有f(0)=f(1)=0，minf(x)=−1，证明存在ξ∈x∈[0,1](0,1)，使得f’’(ξ)≥8.（10分）10.证明（10分）：若（a）y n+1>y n(n=1,2,⋯)，（b）limn→∞y n=+∞，（c）limn→∞x n+1−x ny n+1−y n存在，（1）则有limn→∞x ny n=limn→∞x n+1−x ny n+1−y n；（5分）（2）求limn→∞n∙1p+(n−1)∙3p+⋯+1∙(2n−1)p1p+1+2p+1+⋯+n p+1（p>0）.（5分）。
浙江工商大学杭州商学院08-09下“微积分”期中试卷
杭州商学院2008/2009学年第二学期期中考试试卷课程名称： 微积分(下) 考试方式： 闭卷 完成时限： 120分钟 班级名称： 学号： 姓名： .一、填空题（每小题2分，共16分）1、=⎰∞+-0d e x x x .2、=+⎰-222d sin 1cos ππx xxx .3、=⎰→xt t xx 020d cos lim.4、已知)(x F 是)(x f 的原函数，则⎰>+xx t a t f t)0( d )(1等于 。
5、设x y y x z +=，则函数在)1,1(处的全微分为 .6、当)0,2(),(→y x 时,函数22)tan(yxy z =的极限是 . 7、设yxy y x y x f arcsin)1()2(),(22---=，则=∂∂)1,0(y f .8、2x y -=与x y =所围成的图形的面积为 .二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1、x y 2=在]2,0[上的平均值是（ ）. （A ）2ln 2 （B ）2ln 23（C ）2ln 23（D ）2ln 3 2、下列广义积分收敛的是（ ）. （A ） ⎰10 d xx （B ） ⎰212)(ln d x x x（C ） ⎰1d xx（D ） ⎰1d ln x xx3、)ln()1arcsin(1y x y z -+-=的定义域是（ ）.（A ） 1|1|0<-≤y 且 0>-y x （B ） 1|1|≤-y 且 0>-y x （C ） 0|1|≠-y 且 0>-y x（D ） 1|1|0≤-<y 且 0>-y x4、),(y x xy f z -=，则=∂∂+∂∂yz x z （ ）. （A ）yf x f ∂∂+∂∂ （B ）)()(y x fxy f -∂∂+∂∂ （C ）)()(xy fy x ∂∂+ （D ）05、二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(222222y x y x y x xyy x f 在点)0,0(处( ) .（A ）不连续，偏导数存在 （B ）连续，偏导数存在 （C ）连续，偏导数不存在（D ）不连续，偏导数不存在三、计算题(一)（每小题5分，共20分） 1、计算⎰--11d 45x xx .2、计算 ⎰-20d cos 1πx x .3、设,)ln(22y x z +=求.,yy xxz z '''' 4、),(y x f z =是由方程2)ln(=+--xyz y x z 所确定的隐函数，求z d .四、计算题(二)（每小题7分，共28分）1、计算⎰20d sin eπx x x.2、设⎰-=22d e)(x t t x f ，求⎰-'322d )(x x f x .3、设,sin ey x u x-= 求yx u ∂∂∂2在点)1,2(π的值.4、设)(xy f x u =，其中f 二阶可导，求22 ,x ux u ∂∂∂∂. 五、应用题（共16分）1、过曲线0,3≥=x x y 上的点A 作切线，使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形D 的面积S 为43，（1）求点A 的坐标 （2）求平面图形D 绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积．（10分）2、生产某产品的边际收益为Q R 2.110-='，其中Q 为产量，求(1)总收益函数)(Q R ；(2)需求函数)(P Q 。
浙江工商大学大二微积分期中考试试卷及解答
浙江工商大学20XX/20X 学年第二学期期中考试试卷及解答一、单项选择题(每小题3分,共9分)1. 设⎰=401d sin πx xx I ,⎰=402d sin πx x xI ,则(A ).(A )214I I <<π(B )421π<<I I(C )214I I <<π(D )124I I <<π解 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx 时,1sin 0<≤≤x x ,即x x x x sin 1sin <<,由定积分的性质知: ⎰⎰⎰<=<404040d sin 4d 1d sin ππππx xx x x x x , 故(A )选项正确.2. 函数⎰--=22d e )(x x t t x f 的极值点为x =(A ).(A )21(B )41(C )41-(D )21-解 令0e )21()(e )(2222)(2)(=-='-⋅='----xx xx x x x x f 得驻点21=x .又)(x f '在21=x 两侧变号,故为极值点,应选(A ).3. 设函数),(y x f 连续,交换二次积分次序得⎰⎰-10022d ),(d y x y x f y =(A ).(A )⎰⎰-+02210d ),(d x y y x f x (B )⎰⎰-+2021d ),(d xy y x f x (C )⎰⎰-20210d ),(d x y y x f x(D )⎰⎰-20021d ),(d x y y x f x解 该二次积分对应的二重积分的积分区域D 的草图 如图所示,因此交换积分次序后的二次积分为⎰⎰-+02210d ),(d x y y x f x .二、填空题(每小题3分,共9分) 1.⎰--+222d 4)1(x x x =π2.解 原式=ππ20221d 4d 42222222=+⋅⋅=-+-⎰⎰--x x x x x . 2. 函数yy z x 1-=在点e),1(的全微分e),1(|d z =y x d e 1d 2+.O2-1xy22-=y x D解 e 1e e),(-=x x z , 1ee e 1e e),1(11=='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-===x xx x x z , y y y y z 111),1(-=-=, 2e2ee 1111e),1(=='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-===y y y y y z , 所以y x y z x z z y x d e 1d e)d ,1(e)d ,1(|d 2e),1(+=+=. 3. 设}0,1|),{(22x y y x y x D ≤≤≤+=,则⎰⎰+Dy x y x d d e 22=)1e (8-π.解⎰⎰+Dy x y x d d e22=⎰⎰⋅401d e d 2πθr r r =⎰⎰⋅⋅140d e d 2r r r πθ=⎰⋅12)d(e 2142r r π=10|e 82r ⋅π=)1e (8-π.三、计算题((每小题8分,共48分)1. 设⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=ππx x x x x f 或0 ,00 ,sin 21)(,求⎰=Φx t t f x 0d )()(在),(∞+-∞内的表达式. 解 当0<x 时,0d 0d )()(0===Φ⎰⎰xx t t t f x ;当π≤≤x 0时,2cos 1d sin 21d )()(00xt t t t f x xx -===Φ⎰⎰; 当π>x 时,10d sin 21d )(d )(d )()(00=+=+==Φ⎰⎰⎰⎰πππt t t t f t t f t t f x x x .即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤-<=Φππx x x x x,10 ,2cos 10,0)(.2. 计算⎰+36d 2sin tan 1ππθθθ.解 原式=⎰+36d cos sin 2tan 1ππθθθθ=⎰⋅+362d cos 1tan 2tan 1ππθθθθ=⎰+36)(tan d tan 2tan 1ππθθθ =⎰⎰+3636)(tan d 21)(tan d tan 121ππππθθθ=3636|tan 21||tan |ln 21ππππθθ+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3332133ln3ln 21=333ln 21+. 3. 求⎰∞+13d arctan x x x.解 原式=⎰∞+⎪⎭⎫⎝⎛-121d arctan 21x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅--⎰∞+∞+12212d 111arctan 21x x x x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+---⋅-⎰∞++∞→12222d 11114arctan 1lim 21x x x x x x π =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-----∞+1arctan 14021x x π=()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛----+4210218πππ=21. 4. 设),(2xy y x xf z -=,其中f 具有连续的二阶偏导数,求x z ∂∂,yx z∂∂∂2.解 x z∂∂=()2212211f xy xf f y f f x f ++=⋅+⋅+,yx z∂∂∂2=[]212112122)1(2)1(yf x y x f f x y x f f ⋅+⋅⋅+-⋅+⋅⋅+-⋅[]y x f f xy 2)1(22212⋅⋅+-⋅+=2232122211212)2(4f y x f xy y x xf xyf f +-+-+-.5. 设方程333a xyz z =-,求隐函数的偏导数yx z∂∂∂2.解 设333),,(a xyz z z y x F --=,则yz F x 3-=,xz F y 3-=,xy z F z 332-=.∴xyz yz F F x z z x -=-=∂∂2, xyz xzF F y z z y -=-=∂∂2. yx z ∂∂∂2=222)(2)(xy z x y z z yz xy z y z y z -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+ =22222)(2)(xy z x xy z xzz yz xy z xy z xz y z -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+ =322224)()2(xy z y x xyz z z ---.6. 计算⎰⎰-Dy x x d d |1|,其中D 是第一象限内由直线0=y ,x y =及圆2x 22=+y 所围成的区域.解⎰⎰-Dy x x d d |1|=⎰⎰⎰⎰-+-21d d )1(d d )1(D D y x x y x x=⎰⎰⎰⎰-+--12120d )1(d d )1(d 2xx y x x y x x=⎰⎰-+--1212d )1(d 2)1(x x x x x x=10322121223121d 2d 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---⎰⎰x x x x x x x=61d cos 2cos 2)d(2221212422+⋅----⎰⎰ππt t t x x =612sin 21|)2(21112124211212+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+⋅-+ππt t x =6121431+⎪⎭⎫ ⎝⎛--π=41π-. 四、应用题(第1小题12分,第2小题8分,共20分)1. 已知曲线x a y =(0>a )与曲线x y ln =在点),(00y x 处有公共切线,求: (1) 常数a 及切点),(00y x ;(2) 两曲线与x 轴围成的平面图形的面积;(3) 两曲线与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体体积x V . 解 (1) 分别对x a y =和x y ln =求导,得 xa y 2=' 和 xy 21='. 由于两曲线在点),(00y x 处有公共切线,可见0212x x a =, 得 201ax =.将201ax =分别代入两曲线方程,有 2201ln 211a a ay ==. 于是,e 1=a ;220e 1==a x ,1e e1200===x a y ,从而切点为)1,e (2. (2) 两曲线与x 轴围成的平面图形的面积为yO11D 2D 2xy1Oxy =222=+y x21e 61e 31e 21d )e e (210321021222-=-=-=⎰y y y S y y .(3) 旋转体的体积为x V =⎰⎰-⎪⎭⎫⎝⎛22e 12e 02d )(ln de 1x x x x ππ=⎪⎭⎫⎝⎛--⎰222e 1e 12e 022d ln 2ln 4e 2x x x x x ππ=⎪⎭⎫⎝⎛+--⎰22e 1e 122d 2ln 2e 44e 21x x x ππ=22e 212e 12πππ=-x . 2. 某厂生产两种产品,总收入R 与两种产品的产量x ,y 的函数关系是2222140120),(y xy x y x y x R ---+=,总成本C 与两种产品的产量x ,y 的函数关系是y x y x C 6020700),(++=.(Ⅰ)在产量x ,y 不受限的情况下,该厂应如何规定这两种产品的产量,方可获得最大利润,最大利润是多少?(Ⅱ)在限定产量x ,y 之和等于30的情况下,又应如何安排生产,才能获得最大利润,这时最大利润是多少?解 (Ⅰ)利润L 与两种产品的产量x ,y 的函数关系是222270080100),(),(),(y xy x y x y x C y x R y x L ----+=-=.令⎩⎨⎧=--==--=02280),(024100),(y x y x L y x y x L yx 得10=x ,30=y .由于实际问题,必定存在最大值,且有唯一的驻点10=x ,30=y ,所以当两种产品的产量x ,y 分别为10,30时,利润最大,最大利润为1000)30,10(=L .(Ⅱ)此时就要求222270080100),(),(),(y xy x y x y x C y x R y x L ----+=-=在条件30=+y x 下的最大值.构造拉格朗日函数:)30(2270080100),,(22-++----+=y x y xy x y x y x F λλ.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+--==+--=030),,(02280),,(024100),,(y x y x F y x y x F y x y x F y x λλλλλλ,可得10=x ,20=y .由于实际问题一定有最大值,且有唯一的驻点,所以当两种产品的产量分别为=x10,20=y 时利润最大,此时最大利润为900)20,10(=L .五、证明题(第1小题6分,第2小题8分,共14分) 1. 设)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导且0)(≤'x f ,⎰-=x a t t f ax x F d )(1)(. 证明在),(b a 内有0)(≤'x F .证 2)(d )())(()(a x tt f a x x f x F xa---='⎰.由积分中值定理得))((d )(a x f t t f x a-=⎰ξ, ),(x a ∈ξ,则ax f x f a x tt f a x x f x F xa --=---='⎰)()()(d )())(()(2ξ.由0)(≤'x f 知)(x f 在),(b a 内单调减少,故)()(ξf x f ≤.由此得0)(≤'x F .2. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠++=0,00 ,)(),(2222232222y x y x y x y x y x f ,求证:在点)0,0(处),(y x f 连续但不可微.证 由于2223222241)(|)0,0(),(|y x y x y x f y x f +≤+=-,从而得到 0)0,0(),(lim 00==→→f y x f y x ,即),(y x f 在点)0,0(处连续. 又由于000lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆-=∆-∆+=→∆→∆xx f x f f x x x ,000lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆-=∆-∆+=→∆→∆x yf y f f x y y , 因此,),(y x f 在点)0,0(可偏导.由于])0,0()0,0([)0,0()0,0(y f x f f y x f y x ∆+∆--∆+∆+=232222])()[()()(),(y x y x y x f ∆+∆∆∆=∆∆,令x k y ∆=∆,则有222222222)1(2])()[()()()()(),(k k y x y x y x y x f +=∆+∆∆∆=∆+∆∆∆, 即()22)()(])0,0()0,0([)0,0()0,0(y x o y f x f f y x f y x ∆+∆≠∆+∆--∆+∆+.因此,),(y x f 在点)0,0(不可微.。
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浙大城市学院微积分(1)期中试卷解答
浙江大学城市学院微积分（1）期中试卷参考解答1.220022e11lim lim 21.112ln(1)22ax x x ax a a x x→→-====+由于，则：2.00003(1)111(1)()0 1.(2)lim ()0lim ()0().e 13(1)(3)lim ()2lim 2lim 5111x x x x x x f x x x f x f x x f x x f x xx x →-→+-→→→====+∞=--=+=+==--函数的间断点为和，，故，为的第二类间断点，故，为可去间断点.3.11(1)lim 511(2)lim 50xx xy x →∞===+∞=由于，故，为曲线的渐近线；由于，故，为曲线的渐近线.4. 00002020(1)()0 2.1(2)lim ()arctan lim ()0().2(3)lim ()lim ()1()22x x x x f x x x f x f x x f x f x f x x fx ππ→-→+→-→+===-=+∞==-+=+=函数的间断点为和，，故，为的第二类间断点为的第一类间断点.5. (2(1)())().y f f x x =这些间断点的求的间断点，并指出类型；求曲线的渐近线00001001(1)()0 1.lim ()0lim ()0.lim ()1.(2)lim ()lim ()()0 1.x x x x x f x x x f x f x x f x x f x f x y f x x x →-→+→→+→==∙==+∞=∙=∞==+∞=∞===函数的间断点为和，；故，为其第二类间断点，故，为其第二类间断点因为，，故曲线的渐近线为和6.2222()221lim lim 1e 3ln 3.2xx c cxc x c c x x x c c c x c x c -⋅-→∞→∞+⎛⎫⎛⎫=+===⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭由于，则： 7.2()()2()()d sec (2)(2)2e e ()d 2(2)sec (2)e e ().f x f x f x f x yf x f x x f x xf x f x x f x ''=⋅⋅++''=++ 8.01()()()11()()()()()1()()()()(1)()lim lim ().11()()(2)lim 1e.()x n f a f a f a n f a f a f a f a nnf a n f a f a f a x f a n f a f a xn f a f a n I f a ∆→→∞+-⋅+-'→∞+-+∆-''==∆⎛⎫+- ⎪=+= ⎪ ⎪由于9. ()44(1)0 1.(2)e 510.1e d .0.e 5d xy xy xy x x yx y xy y yy y y y x==''+--=-'=⇒=-当时，等式两边同时对求导：因此， 10. 222(1)(2)d .y y x '=+-==11.20222d d 22d d (1)2(1). 2.d 1d d d 1d d 4(1)d (2)4(1).d 1dt yy t y t t x x x t ty y t t t x x=+===+⇒=+'+===+12.3322(1)24.d 2(2).d 1x yy y x yy x y x y ''+==+等式两边同时对求导，有因此13. ()222211(1)(22).1+22.22(2)d .222xy y x x yy x x y y x xy y x yy x yx yyy dx x y x yx y'-'⋅=⋅++⎛⎫⎪⎝⎭''-=+++'==≠--等式两边同时对求导：因此由上可得： 14. 0e (1)e e .1e e(2)0e d d .1e yyyyy a yx x x y y y x x y a y y x x ='''+=⇒=-'====-方程两边同时对求导，有当时，；因此，，15. 00()(0)1(0)limlim arctan 0.1arctan .2x x f x f f x x xx π→→-'===<其中：16.()1ln ln ln(1)3ln(3).21113ln 1.2131ln 1.(1)(3)x y x x x x x y x y x x y x x x x =++-+⎛⎫'=++- ⎪++⎝⎭⎫'=+-⎪++两边取对数，有两边同时对求导，因此17. 330d (e 1)3e 3.d ()t t t yf dyx f t dx='-⋅=='由于，则：18. 22002sec 1tan lim lim 2.11cos 2x x x x I xx →→-===-19. 22221arctan 12lim lim lim 1.111x x x x x x I x xxπ→∞→∞→∞--+====+-20. 2000e 1sin e cos e sin 1lim lim lim .222x x x x x x x x x I x x →→→---+==== 21. 2000(1)ln(1)(1)ln(1)1ln(1)11limlim lim .ln(1)22x x x x x x x x x x I x x x x →→→-++-++-+-====-+22.()243003200022222444440(e 1)2(e 1)(e 1)lim lim 42(e 1)1e 11e 11lim lim lim .42224e 1():21e 1()e 1().241()4lim x x x x x x x x x x x xxx x x x I x x x x x x x x x x o x x x o x x x o x x o x I x →→→→→→-----==-----=====+++--=+⇒--=++==【】：【】：由Taylor 展开，，则因此方法一方法二1.423.222222000cos csc 1sin lim lim .4(2)88.22ln cos 1ln[1(cos 1)]1cos 11lim lim lim .4448x x u u u xx x I x x u x u u u u I u u u πππππ→→→→→-===----==-+--====-【】：【】：令：，则：方法一方法二 24.222222001(1)0()~3tan ~().3(2)0()~4sin ~8()()1(3)lim lim .()88x x x f x x x f x x x x x x g x x f x x g x x →→→⨯→--==--当时，，故，是的二阶无穷小量当时，，故，是的二阶无穷小量.25.4d cos d (1)cot .d sin d (2)4t y b t b y bt x a t a x at P ππ===-⇒=--=曲线在处对应的点，则：26.3d sin sin d (1).d (1cos )1cos d 1(2)321:.32t y a t t yx a t t x C t P a C t l y a x πππ===⇒=--⎫=⎪⎪⎝⎭⎫=-=-⎪⎪⎝⎭曲线在处对应的点为，，则曲线在处的切线方程 27. 2()[01]0() 1.(01)().f x f x c f c c <<∃∈=设在，上连续，且证明：，使得22()()()[01](0)(0)0(1)(1)10.(01)()0().g x f x x g x g f g f c g c f c c =-=>=-<∃∈==令，则：在，上连续，且，由连续函数的零点存在定理，，使得，即28. ()arctan [01]f x x =Lagrange Lagrange 叙述中值定理，试问在，上是否满足.ξ中值定理的条件，为什么？如果满足条件，试求出满足定理条件的中值“” 22(1):()[]()()()()()().(2)()arctan [01](01)()[01]11(3)()(1)(0)()(10).141(01)f x a b a b a b f b f a fb a f x x f x f x f f f x ξπξξξ'∃∈-=-='=-==-=++∈Lagrange Lagrange 中值定理设在，上连续，在，内可导，则：，使得由于函数在，上连续，在，内可导，故，在，上满足中值定理的条件.由于，则：其中，ξ=，因此，29. 123()()()()()f x a b f x f x f x ==设在，内具有二阶导数，且，其中：()123()()0.a x x x b c a b f c ''<<<<∃∈=，证明：，使得1223123112223121212(1)()[][]()()()()()()()0.(2)[]()()()0.f x x x x x f x f x f x c x x c x x f c f c c c c c c a b f c ==''∃∈∈==''∃∈⊂=Rolle Rolle 函数在区间，、，上可导，且，由定理，，，，使得再在区间，上应用定理，，，使得30. ()[]()0()f x a b f x a b ξ>∃∈设在，上可微且，证明：，使得()=ln ()()[]()()()()().()()()()ln ().()()()F x f x F x a b a b F b F a F b a f x f b f F x b a f x f a f ξξξξ'∃∈-=-'''==-Lagrange 记，则：在，上可导，由中值定理，，使得又。
微积分考试题目及答案
微积分考试题目及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x) = x^2在x=0处的导数是（）。
A. 0B. 2C. 1D. -1答案：C2. 曲线y = x^3 - 3x + 2在x=1处的切线斜率是（）。
A. 1B. -1C. 3D. -3答案：B3. 函数f(x) = sin(x)的不定积分是（）。
A. -cos(x) + CB. cos(x) + CC. sin(x) + CD. -sin(x) + C答案：B4. 极限lim(x→0) (x^2 - sin(x^2)) / x^2的值是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 2答案：A5. 函数f(x) = e^x的反函数是（）。
A. ln(x)B. e^xC. x^eD. x答案：A6. 曲线y = ln(x)在x=e处的切线方程是（）。
A. y = x - 1B. y = x + 1C. y = 1 - xD. y = 1 + x答案：A7. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的极值点是（）。
A. x = 1B. x = 2C. x = 0D. x = -1答案：A8. 曲线y = x^2 + 2x + 1的拐点是（）。
A. (-1, 0)B. (1, 2)C. (-1, 2)D. (1, 0)答案：C9. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的最小值是（）。
A. 0B. 4C. -4D. 1答案：A10. 曲线y = x^3 - 3x^2 + 2x的拐点是（）。
A. (1, -2)B. (2, -4)C. (0, 0)D. (1, 0)答案：D二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的导数是_________。
答案：2x + 312. 曲线y = x^2 - 4x + 4的顶点坐标是_________。
答案：(2, 0)13. 函数f(x) = e^x的二阶导数是_________。
浙江工商大学大二微积分期中试卷及解答
浙江工商大学20XX-20XX 学年《微积分》（上）期中试卷及解答班级：_________学号：_________姓名：_________成绩_________一、填空题（每小题3分，共15分）1、设21)(x x x f +=，则=)]([x f f 221x x +。
2、设⎩⎨⎧≤<≤≤=21,210,1)(x x x f ，则)2(x f 的定义域为]1,0[。
3、=∞→2arctan lim x xx 0。
4、x xx f tan )(=的间断点是Z k kx ∈= ,2π。
5、设x xx x f --+=11)(，则当补充定义=)0(f 1时，)(x f 在0=x 处连续。
二、单项选择题（每小题3分，共15分）1、已知),()(),(+∞-∞在x g x f 上有定义，则（ ）必是奇函数。
（A ）)()()()(x g x g x f x f -++-+ (B) )()()()(x g x g x f x f -+---（C ）)()()()(x g x g x f x f ----+ （D ）)()()()(x g x g x f x f -----2、下列命题中，正确的是（ ）。
（A ）无界数列必发散 （B ）有界数列必收敛（C ）发散数列必无界 （D ）收敛数列的极限不一定惟一3、设)(lim 0x f x x →存在，则)(x f 在点0x 处( )。
（A ）必有定义 （B ）必有定义，但与极限值无关（C ）可以没有定义 （D ）函数值必须等于极限值4、当0→x 时，下列无穷小中与x 不等价的是( )。
（A ）1-x e （B ）x tan （C ）11-+x （D ）)1ln(x +5、设函数)(x f 可导，且1)()2(lim 000=∆-∆-→∆x x f x x f x ，则=')(0x f （ ）。
（A ）1- （B ）1 （C ）21- （D ）2三、计算题（每小题7分，共49分）1、设2ln )1(222-=-x x x f ，且x x f ln )]([=ϕ，求)(x ϕ。
2013_2014(2)微积分II(甲)期中试卷答案
诚信应考 考出水平 考出风格浙江大学城市学院2013 — 2014学年第 二 学期期中考试试卷《 微积分II （甲） 》开课单位： 计算分院；考试形式：闭卷；考试时间：2014年_4__月_20 日；所需时间：120分 一、填空题（每格2分，共30分）1、 微分方程33''(')0x y y -=是 2 阶微分方程. 2、 微分方程0y y y '''+=+2的通解为 )( 21xe x C C y -+=.3、 设向量αu r 模为５，且其方向与向量{}2,1,2-相反，则α=u r 310-35310- ⎭⎬⎫⎩⎨⎧，，. 4、 设{}{}1,2,3,2,1,0a b =-=-r r ，则a b ⋅r r = 4 ，a b ⨯r r ＝ 363 k j i ϖϖϖ++.5、 过点(1,2,1)P -且平行于平面3560x y z -+-=的平面方程为 0853=++-z y x .6、 过两点(2,2,1)(0,1,2)A B -及的直线的点向式方程为 113222-=+=--z y x .7、 yOz 面上的曲线2221y z +=绕z 轴旋转一周而成的曲面方程为 12222=++z x y . 8、 设函数yz x =，则zy∂=∂ ln x x y ⋅ ；全微分dz = ln 1xdy x dx yx y y +-． 9、 设函数(,)z f x xy =，且(,)f u v 存在二阶连续的偏导数，则z x∂∂＝ 21y f f '+'； 2z x y∂=∂∂ 22212"+'+"xyf f xf ． 10、 空间曲线232x ty t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩在(2,1,1)处的切线方程为 312122 -=-=-z y x ；法平面方程为 09322=-++z y x . 11、 设函数()f x 是周期为2的周期函数，它在区间(1,1]-上定义为32,10(),,01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩则()f x 的傅立叶级数在1x =处收敛于 23.二．单项选择题（本大题共５小题，每小题２分，共10分） １. 下列关于微分方程的描述为正确的是（ D ）．A. 含有任意常数的解称为微分方程的通解B. 微分方程20y y x '-=是线性的C. 设1()y x 和2()y x 是二阶齐次线性微分方程0y py qy '''++=的二个特解，1C 和2C 是二个任意常数，则1121()()C y x C y x +即是该微分方程的通解D. 微分方程的通解一定包含有任意常数2．设1y 和2y 是非齐次微分方程'''()(,)y py qy f x p q ++=是实常数的两个特解，则下列结论正确的是（ C ）．A. 12y y +也是该方程的解B. 12y y +是对应齐次方程的解C. 12y y -是对应齐次方程的解D. 12y y -也是该方程的解 3．下列描述正确的是（ C ）．A. 若a b a c ⋅=⋅r r r r ，则必有b c =r rB. a b b a ⨯=⨯r r r rC. ()()a b c b c a ⨯⋅=⨯⋅r r r r r rD. //a b a ⨯r r r４．下列关于三维空间中直线的描述正确的是（ C ）．A. 直线的一般方程表示方式是唯一的B. 若两条直线平行，则它们的方向向量相同C.1120x y z +-==为正确的直线方程 D.在空间直角坐标中，方程y x =表示了一条直线5．对于二元函数(,)z f x y =，下列描述正确的是（ C ）．A. 若在点00(,)x y 处存在偏导数，则在点00(,)x y 处一定连续B. 若在点00(,)x y 处连续，则在点00(,)x y 处一定存在偏导数C. 若在点00(,)x y 处可微，则在点00(,)x y 处一定存在偏导数 Ｄ．若在点00(,)x y 处存在偏导数，则在点00(,)x y 处一定可微三．计算题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 1．求过点(1,1,0)、(1,2,2)-和(3,1,2)-的平面方程. 解：743 014286 0)0(2)1(8)1(62862 2 2 2 1 2}2,2,2{2,1,2M =-++=-++=-+-+-++=--=-⨯-=z y x z y x z y x kj i k j i 即即平面：｝｛ϖϖϖϖϖϖϖ2、求曲线22222241,x y z x y z⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在xOy 平面上的投影柱面方程和投影曲线方程． 解：⎩⎨⎧==-=-01351352222z y x y x 投影曲线方程：投影柱面方程：3.求点(1,2,1)P 到直线11:123x y l z +-==+的距离．解：经过点)1,2,1(p 作l 的垂直平面α，其平面方程：01)2(3)1(2=-+-+-z y x即0932=-++z y xα与p 的交点：⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=-=+093213121z y x z y x ， 得交点)145,1441,72(-距离7014314630)145()1441()72(222==-++=d 四．计算题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 1、设函数22(,)xf x y x y=+，求(1,2)x f '及(,)yyf x y ''. 解：22222222222(,)()()x x y x x y x f x y x y x y +-⋅-'==++ ；3(1,2)25x f '= 2222222222222322242232232(,)2()()()2()22(3)26)(,)(2)()()()y yy x xyf x y y x y x y x y y x y y x x y x xy f x y x x y x y x y '=-⋅=-+++-⋅+⋅--+"=-=-=+++2、设函数,2,,vz u u x y v xy ==+=求z x ∂∂和z y∂∂. 解：11ln 2ln v v v v z z u z v v u u u yx u x v xz z u z v v u u u x y u y v y--∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅∂∂∂∂∂ 3、设函数(,)z f x y =由方程ze xyz =确定，求z x ∂∂和22zx∂∂.解： 两边关于x 求导，2222322223()1()1111()[]1(1)1111122 ()[].1(1)1(1)z x x z x z yz yze z y z x z x e xy xyz xyz z z x xz x x z z z z x x z x z z z z z z x z x z x z x z ∂''⋅=⋅+⋅⇒==∂--∂⇒==∂--∂'=-⋅+-⋅∂---+=-⋅+-⋅⋅=-⋅----五．计算题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 1、求微分方程220,1x xyy y x y='==+的特解。
浙江大学2004级微积分(上)期中试卷解答
浙江大学2004级微积分（上）期中测验试题解答一、填空（每小题4分，共32分）1． 判断下列函数的间断点的类型：0=x 是xx y 1sin=的 第一类（可去） 间断点；0=x 是 xx y sin =的 第一类（跳跃） 间断点；0=x 是x y 1sin =的 第二类 间断点。
2．若61sin 1lim 0-=⎪⎭⎫⎝⎛-→x b x a x x ，则1,1==b a 。
3．若 e x x ax x =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∞→121lim ，则=a 3/1。
4．设当0→x 时，)1(2++-bx ax e x 是比2x 高阶的无穷小，则1,2/1==b a 。
5．设x xe x f =)(，则其n 阶导数)()()(n x e x fx n +=在点)1(+-=n x 处取到极小值。
6．设点)3,1(是曲线23bx ax y +=的拐点，则参数2/9,2/3=-=b a 。
7．函数132-++=x x x y 的图形有铅垂渐近线 1=x 和斜渐近线2+=x y 。
8．已知x x xe e f -=')(，且0)1(=f ，则x x f 2ln 21)(=。
()⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+====⎰⎰⎰0,ln 2121)()(22c c x c t tdt dt e e f dx x f x f tt二、计算与证明（共68分）1． （6分）解： )1ln()1)((lim 2sin 0x e x x e e x xx x +-+-→613cos 1lim sin lim )1ln()1()1()1(lim 2030sin sin 0=-=-=+-+-=→→-→x x x x x x e x x e e x x x x x x x2． （6分）解1：42sin 21tan sec lim 42cos tan ln lim4tan ln 2tan lim 2tan 42444)(tan lim πππππππ--⋅→====→→→eeeex xx x xxxx x xx x x x x解2 ：4tan 1tan 21tan 14tan1tan 242tan 4))1(tan 1(lim ))1(tan 1(lim )(tan lim 2ππππ-+-⋅-→-→→=-+=-+=ex x x xxx x x xxx x xx x3． 设⎩⎨⎧>+≤-+=0,0),21ln(1)(x be a x x x f x，试确定a ，b ，使)(x f 在0=x 处可导，并求)(x f '。
2012-2013(2)微积分A2期中试卷答案
浙江农林大学天目学院 2012 - 2013 学年第 二 学期期中考试卷课程名称： 微积分A Ⅱ 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷注意事项：1、本试卷满分100分。
2、考试时间 120分钟。
一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。
每小题3分，共21分）1. 设向量{1,2,},{2,4,3}a l b =-=-，当a b ⊥时，则l 等于 ( D )。
A.32 B. 32- C. 103 D. 103- 2. 平面3510x z -+= ( B )。
A. 平行于zox 平面B. 平行于y 轴C. 垂直于y 轴D. 垂直于x 轴 3.设函数(,)f x y =+的定义域=D ( C )。
A. {(,)}x y x y x -≤<B. {(,)}x y x y x -<≤C. {(,)}x y x y x -<<D. {(,)}x y x y x -≤≤4. 下列函数在(0,0)点处极限存在的是 ( D )。
A. x y x y +- B . 224xy x y + C. 2222x y x y -+D.系（部）： 专业班级： 姓名： 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题5. 设函数22,(,)0(,)0,(,)0xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，则在原点(0,0)处(,)f x y 的 ( D )。
A. 偏导数不存在且连续B. 偏导数不存在且不连续C. 偏导数存在且连续D. 偏导数存在且不连续 6.函数(,)f x y =(0,0)( D )。
A. 是驻点B. 是驻点且为极值点C. 不是驻点但是极大值点D. 不是驻点但是极小值点 7. 二元函数(,)z f x y =在00(,)x y 处满足关系( B ) A. 可微⇔可导⇒连续 B. 可微⇒可导，可微⇒连续 C. 可微⇒可导⇒连续 D. 可导⇒连续，反之不行.二、填空题（每空3分，共27分）1. 点(1,2,1)M 到平面:22100x y z π++-=的距离是 1.2. 设向量3,{1,1,1}a b a b ⋅=⨯=-，则a 与b 的夹角为6π.3. 微分方程2d 2d 0,|1x x y y x y =+==的特解为24x y =.4.极限(,)(0,0)lim x y→=16-.5. 设函数(,)ln()2yf x y x x=+，则(1,0)y f '=12.6. 设2()z f xy =，其中f 为可微函数，则zx∂=∂2()()yf xy f xy '. 7. 设xyz u e =，则d u =(d d d )xyz e yz x xz y xy z ++.8. 曲线222y xz x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩在点(1,1,2)处的切线方程为112126x y z ---==；法平面方程为26150x y z ++-=.三、计算题（每小题6分，共30分） 1. 求微分方程1sin x y y x x'+=的通解. 解：方程是一阶非齐次线性方程，其中1sin (),()xP x Q x x x==，代入公式，则通解 ()d ()d [()d ]P x xP x x y e Q x e x C -⎰⎰=+⎰11d d sin [d ]x x xx x ee x C x-⎰⎰=+⎰………………2分 ln ln sin [d ]x xx e e x C x-=+⎰ ………………4分 1[sin d ]x x C x =+⎰1(cos )C x x=-. ………………6分2. 设函数2(2)x y z x y +=+，求zy∂∂. 解：令2,2u x y v x y =+=+，则v z u =，从而z z u z vy u y v y∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂12ln v v vu u u -=+ …………………4分 212(2)(2)2(2)ln(2)x y x y x y x y x y x y +-+=+++++22(2)[2ln(2)]2x y x yx y x y x y++=++++ …………………6分 或 函数变形为(2)ln(2)x y x y z e ++=，则 …………………2分(2)ln(2)2[2ln(2)]2x y x y z x y e x y y x y++∂+=++∂+ ………………5分 22(2)[2ln(2)]2x y x yx y x y x y++=++++ ………………6分3. 设函数arctanu z v =，且,u x y v xy =+=，求z x∂∂ 解：z z u z vx u x v x ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂222111()1()1()u y u u v v v v=⋅+⋅-⋅++ ……………………4分 22v uy u v -=+222()()y x y xy -=++ ……………………6分 4. 设函数(,)z z x y =由方程0z e xyz -=确定，求z x ∂∂，zy∂∂ 解：令(,,)z F x y z e xyz =-，则(,,)0F x y z =，从而x F yz '=-，y F xz '=-，z z F e xy '=-，则 …………………3分x z F z x F '∂=-'∂z yz e xy -=--yz xyz xy =-(1)zx z =- y z F zx F '∂=-'∂z xz e xy -=--xz xyz xy =-(1)z y z =- …………………6分5. 求曲面22z x y =+在点(1,2,5)处的切平面与法线方程. 解：令22(,,)F x y z z x y =--，则2x F x '=-，2y F y '=-，1z F '=于是曲面在点(1,2,5)处的法向量(1,2,5)|{2,4,1}n =-- …………………2分 从而切平面方程为2(1)4(2)(5)0x y z ----+-=即 2450x y z +--= …………………4分而法线方程为125241x y z ---==-- …………………6分四、(10分)已知点(1,0,2)P -及直线20:220x y z l x y z -+=⎧⎨-+=⎩，求(1) 过点P 且与直线l 平行的直线点向式方程； (2) 过点P 且与直线l 垂直的平面方程； (3) 过点P 且与直线l 垂直相交的直线方程. 解：(1) 由题意知，取直线l 的方向向量12s n n =⨯，即1221133{0,3,3}//{0,1,1}122i j ks n n j k =⨯=-=--=---…………………2分 则过点P 且与直线l 平行的直线点向式方程为12011x y z +-== …………………4分 (2) 取直线的方向向量{0,1,1}为所求平面的法向量n ，则由平面的点法式方程得20y z +-= …………………6分(3) 设直线l 与平面20y z +-=的交点坐标为000{,,}x y z ，则交点满足00000000220220y z x y z x y z +=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩ 则交点的坐标为{0,1,1}， …………………8分 从而由直线的两点式方程得所求直线方程为12111x y z +-==--或者11111x y z --==-- …………………10分五、（12分）求函数322423z x x xy y =-+-+的极值.解：解方程组23820220z x x y xz x y y∂⎧=-+=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎩ …………………2分则驻点为(0,0),(2,2). …………………4分二阶偏导数为2222268,2,2z z zx x x y y ∂∂∂=-==-∂∂∂∂，则 …………………7分在点(0,0)处，8,2,2A B C =-==-,则2120AC B -=>且0A <，则(0,0)3f =为极大值。
大学本科学年丹青微积分期中试题
浙江大学2015–2016学年秋学期《微积分Ⅰ》期中考试模拟试卷开课学院：理学院考试形式：闭卷考试时间：2015年11月所需时间：90分钟考生姓名：____学号：班级：__题序一二三四五六七八九十总分得分评卷人1.试着用数学语言描述下列几个概念的定义（8分）(1)A x f x =∞→)(lim (2))(x f 在[]b a ,上连续(3))(x f 在0x 处可导(4))(x f 在0x 处可微2.x xx x x e e e sin 1320)3(lim ++→（10分)3.x x x x x cos sin 1lim 20-+→（10分）4.设函数)(x y y =的反函数为)(y x x =，且满足0,0≠≠dx dy dy dx ；试将)(y x x =的方程：0)()'(3222=+dy dx y dy x d y 变换为)(x y y =的方程（即用''y 和'y 表示出0)()'(3222=+dy dx y dy x d y ）（10分）5.设x y arcsin =，求)0()(n f （10分）6.已知31212)(arctan )1(x x x y x +++=，求dxdy （12分）7.计算下列数列极限(*N n ∈)(10分）（1）)]11).....(211)(111ln[(lim 222nn n n n n +++++++∞→（2）2221....21lim n n n n n -++++∞→8.设函数)(x f 在闭区间[]1,0上连续，在开区间()1,0内可导，且,31)1(,0)0(==f f 证明：存在)21,0(∈ξ，)1,21(∈η，使得22)(')('ηξηξ+=+f f （10分）9.已知)(x f 二阶可导，且[]R x x f x f x f x f ∈≥->,0)(')()('',0)(2（10分）（1）证明R x x x x f x f x f ∈∀+≥2121221,),2()()(（2）若1)0(=f ，证明Rx e x f x f ∈≥,)()0('10.假设有一个函数序列)10)((≤≤=x x y y n n （10分)（1）用下面所述的方法来确定n y ：21x y =，,...)3,2(2221=-=-n y x y n n ，求n n y +∞→lim （2）若把（1）中的,...)3,2(2221=-=-n y x y n n 改写为,...)3,2(2221=+=-n y x y n n ，求n n y +∞→lim。
微积分期中考试试卷答案
北 京 交 通 大 学2007 -2008 学年第一学期《微积分》期中考试试卷（考试时间120分钟）班 级 姓 名 学 号一、填空题（每空3分，共30分）1．设()()1,1,0,1,,0,1.1,1.x x f x g x x x ⎧<⎧≤⎪⎪==⎨⎨≥>⎪⎪⎩⎩，则()g f x =⎡⎤⎣⎦ 0 。
2．已知()lim20071abb n n n n →∞=--，则常数a =20062007-，b =12007。
3．当0x →时，sin cos x e x x -+-与n x 是同阶无穷小，则n = 2 。
4．函数()21lim1nn xf x x →∞-=+的间断点为x = -1 。
5．设函数()221,0,cos ,0.x e x f x xa x x x ⎧-<⎪=⎨⎪+≥⎩在(),-∞+∞上连续，则a = 2。
6．设()'0f x 存在，则()()000limx x xf x x f x x x →-=-()()'000f x x f x -。
7．设函数()y y x =由方程()sin 0x y e e xy --=确定，则0x dy ==dx 。
8．已知函数()f x 具有任意阶导数，且()()2'f x f x =⎡⎤⎣⎦，则当2n >时，()()n f x =()1!n n f x +⎡⎤⎣⎦。
9．曲线sin ,cos 2x t y t=⎧⎨=⎩在对应于4t π=的点处的切线方程为20y +-=。
二、计算下列各题 (每题6分，共12分 )1.)()()121cos 211limln 1xx xx-→++解：原式()()2222201221cos 20121cos 0lim 21cos 12lim 21lim 14211.622x xxx x x x x x x x x x x x e e →-→-→-+==+==分分分2．设()11,0,1,0.x x f x x e a x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩，求常数a 使()f x 在0x =处连续；并讨论此时()f x 在0x =处是否可导。
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浙江大学级微积分（上）期终考试试卷系班级学号姓名考试教室一、选择题：（每小题分，共分）在每题的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确那项的代号填入空格中.设()()()()()f x x a x b x c x d=----，其中a，b，c，d互不相等，且'()()()()f k k a k b k c=---，则k的值等于（）.（）.a（）.b（）.c（）.d.曲线y=x→-∞时，它有斜渐进线（）.（）.1y x=+（）.1y x=-+（）.1y x=--（）.1y x=-.下面的四个论述中正确的是（）.（）.“函数()f x在[],a b上有界”是“()f x在[],a b上可积”的必要条件；（）.函数()f x在区间(),a b内可导，(),x a b∈，那末'()0f x=是()f x在x处取到极值的充分条件；（）.“函数()f x在点x处可导”对于“函数()f x在点x处可微”而言既非充分也非必要；（）.“函数()f x在区间E上连续”是“()f x在区间E上原函数存在”的充要条件..下面四个论述中正确的是（）.（）.若0nx≥(1,2,)n=，且{}n x单调递减，设lim nnx a→+∞=，则0a>；（）. 若0nx>(1,2,)n=，且limnnx→+∞极限存在，设limnnx a→+∞=，则0a>；（）. 若lim0nnx a→+∞=>，则0nx≥(1,2,)n=；（）. 若lim0nnx a→+∞=>，则存在正整数N，当n N>时，都有2nax>.二、填空题：（每空格分，共分）只填答案. 2lim (1)tgxx x π→-；2lim (1)tgxx x π→--..函数()f u 可导，(sin )y f x x =，则dy dx.. cos sin x xxe e dx e ⎰. . 50sin tdt π⎰；50cos tdt π⎰.三、求极限：（每小题分，共分）.数列{}n x通项21n x n =++++，求lim n n x →+∞..求300sin lim sin xx t dt t x x→-⎰.四、求导数：（每小题分，共分）. 2sin 1xx y x x =+，求dydx.. 2,sin ,x t y t ⎧=⎨=⎩求dy dx ，22d ydx ..函数()y y x =由sin x y y +=确定，求221,;x y dydxππ=-=22221,.x y d y dx ππ=-=五、求积分：（每小题分，共分） .求21(1)x dx x x ++⎰..求0sin cos x x dx π-⎰..求0⎰(0)a >..计算2cos x e xdx π+∞-⎰.六、（分）下面两题做一题，其中学过常微分方程的专业做第题，未学常微分方程的专业做第题..求解常微分方程：22(),(1) 1.x dy xy x dx y ⎧=-⎨=⎩.有一半径为M 的半球形水池注满了水，现要把水全部抽到距水池水面高M 的水箱内，问至少要做多少功？七、（分）在xoy 平面上将连结原点(0,0)O 与点(1,0)A 的线段OA （即区间[]0,1）作n 等分，分点(,0)k n记作k P ，对1,2,,1k n =-，过k P 作抛物线2y x =的切线，切点为k Q ..设k k P Q A ∆的面积为k S ，求k S ；.求极限111lim n k n k S n -→+∞=∑.八、证明题（分）设()f x 在(),-∞+∞上连续，且()0f x >，0()()xG x tf x t dt =-⎰.证明：对任意,(,)a b ∈-∞+∞，且a b ≠，必有()()'()()0G b G a G a b a --->.浙江大学级微积分（下）期终考试试卷系班级学号姓名考试教室一、填空题：（每小题分，共分）只填答案.设一平面经过原点及点()6,3,2-，且与平面428x y z-+=垂直，则此平面的方程是。
.设()yz xyfx=，()f u可微，则dz。
. 曲面2222321x y z++=在点(1,2,2)-的法线方程是。
. 函数21()32f xx x=-+关于x的幂级数展开式是，且展开式的收敛区间为。
.设21,0,()1,0,xf xx xππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩则其以2π为周期的傅里叶级数在点xπ=-处收敛于。
二、选择题：（本题共小题，每小题分，共分）在每题的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确那项的字母填入括号中.设直线3210,:{21030,x y zLx y z+++=--+=，设平面:4220x y zπ-+-=，则直线L（）（）平行于π（）在π上（）垂直于π（）与π斜交.考虑二元函数(,)f x y的下面条性质：(,)f x y在点00(,)x y处连续；(,)f x y在点00(,)x y 处的两个偏导数连续；(,)f x y在点00(,)x y处可微；(,)f x y在点00(,)x y处的两个偏导数存在，若用“P Q⇒”表示可由性质P推出性质Q，则有（）（）⇒⇒（）⇒⇒（）⇒⇒（）⇒⇒.已知：2()()x ay dx ydyx y +++为某函数的全微分，则a 等于（ ） （）1- （）0 （）1 （）2.设d为常数，则级数31cos()n nd n ∞=⎡⎢⎣∑（ ） （）绝对收敛 （）条件收敛 （）发散 （）收敛性与d 有关.设u =则( u )(1,1,1)为（ ）（）1 （）2 （）13（）0 三、（每小题分，共分）.设2222(,)()z f x y xy g x y =-++，其中f 具有二阶连续的偏导数，g 具有二阶导数，求zx∂∂，通项2z x y ∂∂∂..设(,)z z x y =由方程22(z x y y x ϕ+=所确定，其中ϕ为可微函数，求z x ∂∂，z y∂∂..在第一卦限内作球面2221x y z ++=的切平面，使得该切平面与三坐标平面所围成的区域的体积最小，求切点坐标.四、（每小题分，共分）. 求二重积分22Dy d xσ⎰⎰，其中D 是由曲线1y x =，直线2y =，y x =所围成的平面区域..求三重积分Vυ，其中V 是由曲线0z yx =⎧⎨=⎩绕z O 轴旋转所成的曲面(0)z ≥与平面1z =所围成的空间区域.五、（每小题分，共分）.求曲线积分()(2)OAy ye x dx xe y dyΓ++-⎰，其中OAΓ是抛物线24y x=上自点(0,0)O到点(1,2)A的一段有向弧..求曲面积分[(,,)][(,,)][2(,,)]Syf x y z x dydz xf x y z y dzdx xyf x y z z dxdy+++++⎰⎰，其中S是曲面221()2z x y=+介于平面2z=与平面8z=之间的部分，法线朝上，(,,)f x y z 为连续函数.六、（第小题分，第小题分，共分）.求幂级数21nnxn+∞=∑的收敛半径、收敛区间、收敛域及和函数..证明级数1n∞=∑当12a e=时收敛，当0a>，且12a e≠时发散.浙江大学级微积分（上）期终考试试卷学院班级学号姓名考试教室一、填空题：（每题分，共分）只填答案.举出符合各题要求的一例，并将其填入空格内。
（）在0x=点不连续，但当0x→时极限存在的函数有；（）属“”或“∞∞”未定型，且其极限存在，但极限不能用洛必达法则求得的极限有；（）原函数不存在，但其原函数不能用初等函数表示的函数有;（）有界，但不可积的函数有；.已知抛物线2y ax bx c=++过点(1,2)，且在该点的曲率圆方程是：22151()()222x y-+-=.则a，b，c,曲线在（，）处的曲率＝.. 设21()cosxf x t dt=⎰.（）()df xdx；（）1()lim1xf xx→-；（）1()f x dx⎰；二、选择题：（每题分，共分）在每题的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确那项的字母填入括号中.设()()f x f x=-，且在(0,)+∞内二阶可导，又'()0f x>，''()0f x<，则()f x在(,0)-∞内的单调性和图形的凹向是（）..单调增，向下凹.单调减，向下凹 .单调增，向上凹 .单调减，向上凹.函数()y f x=在点x的以下结论正确的是（）.若'()0f x=，则()f x必是一极值；.若''()0f x=，则点00(,())x f x必是曲线()y f x=的拐点；.若极限001lim [(()]n n f x f x n→∞+-存在（n 为正整数），则()f x 在0x 点可导，且有0001lim [()()]'()n n f x f x f x n→∞+-=； .若()f x 在0x 处可微，则()f x 在0x 的某领域内有界。
.设当0x x →时，()x α，()x β都是无穷小（()0x β≠），则当0x x →时，下列表达式中不一定为无穷小的是（ ）..2()()x x αβ； .231()()sin x x xαβ+⋅； .ln(1()())x x αβ+⋅； . ()()x x αβ+..设函数531sin ,0,()0,0.x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处()f x （ ）. .不连续； .连续，但不可导； .可导，但导数不连续； .可导，且导数连续。
三、求极限：（每小题分，共分）. 0sin lim (1)ln(1)x x x xe x →---.. 211lim(2x x x x -→∞+-.四、求导数：（每小题分，共分）.设2(1)y x e =+求dy dx.. 2arctan ,ln(1),x t t y t =-⎧⎨=+⎩求dy dx ，22d y dx . .函数()y y x =由arctan 0x y y -+=所确定，求dy dx ，22d ydx .。