《数学物理方法》第5章 解析延拓多值函数及其黎曼面

不是所有函数都能像上例一样通过求和得到 函数的有限表达式，而是要一步一步延拓出 去的。 为便于比较，仍采用刚才的例子
逐步进行解析延拓
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首先，在D1,内任取一点b1 = i/2，将f1(z)在b1 点的邻域展开为泰勒级数
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f2(z)和f1(z)分别是函数
的泰勒展开式。因此， 在两者重叠的区域中 必有f1(z) ＝ f2(z) 这样， f2(z)就是f1(z)在D2的 解析延拓。
布在圆周|z|=1上，使得从任何方向都不能延
拓出去．
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§5.1.3 用函数关系进行解析延拓G函数 利用G函数的递推公式, 对G函数进行解析延拓 l. G函数的定义与递推公式
实变函数中G函数的定义是
x＞0 (5. 1. 12)
复变函数中G函数的定义是它的简单推广
Rez= x＞0 (5.1. 13)
素{Dn, fn(z)}，其中n=2, 3，⋯
一个解析元素{D1, f1(z)}的全部解析延拓的集合， 称为f1(z)所产生的完全解析函数F(z)。
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F(z)的定义域是全部解析元素给出的定义 域的总和，即
对于,这个例子，可以把f1(z)解析延拓到除z=1以 外的全平面．因为级数在z=1是发散的，在每一 次解析延拓过程中，Dn都不能包含z=1.
奇点z=1成为每一个Dn(n=2,3,⋯)的边界点．并且
从展开中心bn到z=1的距离就是fn(z)的收敛半径， 见图5.2.
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2. 并非所有函数都能解析延拓
例如函数
的定义域为|z|<1，其收敛半径R=1。 f1(z)在 收敛圆周上密布着无限多奇点．实际上，在
圆周|z|=1上，满足的
点，也就是
G函数的递推公式为 G(z+1）＝zG(z） (5.1.14)
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G函数的递推公式为 G(z+1）＝zG(z） (5.1.14)
证明 现在通过分部积分来证明
可用洛必达法则证明，而 tze-t|t=0 = 0 是显然的
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2. 用G函数的递推公式进行解析延拓
的定义域为Rez >0，称为D1 。这样， {D1, f1(z)} 亦即{Rez>0, G(z)} 构成了一个解析元素． 现在由它出发，通过解析延拓，得到第二个 解析元素．由式(5.1.14)得
此式成立的条件是Re(z+1) >0(即Rez > -1)， 以及z≠0。
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由此定义
f2(z)的定义域D2, 即为Rez >-1及 z≠0。因为D1 与D2重叠的区域 D12 (即D1 )中f1(z) ＝ f2(z) ，故 f2(z)是f1(z) 在D2 的解析延拓.
这样便得到第二个解析元素
§5.1.1 解析延拓的概念
若函数f1(z)和f2(z)分别在D1和D2内解析，并且在D1与 D2的重叠区域D12中有 f1(z) ＝ f2(z) (5.1.1)
则称f2(z)为f1(z)在D2 中的解析延拓，称f1(z) 为f2(z)在 D1 中的解析延拓(图5. 1).
解析函数与其定义域 的组合{D1, f1(z)}, {D2, f2(z)}称为解析元素.
(5.1.9)
均为奇点。现在计算f1(z)在zn,k的取值，由
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(5.1.10)右边第一项为有限值，第二项为
这说明所有zn,k均为f1(z)的奇点．
(5.1.11)
其次，由式(5.1.9)可见，对于一个k值,n可以
取0,1,⋯,2k-1的值(如取k=3，则n= 0,1,⋯,7)．
因为k可取无限多个值，故奇点zn,k有无限多 个，并且它们按照式(5.1.9)的规律稠密地分
多值函数及其黎曼面是讨论如何引入黎曼面， 把多值函数看作黎曼面上的单值解析函数，从 而把单值解析函数的理论移植过来。它的定义 域也由一个z平面扩大为多叶的黎曼面．在此 基础上，本章还介绍利用多值函数积分计算实 变积分的方法．
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§5.1 解析延拓 G函数
本节介绍解析延拓的概念； 分别利用泰勒级数和函数关系进行解 析延拓； 结合G函数的解析延拓，讨论G函数的 一些常用性质。
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在D1与D2的重叠区域D12(D12≡D1),有f1(z) ＝ f2(z)
这样，
在D2中
的解析延拓，从而将f1(z)的定义域扩大了。
同样，也称f1(z)是f2(z)在D1中的解析延拓；只 不过在本例中， D2已涵盖了D1而已。这两个 解析元素分别记为
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§5.1.2 用泰勒级数进行解析延拓
1. 解析延拓的方法 现在用泰勒级数将{D1, f1(z)}解析延拓，显然，
在D2内任取一点b2，将f2(z)在 b2点的邻域展开为泰勒级数
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在D2内任取一点b2，将f2(z)在b2点的邻域 展开为泰勒级数
设级数收敛的区域为D3 ，在D2与D3重叠的区域 f2(z) ＝ f3(z) ，这样f3(z)就是f2(z)在D3的解析延 拓．
⋯⋯这样不断作下去，就得到一系列的解析元
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继续作下去，由式(5.1.14)还可得
G(z+2) = (z+1)G(z+1) = (z+1)zG(z)，由此得
此式成立的条件是Re(z+2)>0(即 Rez >-2)， z≠0及z≠-1。
由此定义
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f3(z)的定义域D3, 即为Rez >-2及z≠0及z≠-1 因为在D2与D3重叠的区域D23 (即D2)中 f2(z)=f3(z) ，故f3(z)是f2(z) 在D3 的解析延拓. 这样便得到第三个解析元素 {D3, f3(z)}
第5章 解析延拓 多值函数及其黎曼面
解析延拓是研究怎样扩大解析函数 定义域的问题。 引入黎曼面，把多值函数看作黎曼 面上的单值解析函数，从而把单值 解析函数的理论移植过来。
第1章曾把定义在实轴上的实函数(如指数函数、 三角函数等）通过将x改为z的替换，扩大成为 复平面上的解析函数．本章讨论将一般的解析 函数进行解析延拓的方法，并在此基础上介绍 G函数的有关性质。
继续作下去，便得到 {D4, f4(z)} ，{D5, f5(z)} ⋯
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这些解析元素的全体构成一个完全的解析函数
． (5.1.17)
它的定义域就是这些函数的定义域的总和，即 除z = 0,-1,-2,⋯ 以外的全平面。
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3. G函数的常用公式
由定义出发，容易得到G函数的一些常用公式