傅里叶贝塞尔函数

常用的傅里叶变换+定理+各种变换的规律(推荐)

਼ᰦ F ^g x exp j 2Sf a x ` G f x f a ࠭ᮠ൘オฏѝⲴ⴨〫ˈᑖᶕ仁ฏѝⲴᒣ〫
㪉
[ f ( x)] F (P ) ᷍ x0 㬨⤜㸋㒄⭥㬖⧄㭞᷍䋓䇱
[ f ( x r x0 )] exp(r j 2SP x0 ) F (P ) ᷉㠞䄧㾵䐫᷊ [exp p(r j 2SP0 x) f ( x)] F (P P0 ) ᷉㼁䄧㾵䐫᷊
重要
名称
连续傅里叶变换对傅里叶变换 F (ω ) 连续时间函数 f (t )
= sinc ( u)
2
结论: 三角形函数的傅里叶变换是 sinc 函数的平方
9
七、符号函数的傅里叶变换
1 F [sgn( x )] = jπ u
二维留待推算
1 1 F [sgn( x )sgn( y )] = • jπ u jπ v
八、exp[ jπx ] 函数的傅里叶变换 1 F {exp[ jπx ]} = δ ( u − ) 2
3
二、梳状函数的傅里叶变换
F [comb( x )] = comb( u)
普遍型
x F comb = a comb( au) a
结论
comb 函数的
傅里叶变换仍是
二维情况
x y F comb comb a b = ab comb( au) comb( bv )
= sinc( u)
−1 / 2
∫ exp(− j 2πux )ห้องสมุดไป่ตู้x
a x ≤ 2 其它

rect（x）
F.T.
sinc（u）
5
普遍型
x F rect a

贝塞尔函数的有关公式

贝塞尔函数的有关公式贝塞尔函数是数学中一类特殊的函数，广泛应用于物理学、工程学和数学物理学等领域。

贝塞尔函数一族的定义包括第一类贝塞尔函数、第二类贝塞尔函数以及修正的贝塞尔函数。

本文将介绍这些贝塞尔函数的基本定义和性质，并给出一些常见的贝塞尔函数公式。

一、第一类贝塞尔函数(Bessel Function of the First Kind)第一类贝塞尔函数是非负整数阶的解特殊二阶常微分方程贝塞尔方程的解。

第一类贝塞尔函数通常用J_n(x)表示，其中n是阶数，x是实数。

它的定义为：J_n(x) = (1/π) ∫[0,π] cos(nθ - xsinθ) dθ其中,J_0(x)是常数函数。

第一类贝塞尔函数有一些重要的性质：1.对于所有的实数x和n≥0，J_n(x)是实函数。

2.J_0(x)在x=0处取得最大值，而在其他地方有若干个零点。

3.J_n(x)在x→0时的行为类似于x^n，即J_n(x)~(x/2)^n/(n!)。

第一类贝塞尔函数的递推公式:J_{n+1}(x)=(2n/x)J_n(x)-J_{n-1}(x)其中J_{1}(x)=(2/x)J_0(x)。

第一类贝塞尔函数的导数计算公式:dJ_n(x)/dx = J_{n-1}(x) - (n/x) J_n(x)利用这个公式可以计算贝塞尔函数的导数。

二、第二类贝塞尔函数(Bessel function of the second kind)第二类贝塞尔函数是贝塞尔方程的另一类解，通常用Y_n(x)表示，其中n是阶数，x是实数。

第二类贝塞尔函数的定义为：Y_n(x) = (1/π) ∫[0,π] sin(nθ - xsinθ) dθ其中,Y_0(x)是称作“诺依曼函数”。

第二类贝塞尔函数的性质如下：1.对于所有的实数x和n≥0，Y_n(x)是实函数。

2.Y_0(x)在x=0处不取得最大值，而在其他地方有若干个零点。

3. Y_n(x)在x→0时的行为类似于(2/π)(ln(x/2) + γ) + O(x^2)。

2-1衍射和傅里叶光学基础详解

2.1.1 标准形式的一维非初等函数
（1）矩形函数
又称为门函数，表示为
rect(x)
rect x 或 x
1
1 rect(x) 1/ 2
0
x 1/ 2 x 1/ 2 x 1/ 2
x -1/2 O 1/2
rect( x)dx 1
曲线下面积为1，表示矩形光源、狭缝或矩形孔的透射率
（2）sinc 函数
与某函数相乘使其极性翻转
sgn(x)
1 x
0 -1
（5）阶跃函数
• 定义：
1 step(x) 1/ 2
0
x0 x0 x0
step(x )
1 x
0
表示刀口或直边衍射物体或开关信号等
（6）圆柱函数
1 circ(r) 1/ 2
0
r 1 r 1 r 1
Circ (r)
1
y
x
O
1
circ(
x2 a
y2
22
1、直角坐标系中的二维非初等函数
(1)二维矩形函数，定义式为：
1
rect(x, y) rect(x)rect( y) 1/ 2
0
————可分离变量函数
| x | 1/ 2and | y | 1/ 2 | x || y | 1/ 2
| x | 1/ 2and | y | 1/ 2
rect(x, y)
1
在光学问题中，常用来描述一个均匀照明方形小孔的振幅透射系数。
二维矩形函数的一般表达式为：
1
1
2

rect( x x0 , y y0 ) rect( x x0 )rect( y y0 )
图11
ab

贝塞尔函数详细介绍(全面)

(−1) m x 2 n + 2 m −1 = x n J ( x) = x n ∑ n + 2 m−1 n −1 2 m!⋅Γ(n + m) m =0
∞
d x n J n ( x ) = x n J n −1 ( x ) dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) dx
y = AJ n ( x) + BYn ( x)
A、B为任意常数， n为任意实数
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
三贝塞尔函数的性质
(−1) m x J n ( x) = ∑ ⋅ m = 0 m! Γ ( n + m + 1) 2
∞ n+2m
J α ( x) cos απ − J −α ( x) Yn ( x) = lim α →n sin απ
= −3J1 ( x) + 2 J1 ( x) + J1 ( x) − J 3 ( x) = − J 3 ( x)
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
(4)
d n x J n ( x) = x n J n −1 ( x) dx = − xJ1 ( x ) + ∫ x −1 J1 ( x )dx 2 = − xJ1 ( x) + 2 ∫ J1 ( x)dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) = − xJ1 ( x ) − 2 ∫ dJ 0 ( x) = − xJ1 ( x) − 2 J 0 ( x ) + C dx ′ (5) ∫ x 3 J 0 ( x )dx = ∫ x 2 dxJ1 ( x ) = x 3 J 1 ( x ) − 2 ∫ x 2 J1 ( x)dx J n −1 ( x) − J n +1 ( x) = 2 J n ( x) 2n J n −1 ( x) + J n +1 ( x) = J n ( x) 3 2 3 2 = x J 1 ( x ) − 2 ∫ dx J 2 ( x ) = x J 1 ( x ) − 2 x J 2 ( x ) + C x

贝塞尔函数 - 维基百科,自由的百科全书

图1 贝塞尔函数的一个实例：一个紧绷的鼓面在中心受到敲击后的二阶振动振型，其振幅沿半径方向上的分布就是一个贝塞尔函数（考虑正负号）。

实际生活中受敲击的鼓面的振动是各阶类似振动形态的叠加。

贝塞尔函数维基百科，自由的百科全书贝塞尔函数（Bessel functions），是数学上的一类特殊函数的总称。

通常单说的贝塞尔函数指第一类贝塞尔函数（Bessel function of the first kind）。

一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为贝塞尔方程）的标准解函数：这类方程的解是无法用初等函数系统地表示。

由于贝塞尔微分方程是二阶常微分方程，需要由两个独立的函数来表示其标准解函数。

典型的是使用第一类贝塞尔函数和第二类贝塞尔函数来表示标准解函数：注意，由于在 x=0 时候是发散的（无穷），当取 x=0 时，相关系数必须为0时，才能获得有物理意义的结果。

贝塞尔函数的具体形式随上述方程中任意实数或复数α变化而变化（相应地，α被称为其对应贝塞尔函数的阶数）。

实际应用中最常见的情形为α是整数n，对应解称为n 阶贝塞尔函数。

尽管在上述微分方程中，α本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对α和−α定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在α=0 点的不光滑性）。

贝塞尔函数也被称为柱谐函数、圆柱函数或圆柱谐波，因为他们是于拉普拉斯方程在圆柱坐标上的求解过程中被发现的。

目录1 历史2 现实背景和应用范围3 定义3.1 第一类贝塞尔函数3.1.1 贝塞尔积分3.1.2 和超几何级数的关系3.2 第二类贝塞尔函数（诺依曼函数）3.3 第三类贝塞尔函数（汉克尔函数）3.4 修正贝塞尔函数3.5 球贝塞尔函数3.6 黎卡提-贝塞尔函数4 渐近形式5 性质6 参考文献7 外部连接历史贝塞尔函数的几个正整数阶特例早在18世纪中叶就由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出了，当时引起了数学界的兴趣。

5.4 贝塞尔函数的应用

0
rJ 0 r dr

1
( 0) 2 m
rJ 1 r 0
(0) m

1
( 0) m
代入 C m 得
( 0) J1 m ,

d xJ 1 ( x) xJ 0 ( x). dx
14
( 0) (m 1, 2, ) 是函数 J 0 ( x) 的正零点，试将例设 m ( 0) ( 0 , 1 ) J ( f ( x ) 1 函数在上展成 0 m x) 的傅里叶贝塞尔级数。解由(42)(43)式有
10
2 R R2 2 2 (n) (n) J ( r dr J ( ) n 1 m ) (41) n 1 m 0 2 2 ( n) R m k( n ) r J r n 0 rJ n R R dr 0, m k . (37) (n) R m (n) 0 rf (r ) J n R r dr m . r , (42) f (r ) Cm J n C R (43) m 2 m 1 R 2 (n) J n 1 ( m ) 2 事实上， k( n )
1 Cm J 0
m 1

( 0) m
R
(n) 2 m rJ n R
(42)式两边同乘 rJ n
r R
并对
r 从 0 到 R 积分得
k( n ) r J n R r dr.

R
0
k( n ) rf (r ) J n R
(n) R m r dr Cm 0 rJ n R m 1

贝塞尔函数

20.3.1 贝塞尔函数的递推公式由贝塞尔函数的级数表达式（20.2.1）容易推出1J ()J ()d []d v v x x x x x νν+=- (20.3.1) 1d [J ()]J ()d vv v v x x x x x -= (20.3.2)以上两式都是贝塞尔函数的线性关系式. 诺伊曼函数N ()v x 和汉克尔函数也应该满足上述递推关系．若用()v Z x 代表v 阶的第一或第二或第三类函数,总是有1d [()]()d vv v v x Z x x Z x x -= (20.3.3)1d [()]()d vv v v x Z x x Z x x --+=- (20.3.4)把两式左端展开, 又可改写为1()()()v v vZ x Z x Z x x ν+'-=- (20.3.5) 1()()v v vZ Z x Z x x ν-'+= (20.3.6)从(20.3.5)和(20.3.6)消去Z ν或消去Z ν'可得11()()2()v v vZ x Z x Z x +-'=- 112()()()v v v vZ x Z x Z x x +-=-+即为从)(1x Z v -和)(x Z v 推算)(1x Z v +的递推公式.上式也可以写成为11()()2()v v v vZ x Z x Z x x -++= （20.3.7）11()()2()v v Z x Z x Z x ν-+'-= （20.3.8）任一满足一组递推关系的函数)(x Z v 统称为柱函数．例 20.3.1 求2J()d x x x⎰【解】根据公式 (20.3.8) 11()()2()v v Z x Z x Z x ν-+'-= 有201J ()J ()2J ()x x x '=-21111111J ()d J ()d 2J ()d J ()2[J ()J ()d ]J ()2[J ()J ()d ]J ()2J ()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x c'=-=--'=-+=--+⎰⎰⎰⎰⎰20.3.2贝塞尔函数正交性和模1．正交性对应不同本征值的本征函数分别满足2()2()2dJ d []{[]}J ()0 d d m m m i m i m k k ρρρρρ+-= (20.3.9)2()2()2dJ d []{[]}J ()0 d d m m m j m j m k k ρρρρρ+-= (20.3.10)将(20.3.9)乘以()J ()m m j k ρ，将(20.3.10)乘以()J ()m m i k ρ，然后两式相减，再积分，利用分部积分法得到()2()2()()0()()()()0{[][]}J ()J ()d d d [J ()J ()J ()J ()]|0d d m m m m i j m i m j m m m m m i m j m j m i k k k k k k k k ρρρρρρρρρρρρρρ-=-=⎰故当 ()()m m i j k k ≠时()()0J ()J ()d 0m m m i m j k k ρρρρρ=⎰(20.3.11)2．贝塞尔函数的模()m n N22()22()20001[]()[J ()]2m m nm n n n m Nk H ρρρλλ=-+ （20.3.12）20.3.3 广义傅立叶－贝塞尔级数按照施－刘型本征值问题的性质，本征函数族()J ()m m n k ρ是完备的，可作为广义傅立叶级数展开的基．定义在区间],0[0ρ上的函数)(ρf ，可以展开为广义的傅立叶－贝塞尔级数为 ()1()J ()m n m n n f f k ρρ∞==∑ （20.3.13）其中广义傅氏系数()()21()J ()d []m n m n m nf f k Nρρρρρ=⎰(20.3.14)20.3.4 贝塞尔函数的母函数（生成函数）1. 母函数（生成函数）考虑解析函数)1(2),(zz x ez x G -=在+∞<<z 0内的罗朗展式（注意，此处的x 为参变数，不是复变数z 的实部）．因为∑∞==02!)2(k k k z xz k x e ， ∑∞=---=-02)(!)2(1l ll zx z l x e故 ∑∑∞=∞=---=00)1(2)(!)2(!)2(k l ll k k z z x z l x z k x e对于固定的z ，以上两级数在+∞<<z 0内是可以相乘的，且可按任意方式并项．令,,2,1,0, ±±==-n n l k 得1()22000(1)(1)(,)()[()]!!2()!!2x l l z k l k l l n nzk l n l x xG x z ez z k l n l l ∞∞∞∞-+-+===-∞=--===+∑∑∑∑ 故(,)J()nnn G x z x z ∞=-∞=∑ (20.3.15)称)1(2zz x e -为贝塞尔函数的母函数（或生成函数）．2.加法公式利用母函数公式(,)J()nnn G x z x z ∞=-∞=∑故有1()211()()22(,)J() (,)(,)J ()J ()x y z mzmn x y z z knzzk nk n G x y z e x y z eeG x z G y z x zy z +∞-=-∞∞∞--=-∞=-∞+==+===∑∑∑比较两边的mz 项的系数，即得加法公式J ()J()J ()m km k k x y x y +∞-=-∞+=∑ (20.3.16)3．贝塞尔函数的积分表达式利用母函数公式(20.3.30)和罗朗展式的系数表达式，得到1()211J ()d (0,1,2,)2πi x z zm m C ex z m z -+==±±⎰其中C 是围绕0=z 点的任意一条闭曲线．如果取C 为单位圆，则在C 上，有i z e θ=．从而得到2π2πi sin i 1i i(sin )0011J ()()(i )d d 2πi 2πx m x m m x e e e e θθθθθθθ---==⎰⎰2π01J ()c o s (s i n )d , (0,1,2,)2πm x x m m θθθ=-=±±⎰ （20.3.17）其中积分式中的sin(sin )x m ϕϕ-的项已被省去，因为在[0,2π]上其积分为零．式(20.3.10)就是整数阶贝塞尔函数的积分表达式．特别若0m =时，有π001J ()cos(sin )d πx x θθ=⎰ （20.3.18）。

傅里叶变换的基本概念及基本定理

1、三角傅里叶级数展开、
满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期τ,可以在(-∞,+ ∞)展为三角傅里叶级数:
a0 ∞ g ( x) = + ∑ (an cos 2πnf 0 x + bn sin 2πnf 0 x), 2 n =1
(n = 0, 1, 2... ), f0 =
1
τ
展开系数
a0 =
f(x,y): 原函数, F(fx,fy): 像函数或频谱函数积分变换:
F ( x) = ∫ f (α ) K (α , x)dα
−∞
+∞
傅里叶变换的核:
exp(-j2πfx)
变换核
二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 一、定义(续)
由频谱函数求原函数的过程称为傅里叶逆变换:
这就是傅里叶变换和傅里叶逆变换dxfxdffx二维傅里叶变换2dfouriertransform一定义及存在条件函数fxy在整个xy平面上绝对可积且满足狄氏条件有有限个间断点和极值点没有无穷大间断点定义函数为函数fxy的傅里叶变换记作
sinc(x)δ (x-1) = 0 sinc(x)*δ (x-1) = sinc(x-1) tri(x)δ (x + 0.5) = 0.5 δ (x + 0.5) tri(x) * δ (x + 0.5) = tri(x + 0.5)
τ ∫τ
−
2
τ
2 2
g(x) cos(2πnx)dx =2∫
bn =
τ ∫τ
−
2
τ
2 2
g ( x) sin( 2πnf 0 x)dx = 0
采用指数傅里叶级数展开，可以使展开系数的表达式统一而简洁。采用指数傅里叶级数展开，可以使展开系数的表达式统一而简洁。

贝塞尔函数及其应用

题目: 贝塞尔函数及其应用摘要贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程时得到的,因此它在波动问题以及各种涉及有势场的问题的研究中占有非常重要的地位。

贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。

它在物理和工程中,有着十分广泛的应用。

本文首先通过一个物理问题引入贝塞尔方程，并求出贝塞尔方程的解,即贝塞尔函数。

其次列出了贝塞尔函数的几个重要的结论,如递推公式,零点性质等，并对他们进行了深入的分析。

第二部分主要介绍了傅里叶-贝塞尔级数，通过m ａtlab编程对函数按傅里叶-贝塞尔级数展开之后的图像进行分析,得到了它们的逼近情况。

最后一部分介绍了贝塞尔函数的几个重要应用，一个是在物理光学中的应用,着重分析了贝塞尔函数近似公式的误差;一个是在信号处理中调频制的应用,得到了特殊情况下的公式算法。

关键词:贝塞尔函数,傅里叶-贝塞尔级数,渐近公式目录一、起源ﻩ错误!未定义书签。

（一）贝塞尔函数的提出ﻩ错误!未定义书签。

（二）贝塞尔方程的引出.................................................................... 错误!未定义书签。

二、贝塞尔函数的基本概念.......................................................................... 错误!未定义书签。

(一) 贝塞尔函数的定义........................................................................ 错误!未定义书签。

1. 第一类贝塞尔函数....................................................................... 错误!未定义书签。

２．第二类贝塞尔函数.................................................................. 错误!未定义书签。

贝塞尔函数表

貝塞爾函數（Bessel Function），它們的數值可由查有關貝塞爾函數曲線或查表得出，貝塞爾函數值與m f的關係如圖4-6所示。

表4-1載頻、邊頻振幅與關係表圖4-1第一類貝塞爾函數根據式（4-18），可以得出如下結論︰1.一個調頻波除了載波頻率外，還包含無窮多的邊頻，相鄰邊頻之間的頻率間隔仍是。

第條譜線與載頻之差為。

2.每一個分量的最大振幅等於。

而由貝塞爾函數決定。

理論上，相角調變信號的邊頻分量是無限多的，也就是說，它的頻譜是無限寬的。

一路信號要佔用無限寬的頻帶，是我們不希望的。

實際上，已調信號的能量絕大部分是集中在載頻附近的一些邊頻分量上，從某一邊頻起，它的幅度便非常小（工程上習慣，凡是振幅小於未調變載波振幅的10%的邊頻分量可以忽略不計）。

根據貝塞爾函數的特點，當階數時，貝塞爾函數的數值隨著n的增加而迅速減小。

所以，實際上我們可以認為，也即高低邊頻的總數等於個，因此調頻波的頻譜有效寬度為，即頻帶寬度可以方便地算出，為(4-19）由於，所以式(4-19)也可寫成下列形式，即(4-20)這與調變頻率相同的調幅波比起來，調角波的頻帶要寬。

通常，所以相角調變的頻帶要比調幅波寬得多。

因此，在同樣的波段中，能容納相角調變信號的數目，要少於調幅信號的數目。

因此，調頻只宜用於頻率較高的、甚高頻和超高頻段中。

關於頻帶寬度區分以下兩點說明：3.當，也就是寬頻帶FM（WBFM）情況，式(4-19)及式(4-20)適用之。

4.當，為窄頻帶FM（NBFM），此時式（4-19）及（4-20）不再適用，由表6-1可以看出，邊頻只取一對就夠了，即窄頻帶調頻頻譜寬度為。

华科大数理方程课件——贝塞尔函数的应用(2014)

由有界条件| R(0) | 知 D 0, 再利用条件(67)
R( B) 0得 J 0 ( B) 0, 即 B 是J 0 ( x) 0 的零点。
(n) ( 0) ) 0. 则得方程以 m 表示 J 0 ( x) 的正零点，即J 0 ( m (66)在有界条件及(67)下的固有值及相应固有函数为
r u |t 0 h(1 ), u t |t 0 0. B
u | r B 0,
(62) (63) (64)
再由初始条件(64)中的第二式得
( 0) m
于是得
B
bm J 0 (( 0) ຫໍສະໝຸດ mBr ) 0,
bm 0 (m 1, 2, ).
16
1 u tt a (u rr u r ) (0 r B), r
2
根据叠加原理，方程(62)满足条件(63)的解为
( 0) (0) ( 0) a m a m m u (r , t ) (a m cos t bm sin t)J 0 ( r ). B B B m 1
2
(44) (45)
u | t 0 1 r 2 .
u (r , t ) C m e
m 1
(0) 2 ( m a) t
(46)
(0) J 0 ( m r ).
(51)
(0) 4J 2 m C m (0) 2 2 (0) , ( m ) J1 m

将 C m 代入(51)即得问题(44)-(46)的解为
(65) (66)
12
1 u tt a (u rr u r ) (0 r B), r
2

傅里叶贝塞尔变换 matlab

傅里叶贝塞尔变换（Fourier-Bessel transform）是现代数学和工程领域中重要的数学工具，它在信号处理、光学、无线通信等领域拥有广泛的应用。

而Matlab作为一款强大的数学建模和仿真软件，能够很好地支持对傅里叶贝塞尔变换的计算和应用。

在本文中，我将首先介绍傅里叶贝塞尔变换的基本概念和原理，然后结合Matlab的具体实现，最终共享我对这一主题的理解和看法。

1. 傅里叶贝塞尔变换的基本概念和原理傅里叶贝塞尔变换是一种关于贝塞尔函数的傅里叶变换，它在处理旋转对称性、圆对称性等信号时具有独特的优势。

在信号处理领域，经常会遇到具有旋转对称性的信号，如圆盘形状的声源、雷达图像等。

传统的傅里叶变换无法有效处理这类信号，而傅里叶贝塞尔变换则能够很好地描述和分析这种特殊特性。

傅里叶贝塞尔变换的数学表达式如下：\[ F(\rho, \omega) = \int_0^R f(r) J_0(2\pi \omega r) r \, dr \]其中，$f(r)$代表输入信号，$J_0$代表零阶贝塞尔函数，$\rho$代表输出信号的极径坐标，$\omega$代表输出信号的频率。

需要注意的是，傅里叶贝塞尔变换中的$J_0$函数是贝塞尔函数家族中的一种特殊形式，它在描述圆对称性信号时发挥着重要作用。

2. Matlab中傅里叶贝塞尔变换的实现在Matlab中，傅里叶贝塞尔变换可以通过特定的函数和工具箱来实现。

我们需要使用Matlab中的傅里叶函数库来处理输入信号，然后通过贝塞尔函数库来处理输出信号。

这一过程需要有一定的数学基础和编程能力，但Matlab提供了丰富的文档和范例，可以帮助我们更好地理解和应用傅里叶贝塞尔变换。

在Matlab中，傅里叶贝塞尔变换的具体计算和仿真可以通过以下几个步骤来实现：1) 读入并预处理输入信号：通过Matlab中的数据导入和处理函数，我们可以将原始信号导入到Matlab环境中，并进行必要的预处理操作，如平滑、滤波等。

贝塞尔函数柱函数

6-2 贝塞尔函数柱函数在用分离变量法一章介绍了拉普拉斯方程在柱坐标系下分离变量得到了一种特殊类型的常微分方程:贝塞尔方程．通过幂级数解法得到了另一类特殊函数，称为贝塞尔函数．贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用贝塞尔函数的正交完备性．6.1 贝塞尔方程及其解6.1.1 贝塞尔方程拉普拉斯方程在柱坐标系下的分离变量得出了一般的贝塞尔方程。

考虑固定边界的圆膜振动，可以归结为下述定解问题222222200() (0,0)|0 (0)(,,)|(,)(,,)|(,)tt xx yy x y l t tt u a u u x y l t u t u x y t x y u x y t x y ϕψ+===⎧=+≤+<>⎪=≥⎪⎨=⎪⎪=⎩（6.1.1）其中l 为已知正数，(,),(,)x y x y ϕψ为已知函数．这个定解问题宜于使用柱坐标，从而构成柱面问题．（由于是二维问题，即退化为极坐标）设(,,)(,,)()(,)u x y t u t T t U ρϕρϕ==）得220a T =（6.1.2）22100 U U k U ρϕρ′′′++=（6.1.3）再令(,)()()U R ρϕρϕ=Φ，得到2ν′′Φ+Φ=(6.1.4)2222()0R R k R ρρρν′′++−=（6.1.5）于是(6.1.5)得到22d ()0d y x x y xν+−=（6.1.6）边界条件为()|()0l y k y kl ρρ===方程（6.1.6）称为ν阶贝塞尔微分方程．这里νx和可以为任意数．6.1.2贝塞尔方程的解通过数学物理方程的幂级数求解方法可以得出结论：（1）当ν≠整数时，贝塞尔方程(6.1.6)的通解为()J ()J ()y x A x B x νν−=+（6.1.7）其中,A B 为任意常数，J ()x ν定义为ν阶第一类贝塞尔函数但是当n ν=整数时，有J ()(1)J ()nn n x x −=−故上述解中的J ()n x 与J ()n x −是线性相关的，所以(6.1.7)成为通解必须是ν≠整数.（2）当ν取任意值时：定义第二类贝塞尔函数N ()x ν，这样贝塞尔方程的通解可表示为()J ()N ()y x A x B x νν=+（6.1.8）(3) 当ν取任意值时：由第一、二类贝塞尔函数还可以构成线性独立的第三类贝塞尔函数H ()x ν，又称为汉克尔函数．(1)(2)H ()J ()iN ()H ()J ()iN ()x x x x x x νννννν⎧=+⎨=−⎩（6.1.9）分别将(1)(2)H ,H νν称为第一种和第二种汉克尔函数．于是贝塞尔方程的通解又可以表示为(1)(2)(H ()H ()y x A x B x νν=+（6.1.10）最后，总结ν阶贝塞尔方程的通解通常有下列三种形式：（i ）()J ()J () (y x A x B x ννν−=+≠整数）（ii ）()J ()N ()(y x A x B x ννν=+可以取任意数）（iii ）(1)(2)()H ()H ()(y x A x B x ννν=+可以取任意数）6.2 三类贝塞尔函数的表示式及性质6.2.1 第一类贝塞尔函数的表示式第一类贝塞尔函数J ()x ν的级数表示式为2201()1)2()!(1)2kkkk x x k k ννν∞+−+=Γ−++∑∑（6.2.1）伽马函数．满足关系()(1)(2)(1)(1)k k ννννν++−++Γ+"当ν为正整数或零时，(1)()!k k ννΓ++=+当ν取整数时(1),(0,1,2,,1)k k ννΓ−++=∞=⋅⋅⋅−所以当n ν=整数时，上述的级数实际上是从k n=的项开始，即, (0)n ≥(6.2.2)22011)()!(1)21(1)(), ()!(1)2kn kln lx k n k x l k n l n l −+∞+=Γ−++−=−Γ++∑(6.2.3)所以J ()(1)J ()nn n x x −=−（6.2.4）同理可证J ()J ()n n x x −=−（6.2.5）因此有重要关系J ()(1)J ()nx x −=−（6.2.6）贝塞尔函数表示式246223511()()()2(2!)2(3!)211()()2!22!3!2x x x x x −+−+−+−""当x 很小时(0)x →，保留级数中前几项，可得1J ()(),(1,2,3,)2(1)x x νννν≈≠−−−⋅⋅⋅Γ+（6.2.7）特别是0J (0)1,J (0)0 (=1,2,3,)n n ==⋅⋅⋅(6.2.8)32π)()π42o x x ν−−+（6.2.9）试证半奇阶贝塞尔函数122J ()s in πx x x=(6.2.1)有而13135(21)()π22k k k +⋅⋅⋅⋅+Γ+="(21)!k +2sin πx x122J ()cos πx xx−=121212220J ()(1)12!(1)2k kk k x x k k +∞+==−Γ++∑6.3 贝塞尔函数的基本性质6.3.1 贝塞尔函数的递推公式由贝塞尔函数的级数表达式（6.2.1）容易推出1J ()J ()d []v x x ν+=−(6.3.1))(6.3.2)以上两式都是贝塞尔函数的线性关系式.诺伊曼函数N()v x 也应该满足上述递推关系若用()v Z x 代表v阶的第一或第二或第三类函数,总是有1d [()]()d v vv v x Z x x Z x x−=(6.3.3)d [()]()v vx Z x x Z x −−=−(6.3.4)1)()()v v vx Z x Z x x+−=−(6.3.5)1()()v v vZ x Z x x−=(6.3.6)从(6.3.5)和(6.3.6)消去Z ν或消去Z ν′可得11()()2()v v v Z x Z x Z x +−′=−112()()()v v v vZ x Z x Z x x+−=−+即为从)(x Z 和)(x Z 推算)(1x Z v +的递推公式.1()2()v v vZ x Z x x++=（6.3.7）1)()2()v Z x Z x ν+′−=（6.3.8）任一满足一组递推关系的函数)(x Z v 统称为柱函数例6.3.1证明柱函数满足贝塞尔方程【证明】以满足（6.3.7）和（6.3.8）这一组递推公式来进行证明：将(6.3.7)与（6.3.8）相加或相减消去1Z ν+或1Z ν−分别得到()()()Z x Z x Z x ν′+=(6.3.9)x（6.3.10）换成1ν+，得到ν111()()x Z x x νν+++′+（6.3.11）将（6.3.10）代入上式，立即得到()Z x ν满足ν阶贝塞尔方程．例6.3.2 求2J ()d x x x∫【解】根据公式(6.3.8)11()()2()v v Z x Z x Z x ν−+′−=有201J ()J ()2J ()x x x ′=−20111111010J ()d J ()d 2J ()d J ()2[J ()J ()d ]J ()2[J ()J ()d ]J ()2J ()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x c′=−=−−′=−+=−−+∫∫∫∫∫例6.3.3 证明下式成立1110J ()d J ()xm m m m x x x x x +++=∫(6.3.17)特别是22J ()d J ()xx x x x x =∫(6.3.18)】利用递推公式(6.3.2)即1J ()vv x x −=，令1m ν=+则两边积分，故得到111d [J ()]J ()d m m m m x x x x x+++=1J ()d m x x∫1，即为（22.3.18）式。

贝塞尔函数的应用

贝塞尔函数的应用1ω1二、按贝塞尔函数展开求定解问题的解下面将举例说明如何用贝塞尔函数求定解问题的解。

例2：有一质量均匀的金属圆柱体，半径为，0r 柱高为l ，圆柱侧面绝热，而上下两底面的温度分别保持为和，)(2r f )(1r f 试求圆柱体内部稳定时的温度分布。

解：由于温度分布趋于稳定，圆柱体内部温度函数),,(z r u 满足定解问题由于边界条件与无关，所以定解问题的解也与无关，只能取常数，这对应于m=0的情况。

ϕϕ)(ϕΦ事实上把),,(z r u ϕ代入边界条件可得12()()(0)(),()()()().R r Z f r R r Z l f r ϕϕΦ=Φ=根据上两个等式可知()ϕΦ只能取常数。

2''()()0(4.3)()(2),'()'(2)m ϕϕϕϕϕϕππ⎧Φ+Φ=⎨Φ=Φ+Φ=Φ+⎩固有值问题求解可得固有值为22,0,1,2,...n n m ==求解可得固有函数为()cos sin n n n n n A B ϕϕϕ=+Φ方程(4.5)的解为),3,2,1(,)(:0,)(:00000 =+=≠+==-n eD eC z ZD z C z Z zn zn n n n n ωωωω根据线性叠加原理，原定解问题(4.2)的一般解为''()()0,(4.5)Z z Z z λ-=2000,0,n nn λλωω=≥==0001(,,)()(),(4.6)n n zzn n n n u r z C z D C eD eJ r ωωϕω∞-==+++∑其中系数将由上下两底面的边界条件确定。

n n D C ,注：例3：设有半径为1的均匀薄圆盘，边界温度为零，ϕ1⎧11441 1比较等式两边系数，得22 21R tω。

贝塞尔函数总结

篇一：贝塞尔函数的有关公式c.贝塞尔函数的有关公式贝塞尔方程的持解bp(z)为(柱)贝塞尔函数。

有第一类柱贝塞尔函数jp(z)p为整数n时，j?n=(?1) njn；p不为整数时，jp 与j?p线性无关。

第二类柱贝塞尔函数n p(z)(柱诺依曼函数)n为整数时n?n=(?1) nnn。

第三类柱贝塞尔函数hp(z) (柱汉开尔函数)：第一类柱汉开尔函数 hp(1)(z)= jp(z)+j n p(z)第二类柱汉开尔函数 hp(2)(z)= jp(z)?j n p(z)大宗量z??小宗量z?，为欧拉常数见微波与光电子学中的电磁理论p668jn(z)的母函数和有关公式函数ez(t/2-1/2t)称为第一类贝塞尔函数的母函数，或称生成函数，若将此函数在t=0附近展开成罗朗级数，可得到在上式中作代换，令t=ej?，t=?jej?等，可得又可得如z=x为实数贝塞尔函数的加法公式jn(z)的零点?nij’n(z)的零点?ni半整数阶贝塞尔函数jn+1/2(z)的零点?npjn+1/2(z)的零点?npd．朗斯基行列式及其它关系式e．修正贝塞尔函数有关公式贝塞尔方程中用(jz)代换z，得到修正的贝塞尔方程方程的两个线性无关的解为ip(z)=j?pjp(jz)．称为第一类修正的柱贝塞尔函数。

kp(z)=(?/2)jp+1hp(1)(jz)．称为第二类修正的柱贝塞尔函数。

篇二：贝塞尔函数第五章贝塞尔函数在第二章中，用分离变量法求解了一些定解问题。

从2.3可以看出，当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。

在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。

如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。

本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。

下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。

第一类修正贝塞尔函数

第一类修正贝塞尔函数修正贝塞尔函数是一类特殊的函数，常用于解决物理和数学问题。

其中较为常见的是第一类修正贝塞尔函数，也称为贝塞尔函数。

本文将介绍与之相关的概念、性质和应用。

一、定义第一类修正贝塞尔函数是贝塞尔微分方程的解之一。

它的定义如下：$$Z_{\nu}(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}\! \cos(\nu t - x\sint)\mathrm{d}t,\quad \mathrm{Re}(\nu)>-1$$其中，$\nu$为复数，$x$为实数。

可以发现，它是一个复函数，其实部和虚部都可以表示为一些已知函数和积分的形式。

二、性质第一类修正贝塞尔函数具有以下重要的性质：1. 对于任意实数$\nu$和$x$，有如下渐近行为：Z_{\nu}(x) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos(x-\nu\pi/2-\pi/4)$$当$x\rightarrow \infty$时；$$Z_{\nu}(x) \sim \frac{1}{\sqrt{\pi x}}\sin(x-\nu\pi/2-\pi/4)$$当$x\rightarrow 0$时。

2. 特殊值当$\nu=0$时，有：$$Z_{0}(x) = J_{0}(x)$$其中，$J_{0}(x)$是第一类贝塞尔函数。

当$x=0$时，有$Z_{\nu}(0)=1$。

3. 递推公式对于任意实数$\nu$和$x$，有如下递推公式：Z_{\nu-1}(x)-Z_{\nu+1}(x) = \frac{2\nu}{x}Z_{\nu}(x)$$这个公式在计算中非常有用。

4. 导数和积分第一类修正贝塞尔函数的导数和积分可以被表示为一些已知的函数和积分的组合。

例如：$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} Z_{\nu}(x) = -Z_{\nu+1}(x) +\frac{\nu}{x}Z_{\nu}(x)$$$$\int_{0}^{\infty}\!tZ_{\nu}(xt)\mathrm{d}t =\frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{1}{x^{1/2}}Z_{\nu-1/2}(x)$$三、应用第一类修正贝塞尔函数的应用非常广泛。

第五章-贝塞尔函数讲解

个条件可以得到：
Jn R 0
(5.34)
由于(5.34)式可知：当取不同值时，Jn(x)有零值,即贝塞尔
函数的零点。
1. Jn(x)有无穷多个零点,关于原点对称分布。 2. Jn(x)的零点和Jn+1(x)的零点是彼此相间分布，且Jn(x)的零点更靠近坐标原点。 3. 当x趋于无穷大时，Jn(x)两个零点之间的距离接近于π。
y1

x

Jn

x

1m
m0
2n2m
xn2m
m!n
m
1
(5.18)
Jn(x)称为n阶第一类贝塞尔函数
取s2=-n时：
a0

1
2n n
1
可以得到方程另一个特解
y2

x

Jn

x

1m
m0
2n2m
xn2m
m! n
在极坐标系中：
2u 1 u 1 2u

r
2

r
r

r2
2
0
u rr0 f
分离变量
u(r, ) R(r)( )
0 r r0

化简引入常量
R '' 1 R ' 1 R '' 0
r
r2
r2R '' rR ' R 0 '' 0
Jn

kn
R
r

dr

0
m k
三贝塞耳函数的模
定义积分：
R 0

5.2 贝塞尔函数的递推公式

x n J n1 ( x),
同样可以证明公式(25)。
10
d n x J n ( x) x n J n 1 ( x), dx d n x J n ( x) x n J n 1 ( x). dx

(25) (26)

如果将以上两式左端的导数表出，化简后则得
x n J n ( x) nxn1 J n ( x) x n J n1 ( x),
3
J n ( x) cos n J n ( x) Yn ( x) . sin n
(21)
Y 由(21)式知， n 不为整数时， n (x) 与 J n (x) 是当线性无关的，而当 n 为整数时，由于
J n (1) n J n ( x),
cosn (1) n ,
d n x J n ( x) x n J n 1 ( x). dx

(26)
8
d n x J n ( x) x n J n 1 ( x), dx d n x J n ( x) x n J n 1 ( x). dx

(25) (26)

事实上，在(18)式的两边乘上 x n , 然后对 x 求导，得 2m
m
情形1 如果 n 不为整数(包括0)和半奇数，由于
n n, 所以 J n (x)与 J n (x) 线性无关，由齐次线性
常微分方程解的结构定理知，方程(12)的通解为
y AJ n ( x) BJ n ( x),
(20)
1
x 2 y xy ( x 2 n 2 ) y 0.
(12) (20)
y AJ n ( x) BJ n ( x),