九年级数学上册 第一章第1-2节反比例函数;反比例函数与图象 浙江版

九年级数学上册第一章第1-2节反比例函数；反比例函数与图象 某
某版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
反比例函数与图象
二. 知识回顾：
1. 形如x
k y =
（k ≠0，k 为常数）的函数，叫做反比例函数，其自变量x 的取值X 围为x ≠0。

2. 反比例函数的图象是双曲线，其图象的性质如下：
①当k>0时，图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内y 随着x 的增大而减小。

②当k<0时，图象的两个分支分别位于第二、四象限。

在每个象限内，y 随着x 的增大而增大。

3. 求反比例函数解析式的方法是待定系数法，通常只需要知道x 、y 的组数值或图象上一点的坐标，即可确定k 的值，从而求出反比例函数的解析式。

【典型例题】
例1. 已知反比例函数10m
2x )8m 3(y --=的图象在每个象限内，y 随着x 的增大而减小，
求m 的值。

解：求解此题应注意到两点：
①是反比例函数，∴x 的指数为－1
②在每个象限内，y 随x 的增大而减小，∴3m －8>0 ∴由题意，m 应满足的关系为⎩⎨⎧>--=-0
8m 3110m 2 解之，得⎪⎩
⎪⎨⎧>-=38m 33m 或∴m ＝3 即m ＝3时符合题意
例2. 已知21y y y -=，其中1y 与x 成正比，2y 与2x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝－2；x ＝－1时，y ＝－6，求y 关于x 的函数解析式。

解析：应注意到，所求的是y 关于x 的函数解析式，而且1y ，2y 都是关于x 的函数 ∴由题意，不妨设x k y 11=（0k 1≠），222x k y =
（0k 2≠） ∴22
121x k x k y y y -=-=（0k k 21≠）
∵⎩⎨⎧-=-=-==6
y 1x 2y 1x 时，时， ∴代入22
1x k x k y -=中，得⎩⎨⎧-=---=-6k k 2k k 21
21 解之，得⎩⎨⎧==4
k 2k 21 ∴2x
4x 2y -
=（x ≠0） 例3. 设直线1kx y -=和双曲线x
m 3y -=
都经过点P （m ，－3m ） ①求点P 的坐标和直线的解析式。

②若点M （a ，1y ）和点N （a ＋1，2y ）都在直线上，请通过计算或利用一次函数的性质比较1y 与2y 的大小。

解析：①∵点P 在双曲线x m 3y -=上，∴m 3m
m 3-=- ∵m ≠0，∴m ＝1，∴点P 即为P （1，－3）
又点P 在直线1kx y -=上
∴31k -=-，∴2k -=，∴直线为1x 2y --=
②∵一次函数1x 2y --=中，02k <-=
∴y 随着x 的增大而减小
又211y y a a >∴+<
（当然，也可以通过代入计算来比较，或通过画草图来直观地比较）
例4. 如图，直线）（0k b kx y ≠+=与双曲线）（0m x
m y ≠=交于A 、B 两点，请根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值X 围。

解析：首先确定一次函数以及反比例函数的解析式，然后求得点A 、B 的坐标，再确定符合
题意的x 的取值X 围。

∵A （－2，1）在双曲线上
∴当x ＝－2时，y ＝1且x m y =
∴m ＝－2，∴x
2y -= 又B （1，n ）也在双曲线y=
x 2-上 ∴n ＝－2 ∴B （1，－2）
∵A （－2，1），B （1，－2）在直线b kx y +=上
∴⎩
⎨⎧-=+=+-2b k 1b k 2 解之，得⎩⎨⎧-=-=1b 1k ∴1x y --=
显然，一次函数的图象在反比例函数图象上方时才符合题目所求。

∴当2x -<或1x 0<<时，一次函数的值大于反比例函数的值。

例5. 已知（如图），一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图象相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，与x 轴相交于点D ，且OB ＝10，过B 作BH ⊥x 轴，与x 轴相交于H ，则3BH
OH =。

①求反比例函数的解析式。

②设点A 的横坐标为m ，△ABO 的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式，并写出自变
量m 的取值X 围。

③当S △OCD ＝2
S 时，求点A 的坐标。

解析：①∵3BH OH =∴OH ＝3BH ∴在Rt △OBH 中，222OB OH BH =+
∵10OB =，∴BH ＝1，HO ＝3
又点B 在第三象限，∴B （－3，－1）
设反比例函数的解析式为x k y 1=（0k 1≠），且过点B ∴3)1)(3(k 1=--=∴x
3y = ②设直线AB 为b x k y 2+=（0k 2≠）且点A 在第一象限
∴m>0
又点A 在双曲线上，∴A （m ，m
3）（m>0） ∵⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-m 3b mk 1b k 322 解之，得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-==m m 3b m 1k 2 ∴直线AB 为m
m 3x m 1y -+= 当y ＝0时，得D （3m -，0）
不妨过A 作AG ⊥x 轴于G
则S ＝)|
m |31(|3m |21)AG BH (OD 21S S ADO BDO +-=+=+∆∆
注意到直线过第一、二、三象限，∴b>0 ∴0m m 3>-且m>0 ∴0<m<3 ∴)m
31)(m 3(21S +-= 即m 2m 9S 2-=（0<m<3） ③∵若S 2
1m 2)3m (OC OD 21S 2OCD =-=⋅=∆ ∴m
2m 921m 2)3m (2
2-⋅=-（0<m<3） 解得m ＝1或3
但0<m<3 ∴m ＝1 ∴A （1，3）
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 若反比例函数的图象过点A （－1，－2），则图象在第______________象限。

2. 点P 既在双曲线x
3y -=（x>0）上，又在直线2x y --=上，则点P 的坐标为（，______）。

3. 当k>0时，双曲线x
k y =与直线kx y -=的公共点有（ ） A. 0个 B. 1个
C. 2个
D. 3个 4. 已知函数x
k y =（k<0）的图象上有三点A 1（x 1，y 1），A 2（x 2，y 2），A 3（x 3，y 3），已知321x 0x x <<<，则下列各式中正确的是（ ）
A. 31y 0y <<
B. 12y 0y <<
C. 312y y y <<
D. 213y y y << 5. 若反比函数x k y =
过点（－1，2），则一次函数2kx y +-=的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6. 在同一直角坐标系中，双曲线x k y 1=
与直线1x y 2-=如图所示，则以下不符合图象提供的信息的是（ ）
A. 2y 随x 的增大而增大
B. 点D 的坐标为（0，－1）
C. k<0
D. x ＝2时，12y y >
7. 已知正比例函数y ＝kx 与反比例函数x 3y =
的图象均过A （m ，1），求它们相交的另一个交点坐标。

8. 如图，Rt △ABO 的顶点A 是双曲线x k y =
与直线1k x y ++-=在第四象限的交点，AB ⊥x 轴于B ，且2
3S ABO =∆。

①求这两个函数的解析式。

②求它们的两个交点A 、C 的坐标以及△AOC 的面积。

9. 已知一次函数8x y +-=与反比例函数x k y =（k ≠0） ①k 满足什么条件时，这两个函数的图象（在同一个直角坐标系中）有两个交点？
②设①中的两个交点为A 、B ，试比较∠AOB 与90°角的大小。

10. 已知关于x,y 的方程组⎩
⎨⎧+-==++b x y 2y )1x (22有唯一的一个实数解，且反比例函数x
1b y +=的图象在每个象限内，y 随着x 的增大而增大，若点M （a ，3）在该双曲线上，求a 的值。

*11. 设双曲线x
6y =与直线3kx y +=的两个交点为A （1x ，1y ）和B （2x ，2y ）且5x x 2
221=+，求A 、B 两点的距离。

【试题答案】
1. 一、三
2. （1，－3）
3. A
4. D
5. D
6. C
7. （－3，－1）
8. ①x
3y -=，2x y --=②A （1，－3），C （－3，1），S △AOC ＝4 9. ①k<16且k ≠0时 提示：∵x
k 8x =+-∴0k x 8x 2=+- ∴0k 16)4x (2>-=-∴k<16或k ≠0
②当k<0时，∠AOB>90°；当0<k<16时，∠AOB<90°
10. 32a -
= 提示：将b x y +-=代入2y )1x (22=++中，得方程01b x )b 1(2x 222=-+-+ ∴△＝0 ∴b ＝1或－3
∴由题意01b <+∴b ＝－3 ∴x 2y -=，又M 在双曲线上 ∴3
2a -= *11. 103
提示：∵A 、B 满足方程06x 3kx 2=-+（k ≠0） ∴k 3x x 21-=
+，k 6x x 21-= 又212212221x x 2)x x (x x -+=+
∴代入得，09k 12k 52=--∴k ＝3或－
53 又△>0 ∴8
3k ->∴k=3 ∴得A （1，6），B （－2，－3），103AB =。