数学分析4.2连续函数的性质(习题)

第四章函数的连续性2 连续函数的性质(练习)1、讨论复合函数f(g(x))与g(f(x))的连续性，设(1)f(x)=sgn x，g(x)=1+x2；(2) f(x)=sgn x，g(x)=(1-x2)x.解：(1)∵f(g(x))=sgn (1+x2)≡1，∴f(g(x))是连续函数.又g(f(x))=1+(sgn x)2=，∴x=0是g(f(x))的可去间断点，其余点处处连续.(2)∵f(g(x))=sgn [(1-x2)x]=或或或，∴x=0和x=±1是f(g(x))的跳跃间断点.又g(f(x))=[1-(sgn x)2]x≡0，∴g(f(x))是连续函数.2、设f,g在点x0连续，证明：(1)若f(x0)>g(x0)，则存在U(x0,δ)，使在其内有f(x)>g(x)；(2)若在某U⁰(x0)内有f(x)>g(x)，则f(x0)≥g(x0).证：(1)∵f(x0)>g(x0)，设ε0=>0，∵f在点x0连续，∴=f(x0)，即对ε0，有δ1>0，使当|x-x0|<δ1时，就有|f(x)-f(x0)|<ε0=，同理对ε0，有δ2>0，使当|x-x0|<δ2时，就有|g(x)-g(x0)|<ε0=，取δ=min(δ1,δ2)，则当|x-x0|<δ时，就有|f(x)-f(x0)|+|g(x)-g(x0)|< f(x0)-g(x0)，又f(x0)-f(x)+g(x)-g(x0)≤|f(x)-f(x0)|+|g(x)-g(x0)|，∴f(x0)-f(x)+g(x)-g(x0)< f(x0)-g(x0)，化简得f(x)>g(x)，x∈U(x0,δ).(2)若f(x0)<g(x0)，由(1)可知存在某U(x0,δ)，使f(x)<g(x)，这与题设f(x)>g(x)矛盾；∴f(x0)≥g(x0).3、设 f,g在区间I上连续，记F(x)=max{f(x),g(x)}，G(x)=min{f(x),g(x)}.证明F和G也都在I上连续.证：F(x)=max{f(x),g(x)}=[f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|]；G(x)=min{f(x),g(x)} =[f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|].∵f,g在区间I上连续，∴|f(x)-g(x)|在区间I上连续，∴F和G也都在I上连续.4、设f为R上的连续函数，常数c>0，记F(x)=当当当.证明：F在R上连续.证1：函数F等价于F(x)=max{-c,min{c,f(x)}}，∵f(x)和y=c在R上连续，∴min{c,f(x)}在R上连续；又y=-c在R上连续，∴F(x)=max{-c,min{c,f(x)}}在R上连续.证2：函数F等价于F(x)=[|c+f(x)|-|c-f(x)|]，∵f(x)在R上连续，∴|f(x)±c|在R上连续；∴F(x)在R上连续.5、设f(x)=sinx, g(x)=证明：复合函数f(g(x))在x=0连续，但g在x=0不连续.证：f(g(x))=. ∴f(g(x))=-sinx在x=0连续.又= -π，=π，∴g在x=0不连续.6、设f在[a,+∞)上连续，且存在. 证明：f在[a,+∞)上有界，又问f在[a,+∞)必有最大值或最小值吗？证：设=A，对任给的正数ε，有正数b，使x>b时，有|f(x)-A|<ε，即A-ε<f(x)<A+ε. ∴f在[b,+∞)上有界.若b≤a，则[a,+∞)⊆[b,+∞)，∴f在[a,+∞)上有界.若b>a,则[a,b]⊂[a,+∞)，∵f在[a,+∞)上连续,∴f在[a,b]上连续,∴f在[a,b]上有界. ∴f在[a,b]∪[b,+∞)=[a,+∞)上有界.f在[a,+∞)一定有最大值或最小值。

f在闭区间[a,b]⊂[a,+∞)上连续, ∴f在[a,b]上有最大值M和最小值m.若M≥A+ε，则M为f在[a,+∞)上的最大值；若m≤A-ε，则m为f在[a,+∞)上的最小值；若M<A+ε且m>A-ε，则M>A-ε且m<A+ε，取εM =M-(A-ε)=M-A+ε>0，有正数c，使x>c时，有|f(x)-A|<εM=M-A+ε，即A-(M-A+ε)<f(x)<A+(M-A+ε)=M+ε.由ε的任意性可知f(x)≤M，又f在[b,c]上有最大值N，取x M=max(M,N)，则x M为f在[a,+∞)上的最大值；取εm =A+ε-m>0，有正数d，使x>d时，有|f(x)-A|<εm= A+ε-m，即A+( A+ε-m)>f(x)>A-( A+ε-m)=m-ε.由ε的任意性可知f(x)≥m，又f在[b,d]上有最小值n，取x m=min(m,n)，则x m为f在[a,+∞)上的最小值.若M>m≥A+ε，则f在[a,+∞)上有最大值，不一定有最小值.若A-ε≥M>m，则f在[a,+∞)上有最小值，不一定有最大值.∴f在[a,+∞)一定有最大值或最小值。

7、若对任何充分小的ε>0，f在[a+ε,b-ε]上连续，能否推出f在(a,b)内连续. 解：能. 若f在(a,b)内不连续，则必存在间断点x0∈(a,b).记x0=a+m=b-n，∵ε>0充分小，∴a+m≥a+ε, b-n≤b-ε，即x0∈[a+ε,b-ε]，∴f在[a+ε,b-ε]上不连续，这与题设矛盾，∴f在(a,b)内连续.8、求极限：(1)tan x；(2).解：(1)tan x=·tan x=.(2)==.9、证明：若f在[a,b]上连续，且对任何x∈[a,b]，f(x)≠0，则f在[a,b]上恒正或恒负.证：若f在[a,b]上不恒正或不恒负，则必存在x1,x2∈[a,b]，使f(x1)>0，f(x2)<0，又f在[a,b]上连续，∴必有x∈(x1,x2)，使f(x)=0与题设矛盾.∴f在[a,b]上恒正或恒负.10、证明：任一实系数奇次方程至少有一实根.证：设a0x2n+1+a1x2n+…+a2n x+a2n+1=0 (a0≠0)为一实系数奇次方程且.记函数f(x)=a0x2n+1+a1x2n+…+a2n x+a2n+1，则f(x)在R上连续.当a0>0时，=+∞，=-∞，∴有a>b，使f(a)>0，f(b)<0，根据根的存在性定理可知，方程在[b,a]上至少有一个实根.同理，当a0<0时，=+∞，=-∞，∴有a>b，使f(a)<0，f(b)>0，根据根的存在性定理可知，方程在[a,b]上至少有一个实根.11、试用一致连续的定义证明：若f,g都在区间I上一致连续，则f+g也在I上一致连续.证：∵f,g都在区间I上一致连续，∴对任给的ε>0，分别存在正数δ1和δ2，使对任何x’,x”∈I，只要|x’-x”|<δ1，就有|f(x’)-f(x”)|<ε；只要|x’-x”|<δ2，就有|g(x’)-g(x”)|<ε；取δ=min(δ1,δ2)，则只要|x’-x”|<δ，就有|f(x’)-f(x”)|+|g(x’)-g(x”)|<ε，又|[f(x’)+g(x’)]-[f(x”)+g(x”)]|=|[f(x’)-f(x”)]+[g(x’)-g(x”)]|≤|f(x’)-f(x”)|+|g(x’)-g(x”)|，∴对任给的ε>0，有正数δ，对任何x’,x”∈I，只要|x’-x”|<δ，就有|[f(x’)+g(x’)]-[f(x”)+g(x”)]|<ε，∴f+g也在I上一致连续.12、证明f(x)=在[0,+∞)上一致连续.证：∵f(x)=在[0,+∞)连续，故对任意a>0，f(x)在[0,a]上连续，且一致连续. ∴∀ε>0，总∃δ1>0，使任意x’,x”∈[0,a]，当|x’-x”|<δ1时，有|f(x’)-f(x”)|<ε. 又对任意x’,x”∈[a,+∞)，要使||=<<ε，只要取δ2=ε，则只要|x’-x”|<δ2时，就有|-|<ε.取δ=min(δ1,δ2, )，当任意x’,x”∈[0,+∞)且|x’-x”|<δ时，总有x’,x”∈[0,a]或x’,x”∈[,+∞)，有|ε.∴f(x)=在[0,+∞)上一致连续.13、证明：f(x)=x2在[a,b]上一致连续，但在(-∞,+∞)上不一致连续.证：∀ε>0，对任意x1,x2∈[a,b]，要使|x12-x22|=|x1+x2|·|x1-x2|<2max(|a|,|b|)·|x1-x2|<ε.只要取δ=ε，则当|x1-x2|<δ时，就有|f(x1)-f(x2)|<ε，∴f(x)=x2在[a,b]上一致连续。

取ε0=1，不管正数δ多么小，只要n充分大，总有x’=n+，x”=n，使|x’-x”|=<δ，而|f(x’)-f(x”)|==2>ε0，∴f(x)=x2在(-∞,+∞)上不一致连续.14、设函数f在区间上满足利普希茨条件，即存在常数L>0，使得对I上任意两点x’，x”都有|f(x’)-f(x”)|≤L|x’-x”|，证明 f在I上一致连续.证：∀ε>0，总有正数δ=ε，使I上任意两点x’，x”，当|x’-x”|<δ时，就有|f(x’)-f(x”)|≤L|x’-x”|< L·δ=ε. ∴f在I上一致连续.15、证明sinx在(-∞,+∞)上一致连续.证：∀ε>0，对任意x’,x”∈(-∞,+∞)，要使|sinx’-sinx”|≤|x’-x”|<ε，只需取δ=ε，则当|x’-x”|<δ时，就有|sinx’-sinx”|<ε，∴sinx在(-∞,+∞)上一致连续.16、设函数f在[a,+∞)上连续，且存在. 证明：f在[a,+∞)上一致连续.证：∀ε>0，∵存在，∴∃Z>a，使当x’>Z，x”>Z时，恒有|f(x’)-f(x”)|<ε. 又f(x)在[a,Z+1]上连续，∴∃δ’>0，使当x’,x”∈[a,Z+1]，|x’-x”|<δ’时，恒有|f(x’)-f(x”)|<ε.取δ=min(Z,δ’)，则当x’, x”∈[a,+∞)，|x’-x”|<δ时，有x’, x”∈[a,Z+1]，或x’>Z，x”>Z，∴恒有|f(x’)-f(x”)|<ε.∴f在[a,+∞)上一致连续.17、设函数f在[0,2a]上连续，且f(0)=f(2a).证明：存在点x0∈[0,a]，使得f(x0)=f(x0+a).证：记F(x)=f(x)-f(x+a)，∵f在[0,2a]上连续，∴f(x+a)在[-a,a]上连续，∴F(x)在[0,a]上连续. 又F(0)=f(0)-f(a)，F(a)=f(a)-f(2a)=f(a)-f(0)，当f(0)=f(a)时，F(0)=F(a)=0，∴当x0=0或x0=a时，x0∈[0,a]，且F(x0)=f(x0)-f(x0+a)=0，即f(x0)=f(x0+a)；当f(0)≠f(a)时，F(0)·F(a)<0，根据根的存在性定理，有x0∈[0,a]，使F(x0)=f(x0)-f(x0+a)=0，即f(x0)=f(x0+a).∴存在点x0∈[0,a]，使得f(x0)=f(x0+a).18、设f为[a,b]上的增函数，其值域为[f(a),f(b)]，证明f在[a,b]上连续. 证：设x0∈(a,b)是f(x)的间断点，∵f(x)递增，∴x0是f(x)的第一类间断点，∴f(x0-0)与f(x0+0)都存在，且f(x0)-f(x0-0)与f(x0+0)-f(x0)中至少有一个大于0. 若f(x0)-f(x0-0)>0，由f的单调性可知：当a≤x<x0时，f(x)≤f(x0-0)；当x0<x≤b时，f(x)≥f(x0)，即f(x)不能取f(x0-0)与f(x0)之间的实数，这与f(x)的值域为[f(a),f(b)]矛盾；若f(x0+0)-f(x0)>0，由f的单调性可知：当a≤x<x0时，f(x)≤f(x0)；当x0<x≤b时，f(x)≥f(x0+0)，即f(x)不能取f(x0)与f(x0+0)之间的实数，这与f(x)的值域为[f(a),f(b)]矛盾；∴x0∈(a,b)不可能是f(x)的间断点，即f(x)在(a,b)上连续.若f(x)在点a不是右连续，则f(a+0)-f(a)>0，又任意x∈(a,b]有f(x)≥f(a+0)，即f(x)不能取f(a)与f(a+0)之间的实数，这与f(x)的值域为[f(a),f(b)]矛盾；若f(x)在点b不是左连续，则f(b)-f(b-0)>0，又任意x∈[a,b)有f(x)≤f(b-0)，即f(x)不能取f(b-0)与f(b)之间的实数，这与f(x)的值域为[f(a),f(b)]矛盾；∴f(x)在[a,b]上连续.19、设f在[a,b]上连续，x1,x2,…x n∈[a,b].证明：存在ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=.证：∵f在[a,b]上连续，[x1,x n]⊆[a,b]，∴f在[x1,x n]上有最大值M和最小值m. 对任给的x∈[x1,x n]，有m≤f(x)≤M，∴m≤≤M，设x’,x”∈[x1,x n]，使f(x’)=M，f(x”)=m，由介值性定理知：存在ξ∈[x’,x”](或[x”,x’])⊆[x1,x n]⊆[a,b]，使f(ξ)=.20、证明f(x)=cos在[0,+∞)上一致连续.证：∵f(x)=在[0,+∞)连续，故对任意a>0，f(x)在[0,a]上连续，且一致连续. ∴∀ε>0，总∃δ1>0，使任意x’,x”∈[0,a]，当|x’-x”|<δ1时，有|f(x’)-f(x”)|<ε. 又对任意x’,x”∈[,+∞)，要使|cos-cos|<ε，∵|cos≤≤|-|=≤=∴只要取δ2=ε，则只要|x’-x”|<δ2时，就有|f(x’)-f(x”)|<ε.取δ=min(δ1,δ2, )，当任意x’,x”∈[0,+∞)且|x’-x”|<δ时，总有x’,x”∈[0,a]或x’,x”∈[,+∞)，有|f(x’)-f(x”)|<ε.∴f(x)在[0,+∞)上一致连续.。