不等式及解集

a 图1—1 不等式及解集

一、知识点归纳总结：

1、不等式的定义：用不等号（“＜”“≤”“＞”“≥”“≠”）表示不等关系的式子。

2、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．

不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集．可以用最简单

的不等式表示，也可以用数轴来表示．

解不等式：求不等式解集的过程叫做解不等式．

3、 一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不为零的不等式叫做

一元一次不等式．

解一元一次不等式的步骤：①去分母，②去话号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为1（不

等号的改变问题）

二、典型例题：

例1、有理数a 与b 在数轴上的位置如图1—1，用“＞”或“＜”填空：

（1）a 0； （2）b 0； （3）a b ； （4）a ＋b 0；

（5）a －b 0．

2、用适当的符号表示下列关系

（1）m 比—2大． （2）3x 与4的差是负数．（3）a 2与2的和是非负数．

（4）x 的一半比它与6的差小． （5）a 与b 的差不大于a 与b 的和．

3、已知—1＜a ＜0，下列各式正确的是（ ）．

A.2

a -＜—a ＜a 1- B.—a ＜a 1-＜2a - C.a 1-＜2a -＜—a D.a

1-＜—a ＜2a - 4、下列不等式中：①x>－3；②xy≥1；③x 2<3；④2x －3x ≤1；⑤1x x +>1．一元一次不等式的个数是（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

例2、解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上．

（1）3x ＋1＞4； （2）3（x ＋2）≥5（x －2）；

（3）

532122

x x ++-<；； （4）10132x x x ++<--．

例3、关于x 的不等式2x －a ≤－1的解集如图所示，则a 的取值是（ ）

A.0

B.－3

C.－2

D.－1

例4、已知代数式

64x -的值不小于3

1，求x 的正整数解．

练习：

1、不等式2（x －2）≤x —2的非负整数解的个数为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2、不等式x-73x-2+1<22的负整数、解有（） A. 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

3、已知关于x 的方程

3224x m m -=－13

的解为非负数，求m 的取值范围．

4、（一题多变题）关于x 的一元一次主程4x+m+1=3x －1中实数m 的取值范围是m>－2，求x•的取值范围．

例5、如果关于x 的不等式（2a －b ）x+a －5b ＞0的解为x ＜107

，求关于x 的不等式ax ＞b 的解集．

练习：

1、不等式ax ＜b 的解集是x ＜b a

，那么a 的取值 范围是（ ）

A 、a ≤0

B 、a ＜0

C 、a ≥0

D 、a ＞0

2、如果关于 x 的不等式初（a －1）x

3、已知不等式x+8>4x+m （m 是常数）的解集是x<3，求m ．

例6、比较a 2 －4a －1与a 2 －6a+2的大小．

例7、综合应用：设“○”、“□”、“△”分另表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况，如图所示，那么每个“○”、“□”、“△”这样的物 体，按质量从小到大的顺序排列为（ ）

A ．○□△

B ．○△□

C ．□○△

D ．△□○

练习：

有人问一位老师他所教的班有多少学生，老师说：“一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在念外语，还剩不足六位同学在操场上踢足球”．试问这个班共有多少学生？

例8、如果a 、b 、c 为互不相等的实数，且满足关系式 b 2+c 2= 2a 2 +16a ＋14 与bc= a 2－4a －5，

那么a 的取值范围是___________．

例9、求不等式1)1(201262->-++++n n

n x x x x x 的解集．

【综合创新训练】

1．两个连续偶数的和不小于49，问较大的数最小是多少？

2．若三角形的三边长分别是2、x、8，且x是不等式

212

23

x x

+-

>-的正整数解，试求第三边x

的长．

3．李老师奖励在数学竞赛中的优胜者，给小明80元去购买奖品笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，那么小明最多能买多少支钢笔？

4．已知方程ax+12=0的解是x=3，求不等式（a+2）x<-6的解集．

5．如果不等式3x-m≤0的正整数解是1，2，3，那么m的范围是什么？