导数与微分单元复习

第二章 导数与微分

学习目标：

1.了解导数、微分的几何意义、经济意义；函数可导、可微、连续之间的关系；高阶导数的概念

2.理解导数和微分的概念

3.掌握导数、微分的运算法则；导数的基本公式；复合函数的求导法则

导数的概念

．1问题的引入（以物理学中的速度问题为例，引入导数的定义）

1 .变速直线运动的瞬时速度

设一物体作变速直线运动，其路程函数为s =s (t )，

求该物体在 0t 时刻的瞬时速度.设在 0t 时刻物体的位置为s ( 0t ).当经过0t + t Δ时刻获得增量 t Δ时，物体的位置函数s 相应地有增量),()(00t s t t s s -∆+=∆于是比值

()(),00t

t s t t s t s ∆-∆+=∆∆ 就是物体在0t 到 0t +t Δ这段时间内的平均速度,记作 v ，

()().00t

t s t t s t s v ∆-∆+=∆∆=

即

当t Δ很小时，v 可作为物体在 0t 时刻的瞬时速度的近似值. 且t Δ越小，v 就越接近物体在 0t 时刻的瞬时速度，即

()().lim lim

lim )(00000

0t

t s t t s t s

v t v t t t ∆-∆+=∆∆==→∆→∆→∆

就是说，物体运动的瞬时速度是路程函数的增量和时间的增量之比当时间增量趋于零时

的极限.

产品总成本的变化率

设某产品的总成本C 是产量Q 的函数，即C =C (Q )，当产量Q 从 0Q 变到

Q Q ∆+0时，总成本相应地改变量为 )()(00Q f Q Q f C -∆+=∆

当产量从0Q 变到Q Q ∆+0时，总成本的平均变化率

Q

Q f Q Q f Q C ∆-∆+=∆∆)()(00 当0→∆Q 时，如果极限Q

Q f Q Q f Q C

Q Q ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim

0000

存在，则称此极限是产量为0Q 时总成本的变化率。

2．1．2导数的定义

1. 函数)(x f y =在一点0x 处导数

定义 设函数)(x f y =在),(0δx N 内有定义，

①当自变量x 在0x 处取得增量x ∆(点x x ∆+0仍在该邻域内)时； ②相应地函数y 取得增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；

③如果y ∆与x ∆之比当0→∆x 时的极限存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并称这个极限为函数)(x f y =在点0x 处的导数，记为)(0x f '，即

=')(0x f 0

lim

→∆x =∆∆x y

lim

→∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00 . 也可记为 0

x x y =',

x x dx

dy

=或

)(x x dx

x df =．

也称函数增量与自变量增量之比

x

y

∆∆是函数y 在以0x 及0x x ∆+为端点的区间上的平均变化率，导数）（0x f '是函数)(x f y =在点0x 处的变化率，即瞬时变化率．

如果极限不存在，我们说函数)(x f y =在点0x 处不可导.

如果固定0x ，令x x x =∆+0，则当0→∆x 时，有0x x →，故函数在0x 处的导数

)(0x f '也可表为

00)

()(lim

)(0

x x x f x f x f x x --='→ .

[例题1] 求函数3

x y =在1=x ，2=x 处的导数.

解 当x 由1变到1+∆x 时，相应的函数增量为

3233)()(x x x x f x x f y ∆+∆+∆=-∆+=∆

于是 2)(33x x x

y

∆+∆+=∆∆， 则=')(x f 0lim

→∆x =∆∆x y

lim →∆x 2)(33x x ∆+∆+3=

当x 由2变到2+∆x 时，相应的函数增量为

32)(612)()(x x x x f x x f y ∆+∆+∆=-∆+=∆

于是 2)(612x x x

y

∆+∆+=∆∆， 则=')(x f 0

lim

→∆x =∆∆x y

lim →∆x 2)(612x x ∆+∆+12= 定义：如果函数)(x f y =在区间（a,b ）内每一点都可导，称)(x f y =在（a,b ）内可导

2. 函数)(x f y =在一点x 处导数——导函数

将0x 处导数定义中的0x 换成x ，如果y ∆与x ∆之比当0→∆x 时的极限存在，则称函数)(x f y =在点x 处可导，并称这个极限为函数)(x f y =在点x 处的导数，记为)(x f '，即

=')(x f 0

lim

→∆x =∆∆x y 0lim

→∆x x

x f x x f ∆-∆+)

()( . 显然，当 x 在某区间I 内变化时，)(x f '是x 的函数. 因此称之为导函数. 导函数的记号还有y ', dx dy 或 dx

x df )

( 求导举例：

求函数)(x f y =

的导数 y '的步骤：

（1）求增)()(x f x x f y -∆+=∆ ,

（2）算比值：

x

x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)

()( , （3）取极限：

x

y

y x ∆∆='→∆0lim

.

1、常数函数的导数 函数C y =（C 是常数）的导数.

解 (1)求增量：因为

C y =，即不论 x 取什么值，y 的值总等于 C ，所以0=∆y ；

(2)算比值：x

y

∆∆0=；

(3)取极限：00lim lim

0==∆∆='→∆→∆x x x y

y . 即常数函数的导数等于零.

2、幂函数的导数：函数n

x x f =)((n 为正整数)在a x =处的导数

解 ()

1121lim lim )()(lim

)(----→→→=+++=--=--='n n n n a x a

n a x a x na a ax x a x x x a

x a f x f a f