《流体力学》流体运动学

流体力学辅导材料3：

第3章流体运动学

【教学基本要求】

1.了解描述流体运动的两种方法。了解迹线与流线的概念。掌握欧拉法质点加速度的表达式。

2.理解总流、过流断面、流量、断面平均流速的概念；理解定常流与非定常流、均匀流与非均匀流、渐变流与急变流、有压流与无压流。

3.熟练掌握总流的连续性方程。

4.理解无旋流与有旋流，掌握其判别方法。

5. 掌握流函数、速度势函数与速度的关系。知道流网法、势流叠加法解平面势流的原理。

【学习重点】

1.流线与迹线；质点加速度的欧拉表述法。

2.总流的连续性方程。

3.无旋流与有旋流的判别。

4.流函数、速度势与流速的关系。

【内容提要和学习指导】

3.1 流动描述

3.1.1 描述流动的两种方法

描述流动的方法有拉格朗日法和欧拉法。

1. 拉格朗日（Lagrange）法：拉格朗日法以研究个别流体质点的运动为基础，通过对每个流体质点运动规律的研究来获得整个流体的运动规律。这种方法又称为质点系法。

拉格朗日法的基本特点是追踪单个质点的运动。此法概念明确，但复杂。一般不采用拉格朗日法。

2. 欧拉（Euler）法：欧拉法是以考察不同流体质点通过固定的空间点的运动情况来了解整个流动空间内的流动情况，即着眼于研究各种运动要素的分布场。这种方法又叫做流场法。

欧拉法中，流场中任何一个运动要素可以表示为空间坐标和时间的函数。例如，在直角坐标系中，流速v是随空间坐标)

y

x和时间t而变化的，称为流速场。。

,

(z

,

用欧拉法描述流体运动时，质点加速度等于时变加速度和位变加速度之和，表达式为：

⎪

⎪⎪⎭⎪⎪⎪

⎬⎫∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=

=

∂∂+∂∂+∂∂+∂∂==∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=

=z u u y

u u x

u u t

u dt

du a z u u y u u x u u t u dt du a z u u y u u x u u t u dt du a z z z y

z x

z z

y y z y y y x y y

y x z

x y x x x x

x （3-6）

3.1.2 迹线与流线

在研究流动时，常用某些线簇图像表示流动情况。拉格朗日法是研究流体中各个质点在不同时刻运动的化情况，引出迹线的概念；欧拉法是在同一时刻研究不同质点的运动情况，引出流线的概念。

1. 迹线

某一流体质点在运动过程中，不同时刻所流经的空间点所连成的线称为迹线，或者迹线就是流体质点运动时所走过的轨迹线。

2. 流线

流线是某瞬间在流场中绘出的曲线，在此曲线上所有各点的流速矢量都和该线相切。流线密处流速大，流线稀处流速小。流线是欧拉法分析流动的重要概念。

流线具有以下特性：

（1）流线不能相交。如果流线相交，那么交点处的流速矢量应同时与这两条流线相切。显然，一个流体质点在同瞬间只能有一个流动方向，而不能有两个流动方向，所以流线不能相交。

（2）流线是一条光滑曲线或直线，不会发生转折。因为假定流体为连续介质，所以各运动要素在空间的变化是连续的，流速矢量在空间的变化亦应是连续的。若流线存在转折点，同样会出现有两个流动方向的矛盾现象。

（3）流线表示瞬时流动方向。因流体质点沿流线的切线方向流动，在不同瞬时，当流速改变时，流线即发生变化。

3.2 描述流体运动的一些基本概念

3.2.1 流管、元流和总流

1. 流管

在流动中任意取一条微小的封闭曲线C ，通过该曲线C 上的每一个点作流线，这些流线所形成的一个封闭管状曲面称为流管。

2. 元流

充满流管中的流体称为元流或微小流束。 3. 总流

由无数元流组成的整个流体（如通过河道、管道的水流）称为总流。

3.2.2 过流断面、流量和断面平均流速

1. 过流断面

垂直于流线簇所取的断面，称为过流断面（过水断面）。过流断面的面积用A 表示。过流断面可以是平面也可以是曲面，视流线簇彼此是否平行直线而定。

2. 流量

单位时间内通过某一过流断面的流体体积称为流量，用Q 表示，单位是m 3

/s 。 3. 平均流速

因为总流过流断面上各点的流速是不等的，例如管道中靠近管壁处流速小，而中间流速大，所以常用一个平均值来代替各点的实际流速，称该平均值为断面平均流速，用v 表示。流量、断面平均流速和过流断面面积A 的关系为：

vA Q =

3.2.3 一元流、二元流和三元流

采用欧拉法描述流动时，流场中的任何要素可表示为空间坐标和时间的函数。例如，在直角坐标系中，流速是空间坐标z y x ,,和时间t 的函数。按运动要素随空间坐标变化的关系，可把流动分为一元流、二元流和三元流（亦称一维流动、二维流动和三维流动）。

流体的运动要素仅随空间一个坐标（包括曲线坐标流程s ）而变化的流动称为一元流。运动要素随空间二个坐标而变化的流动称为二元流（即平面流动）。运动要素随空间三个坐标而变化的流动称为三元流（即空间流动）。 3.2.4 定常流与非定常流

1. 定常流

如果在流场中任何空间点上所有的运动要素都不随时间改变，这种流动称为定常流。各质点的运动要素与与时间无关，仅仅是空间坐标的连续函数。例如对流速而言

⎪

⎭

⎪

⎬⎫

===),,(),,(),,(z y x u u z y x u u z y x u u z z y y x x

因此，流速对时间的偏导数应等于零。所以，对定常流来说，在式（3-6）加速度公式中时变加速度（当地加速度）等于零。

定常流时，迹线与流线重合。 2. 非定常流

如果流场中任何空间点上有任何一个运动要素是随时间而变化的，这种流动称为非定常流。

定常流与非定常流的区分，是看运动要素，如速度、压强等，是否随时间变化。 3.2.5 均匀流与非均匀流

1. 均匀流

如果流动过程中运动要素不随坐标位置（流程）而变化，这种流动称为均匀流。均匀流