圣维南原理的概念及应用
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dy P
2
xl
h
2 h x
dy 0
2
xl
h
2 h x
ydyPl
2
xl
近似满足
结论:式(a)为正确解
§4-9 圆孔的孔边应力集中
圆孔 应力集中:应力集中程度
HPU
ZS《Rock Mass Mechanics》
22.03.2020
ZS
1. 孔边应力集中概念
由于弹性体中存在小孔,使得孔边的应力远大于无孔时的应力, 也远大于距孔稍远处的应力。 称为孔边的应力集中。
x xh 0
xy
xh
0
右侧面: l1,m0 fx y, fy 0 代入应力边界条件公式,有
对O点的力矩等效:
h h
(
y
)
y0
xdx
P
h 2
sin
x
xh
y
xy
0
xh
x方向力等效:
h
h
(
yx
)
d
y0
x
Pcos
, 上端面: 为次要边界,可由圣维南原理求解。 h
注意:
y xy
y方向力等效:
A(r, )
rrq 2(1a r2 2)1 (3 ra 22)si2n—— 齐尔西(G. Kirsch)解
讨论:(1) 沿孔边,r = a,环向正应力: q(12co2s) (4-18)
0°
30° 45° 60° 90°
-q
0
q
2q
3q
(2) 沿 y 轴,θ =90°,环向正应力:
q(112ar2223ar44)
说明:
x = 0 的边界条件,是有矛 盾的。由此只能求出结果:
ys q ,xy s 0
u0,v0.
例3 图示水坝,试写出其边界条件。
左侧面: lco ,m ssin
xytan
fx ycos fy ysin
由应力边界条件公式,有
l(x)s m(xy)s f x
m(y)s l(xy)s fy
x( c o ) s xy ( s i)n y c os
HPU
ZS《Rock Mass Mechanics》
问题的提出:
求解弹性力学问题时,使应力分量、
P
P
形变分量、位移分量完全满足8个基本方程
相对容易,但要使边界条件完全满足,往往
很困难。
P
如图所示,其力的作用点处的边界条 件无法列写。
1. 、静力等效的概念
两个力系,若它们的主矢量、主矩相等,则两个力系
h
(
y
)
dx
y0
Psin
必须按正向假设!
上端面:(方法2) 取图示微元体, 由微元体的平衡求得,
Fy 0
h
h
y
dxPsin0
y0
h h y
d xPsi n
y0
MO0
h h
y
x dx P hsin0
y0
2
h h
(
y
) y0
xdx
P
h 2
sin
h
Fx 0
h
yx
dxPco s0
应力集中系数: K max
与孔的形状有关,是局部现象; (圆孔为最小,其它形状较大)
与孔的大小几乎无关。
2. 孔边应力集中问题的求解
(1)问题:
带有圆孔的无限大板(B >>a),圆 孔半径为 a,在无限远处受有均匀拉应力 q 作用。
求:孔边附近的应力。
HPU
max
(2)问题的求解
问题分析 坐标系: 就外边界(直线),宜用直角坐标;
HPU r q2r 1 3q 2ar(1 44 ca r2 2 o)2s1 (3 ra 22)si2 n (f)
将问题1和问题2的解相加, 得全解:
rq 2(1a r2 2)q 2(1a r2 2)1 (3 ra 2 2)co 2 s
b
q 21a r2 2q 213a r4 4co2s (4-17)
∵A 点同处于 AB 和 AC 的边界,∴ 满足式(1)和(2),解得
x y xy0
∴ A 点处无应力作用
§2-8 圣维南原理
1. 静力等效 2. 圣维南原理及其应用
HPU
ZS《Rock Mass Mechanics》
22.03.2020
ZS
1. 为什么要用圣维南原理? 2. 如何应用圣维南原理? 3. 圣维南原理中主矩的方向是如何定义的? 4. 圣维南原理中主矩是对那个点取矩? 5. 圣维南原理中边界的面力和应力的关系? 6. 什么是主要边界?什么是次要边界? 7. 为什么正应力对中心点取矩不为零?
代入相容方程:
x22 y22(xy)0
x22 y22P I xy0 0
式(a)满足相容方程。
再验证,式(a)是否满足边界条件?
上、下侧边界:
yy h 0 , yx y h 0
2
2 ——
满足
左侧边界:
xx00
——满足
h
2 h xy
dyP ——近似满足
2
x0
右侧边界:
h
2 h xy
为静力等效力系。
R F i
M O m O(Fi)
这种等效只是从平衡的观点而言的,对刚体来而言完全正 确,但对变形体而言一般是不等效的。
2.、圣维南原理 (Saint-Venant Principle)
原理:若把物体的一小部分边界上的面力,变换为分布 不同但静力等效的面力,则近处的应力分布将有 显著改变,而远处所受的影响可忽略不计。
y( s i)n xy ( c o ) s y s in
右侧面: lco ,smsin xytan
co sxsinxy 0
fx fy 0
sin yx co sxy 0
例4 图示薄板,在y方向受均匀拉力作用,
证明在板中间突出部分的尖点A处无应
力存在。
解: —— 平面应力问题,在 AC、AB 边界上无面
x
MyPxy
I
I
xyQ IBS2PIh42
y2
(a)
代入平衡微分方程:
y 0
式(a)满足平衡方程和相容方程?
式(a)是否满足边界条件?
x
x
PI y,
xy
y
P y, I
xy 0,
x
y 0, y
x
x
xy
y
X
0
yx y Y0
(2-2)
x y
P I yP I y00
0000
XY0
显然,平衡微分方程满足。
2
r 2
(1A 22r2B6rD 4)co2s
(e)
r
b
r
r
q cos2
2
r
r
1r
(6A2r2B2 rC 26 rD 4)si2 nr
qsin2
2
对上述应力分量应用边界条件(c), 有
内边界
r ra 0 外边界 r ra 0
HPU
r
rb
qcos2
2
r
ra
qsin
2
(c)
2B4C6Dq b2 b4 2
力作用。即
fx fy 0
AB 边界: l1co1,sm sin 1
由应力边界条件公式,有
l(x)s m(xy)s fx
m(y)s l(xy)s fy
cos1x sin1xy0(1) sin1y cos1xy0
AC 边界:
l2 cos2
m2 sin1
代入应力边界条件公式,有
cos2x sin2xy0(2) sin2y cos2xy0
m(y)s l(xy)s fy
xs0 , xy s0
(3) y h, l0,m1 fx 0, fy q
a y
(4) y h, l0,m1 fx 0, fy 0
xs0xys(1)0 y s(1)xys00
ys0 ,xy s0
xs0xys(1)0 y s(1)xys0q
2 2
r
r
1r
可假设应力函数为:
f(r)co2s
a
b
r
r
r
q cos2
2
r
qsin2
2
将其代入相容方程:
HPU
r22 1rrr12 2220
d 4 d f( 4 r) r 2 rd 3 d f( 3 r) r r 9 2d 2 d f( 2 r) r r 9 3d d (r) f rc2 o s 0
次要边界
课堂练习与讨论
例7
HPU
ZS《Rock Mass Mechanics》
22.03.2020
ZS
例7 图示矩形截面水坝,其右侧受静水 压力,顶部受集中力作用。试写出
y
yx
水坝的应力边界条件。
左侧面: l 1,m0 fx fy 0
代入应力边界条件公式
l(x)s m(xy)s fx m(y)s l(xy)s fy
高等岩石力学
第二讲:特殊边界处理与网格划分问题
平面问题的基本方程
1. 平衡微分方程
x x
yx y
fx
0
xy x
y y
fy
0
(2-2)
2. 几何方程
x
u x
y
v y
xy
v x
u y
(2-9)
3. 物理方程
x E1(x y) y E1(y x) (2-15) xy2(1E)(平xy面应力问题)
d 4f(r) 2d 3f(r) 9d 2f(r) 9d(r) f
d4r r d3r r2
d2r r3
0 dr
与前面类似, 令: ret(或 tlnr) 有
d4 d f4 (tt) 4d3 d f3 (t) t 4d2 d f2 (tt) 1d 6 d (tf)t 0
该方程的特征方程:
4 43 42 16 0
r
HPU
a
2a
3a
4a
3q
1.22q
1.07q
1.04q
(3) 沿 x 轴,θ =0°,环向正应力:
qa2 2r2
3a2 (2r2
1)
ra, q;
r 3a, 0
(4) 若矩形薄板(或长柱)受双向拉应力 q1、q2 作用 q2
q1
q1
q1
q1
x
x
q2 y
y
HPU
q2
x
q2 y
(4) 若矩形薄板(或长柱)受双向拉应力 q1、q2 作用 q2
特征根为: 1 4, 2 2, 3 0, 4 2
方程的解为: f(t)A4te B2te C D 2te
HPU
f(rA )4rA B 4r 2rB C 2r C D r12D c r12o2sf(r)co2s
A4rB2rCDr12co2s 问题2
a
相应的应力分量:
r
1 1
r r r2
2 2
(2B4rC 2 6rD 4)co2s
y0
P
x
yx
y
h
h
(
yx
)
dx
y0
Pcos
y
注意: y , xy
可见,与前面结果相同。
必须按正向假设!
例9 图示矩形截面悬臂梁,在自由端受集中力P作用,不计体力。试根据
材 压料 应力 力学公y式=,0,写然出后弯说曲明应这力些 表x 达和式剪是应否力代表xy 正的确表解达。式,并取挤
解 材料力学解答:
4. 边界条件
位移: 应力:
u v
s s
u v
(2-17)
l(x)s m(xy)s fx
m(y)s l(xy)s fy
(2-18)
例1 如图所示,试写出其边界条件。
q
(1)
x 0,
u v
s s
0 0
u 0, v 0 y x
h
hx
(2) xa, l 1,m0 fx 0, fy 0
l(x)s m(xy)s fx
A (r, )
r A
x
A x q
A
r r
b
r r
新问题的边界条件可表示为:
内边界 r ra 0
r ra 0
外边界
r
rb
qqco2s
22
r
rb
qs 2
in2
(a)
将外边界条件(a)分解为两部分:
r
r b
q 2
r rb 0
(b)
r r
qcos2
rb 2qsin2(c)
rb
2
a
x
b
rFra Baidu bibliotek r
y
就内边界(圆孔),宜用极坐标。
取一半径为 r =b (b>>a),在其上取一 点 A 的应力:
由应力转换公式:
O
rx 2 y x 2 yco 2 sxs y i2 n
q qcos2
y
22
rx 2ysi2 nx y co2s
q sin2
2
原问题转化为:无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。
HPU
b
问题1
a
问题2
a
HPU
b
r q
b
r
qsin2
2
r
q cos2
2
问题1的解:
问题1
内边界
r
ra
0
外边界
r ra 0
该问题为轴对称问题,其解为
r
r b
q 2
(b)
r rb 0
r
1
1
a2
r2 a2
b2
q 2
1 1
a2
r2 a2
b2
q 2
r 0
a
b
r
q 2
当 b>>a 时,有
r
1
a2 r2
q 2
1
q1
q1
q1
q1
x
x
q2
x
q2 y
y
q2 y
叠加后的应力:
r q 1 2 q 2(1 a r2 2 ) q 1 2 q 2(1 a r2 2)1 (3 r a 2 2 )c2 os
q1 2q2 1a r2 2 q1 2q2 13a r4 4 co 2 s
a2 r2
q 2
r 0
(d)
HPU
问题2的解:(非轴对称问题)
内边界 r ra 0 外边界 r ra 0
r r
rb rb
qcos2问题2
2
qsin2
2
(c)
由边界条件(c),可假设: r 为 r 的某一函数乘
以
cos2;
为r
r
的某一函数乘以
sin2。
又由极坐标下的应力分量表达式:
r
1rr r12
问题2 a
6A2b2B2 bC 26 bD 4 q 2
2B4aC2 6aD4 0
求解A、B、C、D,然后令
b
r
r
6A2a2B2aC 2 6aD 4 0a A0, B q , C qa2,
/
b=
D
0,得
q
a
4
4
4
r
q cos2
2
r
qsin2
2
代入应力分量式(e), 有
r q 2(1a r2 2)1(3ra22)co2s
P
P
P/2
P/2
P A
P
P A
P A
3.、圣维南原理的应用
(1) 对复杂的力边界,用静力等效的分布面力代替。 (2) 有些位移边界不易满足时,也可用静力等效的分布面力代替。
注意事项:
(1) 必须满足静力等效条件;
(2) 只能在次要边界上用圣维南原理,在主要边界上不能使用。
如:
主要边界
A
B
P
P A