二次函数根的分布

二次函数根的分布

二次函数根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍二次函数根的分布的充要条件及其运用。

一．一元二次方程根的基本分布——零分布

所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤。

【定理1】⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎨⎧

>=>-=+≥-=∆>>00040,0212

1221a c x x a b

x x ac b x x ，则

例1若一元二次方程0)1(2)1(2

=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范

围。

【定理2】⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎨⎧

>=<-=+≥-=∆<<00040,0212

1221a c x x a b

x x ac b x x ，则

【定理3】0021<<

c x x ，则

例3 k 在何范围内取值，一元二次方程0332=-++k kx kx 有一个正根和一

个负根？

【定理4】 1)01=x ，02>x ⇔0=c 且0

；

2)01a

b

。

例4若一元二次方程03)12(2

=-+-+k x k kx 有一根为零，则另一根是正根还是负根？

二．一元二次方程的非零分布——k 分布

设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤。

k 为常数。则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 的位置）有以

下若干定理。

【定理1】⎪⎪

⎪

⎪⎨⎧

>->≥-=∆≤

b k af a

c b x x k 20)(04221，则

【定理2】⎪⎪

⎪

⎪⎨⎧

<->≥-=∆<≤k a

b k af a

c b k x x 20)(04221，则

【定理3】21x k x <<⇔0)(

【定理4】有且仅有11x k <（或2x ）2k <⇔0)()(21

【定理5】221211p x p k x k <<≤<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<>><<0

)(0

)(0)(0

)(0

21

21p f p f k f k f a 此定理可直接由定理4推出，请自证。

【定理6】2211k x x k <≤<，则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>>≥-=∆2121

220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或⎪⎪⎪

⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<≥-=∆212

1220

)(0

)(0

04k a b k k f k

f a ac b

1.方程x2+2px+1=0有一个根大于1，一个根小于1，求p的取值范围

2.若关于x的方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两实根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k的取值范围

3.方程mx2+2(m+1)x+m+3=0仅有一个负根，求m的取值范围

4.若关于x的方程kx2-(2k+1)x-3=0在(-1,1)和(1,3)内各有一个实根，求k 的取值范围

5.已知集合A={x|x2+(2-a)x+1=0}，若A R+，求a的取值范围

6.已知A={x| x2+2x+2-p=0}，且A∩R+=φ，求p的取值范围

7. 已知x2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根，且都在[1,3]外，求m范围

8.若方程2ax2 -x-1=0在(0,1)内恰好有一个实根，求a的范围

9.方程ax2 -2(a+1)x+a-1=0，是否存在实数a使它的两根都大于1 10.若二次函数y=-x2+mx-1的图像与两端点为A(0,3),B(3,0)的线段AB 有两个不同的交点，求m的范围

11. 已知f(x)=mx2+(m-3)x+1的图像的零点至少一个在原点右侧，求m 的取值范围