柔性机械手臂的动力学建模研究
关于机械手臂控制方案的研究
关于机械手臂控制方案的研究摘要：本文通过机械手臂的动力学模型的创建和机械手臂的控制方案等，来对机械手臂的控制情况进行一些浅显的研究。
关键词：机械手臂控制方案随着科技的快速发展，运用机器来代替人工进行工业生产等已经成为一个重要发展趋势而受到广泛的关注。
因此，机械手臂的控制方案研究就成为了非常重要的科研项目。
本文就机械手臂的控制方案进行了一些研究。
1 机械手臂动力模型的构建1.1 机械手臂柔性体变形的描述柔性体变形的描述是作为机械手臂动力模型构建的基础，也是研究机械手臂控制方案的基础。
常见的柔性体变形的描述主要有以下几种方法：有限元法、有限段法以及拟态综合法等。
(1)有限元法。
有限元法是用于工业机械复杂结构运算的最广泛的数值解法。
它主要是将一个具有连续性的整体通过理想化成有限个单元集合体进行逐个求解。
也就是将复杂的问题进行简单化处理的一种算法。
尽管这种算法有广泛的应用，但其求解量非常的庞大，且所获得动力学求解方程也非常的复杂。
(2)有限段法。
这种算法主要是针对于一些细长的零件的描述。
将细长的零件进行分段，并将分段后的优先段作为刚体进行描述。
因此，有限段法的描述具有时变性、且只能够适用于小应变假设。
1.2 拟态综合法通过对系统中的子结构进行拟态，并综合拟态结果，构成整个系统的拟态。
这个过程是依靠于自由振动的特征值的求解来实现的，主要用于连杆变形的描述。
这种方法的计算量很少，所以计算速率很高，且方法简单。
但基于这种描述上的机械手臂的控制方案存在稳定性的问题。
2 建立动力学方程机械手臂的动力学模型主要分为连续动力学模型和离散动力学模型。
但无论是那种动力学模型的建立，都需要以矢量力学法和分析力学法作为基础研究方法进行研究。
常见的和比较成熟的动力学方程式是Newton-Euler公式和Lagrange方程。
此外还有变分原理、虚位移原理等。
2.1 Newton-Euler公式Newton-Euler公式可以很完整的表达系统的受力关系，是根据质心动量矩定理而来的隔离体动力方程，是很多动力学模型的规范形式，也是构建动力学模型的主要手段之一。
柔性机械臂动力学建模研究进展
第２１卷第１２期２０２３年１２月动力学与控制学报J O U R N A L O FD Y N AM I C SA N DC O N T R O LV o l ．２１N o ．１２D e c ．２０２３文章编号:１６７２Ｇ６５５３Ｇ２０２３Ｇ２１(１２)Ｇ００５Ｇ０１７D O I :１０．６０５２/１６７２Ｇ６５５３Ｇ２０２３Ｇ１３１㊀２０２２Ｇ１２Ｇ１５收到第１稿,２０２３Ｇ０１Ｇ２７收到修改稿．∗国家自然科学基金资助项目(１１９３２０１５,１２２７２０９６)和上海市基础研究特区计划项目(２１T Q １４００１００Ｇ２２T Q ００９),N a t i o n a lN a t u r a l S c i e n c eF o u n d a t i o no f C h i n a (１１９３２０１５,１２２７２０９６)a n d t h e S h a n g h a i P i l o t P r o g r a mf o r B a s i cR e s e a r c h ＧF u d a nU n i v e r s i t y (２１T Q １４００１００Ｇ２２T Q ００９)．†通信作者E Ｇm a i l :j i a n _x u ＠f u d a n ．e d u ．c n柔性机械臂动力学建模研究进展∗方虹斌１,２㊀郑立１,２㊀张琦炜１,２㊀郭丁旭３㊀张舒３㊀徐鉴１†(１．复旦大学智能机器人研究院,上海㊀２００４３３)(２．复旦大学义乌研究院,义乌㊀３２２０００)(３．同济大学航空航天与力学学院,上海㊀２０００９２)摘要㊀刚性机械臂由于其较高的工作精度和重复性㊁较强的承载能力,已广泛应用于危险或相对单一㊁重复性高工作场景．但刚性机械臂的结构及运作方式不够灵活,无法适用于不定型㊁非标准㊁狭窄空间等生产场景．最近几年,柔性机械臂因其结构柔性㊁作业空间大㊁人机交互安全等优点而受到广泛关注,有希望应用于医疗㊁服务和智能制造等领域．但柔性机械臂结构柔软,运动比较自由,在作业过程中柔性效应不可忽略,这对其高精度控制提出了重大挑战．柔性机械臂控制的核心科学问题之一是建立包含结构柔性特征和动态特性的高精度动力学模型．为此,本文对柔性机械臂运动学建模和动力学建模研究进行了综述．作为动力学建模的基础,本文首先综述了柔性机械臂的运动学建模方法,主要介绍了曲率法㊁伪刚体运动学(P R B )方法㊁基于C o s s e r a t 杆的运动学建模方法㊁结构几何分析方法㊁D e n a v i t ＧH a r t e n b e r g (D ＧH )法及坐标法㊁数据驱动和机器学习方法等．随后,本文详细综述了柔性机械臂的动力学建模方法,主要包括集中参数系统法㊁假设模态法㊁有限元法．最后,本文简述了目前柔性机械臂动力学研究的主要内容,并对未来研究做出展望．关键词㊀柔性机械臂,㊀机器人运动学,㊀机器人动力学,㊀动力学模型,㊀多体动力学中图分类号:O ３１３．７文献标志码:AR e s e a r c hP r o g r e s s o nD y n a m i c sM o d e l i n g of F l e x i b l eR o b o t i cA r m s :AR e v i e w ∗F a ng H o n g b i n １,２㊀Z h e n g L i １,２㊀Z h a n g Q i w e i １,２㊀G u oD i n g x u ３㊀Z h a n g Sh u ３㊀X u J i a n １†(１．I n s t i t u t e o f I n t e l l i g e n tR o b o t i c s ,F u d a nU n i v e r s i t y ,S h a n g h a i ㊀２００４３３,C h i n a )(２．Y i w uR e s e a r c h I n s t i t u t e ,F u d a nU n i v e r s i t y ,Y i w u ,Z h e j i a n g㊀３２２０００,C h i n a )(３．S c h o o l o fA e r o s p a c eE n g i n e e r i n g a n dA p p l i e d M e c h a n i c s ,T o n g j iU n i v e r s i t y ,S h a n gh a i ㊀２０００９２,C h i n a )A b s t r a c t ㊀R i g i d r o b o t i c a r m s h a v eb e e nw i d e l y u s e d i n r i s k y o r s i n g l e ,r e pe t i t i v ew o r ks i t u a t i o n sd u e t o t h e i r h i g hw o r k a c c u r a c y a n d r e p e a t a b i l i t y ,a n d s t r o n g l o a d b e a r i n g c a p a c i t y．H o w e v e r ,t h e s t r u c t u r e a n d o p e r a t i o no f r i g i d r o b o t i c a r m s a r e n o t f l e x i b l e e n o u g h t o b e a p pl i e d t o s o m e p r o d u c t i o n s c e n a r i o s s u c h a s u n s t r u c t u r e d ,n o n Ｇs t a n d a r d ,a n dc o n f i n e ds pa c e s ．I nr e c e n t y e a r s ,f l e x ib l er o b o t i ca r m sh a v ea t t r ac t ed w i de s p r e a da t t e n t i o nd u e t o t h e i r s t r u c t u r a l p l i a b i l i t y ,e x t e n s i v e o p e r a t i o n a l s p a c e ,a n d s af e t y o f h u m a n Ｇm a c h i n e i n t e r a c t i o n ,w i t h p r o m i s i ng a p p l i c a t i o n s i n th e fi e l d s o fm e d i c a l ,s e r v i c e ,a n d i n t e l l i ge n tm a n u Ｇf a c t u r i ng ．H o w e v e r ,th e s o f t s t r u c t u r e a n d f r e em o v e m e n t o f f l e xi b l e r o b o t i c a r m sm e a n t h a t t h e i r f l e x Ｇu r a l e f f e c t s c a n n o t b e i g n o r e dd u r i n g o p e r a t i o n s ,p o s i n g s i g n i f i c a n t c h a l l e n g e s f o r h i g h Ｇpr e c i s i o n c o n t r o l ．O n e o f t h e c o r e s c i e n t i f i c p r o b l e m s i nt h ec o n t r o l o f f l e x i b l e r o b o t i ca r m s i s t h ee s t a b l i s h m e n to fh i gh Ｇp r e c i s i o nd y n a m i cm o d e l s t h a t i n c o r p o r a t e s t r u c t u r a l f l e x i b i l i t y f e a t u r e s a n dd yn a m i c c h a r a c t e r i s t i c s ．T o t h i s e n d ,t h i s p a p e r r e v i e w s t h e r e s e a r c ho n t h e k i n e m a t i cm o d e l i n g a n d d y n a m i cm o d e l i n g of f l e x i b l e r o Ｇb o t i c a r m s ．A s a f o u n d a t i o n f o r d y n a m i cm o d e l i ng ,thi s p a p e r f i r s t l y s u mm a r i z e s t h e k i n e m a t i cm o d e l i n g动㊀力㊀学㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报２０２３年第２１卷m e t h o d s o f f l e x i b l e r o b o t i c a r m s,m a i n l y i n t r o d u c i n g t h e c u r v a t u r em e t h o d,P s e u d oＧR i g i dB o d y(P R B) k i n e m a t i c s,k i n e m a t i cm o d e l i n g b a s e do nC o s s e r a t r o d s,s t r u c t u r a l g e o m e t r y a n a l y s i s,D e n a v i tＧH a r t e nＧb e r g(DＧH)m e t h o da n dc o o r d i n a t e m e t h o d,a n dd a t aＧd r i v e na n d m a c h i n e l e a r n i n g a p p r o a c h e s．S u b s eＧq u e n t l y,t h e p a p e r p r o v i d e s ad e t a i l e do v e r v i e wo f d y n a m i cm o d e l i n g m e t h o d s f o r f l e x i b l e r o b o t i c a r m s, p r i m a r i l y i n c l u d i n g t h e l u m p e d p a r a m e t e r s y s t e m m e t h o d,a s s u m e d m o d e sm e t h o d,a n df i n i t ee l e m e n t m e t h o d．F i n a l l y,t h i s p a p e r o u t l i n e s t h em a i nc o n t e n t o f f l e x i b l e r o b o t i c a r md y n a m i c s r e s e a r c ha n do fＧf e r s p r o s p e c t s f o r f u t u r e s t u d i e s．K e y w o r d s㊀f l e x i b l e r o b o t i c a r m,㊀r o b o tk i n e m a t i c s,㊀r o b o td y n a m i c s,㊀d y n a m i cm o d e l,㊀m u l t i b o d yd y n a m i c s引言工业机械臂主要用于工业生产线等生产场景,完成指定的重复性㊁高精度和高质量的生产任务．为了保证机械臂作业的精度㊁稳定性和可靠性,机械臂需要以高刚度来抵抗外部载荷,而刚度的增加是以超出结构强度要求的质量来实现的．在功耗和灵活度等方面,高刚度机械臂被证明有着较大的不足．与刚性机械臂相比,柔性机械臂的结构柔韧性好㊁变形能力强㊁作业空间大㊁人机交互安全,适用于狭窄空间和非定型工作场景,最近受到了学术界和工程界的广泛关注．表１㊀E F R IＧC３S o R o资助的项目T a b l e１㊀P r o j e c t s f u n d e db y E F R IＧC３S o R oN o．P r o j e c t t i t l e A w a r d e d a m o u n t E x e c u t i o n p e r i o d １M i c r o nＧs c a l eM o r p h i n g S o f tＧR o b o t s f o r I n t e r f a c i n g W i t hB i o l o g i c a l S y s t e m sƔ２,０００,０００．００２０１９．１１~２０２３．１０２F u n c t i o n a lＧD o m a i nS o f tR o b o t sP r e c i s e l y C o n t r o l l e db y Q u a n t i t a t i v eD y n a m i cM o d e l s a n dD a t aƔ２,０００,０００．００２０１９．１０~２０２４．９３O v e r c o m i n g C h a l l e n g e s i nC o n t r o l o fC o n t i n u u mS o f tR o b o t s t h r o u g hD a t aＧd r i v e nD y n a m i cD e c o m p o s i t i o na n dL i g h tＧm o d u l a t e d M a t e r i a l sƔ２,０００,０００．００２０１９．１０~２０２４．９４M o d e lＧB a s e dD e s i g na n dC o n t r o l o f P o w e rＧD e n s eS o f tH y d r a u l i cR o b o t sf o rD e m a n d i ng a n dU n c e r t a i nE n v i r o n m e n t sƔ１,９９９,８７２．００２０２０．１~２０２３．１２５B e t w e e naS o f tR o b o t a n d aH a r dP l a c e:E s t i m a t i o na n dC o n t r o lA l g o r i t h m st h a tE x p l o i t S o f tR o b o t s＇U n i q u eA b i l i t i e sƔ１,９９９,９８４．００２０２０．１~２０２３．１２６３ＧDs u r f a c e c o n t r o l f o r o b j e c tm a n i p u l a t i o nw i t hs t r e t c h a b l em a t e r i a l sƔ２,０００,０００．００２０１９．９~２０２０．２７S a f eM e d i c a l C o n t i n u u m R o b o t s:S e n s i n g,C o n t r o l a n dF a b r i c a t i o nƔ１,９９９,９７５．００２０１９．９~２０２３．８８I n t e g r a t i o no fA v i a nF l i g h tC o n t r o l S t r a t e g i e sw i t hS e l fA d a p t i v eS t r u c t u r e s f o r S t a b l eF l i g h t i nU n k n o w nF l o w sƔ２,０００,０００．００２０２０．１~２０２４．１２９C o n t r o l o fL o c a l C u r v a t u r e a n dB u c k l i n g f o rM u l t i f u n c t i o n a lT e x t i l eＧB a s e dR o b o t sƔ２,０００,０００．００２０１９．１０~２０２３．９T o t a l f u n d i n gƔ１７,９９９,８３１．００㊀㊀２０１８年和２０１９年,美国国家科学基金会(N S F)和美国空军科学研究办公室(A F O S R)连续两年在前沿研究计划(E m e r g i n g F r o n t i e r si n R e s e a r c ha n d I n n o v a t i o n,E F R I)框架下发布了以 连续㊁顺应和可重构的软体机器人工程(C o n t i n uＧu m,C o m p l i a n t,a n d C o n f i g u r a b l eS o f tR o b o t i c s E n g i n e e r i n g,C３S o R o) 为主题的研究方向．E F R IＧC３S o R o共资助项目９项,总计资助经费约１８００万美元,平均每项经费约为２００万美元,项目周期３~５年,项目研究涵盖新型软体机器人设计与制备,软体机器人力学建模㊁软体机器人传感与控制等(表１)．我国也高度重视柔性机器人这一前沿研究领域,在多个国家重大研究计划中立项支持．２０１６年, 共融机器人基础理论与关键技术 重大６第１２期方虹斌等:柔性机械臂动力学建模研究进展研究计划在国家自然科学基金委获批,其重点研究的关键科学问题之一即是 刚－柔－软体机器人的运动特性与可控性 ,并尤其关注刚－柔－软机器人构型设计及力学行为解析． 十四五 国家重点研发计划 智能机器人 重点专项也高度关注柔性机器人技术,设立了柔性集成制造系统㊁柔性外科手术机器人㊁柔性焊接机器人㊁柔性精密传动等研究方向,并重点考核与柔性相关的运动自由度㊁定位精度㊁力感知精度等技术指标．在上述重大研究计划的资助下,柔性机械臂的设计㊁建模和控制研究取得了长足发展．图１展示了在W e bo fS c i e n c e (WO S)数据库中,以 f l e x i b l e/s o f tm a n i p u l a t o r 或 f l e x i b l e/s o f t r o b o t i c a r m 为主题的期刊㊁会议和综述论文等的数目及其引用量在２００８年至２０２２年间的演变趋势．近１５年来,在柔性机械臂领域发表的论文数目增长了近６倍,于２０２２年达到了２２００余篇,引用量从２００８年的４０次跃升到２０２２年的４０２７３次,这充分表明了学术界对柔性机械臂这一前沿研究领域的关注．机械臂的柔性来源包括连杆柔性和关节柔性．本文主要讨论柔性连杆机械臂,而关节柔性的相关研究不在本文关注范围,读者可以参考相关综述论文[１Ｇ３]．最近几年,各种柔性机械臂的设计不断涌现并被尝试应用于不同场景．例如,新型超冗余管状机械臂[４]通过具有可变中性轴机构和可调刚度,保证了机械臂的操作精度和高有效载荷能力[图２(a)]．从头足类章鱼获得灵感,学者们提出了气驱动和绳驱动结合的柔性机械臂设计[５],两种驱动的融合导致了整体的拮抗驱动机制,气驱动和绳驱动利用类似章鱼手臂的纵向和横向肌肉的运动方式,实现了多种运动模式,包括弯曲㊁拉伸㊁收缩和变硬．在医疗领域运用中,常见的柔性机械臂包括模块化柔性机械臂㊁连续体机械臂和蛇形机械臂等,它们具有高灵活性㊁结构柔性和操作安全性,可用于微创和外科手术[６Ｇ８];为保证外科手术中激光传输的精确性,F a n g等人[９]提出了一种流体驱动的柔性机械臂系统[图２(b)],其能够在粘膜上进行精细㊁精确和可重复的激光点控制．与传统的离散体机械臂相比,连续体机械臂不仅具有更高的自适应和避障能力,在抓取不同尺寸物体方面也具有明显优势．为实现柔性机械臂与不同曲率的非结构化环境的交互,M a等人[１０]提出了一种仿象鼻气动柔性机械臂,通过调节局部刚度来适应变化曲率的环境[图２(c)];L i u等人[１１]提出了一种约束极少的新型象鼻机械臂,简化了操作过程中对传感和控制系统的要求．此外,还有学者提出了受折纸启发的柔性机械臂:K a u f m a n n等人[１２]利用双稳态折纸结构构建机械臂,有效降低了柔性机械臂的控制要求;J e o n g等人[１３]基于折纸塔设计了一种三指机械臂,并证明了其能有效抓取易碎物体;基于折纸结构变大小㊁变形状和变刚度的特性,Z h a n g等人[１４]设计的折纸机械臂实现了多种变形模式,如弯曲㊁扭转㊁伸缩以及他们的组合[图２(d)]．(a)WO S数据库以f l e x i b l e/s o f tm a n i p u l a t o r或f l e x i b l e/s o f t r o b o t i c a r m为主题的论文发文量(a)P u b l i c a t i o n s i n f l e x i b l e/s o f tm a n i p u l a t o r o r f l e x i b l e/s o f tr o b o t i c a r mi n t h eWO Sd a t a b a s e(b)WO S数据库以f l e x i b l e/s o f tm a n i p u l a t o r或f l e x i b l e/s o f t r o b o t i c a r m为主题的论文引用量(b)C i t a t i o n s t o p u b l i c a t i o n s i n f l e x i b l e/s o f tm a n i p u l a t o r o rf l e x i b l e/s o f t r o b o t i c a r mi n t h eWO Sd a t a b a s e图１㊀以f l e x i b l e/s o f tm a n i p u l a t o r或f l e x i b l e/s o f t r o b o t i c a r m为主题的研究发展历程分析F i g．１㊀A n a l y s i s o f t h e d e v e l o p m e n t p r o c e s s o f f l e x i b l e/s o f t m a n i p u l a t o rＧt h e m e do r f l e x i b l e/s o f t r o b o t i c a r mＧt h e m e d r e s e a r c h尽管柔性机械臂具有许多刚性机械臂所不具有的优点,但其也面临着由于结构柔性效应增加而产生的精度降低和振动问题．因此,柔性机械臂的研究必须充分考虑结构的柔性特征,柔性机械臂的高精度控制也需要考虑其动力学特性．开展柔性机７动㊀力㊀学㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报２０２３年第２１卷械臂动力学和高精度控制研究的前提是建立其动力学模型,但柔性机械臂是一个复杂的动力学系统,具有非线性㊁强耦合和时变等特点,这使得柔性机械臂的动力学建模极具挑战．尽管柔性机械臂具有广阔的应用前景,但其结构刚度低,容易引起振动问题,针对不同场景也常需要进行专门的结构设计和分析,缺乏一般性理论．对于柔性机械臂这一高复杂度系统,精确的运动学模型能够对机械结构设计起到关键的指导作用,而有效的动力学模型则有助于获得更好的控制效果．因此,柔性机械臂研究的一个重要方向就是运动学和动力学建模,以及在此基础上的设计方案和控制策略．但是,柔性机械臂是一类典型的连续动力学系统,其模型可以由非线性偏微分方程描述,模型的精确求解非常困难,无限维模型也对控制方案的设计施加了许多限制．为解决上述难题,学者们提出了多种等效动力学建模方法来解决柔性机械臂的大变形预测㊁振动预测与控制㊁运动规划和高精度位姿控制等问题．尽管取得了一些进展,柔性机械臂动力学建模的方法框架尚不成熟和完备,相关研究依然面临较大挑战,但也充满机遇．作为动力学建模的基础,本文首先介绍柔性机械臂的常用运动学建模方法;随后详细介绍柔性机械臂的动力学建模方法,并概述当前柔性机械臂动力学的主要研究内容．最后,本文梳理柔性机械臂动力学领域值得关注的若干问题,为相关的研究者提供参考．图２㊀不同场景下的柔性机械臂．(a)新型超冗余管状机械臂[４],(b)激光外科手术机械臂[９],(c)象鼻机械臂[１０],(d)折纸连续体机械臂[１４]F i g．２㊀F l e x i b l e r o b o t i c a r m s i n d i f f e r e n t s c e n e s．(a)N e wu l t r aＧr e d u n d a n t t u b u l a r r o b o t i c a r m[４],(b)L a s e r s u r g i c a l r o b o t i c a r m[９],(c)E l e p h a n t t r u n k r o b o t i c a r m[１０],(d)O r i g a m i c o n t i n u u mr o b o t i c a r m[１４]１㊀运动学建模相比于刚性机械臂,柔性机械臂的运动学具有数学描述复杂㊁非线性强㊁逆解多解性等难题,解决这些问题的前提是建立柔性机械臂的运动学模型．本节简要介绍了柔性机械臂的运动学建模方法,引用了介绍相关方法的文献．柔性机械臂的柔性杆常被假设为广义欧拉－伯努利梁[１５],在此基础上,学者们提出了一系列运动学建模方法,包括曲率法㊁伪刚体运动学(P s e u d oＧR i g i dB o d y,P R B)㊁基于C o s s e r a t杆的运动学建模㊁结构几何分析㊁D e n a v i tＧH a r t e n b e r g(DＧH)表示法及坐标法,以及机器学习及数据驱动方法．１．１㊀曲率法在连续体机械臂的运动学建模中,常基于恒定曲率假设来简化模型．常曲率常被认为是连续体机器人的理想几何特性,可以有效简化运动学建模．恒定曲率假设不能完全描述柔性机械臂的运动学,可变曲率假设虽然可以更准确地描述连续体机械臂的运动学,但其过程更加复杂．可变曲率多截面连续体机械臂的运动学建模和分析还存在许多难题,包括复杂的矩阵计算㊁奇点问题㊁不可伸缩性以及在某些情况下无法找到数值解等[１６]．图３㊀柔性机械臂运动学简化模型．(a)P H曲线的边界条件[１７],(b)中性骨架和双支点柔性关节连续机器人的运动学参数[１８],(c)象鼻状机械臂[１９],(d)刚㊁柔性骨干的线㊁恒定曲率模型[２０] F i g．３㊀S i m p l i f i e d k i n e m a t i c sm o d e l o f f l e x i b l em a n i p u l a t o r．(a)B o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r P Hc u r v e s[１７],(b)K i n e m a t i c p a r a m e t e r s o f a c o n t i n u o u sr o b o tw i t h a n e u t r a l s k e l e t o n a n d d u a l p i v o t f l e x i b l e j o i n t s[１８],(c)E l e p h a n t t r u n k r o b o t i c a r m[１９],(d)L i n e a r,c o n s t a n tc u r v a t u r em ode l sf o r r ig i d a n d f l e x i b l e b a c k b o n e s[２０]S i n g h等人采用基于毕达哥拉斯曲线的定量建模方法[１７]建立了具有可变曲率的连续体机械臂８第１２期方虹斌等:柔性机械臂动力学建模研究进展模型[图３(a )],并以此为基础进行逆运动学问题求解．B a r r i e n t o s ＧD i e z 等人基于驱动空间和构型空间的运动学建模方法[１８]给出了两端固定㊁具有中心支撑轴和柔性关节的连续机械臂的运动学参数[图３(b)],仿真/实验结果表明该方法有效降低了计算需求．M i s h r a 等人[１９]采用椭圆积分方法建立了仿生连续体机械臂的可变曲率运动学模型[图３(c )]．基于分段恒定曲率模型,W a n g 等人[２０]比较了柔性骨干中的线模型㊁柔性骨干中的恒定曲率模型㊁刚性骨干中的线模型和刚性骨干中的恒定曲率模型[图３(d )],在提高建模精度的同时实现了动力学模型的快速解耦．L u 等人[２１]基于恒定曲率假设并结合D ＧH 方法㊁泰勒级数和四元数,建立了柔性机械臂的正运动学模型,并推导出了逆运动学的近似解析解．在无负载或小负载条件下,L i 等人[２２]基于恒定曲率假设建立了线驱柔性机械臂的运动学模型．针对多连杆柔性机械臂,M a r c h e s e 等人[２３]采用片状恒定曲率假设对柔性机械臂进行了运动学建模．为分析柔性机械臂的局部变形,G i o r e l l i 等人[２４]采用分段恒定曲率假设建立了柔性机械臂的静态变形模型．为避免奇点问题,Y a n g 等人[２５]采用分段恒定曲率近似处理的方法建立了连续体机械臂的非恒定曲率的正㊁逆动力学模型(图４):图４㊀连续体机械臂的几何关系[２５]F i g ．４㊀G e o m e t r i c r e l a t i o n s h i ps o f t h e c o n t i n u u mr o b o t i c a r m [２５]i －１i T ＝R (Z ,ψi )R (X ,θi )L iθi c o s θi －１s i n θi ０éëêêêùûúúú０１éëêêêêêùûúúúúúR (Z ,－ψi )(１)其中,i －１i T 是第i 个节段对第i －１个节段的齐次变换矩阵,L i 是第i 个节段的长度;ψi 为轴向旋转角,θi 为轴向偏转角,T (Z ,ʃψi )为绕z 轴旋转的旋转变换矩阵．考虑弹性的影响,R u n ge 等人[２６]运用曲率法以求解变直径的柔性机械臂的运动学方程．针对超弹性材料制成的连续体机械臂,Z h a o 等人[２７]提出了位移补偿法以得到其逆运动学的闭式解．１．２㊀伪刚体运动学(P R B )模型及基于C o s s e r a t 杆的运动学模型连续体机械臂在运动过程中会连续变形,而学者们已经建立了运动学模型来描述柔性体的弹性变形．基于柔性体静力学中的伪刚体理论,P R B 模型先将机械臂的柔性连杆近似为由传统的旋转关节㊁万向节关节或球形关节连接的刚性连杆,然后将柔性机械臂简化成由n 个关节连接的n ＋１个均匀间隔的刚性连杆．相比而言,基于C o s s e r a t 杆的运动学模型可以更为精确地描述机械臂柔性杆的变形特征,包括其延展㊁剪切㊁弯曲和扭转这四种应变．C a m pi s a n o 等人[２８]分别用P R B 方法和C o s s Ｇe r a t 杆模型建立了由水射流驱动的柔性连续体机械臂H y d r o J e t 的运动学模型,并给出了每个关节的内部弯矩和挠度角之间的关系(图５):τi ＝K i ωi θi ＝k i ,x ０００k i ,y ０００k i ,z éëêêêêùûúúúúωi x θi x ωi y θi y ωi z θi z éëêêêêùûúúúú(２)其中τi ɪℝ３代表内部弯矩的矢量,K i 是第i 个关节的刚度矩阵,ωi 是第i 个关节上的正交轴矢量,θi 是第i 个关节绕各轴旋转的角度矢量．伪刚体理论模型主要侧重于平面静态建模,它准确地描述了柔性体的大变形,计算效率高．V e n Ｇk i t e s w a r a n 等人[２９]利用伪刚体建模方法得到了连续体机械臂在多重外载荷下的静力学方程．针对由弹性中心轴组成的连续体机械臂,H u a n g 等人[３０]运用了基于P R B 理论的三维静态建模方法来建立运动学模型．针对平面连续体机械臂,K u o 等人[３１]运用了伪刚体模型方法来分析其运动学．T r i v e d i 等人[３２]建立的动力学模型充分考虑了柔性机械臂中非线性㊁自身重量和有效载荷等影响因素．将连续体机械臂视为多个具有耦合边界条件的C o s s e r a t 杆,T i l l 等人[３３]提出了柔性机械臂逆运动学的数值求解方法．同样基于C o s s e r a t 理论,M a 等人[３４]将柔性机械臂分为多段,然后依次建立了各段的动力学模型．针对具有高自由度的仿章鱼触手柔性机械臂,N i u 等人[３５]推导出了柔性机械臂９动㊀力㊀学㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报２０２３年第２１卷闭式方程的解析解．图５㊀连续体机械臂H y d r o J e t运动学模型[２８]．(a)连续体机械臂H y d r o J e t,(b)C o s s e r a t框架,(c)P R B框架F i g．５㊀K i n e m a t i cm o d e l o f c o n t i n u u mr o b o t i c a r m H y d r o J e t[２８]．(a)C o n t i n u u mr o b o t i c a r m H y d r o J e t,(b)C o s s e r a t f r a m e w o r k,(c)P R B f r a m e w o r k１．３㊀几何结构分析针对连续体机械臂在小载荷下发生大变形的问题,基于分段恒定曲率假设的计算过于复杂,因此,学者们通过几何结构分析来推导末端执行器的位置方程．为得到柔性机械臂末端执行器的准确位置,K a r i m i等人[３６]考虑了柔性关节处的变形,推导出了末端位置的表达式[图６(a)]．针对在载荷作用下机械臂的静力学平衡和结构产生的刚度变化, Z h a o等人[３７]建立了基于平面双三角形张拉机构的多连杆柔性机械臂的运动学模型．B a r r i e n t o s等人[１８]将麦克劳林一阶展开应用于柔性机械臂,建立了机械臂的分段线性化运动学模型．为避免连续体机械臂中的奇点问题,A l l e n等人[３８]建立了机械臂柔性关节部分的闭式运动学方程[图６(b)]．L e e 等人[３９]通过几何方法推导了柔性机械臂的运动学方程,并通过实验验证了运动学模型的准确性．折纸机械臂是柔性机械臂中较为新颖的一类．结合折纸结构的柔性机械臂的复杂性在于折纸刚性面围绕折痕线的旋转,这些折痕线可等效为渐进式关节．而折纸的刚性折叠运动是由各个顶点的运动共同决定的．因此,建立一个运动学模型以及确定单个顶点的刚性折叠性条件,在折纸机械臂的设计中显得尤为重要．基于折纸末端点的运动学与底层的三角形各点的关系,Z i mm e r m a n n等人[４０]提出了三单元原理,为折纸机械臂的运动学建模提供了方法．S t a n k o v i cᶄ等人[４１]通过球形余弦定律推导出了折纸未知二面角的解析表达式,并利用刚性可折叠性得出了机械臂运动学模型．C h e n等人[４２]将机械臂的折纸单元简化为等边三角形,通过几何形状之间的关系建立了机械臂运动学模型．图６㊀柔性机械臂的几何结构分析．(a)主动柔性针的偏转柔性关节的运动学参数[３７],(b)恒定曲率截面[３９]F i g．６㊀G e o m e t r i c s t r u c t u r e a n a l y s i s o f f l e x i b l em a n i p u l a t o r．(a)K i n e m a t i c p a r a m e t e r s o f t h e d e f l e c t e d f l e x i b l e j o i n t o f a na c t i v ef l e x i b l e n e e d l e[３７],(b)C o n s t a n t c u r v a t u r e s e c t i o n[３９]１．４㊀D e n a v i tＧH a r t e n b e r g法(DＧH法)相较于传统刚性机械臂,柔性机械臂由多个柔性单元串联组成,它的运动学模型更加难以建立准确．DＧH法通过将笛卡尔空间转换为关节空间来建立运动学模型,而这种空间变换对柔性机械臂的逐点控制是必要的．W a n g等人[４３]运用DＧH法简化了多关节连续体机械臂,并构建了关节空间的运动学模型(图７)．针对蛇形柔性机械臂,O m i s o r e等人[４４]使用DＧH 法解决了正㊁逆运动学问题．针对一种多段柔性机械臂,L u等人[２１]结合DＧH方法㊁泰勒级数和四元数,推导了逆运动学的近似解析解．C h a w l a等人[４５]通过DＧH法得到了多关节串联机械臂从关节空间０１第１２期方虹斌等:柔性机械臂动力学建模研究进展到笛卡尔空间的映射关系．图７㊀连续体机械臂的D ＧH 坐标系[４４]F i g ．７㊀D ＧHc o o r d i n a t e s ys t e mo f a c o n t i n u u mr o b o t a r m [４４]图８㊀逆运动学使用的神经网络模型[４６]F i g．８㊀N e u r a l n e t w o r km o d e l s u s e d i n i n v e r s ek i n e m a t i c s [４６]１．５㊀机器学习及数据驱动方法与基于模型的方法相比,无模型方法的计算成本较低．但机器学习需要在柔性机械臂上进行大量实验才能获得学习集,再用于训练柔性机械臂的运动学模型．通过无模型的机器学习方法,S h a s t r i 等人[４６]训练了多层神经网络,为柔性机械臂逆运动学方程提供近似解(图８),缩短了逆运动学求解的计算时间并降低了复杂度．为避免传统的机械臂逆运动学求解算法中大量的迭代计算过程,G a o 等人[４７]改进了反向传播神经网络,并用于柔性机械臂逆解的求解,提高了逆运动学方程求解的精度．为解决柔性冗余机械臂的逆运动学问题,C s i s z a r 等人[４８]采用了支持向量回归和混合机器学习策略,并进行了有效性的验证．结合极限学习机㊁高斯混合回归和K－最近邻回归三种回归方法,X u 等人[４９]运用数据驱动的方法建立了柔性机械臂的逆运动学模型．对于可变曲率柔性机械臂,学者运用单节迭代方法[１６]来解决逆运动学问题．考虑刚柔耦合的变直径柔性机械臂的压力㊁载荷等因素,Y a n g 等人[２５]采用深度神经网络解决了逆运动学求解问题．２㊀柔性机械臂动力学建模柔性连杆机械臂是具有无限个自由度的连续动力学系统,其控制由非线性㊁强耦合的常微分方程和偏微分方程实现,而求出这种数学模型的精确解通常是不可行的．通常采用假定模态㊁有限元或集中参数方法对柔性连杆离散化,再利用拉格朗日方程建立动力学模型．M y 等人[５０]采用假设模态法和有限元法将柔性连杆离散化,再利用欧拉－伯努利方程推导梁的动力学方程,最后通过拉格朗日方程得出了柔性机械臂的动力学方程．A t a 等人[５１]在切向坐标系和虚拟链路坐标系中,使用扩展的哈密尔顿原理对具有末端质量的单连杆柔性机械臂进行动力学分析．S u b e d i 等人[５２]用位移矢量和旋转矩阵来建立平面三连杆柔性机械臂的运动学模型,最后使用拉格朗日方法推导出了动力学方程:㊀M (q )q ＋C (q ,q )＋G (q )＋K q ＋D q＝τ(３)其中M (q )是惯性矩阵,C (q ,q)是科里奥利力和离心力的矢量阵,G (q )是重力矩阵,K 是刚度矩阵,D 是关节粘性摩擦和连杆结构的阻尼矩阵,τ是作用机械臂上的广义力,q 是广义坐标向量．２．１㊀集中参数法集中参数法是指由有限个惯性元件㊁弹性元件及阻尼元件等组成的用常微分方程来描述的离散系统．该方法建立的模型形式简单,并且在处理小挠度的单连杆柔性机械臂的动力学问题时精度较高．在集中参数法中,任何柔性接头都被认为是用来储存势能的弹性元件,任何柔性连杆都将被等效为一个质量－弹簧－阻尼系统．R o n e 等人[５３]使用一组有限的运动学变量描述柔性机械臂的曲率变化,建立了动力学模型来解释柔性机械臂的惯性㊁驱动㊁摩擦㊁弹性和重力效应．针对非线性动力学参数未知的柔性机械臂,Q i等人[５４]提出了灰盒分布式参数建模方法,建立了一个n 维的O D E 系统:m D a(t )＋c D a(t )＋E I G a (t )＋f [a (t ),q (t )]＝－[m H q (t )＋c H q(t )＋E I R q (t )](４)１１动㊀力㊀学㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报２０２３年第２１卷D k i ＝ʏL０φi (x )φk (x )d x ,G k i ＝ʏL０φi x x x x (x )φk (x )d x H k ＝ʏL ０g (x )φk (x )d x ,R k ＝ʏL ０g x x x x (x )φk (x )d x f k ＝ʏL ０f φk (x )d x ,a (t )＝a １(t ),a ２(t ), ,a n (t )[]T ìîíïïïïïï(５)其中非线性补偿项f [a (t ),q (t )]是位移的函数,φi (x )是第i 个特征函数,g (x )是满足边界条件的形函数,a i (t )是第i 个表示运动规律的时间函数,m 是机械臂的密度,c 是阻尼系数,E 是杨氏模量,I 是惯性矩,q (t )是垂直于机械臂轴线的外激励,D ɪRn ˑn,G ɪRn ˑn是相应矩阵的参数．考虑关节柔性,C o m i 等人[５５]基于集中参数系统法建立了柔性机械臂的数值模型．针对质量分布在末端的情况,M i s h r a 等人[５６]将柔性机械臂建模为可变曲率的弯杆和弹簧阻尼器．图９㊀柔性机械臂的集中参数法．(a)长度分布块状质量模型[５８],(b )原型导管的块状参数模型[６１],(c)柔性钓鱼竿块状参数模型[６３]F i g ．９㊀L u m p e d p a r a m e t e rm e t h o d f o r f l e x i b l em a n i pu l a t o r ．(a )L e n g t h Ｇd i s t r i b u t e d l u m pe dm a s sm o d e l [５８],(b )B l o c k p a r a m e t r i cm o d e l i n g of p r o t o t y pe c o n d u i t s [６１],(c )P a r a m e t r i cm o d e l i n g of f l e x i b l e f i s h i ng ro db l o c k s [６３]线性柔性机械臂的性能取决于基本振动模态,学者运用集中参数法[５７]将柔性杆离散化来构建动力学模型．为提高柔性机械臂模型的准确性,G o d Ｇa ge 等人[５８]提出了稳定模态的集中参数动力学模型[图９(a )]．H e 等人[５９]推导了自由端具有载荷的柔性机械臂的非线性动力学方程,并以常微分方程的形式对柔性臂杆进行了控制．对量化控制的问题,C a o 等人[６０]研究了具有量化输入的双连杆刚柔耦合机械臂的控制问题．考虑内摩擦的影响,J u n g 等人[６１]提出了一种包含非线性效应㊁摩擦的建模方法建立了柔性机械臂的动力学模型[图９(b )]．针对在质量高速运动的柔性机械臂,S a r k h e l等人[６２]将单连杆柔性机械臂构建为柔性钓鱼竿,采用了集中参数方法对柔性杆进行建模[图９(c )]．为提高柔性机械臂挠度描述的准确性,S u n 等人[６３]通过集中弹簧质量方法对系统进行了建模．为分析柔性机械臂的动力学,G i r i 等人[６４]使用模型单元(质量㊁弹簧和阻尼器)对连续体机械臂的局部进行了建模．针对柔性多连杆机械臂的轨迹跟踪与振动控制问题,G i o r gi o 等人[６５]应用集中参数法对连杆进行了离散化．将机械臂的弹性杆构建为成对的弹簧和阻尼器,A r k o u l i 等人[６６]为柔性机械臂的动力学建模提供一个框架．针对动力学实验的参数识别,K i m 等人[６７]提出了一个等效的集总元件系统,完善了柔性机械臂的伺服定位系统．为了解决柔性机械臂动力学模型计算复杂㊁精度低的问题,Z h a n g 等人[６８]提出了结合弹簧质量系统的柔性机械臂动力学模型．２．２㊀假设模态法柔性连杆机械臂在理论上具有无限自由度,而无限自由度到有限自由度是通过模态截断实现的．假设模态法(A s s u m e d M o d e s M e t h o d ,AMM )被广泛用于建立柔性连杆机械臂的有限自由度动力学模型．假设模态法是一种广义坐标近似法,将连续系统离散化,利用有限个已知的模态函数线性组合来近似确定系统的响应．在动力学模型的假设模态中,柔性连杆系统的柔性通常由截面的一组基于空间模态特征函数和时变模态振幅的有限模态函数组合来表示．学者利用模态振型函数和模态坐标来离散系统的动力学方程,再利用模态截断缩小方程的规模以便于柔性机械臂动力学的求解．柔性连杆机械臂是一个连续系统,它的动力学方程可表示为[６９]:w (x ,t )＝ð¥n ＝１W n (x )T n (t )(６)其中,n 为模态阶数(n ＝１,２, ¥);W n (x )为第n 阶模态振型函数,x 是与未变形的中性梁轴的距离;T n (t )为第n 阶模态的时间相关模态坐标．由于不可能包括系统的所有模态,假设模态法通过假设有限数量的模态来对系统进行建模,利用模态截断来重写方程,如下所示:w (x ,t )＝ðmn ＝１W n (x )T n (t )(７)m 为假设模态的模态截断阶数．在AMM 中,有许多可选择的边界条件．理想情况下,最佳的假设模２１。
机器人手臂动力学建模及系统动力学分析
机器人手臂动力学建模及系统动力学分析机器人手臂在工业生产中的应用越来越广泛，如汽车制造、飞机制造、电子工业等，但机器人手臂的运动和控制一直是一个研究的难点。
本文将介绍机器人手臂动力学建模及系统动力学分析方面的研究进展。
一、机器人手臂动力学建模机器人手臂动力学建模是机器人手臂运动学分析的进一步扩展，它对机器人手臂在特定工况下运动的动力学特征进行建模，求解机器人手臂各部分的运动学和动力学参数。
1. 机器人手臂运动学与动力学机器人手臂的关节运动可以用一组运动方程来描述，在机器人手臂运动学研究中，可以根据运动方程求出机器人手臂各部分的位置和速度。
但是机器人手臂在执行特定工况下的运动时需要考虑到力的作用，因此需要对机器人手臂的动力学特征进行建模。
机器人手臂的动力学特征可以用质点制定片段（元件）间相对运动方程和牛顿-欧拉动力学方程来进行描述。
质点片段相对运动方程是机器人手臂动力学建模的基础，通过它可以求解机器人手臂各部分的加速度以及各部分之间的运动关系。
而牛顿-欧拉动力学方程则用来描述机器人手臂部件的动态特征，对于不同工况下的机器人手臂运动，可以使用不同的动力学方程进行求解。
2. 机器人手臂运动学建模机器人手臂的运动学可以使用DH方法进行建模。
DH方法是指将机器人手臂的一系列关节和连接构件看作一个连续的系统，然后通过D（连杆长度）、A（自由度长度）、α（相邻关节连线夹角）和θ（相邻关节角度）这四个参数来描述机器人手臂的运动学特征。
机器人手臂的坐标系采用右手系，当机器人手臂的运动到某一特定位置时，可以通过求解其DH参数和转换矩阵来得到机器人手臂的各部分坐标。
在机器人手臂的运动学建模过程中，需要使用逆运动学求解算法，以确定机器人手臂各部分的运动方程。
3. 机器人手臂动力学建模机器人手臂的动力学建模需要考虑到不同工况下机器人手臂受到的外界力矩、加速度等因素，因此需要使用不同的动力学方程进行求解。
其中，最常用的是牛顿-欧拉动力学方程。
柔性机械臂的动力学建模与运动控制方法研究
柔性机械臂的动力学建模与运动控制方法研究柔性机械臂是一种结构具有柔性特点的机械臂，在实际应用中具有广泛的应用前景。
它灵活、轻巧，并能适应不同的环境和任务需求。
然而，由于柔性机械臂的特殊结构和柔性特性，其动力学建模和运动控制方法成为研究的重点之一。
一、柔性机械臂的动力学建模柔性机械臂的动力学建模是研究柔性机械臂运动规律和力学特性的基础。
传统的机械臂动力学建模方法通常基于刚体假设，忽略了柔性结构的影响。
而对于柔性机械臂来说，柔性结构会对机械臂的运动产生显著的影响，因此需要考虑柔性结构的动力学特性。
1.模态分析柔性机械臂的动力学建模中，模态分析是重要的一步。
通过模态分析，可以得到柔性机械臂的振型和频率响应特性，为后续的动力学建模提供基础。
模态分析可以借助实验测试和数值模拟方法进行。
2.拉格朗日方程拉格朗日方程是柔性机械臂动力学建模中常用的一种方法。
通过拉格朗日方程，可以将柔性机械臂的动力学方程转换为一组常微分方程，从而可以得到柔性机械臂的运动规律。
二、柔性机械臂的运动控制方法柔性机械臂的运动控制方法是研究如何控制柔性机械臂的运动轨迹和力的关键。
传统的控制方法通常基于刚体控制理论，无法很好地应用于柔性结构。
因此，针对柔性机械臂的特殊性，需要开发适应性强、鲁棒性好的运动控制方法。
1.自适应控制自适应控制方法适用于处理柔性机械臂的非线性和不确定性问题。
自适应控制通过实时调整控制参数，使控制系统能够适应柔性结构的变化，从而实现更好的运动控制效果。
2.模糊控制模糊控制方法通过建立模糊推理规则，将模糊逻辑应用于控制系统中，从而实现柔性机械臂的运动控制。
模糊控制方法具有较好的鲁棒性和适应性，可以应对柔性机械臂动态特性变化较大的情况。
3.神经网络控制神经网络控制方法基于神经网络的非线性映射能力和自适应学习能力，可以对柔性机械臂进行较为精确的运动控制。
通过训练神经网络，使其能够识别柔性机械臂的动态特性，并实现运动控制目标。
空间柔性机械臂的动力学建模和分析
工学硕士学位论文
空间柔性机械臂的动力学建模和分析
硕 士 研 究 生： 魏 导
进
师： 梁廷伟 高工
申 请 学 位 ： 工学硕士 学 科： 一般力学与力学基础
所 在 单 位： 航天学院 答 辩 日 期： 2013 年 7 月 授予学位单位 ： 哈尔滨工业大学
Classified Index: O326，V11 U.D.C: 531.3, 34.1- III -
哈尔滨工业大学工学硕士学位论文
目
摘
录
要 ..........................................................................................................................I 论 ........................................................................................................... 1
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哈尔滨工业大学工学硕士学位论文
determined. Through the frequency equation presented in this article, a study on the variation of natural frequencies with the time-varying elbow angles is performed using a two-link flexible manipulator with a set of typical geometrical parameters and material constants. Thus we can predict the tendency and range of the system natural frequency. Keywords: flexible manipulator, flexible-joint, natural frequencies , global mode shapes
柔性机械臂动力学建模与振动分析
柔性机械臂动力学建模与振动分析作者：邓云江来源：《中国新技术新产品》2014年第10期摘要：本文采用假设模态法和Lagrange方程建立了柔性机器人连杆的动力学模型，利用数值仿真，对比分析了截取模态的阶数对连杆振动的影响，结果表明，三阶模态截断可以得到较良好的振动响应分析结果。
仿真结果还表明，柔性机器人连杆的结构参数对系统振动的影响，适当增加连杆截面高度可以有效抑制其振动和弹性变形。
末端集中质量会对连杆振动产生较大影响。
仿真结果表明，集中质量越大，连杆振动也越剧烈。
关键词：柔性机器人连杆；动力学模型；模态截断；振动；弹性变形中图分类号：TP391 文献标志码：A柔性机器人具有操作速度快、能量消耗少、构件紧凑、载荷质量比大等优点。
但是，由于其连杆弹性变形，容易产生高频弹性振动，且其末端运动往往偏离较大。
近年来，柔性机器人连杆的弹性振动问题十分突出。
例如空间站航天器的柔性附件在展开过程中诱发的振动可使航天器的姿态失稳，为避免造成大的振动而使得展开过程达6-8小时。
柔性边杆在产生弹性振动时，能导致后续执行动作的精准度产生较大误差，从而使执行速度减慢，甚至使结构产生过早的疲劳破坏。
对柔性机器人连杆振动分析必须首先建立一个动力学模型。
在柔性多体系统动力学中，主要的建模方法有运动-弹性力学法、子结构（假设模态）法、浮动参考坐标方法、有限段法、有限元法、绝对节点坐标方程法等。
本文主要分析柔性机器人连杆的弹性振动问题，首先利用假设模态法和Lagrange方程建立单个柔性连杆的动力学方程，然后进行数值仿真，分析连杆机构参数以及末端集中质量等对其振动的影响。
1柔性连杆动力学建模平面内做回转运动的柔性机器人连杆。
设 Oxy为固连在柔性机器人连杆上的参考坐标系；l为柔性机器人连杆(梁)的长度, h为截面高度；b为截面宽度；τ为电机的驱动力矩；θ为柔性机器人连杆的关节转角。
在对柔性机器人连杆(梁)进行动力学建模时，作Euler-Bernoulli柔性梁假设：( 1 )只考虑横向振动，忽略其轴向变形和剪切变形等；( 2 )横向振动为小变形；( 3 )柔性机器人连杆(梁)的长度远大于其截面尺寸。
柔性机械臂的动力学建模与控制
柔性机械臂的动力学建模与控制柔性机械臂是一种具有高度灵活性和适应性的机械臂，其由柔性材料制成的关节和连接件使得其能够在复杂环境中完成各种任务。
然而，由于柔性机械臂的非线性特性和复杂结构，其动力学建模和控制成为了一个具有挑战性的问题。
首先，我们需要对柔性机械臂的动力学进行建模。
动力学建模是指通过建立系统的数学模型来描述其运动学和动力学特性。
对于柔性机械臂而言，其动力学建模主要包括关节运动学和柔性杆件的挠度分析。
关节运动学描述了机械臂各个关节的位置、速度和加速度之间的关系，而柔性杆件的挠度分析则是通过考虑杆件的自由度和弯曲刚度来描述其挠度变化。
在动力学建模的基础上，我们可以进一步进行控制设计。
控制是指通过对机械臂的输入信号进行调节，使其能够按照预定的轨迹完成任务。
对于柔性机械臂而言，控制设计主要包括位置控制和力控制两个方面。
位置控制是指通过调节关节的位置来控制机械臂的末端位置，而力控制则是通过对关节施加适当的力矩来控制机械臂的接触力。
在柔性机械臂的控制设计中，还需要考虑到柔性杆件的振动问题。
由于柔性杆件的存在，机械臂在运动过程中会产生振动现象，这对于精确控制来说是一个很大的挑战。
因此，我们需要设计合适的控制策略来抑制振动。
一种常用的方法是通过反馈控制来实现振动抑制，即根据系统当前的状态和误差信息来调节控制输入信号。
此外，柔性机械臂的动力学建模和控制设计还需要考虑到非线性和时变性的影响。
由于柔性机械臂的非线性特性和复杂结构，其动力学行为往往是非线性和时变的。
因此，在进行动力学建模和控制设计时，我们需要考虑到这些非线性和时变性因素，并采用相应的方法来处理。
总之，柔性机械臂的动力学建模和控制设计是一个复杂而具有挑战性的问题。
在建模过程中，我们需要考虑到关节运动学和柔性杆件的挠度分析；在控制设计中，我们需要考虑到位置控制、力控制和振动抑制等方面。
此外，还需要注意到非线性和时变性的影响，并采用相应的方法来处理。
柔性机械臂的建模与控制策略研究
柔性机械臂的建模与控制策略研究柔性机械臂是近年来工业领域研究的热点之一，具有广泛的应用前景。
本文就柔性机械臂的建模和控制策略进行研究，探讨其在工业自动化、医疗护理、航空航天等领域的应用和发展。
1. 引言柔性机械臂是模仿人类手臂的运动方式和结构特点，具有高柔顺性、高位移范围和高精准度的特点。
其模块化、可重构的特性为机器人技术的发展带来新的机遇和挑战。
2. 柔性机械臂的建模柔性机械臂的建模是实现精确运动和控制的重要基础。
对于柔性机械臂的建模，可以采用传统的拉格朗日动力学方法，也可以利用有限元法进行建模。
拉格朗日动力学方法适用于解析建模和控制策略研究，而有限元法则更适用于复杂结构的柔性机械臂，可以更准确地预测系统的特性和行为。
3. 柔性机械臂的控制策略柔性机械臂的控制策略是确保其运动精度和稳定性的关键。
常用的控制策略包括PID控制器、模糊控制器和自适应控制器等。
在柔性机械臂的控制过程中，应结合建模结果和实际应用需求，选择合适的控制策略，并对其参数进行调节和优化，以提高控制性能和系统响应速度。
4. 柔性机械臂在工业自动化中的应用柔性机械臂在工业自动化中广泛应用于装配、搬运、焊接等任务。
与传统机械臂相比，柔性机械臂在操作环境适应性、安全性和精度上有显著优势。
它不仅可以适应复杂工作环境，还可以进行细小、灵活和精密的动作。
5. 柔性机械臂在医疗护理中的应用柔性机械臂在医疗护理中的应用正在引起越来越多的关注。
它可以完成手术、康复和病房护理等任务，为医生和护士提供更好的帮助和支持。
柔性机械臂的高柔顺性和灵活性使得它能够更好地适应患者的生理特点和需求，提高医疗护理的效率和质量。
6. 柔性机械臂在航空航天中的应用柔性机械臂在航空航天领域的应用也具有广阔的前景。
它可以用于航天器的维修、轨道器的捕获和星座组网等任务。
柔性机械臂的高位移范围和高精度使得它能够适应复杂的航天环境，并完成一系列复杂任务。
7. 研究展望柔性机械臂的建模与控制策略研究仍然存在一些挑战和待解决的问题。
空间柔性机械臂动力学建模、轨迹规划与振动抑制研究
目录
01 引言
03 研究问题和假设
02 文献综述 04 研究方法
05 研究结果
07 结论
目录
06 讨论 08 参考内容
引言
随着空间科技的不断发展，空间机器人技术已经在许多领域中得到了广泛的应 用。其中，空间柔性机械臂作为空间机器人技术的重要组成部分，具有灵活性 强、适应性强、任务范围广等优点，成为了研究的热点。本次演示将围绕空间 柔性机械臂的动力学建模、轨迹规划和振动抑制等方面展开研究，为空间柔性 机械臂的进一步发展提供理论支持和技术指导。
因此，柔性机械臂的动力学建模和分析对于提高空间任务的成功率和效率具有 重要意义。
谢谢观看
未来研究方向包括进一步考虑复杂环境对七自由度机械臂动力学的影响，以及 研究更加智能的轨迹规划方法，以提高机械臂的适应性和运动效率。本次演示 的研究成果也可以为其他类似复杂系统的动力学建模与控制提供借鉴和参考。
引言
随着空间探索的不断深入，柔性机械臂在空间任务中的应用越来越广泛。柔性 机械臂具有灵活性强、适应性好等优点，在复杂的空间环境中表现出优越的性 能。为了更好地发挥柔性机械臂的优势，提高其控制精度和稳定性，需要对柔 性机械臂的动力学建模进行分析。本次演示旨在探讨空间柔性机械臂的动力学 建模和分析方法，为实际应用提供理论支持。
讨论
针对实验结果的有效性和问题的探讨，本次演示进一步对研究问题和假设进行 了深入的探讨和分析。首先，建立的动力学模型虽然能够全面反映多方面因素 的影响，但在某些情况下仍可能存在一定的误差。未来研究可以考虑将更为先 进的数值计算方法和实验测量手段引入模型的验证和修正过程中，提高模型的 精度和适用范围。
引言
自由漂浮柔性机械臂系统的动力学建模与仿真
( 3)
rf = r c + A10 l 1 0 T + A20 l 2 U2 l2 q2 T+ A30 l 3 U3 l 3 q 3 T + A 30 l 4 0 T
其中, rc 为本体质心在惯性系下的位置矢量。Ai0 为坐标系 Ci 到惯性系的变换矩阵。对 rm 、rn 和 rf 分
廖一寰, 等: 自由漂浮 柔性机械臂系统的动力学建模与仿真
X 收稿日期: 2010- 06- 30 基金项目: 教育部新世纪优秀人才支持计划资助项目( NCET- 08- 0148) 作者简介: 廖一寰( 1984 ) ) , 男, 博士生。
30
国 防科技大学学报
2010 年第 5 期
种情况, 此时机械臂的动力学特性不同于基座固定时的机械臂动力学特性, 但是对于自由漂浮柔性机械 臂系统的动力学建模研究还相对较少。
王从庆等[ 8] 建立了自由浮动双臂空间机器人的动力学模型, 得到了一组二阶微分方程, 但在建模时 没有考虑到系统动量矩守恒时广义坐标已不再相互独立。由于自由漂浮的机械臂系统存在动量矩守恒 约束, 使得系统成为非完整系统, 如果采用 Lagrange 乘子法建立系统的动力学方程, 最后得到一组微分 ) 代数方程, 其数值求解过程相对比较复杂。为此首先假设载体的质心处存在姿态控制力矩, 此时系统 不存在动量矩守恒约束, 系统变成一个完整系统, 采用 Lagrange 方法建立其动力学方程, 然后令载体的 姿态控制力矩为零, 即得到自由漂浮机械臂系统的动力学方程。最后采用威尔逊 H法求解动力学方程, 对系统进行动力学分析, 并且利用商业软件 ADAMS 验证了本文模型的正确性。
柔性机械臂动力学建模与控制方法研究进展
８
长 春 工 业 大 学 学 报（ 自然科 学 版 ）
第３ ２卷
ｌ 柔 性 机 械 臂 的动 力 学 建 模 理 论 研 究
１ １ 描 述柔 性体 变形 的常用 方法 ．
１ １ １ 有 限 元 法 ． ．
柔耦 合 系统 建 立 了 动力 学 方 程 。何 斌 … 提 出 ｒ 几何 非线 性柔 性机 械臂 动力学 有 限段 传递 矩 阵建
性 系统 ， 而且 也是 系统 动 力 学 特 性 与 控 制 特性 相 互 耦 合 的非 线 性 系统 。所 以建 立 准 确 、 实用 的动
力学模 型 ， 是设 计 柔 性 臂 高 性 能 控 制 器 的重 要 前
提条 件 。针对 柔性 机械 臂建 模理 论 与控 制方 法的
综 述性 文 章也 有 报 道 ， 基 本 是 十 年前 的研 究 成 但 果 总结 ＿ ］ １ 。文 中 旨在 对 近 十 年 来 柔 性 机 械 臂 建 模 和控 制 问题 的 国内外 发展 现状 及趋 势做 一个 小
究 ， 出 了系统 的动力 学方程 。 给
１ ２ 动 力 学 方 程 的 建 立 ．
１ ２ １ Ｈａ ｌｏ ． ． ｍｉ ｎ原 理 ｔ
１ １ ２ 假设 模态 法 ．． 假 设模 态法是 广 义坐 标 的一 种 ， Ｒ ｙｅ ｈ 以 ａ ｌｇ — ｉ Ｒｉ 法 为基础 ， 过模 态截 断方法 ， ｔ ｚ 通 以系统 中子结 构 的模 态综合 推导 出 系统 整 体模 态 。２ ０ ０ ３年 ， 金
国光 基于假 设模 态 法 和 Ｋａ ｅ方程 建 立 了柔 性 ｎ 机械 臂 的动力学 模 型 。２ ０ ０ ６年 ， 跃 庆（ 余 以柔性
多体 系统动 力学 理论 为基 础 ， 用假设 模 态方法 ， 采 建立 ｒ 具有 柔性 杆件 的欠 驱动机 器人 的动 力学模
柔性机械臂动力学建模
柔性机械臂动力学建模一，研究现状柔体动力学建模方面国内外出现很多研究，主要针对关节柔性和柔性臂杆进行建模。
其中，Chang-Jin Li, T.S. Sankar, 利用拉格朗日方程及假设模态法对柔性机械臂进行建模，提出的该方法可以降低运算量，并用单连杆柔性机器人进行证明验证；B.Subudhi ,A.S.Morris, 基于欧拉-拉格朗日法和假设模态法对多柔性杆和柔性关节进行动力学建模；Gnmarra-Rosado VO,Yuhara, EAO,利用牛顿-欧拉公式和有限元分析法对两柔性两转动关节推导动力学方程；危清清，采用拉格朗日及假设模态法建立柔性机械臂辅助空间站舱段对接过程的动力学方程；谢立敏，基于动量、动量矩守恒关系和拉格朗日假设模态法对双柔性关节单柔性臂建模；王海，在考虑外部干扰下对柔性关机机械臂进行动力学建模；刘志全，基于精细模型的空间机械臂对柔性关节进行建模。
1，建模过程原理1）坐标系的选择（根据机械臂运动姿态选择不同的坐标系，一般包括绝对坐标系和相对坐标系，如表1所示）2），柔体离散化方法设柔性体的变形始终处于弹性范围内，因为任何一个弹性体都具有无限多自由度，忽略轴向变形和剪切变形的影响，仅考虑弯曲变形，通常都将柔性体离散成有限自由度作为近似分析模型。
（对变形场进行离散化后得到的常微分方程将有利于对柔性多体系统动力学建模研究的进一步深入）如下表2所列。
3）动力学的建模方法根据原理的不同一般常用的可分为牛顿-欧拉方法，拉格朗日方程（第二类），以及凯恩方程。
如表3所示。
二，单杆柔性机械的建模过程1，模型简化假设关节建模时需要注意关节齿轮传动间隙，间隙的存在使得传动机构存在误差，输出运动与输入运动不再是线性关系；另外，关节臂驱动力是通过电机来提供，电机中的电感电阻等元件，会影响电机力矩的产生，即关机建模的精细化问题，这里只进行简单的处理，不考虑精细化问题。
柔性关节主要由分体式永磁同步电机，谐波减速器，永磁制动器，光电编码器和圆光栅等组成。
六自由度空间柔性机械臂的动力学分析与控制论文
六自由度空间柔性机械臂的动力学分析与控制论文北京邮电大学硕士学位论文六自由度空间柔性机械臂的动力学分析与控制姓名:郭秉华申请学位级别:硕士专业:机械设计及理论指导教师:贾庆轩20090215北京邮电人学硕士学位论文六自由度空间柔性机械臂的动力学分析与控制摘要随着世纪航天事业的迅速发展和对太空探索的不断深入,未来空间任务越来越多,如空间站的建造维护、空间设备的维修、科学实验等, 目前尚不能全靠宇航员来完成,由于空间机械臂具有适应太空作业环境的能力,利用空间机械臂完成一些太空作业任务具有重要的意义,已经成为空间技术研究领域内的一个重要的研究方向。
本论文的研究内容来源于教育部科学技术研究重大项目“空间柔性机器入动力学/控制耦合系统的研究,本论文以此为依托,重点对大型空间柔性机械臂动力学建模理论和控制策略进行了深入的分析和研究,本文的主要工作如下:首先,本文首先对空间六自由度柔性机械臂的动力学建模方法进行研究。
针对设计的六自由度空间柔性机械臂,采用假设模态法描述臂杆的柔性,运用方法建立了空间柔性机械臂的动力学模型。
分析机械臂关节柔性约束,给出了臂杆的弹性.阻尼边界条件,通过仿真和试验研究,验证柔性机械臂在此约束条件下的动力学特性。
其次,为验证柔性机械臂的固有频率等动力学特性,在有限元环境下,对柔性机械臂进行瞬态响应分析、频率响应分析,并通过实际的模态分析试验,验证其动力学特性。
再次,针对空间柔性机械臂的控制任务,应用奇异摄动理论将柔性机械臂的动力学方程分解为慢变子系统和快变子系统,采用复合控制策略实现精确轨迹跟踪的同时实现有效的振动抑制;在慢变子系统中,设计模糊滑模控制策略提高机械臂刚性运动的鲁棒性,快变子系统中,采用控制抑制柔性机械臂的弹性振动。
仿真结果表明:提出的控制策略不仅可保证高精度的定位控制精度,而且可有效的抑制弹性振动。
为验证建模理论和控制策略的正确性和有效性,本文建立了一个两自由度的柔性机械臂的地面试验平台,并进行试验研究。
柔性机械手臂的建模与仿真分析
柔性机械手臂的建模与仿真分析引言柔性机械手臂是一种新兴的机器人技术，其具备高度柔性和精确控制的特点，广泛应用于各个领域，如工业制造、医疗护理和服务行业等。
本文将介绍柔性机械手臂的建模和仿真分析方法，以及其在实际应用中的意义。
一、柔性机械手臂的基本原理柔性机械手臂由柔性杆件和关节组成，其柔性杆件是通过弯曲、伸缩和扭转等形变实现运动。
为了实现精确控制，柔性机械手臂需要建模和仿真分析。
二、柔性机械手臂的建模方法1. 杆件建模：柔性机械手臂的杆件建模是建立其几何和物理属性的基础。
可以采用有限元方法对柔性杆件进行建模，通过划分杆件为小单元，并考虑其材料特性和几何形状，可以得到杆件的刚度和弯曲响应等信息。
2. 关节建模：柔性机械手臂的关节部分需要考虑其运动学和动力学特性。
可以通过旋转关节或弹性关节进行建模，在进行关节建模时，需要考虑其摩擦、阻尼和刚度等参数，并将其与杆件模型相连接。
三、柔性机械手臂的仿真分析方法1. 运动学分析：柔性机械手臂的运动学分析是确定其末端执行器位置和方向的过程。
可以通过数学建模和仿真分析获得机械手臂在不同关节角度下的末端位姿，进而实现路径规划和轨迹生成。
2. 动力学分析：柔性机械手臂的动力学分析是研究其运动过程中产生的力和扭矩等参量的过程。
通过动力学建模和仿真分析，可以得到机械手臂的运动学及动力学性能指标，为控制策略的设计提供依据。
3. 控制策略设计：柔性机械手臂的控制策略设计是实现精确控制和运动规划的关键。
可以采用PID控制、自适应控制和模糊控制等方法，通过仿真分析确定最佳的控制参数，并进行实时控制系统的设计和调试。
四、柔性机械手臂的应用意义柔性机械手臂在工业制造、医疗护理和服务行业等领域具有广泛的应用前景。
在工业制造领域，柔性机械手臂可以实现精准装配和柔性生产，提高生产效率和质量；在医疗护理领域，柔性机械手臂可以实现精确的手术操作和康复治疗，为患者提供更好的医疗服务；在服务行业，柔性机械手臂可以代替人工完成一些重复性和危险的工作，提高工作效率和安全性。
柔性机械臂建模及动力学特性分析
柔性机械臂建模及动力学特性分析刘旭亮;黄玉平;崔佩娟;徐祯祥【摘要】Taking humanoid rigid-flexible coupling robotic arm with three rotating joints as the object, the dynamic model of the flexible part of the robotic arm is established and its dynamic characteristic is analyzed. For improving the accu-racy of the model, the finite segment method is used to analyse the intrinsic frequencies and vibration-mode functions of the flexible part of the robotic arm with different boundary conditions. The gravity effect is considered and the modal-assump-tion method and Hamilton’s principle are used to describe the deformation of the flexible shaft. Introducing the angular func-tion of the joints, the 4th order Runge-Kutta method is utilized to solve the time-varying non-linear differential equations by means of MATLAB code. The residual oscillation of the loaded flexible arm end is derived. This research has provided a foundation for refinement of the flexible robotic arm model and for the active control of the residual oscillation.%以仿人手臂的三旋转关节刚柔耦合机械臂为研究对象，对柔性部分建立理论模型并分析其动态特性。
柔性机械臂动力学建模和控制研究
柔性机械臂动力学建模和控制研究随着机器人技术的不断发展，柔性机械臂在工业生产、医疗康复等领域的应用越来越广泛。
柔性机械臂具有更好的适应性和灵活性，可以完成许多传统刚性机械臂难以完成的任务。
然而，由于柔性机械臂的结构和工作原理不同于传统刚性机械臂，其动力学建模和控制也更具挑战性。
本文将对柔性机械臂的动力学建模和控制方法进行深入研究。
在搜集资料的过程中，我们发现柔性机械臂的动力学建模和控制研究已经取得了一定的进展。
国内外学者针对柔性机械臂的动力学建模和控制问题开展了大量研究。
在柔性机械臂的动力学建模方面，现有的研究主要集中在采用有限元方法、基于弹性力学理论和数值计算等方面。
在控制方法方面，研究主要集中在基于逆动力学、滑模变结构、神经网络等算法的应用。
根据前人研究成果，我们构建了一种新型的柔性机械臂动力学模型。
该模型包括机械臂的杆件、联接件和驱动器等部件，考虑了材料的弹性、阻尼和摩擦等因素。
同时，我们还建立了机械臂在不同操作空间和姿态下的动力学方程，为后续的控制算法设计提供了基础。
在分析数据阶段，我们对所建立的柔性机械臂动力学模型进行了详细的分析，计算了机械臂在不同条件下的运动状态和响应。
通过与实验数据的对比，我们验证了所建立模型的准确性和有效性。
我们还对控制算法进行了设计和仿真，并对其性能进行了评估和优化。
总结本文的研究成果，我们成功地建立了柔性机械臂的动力学模型，并对其运动状态和响应进行了详细的分析。
同时，我们还设计了一种基于逆动力学的控制算法，实现了对柔性机械臂的有效控制。
然而，现有的研究成果还存在一些问题和挑战，例如模型的复杂度较高，需要进一步简化；同时，现有的控制算法还需要进一步优化以提高实时性。
展望未来，我们建议后续的研究可以从以下方向展开：1）研究更高效的模型简化方法，提高计算效率；2）设计更加智能的控制算法，实现更加精准的实时控制；3）考虑将柔性机械臂应用于更多的实际场景，拓展其应用范围。
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柔性机械手臂的动力学建模研究
机器人技术的快速发展为工业自动化带来了重大意义的突破，其中的柔性机械臂也是其中的一大亮点。
柔性机械臂以其具有的柔性、高精度、低惯性等优点，被广泛应用于各个领域的生产和加工工作中，但是柔性机械臂的特殊性质使得其动力学建模存在困难，甚至有些复杂。
因此，本文将详细探讨柔性机械手臂的动力学建模研究。
一、柔性机械手臂的基本概述
柔性机械臂的特殊性质在于其结构柔软且运动自由度多，同时由于受到弯曲、扭曲、伸展等多种形变影响，运动学和动力学关系极其复杂，这对动力学建模提出了很高的挑战。
在动力学建模的过程中，基于“柔性”的假设将变形的机械臂重新处理成一个具有连续分布的质量-弹性分布系统，通过利用Euler-Bernoulli和Timoshenko等经典理论可得到模型参数。
柔性机械臂建模的主要目标是求解机械臂在外部力作用下的位移、速度、加速度等信息，从而获得机械臂的动态响应。
二、柔性机械手臂的建模方法
基于质量弹性分布的模型在建模过程中非常有用，这意味着考虑柔性机械臂上所有点的质量和弹性特性，同时考虑不同点之间的相互作用。
针对运动方程的构建，通常有三种主要方法：欧拉角动力学建模法、Quaternions动力学建模法和本体角动力学建模法等。
欧拉角动力学建模法：经典的欧拉角模型在柔性机械臂动力学建模方面得到了广泛的应用。
本模型基于欧拉角运动方程，其中的角度限制引起了机械臂姿态的不连续性和奇异性。
Quaternions动力学建模法：正是因为欧拉角动力学建模法存在的不连续性和奇异性问题，该问题也被Quaternions动力学建模法很好地解决了。
这个模型附属
于一个四元数系统，它具有更好地解决方案的不连续性和奇异性等方面的优势，因此应用广泛。
本体角动力学建模法：柔性机械臂相对于地面的位移和基本运动轴之间的关系通常称为本体运动。
这种类型的建模方法可以用于需要计算机身姿态运动的场合。
但是，本体角动力学建模法也存在“万向锁”问题，限制了它在柔性机械臂领域的应用。
三、柔性机械手臂动力学建模的研究现状
近年来，随着科学技术的进步，柔性机械臂动力学建模研究已经变得越来越有前途。
虽然柔性机械臂的通用动力学建模方法仍然面临许多挑战，但是已经出现了一些有前景的方法。
例如：
（1）灰色系统理论在柔性机械臂的建模研究领域有了应用。
该方法利用分数阶系统对柔性机械臂进行建模，以实现较高的建模精度。
（2）物联网技术提供了很多优秀解决方案，通过联网物品中的传感器实时感知机械臂的动态特性，从而更有效的提高柔性机械臂动态响应的精度和可靠性。
（3）深度学习技术在柔性机械臂动力学建模方面也有了广泛的应用。
通过神经网络的训练，可以得到预测柔性机械臂位移、速度、加速度等信息的预测模型。
该方法在实时性方面具有优势，但是需要大量的训练数据。
四、结论
就柔性机械臂的动力学建模而言，这是一个富含挑战性的问题。
虽然已经提出了一些有前途的方法，但是以上这些方法都存在一定的局限性。
未来，随着科学技术的进一步进步，相信柔性机械臂的动力学建模技术将会得到极大的进步，为柔性机械手臂的应用开创更广阔的发展前景。