九年级数学上册 第一章第1-2节反比例函数;反比例函数与图象 浙江版

九年级数学上册第一章第1-2节反比例函数；反比例函数与图象 某

某版

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

反比例函数与图象

二. 知识回顾：

1. 形如x

k y =

（k ≠0，k 为常数）的函数，叫做反比例函数，其自变量x 的取值X 围为x ≠0。

2. 反比例函数的图象是双曲线，其图象的性质如下：

①当k>0时，图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内y 随着x 的增大而减小。

②当k<0时，图象的两个分支分别位于第二、四象限。在每个象限内，y 随着x 的增大而增大。

3. 求反比例函数解析式的方法是待定系数法，通常只需要知道x 、y 的组数值或图象上一点的坐标，即可确定k 的值，从而求出反比例函数的解析式。

【典型例题】

例1. 已知反比例函数10m

2x )8m 3(y --=的图象在每个象限内，y 随着x 的增大而减小，

求m 的值。

解：求解此题应注意到两点：

①是反比例函数，∴x 的指数为－1

②在每个象限内，y 随x 的增大而减小，∴3m －8>0 ∴由题意，m 应满足的关系为⎩⎨⎧>--=-0

8m 3110m 2 解之，得⎪⎩

⎪⎨⎧>-=38m 33m 或∴m ＝3 即m ＝3时符合题意

例2. 已知21y y y -=，其中1y 与x 成正比，2y 与2x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝－2；x ＝－1时，y ＝－6，求y 关于x 的函数解析式。

解析：应注意到，所求的是y 关于x 的函数解析式，而且1y ，2y 都是关于x 的函数 ∴由题意，不妨设x k y 11=（0k 1≠），222x k y =

（0k 2≠） ∴22

121x k x k y y y -=-=（0k k 21≠）

∵⎩⎨⎧-=-=-==6

y 1x 2y 1x 时，时， ∴代入22

1x k x k y -=中，得⎩⎨⎧-=---=-6k k 2k k 21

21 解之，得⎩⎨⎧==4

k 2k 21 ∴2x

4x 2y -

=（x ≠0） 例3. 设直线1kx y -=和双曲线x

m 3y -=

都经过点P （m ，－3m ） ①求点P 的坐标和直线的解析式。 ②若点M （a ，1y ）和点N （a ＋1，2y ）都在直线上，请通过计算或利用一次函数的性质比较1y 与2y 的大小。

解析：①∵点P 在双曲线x m 3y -=上，∴m 3m

m 3-=- ∵m ≠0，∴m ＝1，∴点P 即为P （1，－3）

又点P 在直线1kx y -=上

∴31k -=-，∴2k -=，∴直线为1x 2y --=

②∵一次函数1x 2y --=中，02k <-=

∴y 随着x 的增大而减小

又211y y a a >∴+<

（当然，也可以通过代入计算来比较，或通过画草图来直观地比较）

例4. 如图，直线）（0k b kx y ≠+=与双曲线）（0m x

m y ≠=交于A 、B 两点，请根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值X 围。 解析：首先确定一次函数以及反比例函数的解析式，然后求得点A 、B 的坐标，再确定符合

题意的x 的取值X 围。

∵A （－2，1）在双曲线上

∴当x ＝－2时，y ＝1且x m y =

∴m ＝－2，∴x

2y -= 又B （1，n ）也在双曲线y=

x 2-上 ∴n ＝－2 ∴B （1，－2）

∵A （－2，1），B （1，－2）在直线b kx y +=上

∴⎩

⎨⎧-=+=+-2b k 1b k 2 解之，得⎩⎨⎧-=-=1b 1k ∴1x y --=

显然，一次函数的图象在反比例函数图象上方时才符合题目所求。

∴当2x -<或1x 0<<时，一次函数的值大于反比例函数的值。

例5. 已知（如图），一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图象相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，与x 轴相交于点D ，且OB ＝10，过B 作BH ⊥x 轴，与x 轴相交于H ，则3BH

OH =。 ①求反比例函数的解析式。

②设点A 的横坐标为m ，△ABO 的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式，并写出自变

量m 的取值X 围。

③当S △OCD ＝2

S 时，求点A 的坐标。

解析：①∵3BH OH =∴OH ＝3BH ∴在Rt △OBH 中，222OB OH BH =+

∵10OB =，∴BH ＝1，HO ＝3

又点B 在第三象限，∴B （－3，－1）

设反比例函数的解析式为x k y 1=（0k 1≠），且过点B ∴3)1)(3(k 1=--=∴x

3y = ②设直线AB 为b x k y 2+=（0k 2≠）且点A 在第一象限

∴m>0

又点A 在双曲线上，∴A （m ，m

3）（m>0） ∵⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-m 3b mk 1b k 322 解之，得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-==m m 3b m 1k 2 ∴直线AB 为m

m 3x m 1y -+= 当y ＝0时，得D （3m -，0）

不妨过A 作AG ⊥x 轴于G

则S ＝)|

m |31(|3m |21)AG BH (OD 21S S ADO BDO +-=+=+∆∆

注意到直线过第一、二、三象限，∴b>0 ∴0m m 3>-且m>0 ∴0

31)(m 3(21S +-= 即m 2m 9S 2-=（0

1m 2)3m (OC OD 21S 2OCD =-=⋅=∆ ∴m

2m 921m 2)3m (2

2-⋅=-（0

但0

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

1. 若反比例函数的图象过点A （－1，－2），则图象在第______________象限。

2. 点P 既在双曲线x

3y -=（x>0）上，又在直线2x y --=上，则点P 的坐标为（，______）。 3. 当k>0时，双曲线x

k y =与直线kx y -=的公共点有（ ） A. 0个 B. 1个

C. 2个

D. 3个 4. 已知函数x

k y =（k<0）的图象上有三点A 1（x 1，y 1），A 2（x 2，y 2），A 3（x 3，y 3），已知321x 0x x <<<，则下列各式中正确的是（ ）

A. 31y 0y <<

B. 12y 0y <<

C. 312y y y <<

D. 213y y y << 5. 若反比函数x k y =

过点（－1，2），则一次函数2kx y +-=的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

6. 在同一直角坐标系中，双曲线x k y 1=

与直线1x y 2-=如图所示，则以下不符合图象提供的信息的是（ ）

A. 2y 随x 的增大而增大

B. 点D 的坐标为（0，－1）

C. k<0

D. x ＝2时，12y y >