4 测试管柱的力学分析

4 测试管柱的力学分析
测试管柱在井筒中要受到各种外力的作用，如内外压力、重力、井壁的反力等的作用。

这些作用力与温度共同作用在测试管柱上，造成管柱的变形，如拉伸变形和屈曲变形等，以及在测试管柱中产生内力，如轴向力、弯矩等。

如果这些变形或内力过大，就可能对测试管柱产生损坏。

在不同的操作中，这些外力是不同的。

因而，各种工况所产生的内力也不尽相同。

例如，下放测试管柱时，测试管柱受的外力为重力和完井液对管柱的浮力，上部则由钻机大钩吊着；在坐封时，大钩逐步加上钻压，即松弛力，使封隔器坐封；在开井时，测试管柱中有天然气流过，因而测试管柱内外压力会发生变化，此外，测试管柱的温度变化会使管柱伸长。

因此，在分析时必须根据不同工况进行具体分析。

管柱在受到外力作用时产生变形，根据不同的内力，变形有所不同。

众所周知，当管柱的轴向力是受拉时，管柱只是伸长，而当管柱的轴向力是受压时，除了轴向缩短外，对于这种长细比很大的管柱，管柱还会产生屈曲变形。

屈曲变形反过来又会影响内力。

因此，对测试管柱在井筒中的力学分析有助于合理地设计测试管柱及其测试操作。

在本章中，我们研究井眼中管柱的受力分析、受压部分的屈曲分析和测试管柱的强度分析。

4.1 测试管柱各工况的受力分析
在地层测试过程中，需要进行测试管柱的下放（简称为下钻）、用低比重流体替代测试管柱中的流体（简称为低替）、封隔器坐封（简称为坐封）、打开井口关井阀诱喷（简称为开井）、井下关井阀关井（简称为1关）、井口关井阀关井（简称为2关）、高比重泥浆循环压井（由井口油管将高比重泥浆压入，从环形空间流出；简称为循环）或高比重泥浆反循环压井（由井口环形空间将高比重泥浆压入，从油管流出；简称为反循环）和压裂与酸化（简称为高挤酸）等操作。

在这些操作中，测试管柱受力是不
一样的。

下面我们根据不同工况分析测试管柱的受力情况。

4.1.1 下钻完 测试管柱在下放的过程中，井眼中存在有完井液。

测试
管柱此时受有重力、悬挂力和液体的作用力（浮力）。

设井眼垂直，测试管柱全长为l ，从井口沿井眼中心垂直向下建立坐标系，深度坐标为z ，参见图4－1。

重力均匀作用在测试管柱整个深度范围，微长d z 的管
柱所受的重力d Q 为
z g Q d d ρ= (4－1) 式中： ρ为单位长度测试管柱的质量，kg/m ；
g 为重力加速度，m/s 2。

悬挂力P 直接作用在测试管柱的顶部。

悬挂力的大小按下式计算
Vg Lg P γρ-= (4－2) 式中： γ为完井液密度，kg/m 3；
L 为测试管柱长度，m 。

V 为测试管柱浸入井筒完井液的体积，m 3。

浮力与测试管柱的下放深度成正比。

当下放到深度z = l 时，测试管柱受的浮力F b 作用在测试管柱的底部，其大小为
glA F γ=b (4－3) 式中： A 为测试管柱底部的面积，m 2。

对于组合测试管柱，即由不同截面积组成的测试管柱，各段管柱分别计算该段管柱的浮力。

假设组合管柱的某一分界面位于深度z = l 1的地方，则应在此分界面上加上一个向上的集中力F 1
图4－1 下钻测试管柱受力图
)(2111A A gl F -=γ (4－4) 式中： A 1为组合管柱分界面以上段底部的面积，m 2；
A 2为组合管柱分界面以下段顶部的面积，m 2。

4.1.2 低替
进行低比重液体替换操作时，测试管柱仍然是由大钩悬挂，作用在测试管柱上的重力不变。

悬挂力P 由平衡方程计算出。

低替时，从井口油管内将低比重液体压入井中，井中多余完井液从井口的环空处流出。

低替载荷最大时是低替完成的时候。

此时，在测试管柱内充满低比重液体，环空中则仍有完井液占据。

测试管柱在井底的压力应等于环空在井底的压力。

由于测试管柱中低替液比重小于完井液的比重，在测试管柱的井口必须加上压力p
gl p )(21γγ-=
(4－5) 式中： γ 1为完井液的密度，kg/m 3；
γ 2为低替液的密度，kg/m 3；
假设组合管柱的某一分界面位于深度z = l 1的地方，则应在此分界面上加上一个向上的集中力F 1
2121111')('A p gl A gl F +-=γγ (4－6) 式中： )('22211O O r r A -=π，m 2；1O r 和2O r 分别为测试管柱分界面上段的外半径和下段外半径，m 。

)('2221i 2i r r A -=π，
m 2；1i r 和2i r 分别为测试管柱分界面下段的外半径和上段
外半径，m 。

图4－2测试管柱坐封受力图
4.1.3 坐封
坐封是在低替之后进行的操作。

坐封操作时，通过旋转测试管柱使封隔器动作，再将大钩往下放，封隔器坐封。

大钩松弛力越大，封隔器坐封力也越大。

作用在测试管柱上的载荷除了低替的载荷外，还有封隔器上作用有坐封力。

在封隔器以下的测试管柱的重量已经通过封隔器传递到套管上，因此，对封隔器以上的测试管柱已经不再起作用。

坐封后，封隔器成为固定支点，坐封以后各操作封隔器以上测试管柱的变形以此为基准计算。

一般来说，封隔器坐封力大小与井口松弛力的大小并不相同，原因是大钩在下放的过程中，下部的管柱因受压而进入螺旋屈曲，测试管柱与井壁接触，一部分力被摩擦力抵消。

在计算封隔器坐封力时，必须考虑测试管柱的螺旋屈曲。

封隔器的坐封力与井口松弛高度的距离的关系在下节中导出。

4.1.4 射孔
坐封之后，通过油管加压或通过环空加压进行射孔，建立起油层与测试管柱之间的通道，诱导油气由测试管柱喷出。

射孔操作与坐封操作不同的是，在射孔时，在井口测试管柱中或在环空中施加井口压力。

该压力的大小必须能使射孔枪动作。

4.1.5 开井
射孔之后，建立起油气流的通道。

储油层的油气流在地层压力的驱动下流入封隔器下套管口袋中，并经由测试管柱流出。

如第三章所述，流体在流过测试管柱时，压力和温度要发生变化，变化的规律由一组非线性微分方程描述。

开井后在测试管柱上，外部压力仍然维持坐封时的状态，测试管柱的内部压力和测试管柱的温度需要用数值方法求出（见第三章）。

测试管柱内流体的压力和温度变化使得测试管柱的变形产生变化。

4.1.6 井下关井阀关井
开井以后第一次关井一般采用井下关井阀关井。

通过在井口的环空加压使得井下关井阀动作，从而达到关井的目的。

关井后，地层油气流通过测试管柱流出井口的途径被阻断，测试管柱中的流体密度仍然保持开井时的密度，井口测试管柱压力减为零。

由于流量减为零，井底的流压逐渐增加，作用在关井阀上的压力将使封隔器受很大的向上的力。

4.1.7井口关井阀关井
当最后关井时，采用井口关井阀进行关井操作。

关井后，井中测试管柱中的流体密度仍然保持开井时的密度。

由于流量为零，井口的压力进一步升高，直到井底的流压恢复到地层压力。

4.2 考虑摩擦井眼中杆柱屈曲方程的建立
4.2.1 无摩擦井眼中管柱的屈曲方程
假设测试管柱和井眼内壁摩擦力可以忽略，管
柱是均匀的（无接头），井眼垂直，管柱无初始弯
曲内力。

设井眼中心线向下为x 轴，y 轴、z 轴如图4
－3所示，井眼的半径为c R ，杆柱的半径为t R ，杆
柱受压发生螺旋屈曲后，其轴线上任一点必在以井眼中心为轴线，半径为t c R R r -=的圆柱面上，圆柱面的矢径为
k j i r θθcos sin )(r r x x ++= (4－7)
微元体x d 作用有内力++=j i R y x F F x )(k z F ，内力矩i M x M x =)(k j z y M M ++及
图4－3 井眼与测试管柱的几何关系z
分布外力f
k j i f θθμcos sin )(N N q N +--=
(4－8) 其中： q 为单位长度杆柱重量(N/m)；
N 为井壁对杆柱的法向支反力(N/m)。

微元体的静力平衡方程为 f R
=x d d ，x x d d d d r
R M
⨯=
(4－9) 即 q N x F -=μd d x ，θsin d d y N x F -=，θcos d d z
N x F
=
(4－10) x F F r x M d d )cos sin (d d z y x
θ
θθ-=
(4－11) x r F F x M d dcos
d d x z y θ
+=
(4－12) y x z
d dsin d d F x r F x M -=θ
(4－13) 式(4－10)中： μ为管柱与井筒内壁之间的滑动摩擦系数。

井眼的约束使屈曲变形仍在弹性小变形范围内，梁假设仍起作用，因此
2222y d cos d d d x EJr x z EJ M θ
-==
(4－14) 2222z d sin d d d x EJr x y EJ M θ
-=-=
(4－15)
上二式中：E 为管柱材料的弹性模量，MPa ；
J 为管柱的截面惯性模量，m 4。

根据方程(4－10)至(4－15)，用Maple 软件，可导出杆柱在垂直井眼中的屈曲方程， Maple 程序如下：
mz:=-EJ*r*diff(sin(th(x)),x$2);
Fy:=-diff(mz,x)+Fx(x)*r*diff(sin(th(x)),x);
my:=-EJ*r*diff(cos(th(x)),x$2);
Fz:=diff(my,x)-Fx(x)*r*diff(cos(th(x)),x);
N:=diff(Fz,x)*cos(th(x))-diff(Fy,x)*sin(th(x));
simplify(N);
dFz:=diff(Fz,x);
eq:=dFz-N*cos(th(x));
simplify(eq);
运行后，得到垂直井眼中的屈曲方程： 0d d d d 6d d d d d d d d 22244x 22x =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x EJ x x F x F θθθθθ (4－16)
反力N 的表达式为 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛=4222332d d d d 3d d d d 4d d x x x x EJ x F r N x θθθθθ (4－17)
以及弯矩M 的表达式 22242z 2y d d d d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=x x EJr M M M θθ (4－18)
在方程(4－16)中，如果假设轴向力为常量，则方程左边的第二项为零，屈曲方程可简化为： 0d d d d 6d d d d 2224422=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x F EJ x x θθθθ (4－19)
4.2.2 有摩擦屈曲方程的解
根据方程(4－19)，Lubinski 等得出了井眼中管柱的等重、与井壁无摩擦的螺旋屈曲解[1]。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=qL F EJq r
F qL F qL L F EJ r u 0200028,214 (4－20)
式中： F 0为管柱的轴向载荷，N ；
L 为管柱的长度，m 。

摩擦力在井眼中杆柱的屈曲中起着重要作用，为了在计算中考虑摩擦力，我们进行以下的近似计算：设杆柱与井眼壁的接触力仍可用Lubinski 解，即 ⎪⎩⎪⎨⎧<>-=0)(,00)(),(4)(2x F x F x F EJ r x W n (4－21)
设杆柱的中性点为坐标原点，向下为正，现考虑几种不同的加载工况。

4.2.2.1 上部加载
在由上部加载情况下，可以得到如下方程： q EJ x rF x x F -=4)(d )(d 2x x μ (4－22) 设x 21F EJq
r y μ=，上述方程化为 1d d 22-=y x y rq EJ μ (4－23)
分离变量，得
x y y rq EJ d 1d 22=-μ (4－24) 两边积分，得出 C x y y rq EJ +=-+11ln μ (4－25) 式中，C 为积分常数，由边界条件确定。

当1>y 时，即r EJq F μ2
x >，解出y 并代入，得 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=C x EJ rq r qEJ x F μμ21coth 2)(x (4－26)
当1<y 时，即r
EJq F μ2x <，解出y 并代入，得 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=C x EJ rq r qEJ x F μμ21tanh 2)(x (4－27)
相应于1>y 时，轴向力引起的缩短为 ()()121sinh ln 4d 21coth 2C C x EJ rq r J A x C x EJ rq r qEJ EA l +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∆⎰μμμμ (4－28)
相应于1<y 时，轴向力引起的缩短为 ()()121cosh ln 4d 21tanh 2C C x EJ rq r J A x C x EJ rq r qEJ EA l +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=∆⎰μμμμ (4－29)
相应于1<y 时，屈曲引起的缩短为 ()()1221cosh ln d 21tanh 24C C x EJ rq r x C x EJ rq r qEJ EJ r l +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=∆⎰μμμμ (4－30)
管柱刚下到垂直井眼中时，整个管柱处于拉伸状态，管柱与井壁没有摩擦。

当封隔器坐封后，如果给管柱加一定的钻压，管柱的一部分会因为受压而进入螺旋屈曲，此时，1<y 。

管柱开始受压点为中性点L N ，该点的计算公式为：
q W L q L /)(B T N -⋅= (4－31)
式中：L T 为管柱的全长；W B 为加的钻压。

作为例子，假定套管内径D ci = 127mm ，油管外径D to = 88.9mm ，油管内径D ti = 70.2mm ，油管全长为4000m ，井中的液体比重为1；在地面下放油管坐封并加上钻压，钻压为400KN ，中性点以下的管柱的轴向压力如图4－4所示。

随着摩擦系数的增加，能加到封隔器上的载荷越小。

摩擦系数较大时，距离中性点较远的受压段油管的轴向力随深度变化不大；摩擦系数减小，加到封隔器上的载荷增大。

当摩擦系数为零时，井口的松弛力全部由封隔器承担，这时，管柱的轴向力为一直线。

井深/m 管柱轴向载荷/104N
图4－4 钻压状态下不同摩擦系数下的轴向载荷 现考虑另一种情况，如果在井口管柱加大松弛力直到的悬挂力为负，即井口管柱不是悬挂而是在油管的顶部施加向下的载荷，此时，1>y 。

假设油管顶部加压为
200KN 。

油管轴向力如图4－5所示，可以看出，底部的轴向力与顶部载荷关系不大，只与摩擦系数有关；顶部的轴向力变化很快，顶部的压力很难传递到井中。

摩擦系数越大，顶部压力传递的衰减越厉害。

井深/m
图4－5 油管顶部加压下不同摩擦系数下的轴向载荷
4.2.2.2 底部加载
在由底部加载情况下，可以得到如下方程： q EJ
x rF x x F +=4)
(d )(d 2x x μ (4－32)
设x 2
1F EJq
r
y μ=
，上述方程化为
1d d 2
2+=y x
y
rq EJ μ (4－33)
分离变量，得
x y y
rq EJ d 1
d 2
2=+μ
(4－34)
两边积分，得出
C x y rq
EJ
+=arctan 2
μ (4－35)
轴向力引起的缩短为
()()1
21cos ln 4d 21tan 2C C x EJ
rq r J A x C x EJ rq r qEJ EA l +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=
∆⎰μμμμ (4－36)
屈曲引起的缩短为
()⎰⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=∆x C x EJ rq EJ r l d 21tan 42
μ (4－37)
如果从管柱底部向上加载200KN ，油管轴向力如图4－6所示，可以看出，摩擦系数越大，中性点越深。

管柱轴向载荷/10N
井深/m
图4－6 油管底部向上加载时不同摩擦系数下的轴向载荷
如果从管柱底部向上加载分别为200KN 、400KN 、600KN 、800KN ；摩擦系数为0.2；油管轴向力如图4－7所示。

-80
-70-60
-50-40-30-20-100
4000
39003800370036003500
3400管柱轴向载荷/104N
井深/m
图4－7 油管底部向上加不同载荷时的轴向载荷
油管底部加200KN 时，中性点深度为3500m ，当加到800KN 时，中性点深度仅为3400m 。

这表明，底部加压时，影响的是距离底部不远的地方。

从工程实际来看，底部加载类似于井下封隔器滑动，井底压力直接作用在管柱底部，巨大的压力可能使井底几百米的管柱出现永久变形。

4.2.2.3 多段井筒和多段管柱轴向力计算
完井与地层测试中，往往管柱是复合管柱，即由不同尺寸的油管组合的管串，油层套管也不是直接接到井口，而是用套管挂挂接在前一次下的套管上（右图），这样就形成了多段井筒和多段管串的情况。

计算轴向力时，必须将井段分成很多段，
每一段具有同一套管内径、同一油管尺寸。

在每一段中就可以应用上面导出的公式计算轴向力。

在两段连接处考虑连接条件。

4.3 屈曲方程的精确解
4.3.1 无因次化
由于方程(4－19)是一个非线性的常微分方程，一般来说，可能没有解，也可能有一个解，也可能有许多解，2002年，Mitchell 得到了方程(4－19)另外一些解析解[2]。

其中一个解具有一定的物理意义，我们下面导出该解。

为了求解这个方程，将方程作无因次处理，设无因次长度ξ
x EJ
F x
=
ξ (4－13)
方程(4－19)化为
图 某井的套管程序
0d d d d 2d d d d 3
33=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ξθξθξθξ
(4－14)
反力(4－17)化为
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=
4
2223322
x d d d d 3d d d d 4d d ξθξθξθξθξθEJ
rF N (4－15)
设无因次反力为2
x c rF NEJ N =
4
22
2332
c d d d d 3d d d d 4d d ⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ξθξθξθ
ξθξθN (4－16)
类似的，设无因次弯矩为r
F M
M x =
c
2
224
c d d d d ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ξθξθM
(4－17)
4.3.2 精确解 [2]
设ξ
θ
d d =
u ，方程(4－14)变为
0C )12(d d 222=+-+-u u u
ξ
(4－18)
式中C 为积分常数，方程(4－16)简化为
42
222
c d d 3d d 4u u u u u N -⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=ξξ (4－19)
用雅可比椭圆函数
))((sn )(m u φβξαβξ+= (4－20)
其中α，β和φ均为常数，代入方程(4－18)，得
m =2α，m
+=
11
2β，0C = (4－21)
设2k m =，得解为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=k k k k u ,1sn 1222
ξ (4－22)
积分上式，得
()()[]k k k k ,cn ,dn ln βξβξθ-=
(4－23)
式中的dn 和cn 均为雅可比椭圆函数。

4.3.3 精确解的分析
4.3.3.1 变形形状
为了求出精确解的形状，假设99999.0=k ，r = 0.7，管柱外半径r 1 = 0.7；用Matlab 计算并绘出杆柱在井眼中的立体图，程序如下：
clear;
M=0.99999;U1=0:0.5:30;r=0.7;r1=0.5;nd=40; U=U1/sqrt(1+M);
[SN,CN,DN] = ellipj(U,M); Th=log(DN-sqrt(M)*CN); [X,Y ,Z] = cylinder(r+r1,50); Z=Z*30/1.4; surf(X,Y ,Z);
左右旋
交界点
图4－8精确解管柱屈曲形状
alpha(.5);
shading interp;
axis off;
[m,n]=size(U1);
for i=1:n
for j=1:nd
x((i-1)*nd+j)=r*cos(Th(i))+r1*cos(2*j*pi/nd);
y((i-1)*nd+j)=r*sin(Th(i))+r1*sin(2*j*pi/nd);
z((i-1)*nd+j)=U(i);
if(i~=n)
if(j ~= nd)
f((i-1)*nd+j,:)=[(i-1)*nd+j (i-1)*nd+j+1 i*nd+j+1 i*nd+j];
else
f((i-1)*nd+j,:)=[(i-1)*nd+j (i-1)*nd+1 i*nd+1 i*nd+j];
end
end
end
end
vt = [x' y' z'];
hold on;
patch('Faces',f,'Vertices',vt,'FaceVertexCData',0.5,'FaceColor','flat');
立体图中可以看出，与Lubinski解不同的是：Lubinski解在整个屈曲管柱长度都是螺旋形状，雅可比椭圆函数的解是周期性的，在井中左旋和右旋交替，在图中指出了由左旋改变成右旋的交界点，左右旋的长度与常数M的大小有关，M越大，螺旋圈数越多，但其周期随参数M的增加而增大，当M趋于1时，精确解趋于Lubinski解。

因此，Lubinski解是精确解的特殊形式。

4.3.3.2反力计算
根据(4－22)式，结合(4－19)式，可用Maple 导出反力，Maple 程序如下： u:=k/sqrt(1+k^2)*JacobiSN(z/sqrt(1+k^2),k); N:=u^2+4*u*diff(u,z$2)+3*(diff(u,z))^2-u^4; simplify(N);
运算结果为：
()
2
22
2
22422
)
1(,1sn 16,1sn 103k k k k k k k k N c +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ξξ (4－24)
当99999.0=k 时，无因次反力如图4－9所示。

反力在大部分区域为常值0.25，与Lubinski 解一致。

反力在一小部分区域为负值，这与实际假设是不符的，因此在这一部分区域，解是不正确。

在另一小部分区域中，反力的值很大，约为0.75，是平均反力的三倍，这个区域是杆柱螺旋角变化为0的点的附近。

2、杆柱缩短计算
由于屈曲，可引起杆柱的缩短，在屈曲段的缩短量由下式确定：
⎰⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=
∆l B r EJ F l 02
2d d d 2
1ξξ
θ (4－25)
B l ∆与k 值有关，图3是不同k 值的缩短值B l ∆与ξ的关系，随k 值的增加，屈曲缩短值增加，Lubinski 解的缩短值最大。

这意味着当k 较小时，管柱比较硬，变形比较小，在计算变形时必须考虑这种影响。

0102030
40-0.2
0.00.20.4
0.60.8N c
ξ
图4－9 无因次反力图
∆L ξ
ξ
图4-10 不同k 值时管柱的屈曲引起的缩短
参考文献
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